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专题一 集合与常用逻辑用语（精讲案）
第一讲 集合
【核心知识整合】
考点1：元素及集合的概念
1.集合的含义与表示
(1)元素：一般地，把研究对象统称为元素，常用小写的拉丁字母a，b，c…表示．
(2)集合：一些元素组成的总体，简称集，常用大写拉丁字母A，B，C…表示．
(3)集合相等：指构成两个集合的元素是一样的．
(4)集合中元素的特性：确定性、互异性和无序性．
2．元素与集合的关系
(1)属于：如果a是集合A的元素，就说a属于集合A，记作a∈A.
(2)不属于：如果a不是集合A中的元素，就说a不属于集合A，记作a A.
3．常见的数集及表示符号
数集 非负整数集(自然数集) 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*或N＋ Z Q R
4.集合的表示方法
(1)列举法
把集合的元素一一列举出来，并用花括号“{}”括起来表示集合的方法叫做列举法．
(2)描述法,
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称为描述法．一般形式为A＝{x∈I | p}，其中x叫做代表元素，I是代表元素x的取值范围，p是各元素的共同特征．
考点2：元素间的基本关系
1. 集合与集合的关系
（1）子集：对于两个集合A，B，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B 中的元素，就称集合A为集合B的子集.
记作：或.
读作：“A包含于B”（或“B包含A”）.
（2）集合相等：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A与集合B相等.记作A = B.
即：若AB，且BA，则A = B.
2. 真子集：对于两个集合A与B，如果集合，但存在元素，且，就称集合A是集合B的真子集.
记作：（或）.
3. 空集：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为.
空集是任何集合的子集.
4. 子集性质：（1）任何一个集合是它本身的子集，即.
（2）对于集合A，B，C，如果，且，那么.
5. 结论：含n个元素的集合的所有子集的个数是，所有真子集的个数是.
考点3：集合的基本运算
1. 并集定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的并集，记作，读作“A并B”，即=.
Venn图表示：
2. 交集定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合，称为集合A与B的交集，记作，读作“A交B”，即.
Venn图表示：
3. 集合的运算性质：
（1） A，即任何集合与其本身的并集等于这个集合本身；
（2） A，即任何集合与空集的并集等于这个集合本身.
（3） A，即任何集合与其本身的交集等于这个集合本身；
（4），即任何集合与空集的交集等于空集.
4. 全集定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，记作U.
5. 补集定义：对于一个集合A，由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称为集合A的补集，记作，即=.
Venn图表示：
[典型例题]
1.已知集合，若，则实数a的值为( )
A.-2 B. C.2或4 D.或4
[答案]：A
[解析]　由得或或，解得或4，又由集合中元素的互异性检验得.故选A.
2.已知集合，则的真子集的个数为( )
A.4 B.8 C.15 D.16
[答案]：C
[解析] ，，B的真子集的个数为.故选C.
3.已知集合，, 则 ( )
A. B. C. D.
[答案]：C
[解析]　 由集合, 集合,
所以. 故选C.
[变式训练]
1.设，则( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] 取使,则的值为1,2,3,6,所以a的值为-1,2,3,4．故选D．
2.设集合,若,则的取值范围为( )
A. B. C. D.
[答案]：D
[解析] 因为,所以,解得或.故选D.
3.设集合，，则( )
A. B. C. D.
[答案]：B
[解析] 由题知，，从而得到.故选B.
【规律总结】
先正确理解各个集合的含义，弄清集合元素的属性；再依据元素的不同属性采用不同的方法对集合进行化简求解，一般的策略为：
①若给定的集合是不等式的解集，用数轴求解．
②若给定的集合是点集，用图象法求解．
③若给定的集合是抽象集合，常用Venn图求解．
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