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8.6.2
直线与平面垂直
第八章
空间中直线与平面的位置关系
A
?
α
a
????
?
a
?
画法：
符号：
温故知新
2
创设情境，直观感知
比萨斜塔
天安门广场
A
B
α
C′
B′
若旗杆所在直线AB与地面垂直，
1. 旗杆所在的直线AB与其影子BC
所在直线是什么关系?
垂直
3. 地面上有不过点B的任意直线B′C′，
AB与B′C′也垂直吗？为什么？
思考：
C
垂直
则与地面上任意一条直线都垂直.
通过上述分析，该怎么定义一条直线与平面垂直？
2. 随着太阳移动，上述关系还成立吗？
垂直
直线与平面垂直的定义
平面 的垂线
垂足
直线 的垂面
如果直线 l与平面????内的任意一条直线都垂直，我们说直线 l 与平面????互相垂直，记作l⊥????
?
5
动手探究，寻求定理
一条直线 l 和平面内的一条直线 m 垂直，能判
定直线 l 与平面 α 垂直吗？
m
l
n
两条直线 m、n
无数直线
所有直线
任意=所有≠无数
(多选)下列命题中，不正确的是
A.若直线l与平面α内的一条直线垂直，则l⊥α
B.若直线l不垂直于平面α，则α内没有与l垂直的直线
C.若直线l不垂直于平面α，则α内也可以有无数条直线与l垂直
D.若直线l与平面α内的无数条直线垂直，则l⊥α
例1
√
√
√
l ⊥????
?
线面垂直 线线垂直
补充：线面垂直的推论
直线 l 垂直于平面????中的任意一条直线
?
图形语言：
????⊥???????? ???? l⊥????
?
符号语言：
探究：准备一块三角形的纸片ABC，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上(BD,DC与桌面接触).
(1)折痕AD与桌面所在平面α垂直吗？
(2)如何翻折能使折痕AD与桌面所在平面α垂直？为什么?
不垂直
直线与平面垂直的判定定理
如果直线l和平面????内的两条相交直线m,n都垂直，那么直线l垂直平面???? .
?
m
n
P
线线垂直 　　　线面垂直
图形语言：
符号语言：
找“X”
一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直.
线线垂直 　线面垂直
判定定理
定义
垂直
内
相交
二、直线和平面垂直的判定定理
5
动手探究，寻求定理
6
掌握知识，适当延伸
D
B
C1
D1
B1
A1
A
C
例：如图所示的四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，已知A1A⊥BC，A1A⊥DC，证明：A1A⊥平面ABCD.
证明：
∵ A1A⊥BC，A1A⊥DC，
且 BC∩DC=C，
BC?平面ABCD，DC?平面ABCD，
∴ A1A⊥平面ABCD.
练习：如图，点P 是平行四边形ABCD 所在平面外一点，O 是对角线AC与BD的交点，且PA =PC，PB =PD. 求证：PO⊥平面ABCD
C
A
B
D
O
P

∵ 四边形ABCD是平行四边形，
∴ 点O是AC、BD的中点，
又∵ 在△PAC中，PA=PC，点O是AC的中点，
∴ PO⊥AC ，
又∵ 在△PBD中，PB=PD，点O是BD的中点，
∴ PO⊥BD，
又∵ AC∩BD=O，
AC?平面ABCD，BD?平面ABCD，
证明：
∴ PO⊥平面ABCD
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ AC⊥BD.
又∵ DE⊥平面ABCD，
AC?平面ABCD，
∴ AC⊥DE，
∵ BD∩DE＝D，
BD?平面BDE，DE?平面BDE，
练习2：如图所示，四边形ABCD是正方形，DE⊥平面ABCD，
求证：AC⊥平面BDE；
证明：
∴ AC⊥平面BDE.
A
B
C
D
S
练习（第152页）
　如图，AB为⊙O的直径，PA垂直于⊙O所在的平面，M为圆周上任意一点，AN⊥PM，N为垂足.
(1)求证：AN⊥平面PBM；
跟踪训练2
∵AB为⊙O的直径，∴AM⊥BM.
又PA⊥平面ABM，BM?平面ABM，
∴PA⊥BM.
又∵PA∩AM＝A，PA，
AM?平面PAM，
∴BM⊥平面PAM.
又AN?平面PAM，∴BM⊥AN.
又AN⊥PM，且BM∩PM＝M，BM，PM?平面PBM，
∴AN⊥平面PBM.
由(1)知AN⊥平面PBM，
PB?平面PBM，∴AN⊥PB.
又∵AQ⊥PB，AN∩AQ＝A，AN，AQ?平面ANQ，
∴PB⊥平面ANQ.
又NQ?平面ANQ，∴PB⊥NQ.
(2)若AQ⊥PB，垂足为Q，求证：NQ⊥PB.
7
归纳总结，提高认识
1. 直线与平面垂直的定义
2. 直线与平面垂直的判定定理
3.
线面垂直 　线线垂直
判定定理
定义
线线垂直 　线面垂直
4.

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