资源简介

8.6.2　直线与平面垂直（第1课时）
【预学案】
【情境导入】
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．
【问题】(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
【教材新知】
1．直线与平面垂直的定义与表示
定义：一般地，如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作. 直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示.
性质：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
垂线段与点面距：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
直线与平面垂直的判定定理
文字语言：如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线__垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言：l⊥a，l⊥b，a α，b α，__a∩b__＝P l⊥α
图形语言：
直线与平面所成的角
定义：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是__90°__；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是__0°__.
直线与平面所成的角θ的取值范围是__0°≤θ≤90°__
【预习自测】
1、下列说法正确的有__②__(填序号).
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直.
[解析]　因为空间内与一条直线同时垂直的两条直线可能相交，可能平行，也可能异面，故①不正确.
由线面垂直的定义可得，②正确.
因为这两条直线可能是平行直线，故③不正确.
如图，l与α不垂直，但a α，l⊥a，故④不正确.
2、若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于(　C　)
A．平面OAB　　 B．平面OAC
C．平面OBC　　 D．平面ABC
[解析]∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB 平面OBC，OC 平面OBC，∴OA⊥平面OBC.
3、设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　B　)
A．若l⊥m，m α，则l⊥α
B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m
D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【解析】根据两条平行线中的一条直线垂直于一个平面，则另一条直线也垂直于这个平面，知选项B正确.
【预习反馈】
【探究案】
探究一、直线与平面垂直的判定
例1、求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
已知：如图，，，求证：.
证明：如图，在平面内取两条相交直线m，n.
直线，
，
又是两条相交直线， .
【变式】 如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，BA=BC，K是AC的中点. 求证：AC 平面VKB.
证明：∵VA=VC，∴三角形VAC是等腰三角形
∵K是AC中点，∴VK⊥AC
又BA=BC，∴BK⊥AC.
∵VK与BK交于点K，由线面垂直判定定理:
∴AC⊥平面VKB.
【归纳总结】直线与平面垂直的判定方法：
1、①定义法 不常用，但由线面垂直可得出线线垂直 ；
②判定定理最常用：要着力寻找平面内哪两条相交直线 有时作辅助线 ；结合平面图形的性质 如勾股定理逆定理、等腰三角形底边中线等 及一条直线与平行线中一条垂直，也与另一条垂直等结论来论证线线垂直.
平行转化法
利用推论：①a∥b，a⊥α b⊥α； ②α∥β，a⊥α a⊥β.
【练习】
　如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：
(1)BC⊥平面PAB；
(2)AE⊥平面PBC；
(3)PC⊥平面AEF.
[解析]　(1)∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，
∴PA⊥BC.∵∠ABC＝90°，∴AB⊥BC.
又AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.
(2)∵BC⊥平面PAB，AE 平面PAB，∴BC⊥AE.
∵PB⊥AE，BC∩PB＝B，∴AE⊥平面PBC.
(3)∵AE⊥平面PBC，PC 平面PBC，
∴AE⊥PC.∵AF⊥PC，AE∩AF＝A，∴PC⊥平面AEF.
探究二 直线与平面所成的角
例2、例题 如图，在正方体中. 求直线和平面所成的角.
解：连接，与相交于点，连接.
设正方体的棱长为.
，，，
平面.
平面.
为斜线在平面上的射影，为和平面所成的角.
在中，，.
直线与平面所成的角为.
【变式】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
[解析]　(1)∵直线A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA为直线A1C与平面ABCD所成的角，
设A1A＝1，则AC＝，
∴tan∠A1CA＝.
(2)连接A1C1交B1D1于O，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足为O.
∴∠A1BO为直线A1B与平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，∴∠A1BO＝30°.
即A1B与平面BDD1B1所成的角为30°.
【归纳总结】求斜线与平面所成角的步骤
1 作图：作（或找出）斜线在平面内的射影，作射影要过斜线上一点作平面的垂线，再过垂足和斜足作直线，注意斜线上点的选取以及垂足的位置要与问题中已知量有关，才能便于计算.
2 证明：证明某平面角就是斜线与平面所成的角.
3 计算：通常在垂线段、斜线和射影所组成的直角三角形中计算.
【练习】如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.
[解析]　由题意知A是M在平面ABC上的射影，∴MA⊥平面ABC，
∴MC在平面CAB上的射影为AC.∴∠MCA即为直线MC与平面CAB所成的角.
又∵在Rt△MBC中，BM＝5，∠MBC＝60°，
∴MC＝BMsin∠MBC＝5sin60°＝5×＝.
在Rt△MAB中，MA＝＝＝3．
在Rt△MAC中，sin∠MCA＝＝＝.
即MC与平面CAB所成角的正弦值为.
【课堂小结】
一、知识必备
线线垂直和线面垂直的相互转化
二、方法必备
1．证明线面垂直的方法：
(1)线面垂直的定义．
(2)线面垂直的判定定理．
(3)如果两条平行直线的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面．
(4)如果一条直线垂直于两个平行平面中的一个平面，那么它也垂直于另一个平面．8.6.2　直线与平面垂直（第1课时）
【学习目标】
1.了解直线与平面垂直的定义．
2.理解直线与平面垂直的判定定理，并会用其判断直线与平面垂直．
3.理解直线与平面所成角的概念，并能解决简单的线面角问题．
【使用说明及学法指导】
1.预学指导：精读教材内容，完成预学案，找出自己的疑惑；
2.探究指导：小组成员依次发表观点，有组织，有记录，有展示，有点评；
3.展示指导：规范审题，规范书写，规范步骤，规范运算；
4.总结指导：回扣学习目标，总结本节内容.
【预学案】
【情境导入】
木工要检查一根木棒是否和板面垂直，只需用曲尺在不同的方向(但不是相反的方向)检查两次，如图．如果两次检查时，曲尺的两边都分别与木棒和板面密合，便可以判定木棒与板面垂直．
【问题】(1)用“L”形木尺检查一次能判定木棒与板面垂直吗？
(2)上述问题说明了直线与平面垂直的条件是什么？
【教材新知】
1．直线与平面垂直的定义与表示
定义：一般地，如果直线l与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面互相垂直，记作. 直线l叫做平面的垂线，平面叫做直线l的垂面. 直线与平面垂直时，它们唯一的公共点P叫做垂足.
画法：画直线与平面垂直时，通常把直线画成与表示平面的平行四边形的一边垂直，如图所示.
性质：过一点垂直于已知平面的直线有且只有一条.
垂线段与点面距：过一点作垂直于已知平面的直线，则该点与垂足间的线段，叫做这个点到该平面的垂线段，垂线段的长度叫做这个点到该平面的距离.
直线与平面垂直的判定定理
文字语言：如果一条直线与一个平面内的__两条相交直线__垂直，那么该直线与此平面垂直
符号语言：l⊥a，l⊥b，a α，b α，__a∩b__＝P l⊥α
图形语言：
直线与平面所成的角
定义：如图，一条直线l与一个平面相交，但不与这个平面垂直，这条直线叫做这个平面的斜线，斜线和平面的交点A叫做斜足，过斜线上斜足以外的一点P向平面引垂线PO，过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影. 平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角.
规定：一条直线垂直于平面，我们说它们所成的角是__90°__；一条直线和平面平行，或在平面内，我们说它们所成的角是__0°__.
直线与平面所成的角θ的取值范围是__0°≤θ≤90°__
【预习自测】
1、下列说法正确的有____(填序号).
①垂直于同一条直线的两条直线平行；
②如果一条直线与一个平面内的一条直线不垂直，那么这条直线就一定不与这个平面垂直；
③如果一条直线垂直于平面内的两条直线，那么这条直线与这个平面垂直；
④若l与平面α不垂直，则平面α内一定没有直线与l垂直.
2、若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于( 　)
A．平面OAB　 　B．平面OAC C．平面OBC　　 D．平面ABC
3、设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是(　　)
A．若l⊥m，m α，则l⊥α B．若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C．若l∥α，m α，则l∥m D．若l∥α，m∥α，则l∥m
【预习反馈】
【探究案】
探究一、直线与平面垂直的判定
例1、求证：如果两条平行直线中的一条直线垂直于一个平面，那么另一条直线也垂直于这个平面.
已知：如图，，，求证：.
【变式】 如图，在三棱锥V-ABC中，VA=VC，BA=BC，K是AC的中点. 求证：AC 平面VKB.
【归纳总结】直线与平面垂直的判定方法：
【练习】
　如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：
(1)BC⊥平面PAB；
(2)AE⊥平面PBC；
(3)PC⊥平面AEF.
探究二 直线与平面所成的角
例2、例题 如图，在正方体中. 求直线和平面所成的角.
【变式】在正方体ABCD－A1B1C1D1中，
(1)求直线A1C与平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直线A1B与平面BDD1B1所成的角.
【归纳总结】求直线与平面所成角的步骤

【练习】如图所示，在Rt△BMC中，斜边BM＝5，它在平面ABC上的射影AB长为4，∠MBC＝60°，求MC与平面CAB所成角的正弦值.
【课堂小结】

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