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离心率求值--通过几何性质找a，b，c有关的齐次方程
尽可能的不去设直线方程与曲线方程联立，而是根据以下几何性质列（齐次）方程：
最大的原则连接两焦点：椭圆上，双曲线上的点一定要和两个焦点都连接，目的是构造出2a，这样一来就可以找到一个方程，
特别是：过原点的直线与椭圆交于AB两点，或者AB两点关于原点对称 一定要和两个焦点连接补成平行四边形（同时两组对面分别平行且相等），然后就将有关的边长或者角度的条件转化到焦点三角形中。如下图：
用法一：找相似，转为线段的相似比关系。
2、已知平行 用法二：利用平行的传递性，转化为垂直关系，即
用法一：若未知点的坐标，根据边长构造勾股定理
3、已知垂直 用法二：若已知点的坐标，考虑用斜率相乘等于 “”
用法三：斜边上的中线等于斜边的一半
4、出现中线，且等于斜边的一半，则斜边所对的角是直角，然后就可以构造勾股定理。
5、出现垂直平分线首先垂直平分线上的点，到线段两端点距离相等，其次把垂直平分线当做对称轴来看。
6、出现角平分线，首先可以使用角平分线的性质；其次可以考虑转化为垂直平分线。如下图已知AD为角平分线，则，且过点C做CEAD交AB与点E，则CE垂直平分AD，AC=AE，CF=EF。
出现等腰，找出底边的中线，构造垂直关系，就可以使用勾股定理了。
用法一：找出另一个中点（其中选择原点O，因为O为F1F2的中点），8、已知中点 连接形成中位线，转化为中位线平行且等于底边的一半。
(或者两点关于某点对称)
用法二：若同时已知中点坐标，也可以考虑利用中点坐标公式，转化为坐标之间的等量关系。
用法一：一定可以使用余弦定理或者正弦定理（边多 余弦9、已知角度 定理，角多 正弦定理），找到与三边有关的方程.
（或角度的正余弦值） 用法二：如果是特殊角，可以通过做垂线，构造特殊的直角三角
形，从而转化为边长的倍数关系。（或者等腰三角形）
10、出现有关向量的条件：
（1）合并化简向量:同起点的向量的加法
同起点的向量的减法
（2），转化为线段的比值问题，设，则.
11、点坐标带入对应方程中，当能求出椭圆（双曲线）上一点的坐标，可以把点坐标带入曲线方程中，构造齐次方程。
12、已知焦点三角形的内切圆半径
13、已知过焦点的直线的两段焦半径的比值 联想到|
14、仿垂径定理，已知相交弦的中点坐标及弦的斜率，利用仿垂径定理，构造齐次方程。
15、实在找不到方程，可以考虑使用两个 的公共角余弦定理相等构造方程。
16、双曲线还可利用双曲线特征三角形（以a,b,c为边的三角形），以及渐近线求离心率。如下图：特征三角形重点是要记住对应的模型，以及点P的坐标以及
（一） （二）
（三） （四）
几何法求离心率的值
一、连接两个焦点
1．是坐标原点，是椭圆：上一点且在第一象限，是椭圆的右焦点，延长，分别交于，两点，已知，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
2．如图所示，，，是双曲线上的三个点，经过坐标原点，经过双曲线的右焦点，若，且，则该双曲线的离心率是（ ）
B． C． D．3
3．已知双曲线：(，)的左 右焦点分别为，，为坐标原点，是双曲线上在第一象限内的点，直线，分别交双曲线左 右支于另一点 ，，，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
4．已知双曲线的左、右焦点分别为为坐标原点，为双曲线在第一象限上的点，直线分别交双曲线的左、右支于，，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、中点，点关于点对称(中点坐标公式，或者构造中位线)
5．已知双曲线的左,右焦点分别是，过的直线与的右支交于两点，分别是的中点，为坐标原点，若是以为直角顶点的等腰直角三角形，则的离心率是
A． B． C． D．
6．已知双曲线的左焦点为，过的直线与轴相交于点，与的右支相交于点，且为线段的中点，若的渐近线上存在一点，使得，则的离心率为（ ）
A． B． C．2 D．
7．已知双曲线，分别是双曲线的左右焦点，过且垂直于渐近线的一条直线交双曲线右支于A，垂足为M，若M是的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B． C． D．
8．已知双曲线的左 右焦点分别为，M为C左支上一点，N为线段上一点，且，P为线段的中点.若(O为坐标原点)，则C的渐近线方程为（ ）
A． B．
C． D．
9．已知双曲线的右焦点为F，M是y轴正半轴上的点，以F为圆心，为半径的圆过其左焦点，交双曲线于点P，且P为的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．2
已知，分别是双曲线的左、右焦点，第一象限的点在渐近线上，满足，直线交双曲线左支于点，若点是线段的中点，则该双曲线的离心率为_____.
11．如图，双曲线：的左、右焦点分别为，，过作线段与交于点，且为的中点.若等腰的底边的长等于的半焦距，则的离心率为（ ）
B． C． D．
角平分线的两种用法
12．已知双曲线：的左，右焦点分别为，，为双曲线右支上一点，且，与轴交于点，若是的角平分线，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
13．已知椭圆的左、右焦点分别为，P为椭圆上一点，且，若关于平分线的对称点在椭圆C上，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
已知，是双曲线的左右焦点，P是双曲线右支上一点，且，的平分线交x轴于A ，满足，则双曲线C的离心率为______．
15．已知F1、F2分别为双曲线C：（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点A在双曲线上，且∠F1AF2＝60°，若∠F1AF2的角平分线经过线段OF2（O为坐标原点）的中点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
四、角度条件可利用余弦定理，而特殊角还可以做垂直构造特殊的直角三角形
16．已知双曲线的在、右焦点分别，过作的切线，交双曲线右支于点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A．2 B．3 C． D．
17．已知、是双曲线的左、右焦点，过做倾斜角为的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，且A是线段上靠近点的三等份点，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
18．已知、是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
19．已知为双曲线：（，）左支上一点，，分别为双曲线的右顶点和左焦点，，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．4 C． D．6
五、利用向量转化为几何关系，或者线段比例关系
20．已知椭圆的左、右焦点分别为F1，F2，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点）.若，则椭圆的离心率为________．
21．椭圆的左、右焦点分别为，，P为椭圆上任意一点，且，线段与y轴相交于点Q，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
22．已知分别为双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，若，则双曲线的离心率为（ ）
A． B．4 C．2 D．
23．已知是椭圆的左右焦点，点是过原点且倾斜角为的直线与椭圆的一个交点，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B．
C． D．
六、仿垂径定理，焦半径比值，内切圆半径等公式。
24．已知椭圆的一条弦所在的直线方程是，弦的中点坐标是，则椭圆C的离心率是（ ）
A． B． C． D．
是椭圆上一点，M，N分别是椭圆E的左、右顶点，直线的斜率之积，则椭圆的离心率为___________．
已知平行四边形内接于椭圆，且的斜率之积为，则椭圆的离心率为________．
27．过椭圆的左焦点F作直线交椭圆于两点，若，且直线与长轴的夹角为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
28．已知椭圆，其左焦点F且斜率为的直线与椭圆C相交于两点A，B，若，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
29．如图，已知椭圆的左，右焦点分别为，，是轴正半轴上一点，交椭圆于A，若，且的内切圆半径为，则椭圆的离心率为
A． B． C． D．
30．已知点、是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上位于第一象限内的一点，经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，且，则该椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
31．设椭圆，的焦点为，是椭圆上一点，且，若的外接圆和内切圆的半径分别为R，r，当时，椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
32．已知点是椭圆：上一点，点 是椭圆的左 右焦点，若的内切圆半径的最大值为，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
33．已知双曲线的左 右焦点分别为，，点A在双曲线上且，若的内切圆的半径为，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
七、公共角的余弦定理相等（前提是两个有公共角的三角形的所有5条边都可以用a，b，c表示出来）
34．设分别是椭圆的左，右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
已知F是双曲线的右焦点,右顶点为A，虚轴的两个端点分别为，以F为圆心，为半径的圆与C的右支在第一象限交于点P，，则C的渐近线方程为（ ）
A. B. C. D.
36．已知椭圆，，分别是椭圆的左 右焦点，是椭圆的上顶点，直线交椭圆于另一点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
37．已知，分别是椭圆：的左、右焦点，过点的直线交椭圆C于M，N两点.若，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
38．已知椭圆：的左 右焦点分别为，，下顶点为，直线与椭圆的另一个交点为，若为等腰三角形，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
已知椭圆的左顶点为，右焦点为，以为圆心，为半径的圆与相交于点，，则椭圆的离心率为___________.
40．设椭圆的焦点为，直线l过且和椭圆C交于A，B两点，且，则椭圆C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
41．已知双曲线的右焦点为，直线与轴以及双曲线的左，右两支分别交于点，若轴上的点满足，且，则双曲线的离心率为
42．已知双曲线左右焦点为，过的直线与双曲线的右支交于，两点，且，若线段的中垂线过点，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
43．已知 是双曲线的左 右焦点，过的直线与双曲线的左支交于点，与右支交于点，若，且，则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
八、双曲线的特征三角形，渐近线
44．设，为双曲线C：的左右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与该双曲线C的一条渐近线交于O，P两点，若，则C的离心率为____.
已知是双曲线的右焦点，过的直线与的一条渐近线垂直，垂足为，与的另一条渐近线交于点，且，则的离心率为__________．
已知双曲线E的左右焦点，过的直线与双曲线E的两条渐近线分别交于，若，且，则双曲线E的离心率为（ ）
A. B. C. D.
47．已知双曲线的左 右焦点分别为，，A是的一条渐近线上的一点，且，，则双曲线的离心率为___________.
九、点坐标带入方程（前提是交点坐标可以求出来，则可以带入轨迹方程得到齐次方程）
48．已知椭圆的右焦点为F，上顶点为B，直线BF与C相交于另一点A，点A在x轴上的射影为，O为坐标原点，若，则C的离心率为（ ）
A． B． C． D．
49．已知F为椭圆C的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交椭圆C于点D，且，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
50．如图，在平面直角坐标系中，，分别是椭圆的左，右焦点，顶点B的坐标为，连接并延长交椭圆于点A，过点A作x轴的垂线交椭圆于另一点C，连接．若，则椭圆离心率e的值为____________．1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
D A D B D B B C B
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
C C B B D B B B
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
D A C B B A B A
31 32 33 34 35 36 37 38 39 40
B B D A A A B B D
41 42 43 44 45 46 47 48 49 50
C B B A B
参考答案：
1．D
【解析】
【分析】
设左焦点，连接，，，设，根据对称性以及椭圆的定义求出、、、，根据对称性由，可得，在中由勾股定理可得，在中由勾股定理可得的关系，进而可得离心率.
【详解】
设椭圆左焦点，连接，，，
设，由对称性可得，
由椭圆的定义可得：，，，
因为，，所以，
在中，由勾股定理可得，
即，解得：，
在中，，，，
由，可得，即，
所以离心率，
故选：D.
2．A
【解析】
【分析】
设双曲线的左焦点为，易知四边形是矩形，再根据双曲线的定义，可得，在直角三角形中，利用勾股定理，即可求出结果.
【详解】
解：设双曲线的左焦点为，连接，又，则四边形是矩形，
由，，
可得．又，
在直角三角形中，，可得，解得．
故选：A．
3．D
【解析】
【分析】
由双曲线的定义可设，，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，三角形，用余弦定理，可得，的方程，再由离心率公式可得所求值．
【详解】
如图，
由双曲线的定义可得，
由，可得，，
结合双曲线性质可以得到，
而，结合四边形对角线平分，
可得四边形为平行四边形，
结合，故，
对三角形，用余弦定理，得到，
因为，可得，，，
代入上式子中，得到，即，
由离心率满足，即可得出，
故选：D．
【点睛】
关键点点睛：根据双曲线的定义及已知可得，，利用双曲线的对称性，可得四边形为平行四边形，根据利用余弦定理即可建立关系，即可求解，属于中档题.
4．B
【解析】
【分析】
由双曲线的定义可得，，由平面几何知识可得四边形为平行四边形，，在中，由余弦定理可得关于，的方程，再由离心率公式即可求解．
【详解】
由双曲线的定义可得，
由，可得，，
结合双曲线性质对称性可得，，
可得四边形为平行四边形，所以，
所以，
在中，由余弦定理可得：，
将，，，代入可得：
，即，
所以双曲线的离心率为，
故选：B．
5．D
【解析】
【详解】
分析：由题意首先确定所给双曲线中的几何关系，然后利用勾股定理结合题意即可确定双曲线的离心率.
详解：如图所示，由题意可得：，
结合是以为直角顶点的等腰直角三角形可得：，
结合可得：，
令,则，
，
在中:,
整理计算可得：，
在中:,
即，计算可得：.
本题选择D选项.
点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：
①求出a，c，代入公式；
②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．
6．B
【解析】
【分析】
根据题意，先记左焦点为，右焦点为，双曲线的渐近线方程为：，连接，不妨设点位于第一象限，求出，直线所在直线方程为：，再与渐近线方程联立，求出，根据，列出方程求解，得出，进而可求出离心率.
【详解】
由题意，记左焦点为，右焦点为，双曲线的渐近线方程为：，
连接，因为过的直线与轴相交于点，与的右支相交于点，
不妨设点位于第一象限，
因为为线段的中点，为线段的中点，
所以，又轴，所以轴，
因此点横坐标为，代入，可得其纵坐标为，
即；因此，，
所以直线所在直线方程为：；
因为的渐近线上存在一点，使得，
所以点在直线上，
由解得：，即，
因为，所以，
即，即，整理得：，
所以离心率.
故选：B.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，熟记双曲线的简单性质即可，属于常考题型.
7．B
【解析】
【分析】
先作出辅助线，根据中位线得到⊥，求出直线：，直线：，联立后求出A点坐标，代入到双曲线方程，得到，进而求出离心率.
【详解】
连接，因为若M是的中点，O是中点，所以是三角形的中位线，所以∥OM，因为⊥OM，所以⊥，因为，所以，，所以直线：①，直线：②，联立①②得：，，将代入到双曲线方程中，解得：，所以双曲线离心率为.
故选：B
8．C
【解析】
【分析】
首先由条件可知，再结合中位线的性质和双曲线的定义，计算求得，即可得到双曲线的渐近线方程.
【详解】
因为，所以，所以，又，所以，所以，则.故的渐近线方程为.
故选：C
【点睛】
关键点点睛：本题考查利用几何关系求双曲线的渐近线方程，关键是观察出是的中位线，即可求得，再利用双曲线的定义，问题即可解决.
9．B
【解析】
【分析】
先求出，故可得，，代入双曲线方程可得，齐次化后可求得双曲线的离心率．
【详解】
解：因为，，所以，所以，
因为为的中点，
所以，代入双曲线方程有，
整理得到，所以，
故，或，（舍去），所以，
故选：B．
【点睛】
圆锥曲线中的离心率的计算，关键是利用题设条件构建关于，，的一个等式关系．而离心率的取值范围，则需要利用坐标的范围、几何量的范围或点的位置关系构建关于，，的不等式或不等式组．
10．
【解析】
由题意结合渐近线的性质可得，则，把点坐标代入双曲线方程可得，化简即可得解.
【详解】
，点在第一象限且在双曲线渐近线上，，
又直线的斜率为，，
又 ，点是线段的中点，，
又 在双曲线上，
，化简得，
，因为，故解得.
故答案为：.
【点睛】
本题考查了双曲线的性质和离心率的求解，考查了计算能力，属于中档题.
11．C
【解析】
【分析】
根据题意,画出几何图形,连接根据双曲线定义及勾股定理,可得的关系式,化简变形即可求得双曲线的离心率.
【详解】
根据为等腰三角形,连接如下图所示:
因为等腰的底边的长等于的半焦距,且为的中点
即,则,
因为点在双曲线C:上,由双曲线定义可得
,而
则在直角三角形中,由勾股定理可得
化简可得
同时除以,可得
解得
因为
所以
故选:C
【点睛】
本题考查了双曲线性质的简单几何性质,双曲线离心率的求法,属于基础题.
12．C
【解析】
【分析】
根据是的角平分线， 结合，利用双曲线的定义得到，，然后利用角平分线定理，由求解.
【详解】
∵是的角平分线，为的中点，
∴，，
又，
∴，，
∴，，
∴，
由双曲线的定义可得，
则，，
由是的角平分线可得，
即，
∴，即，
由得，
解得或，
，
∴.
【点睛】
方法点睛：本题关键是利用是的角平分线，由求解.
13．B
【解析】
【分析】
设关于平分线的对称点为，根据题意可得三点共线，设，则，在中，分别求得，再利用余弦定理可得的齐次式，即可得出答案.
【详解】
解：设关于平分线的对称点为，
则三点共线，
设，则，
又，所以为等边三角形，所以，
又，所以，
在中，由余弦定理可得：
，
即，所以，
所以.
故选：B.
14．
【解析】
【分析】
根据给定条件探讨出，再结合双曲线定义及余弦定理计算作答.
【详解】
令双曲线的半焦距为c，由知，，
因P是双曲线右支上一点，且，的平分线交x轴于A，
则，
而，则，又，
中，由余弦定理得：，
即，解得，
所以双曲线C的离心率.
故答案为：
15．B
【解析】
首先根据角平分线定理和双曲线的定义求得和的值，再结合余弦定理计算离心率.
【详解】
不妨设点在第一象限，的角平分线交轴于点，因为点是线段的中点，所以，根据角平分线定理可知，又因为，所以，，由余弦定理可得，所以，所以.
故选：B
【点睛】
本题考查双曲线的离心率，双曲线的定义，三角形角平分线定理，重点考查转化思想，计算能力，属于中档题型.
16．D
【解析】
设切线与圆切于点，连结，则，过作，垂足为，又为的中点，所以为的中位线，结合图形可求得，，再由双曲线的定义列出方程，即可求出双曲线的离心率．
【详解】
设切线与圆切于点，连结，则，过作，垂足为，
因为，，所以，
又为的中点，所以为的中位线，又，所以，
在中，，所以，，
在中，，，所以，
所以，所以，
由双曲线的定义可得，即，
所以，所以，
所以．
故选：D．
【点睛】
本题主要考查双曲线的几何性质中的离心率的求解，关键是利用平面几何的知识求出，再利用双曲线的定义找到问题解决的切入点．
B
18．B
【解析】
【分析】
利用椭圆的定义可得，再利用余弦定理可得关系，即可得到答案；
【详解】
,
，，
，
，
，
故选：B
19．B
【解析】
【分析】
设双曲线的右焦点为，根据是等边三角形的条件得出；根据双曲线的定义得到，然后在中利用余弦定理来求解.
【详解】
设双曲线的右焦点为，由题意知为等边三角形，且，
由双曲线的定义知，，
在中，由余弦定理得，，
化简，得，所以，解得或(舍).
故选：B.
20．
【解析】
【分析】
由向量的数量积得，从而得，利用勾股定理和椭圆的定义可得的等式，从而求得离心率．
【详解】
，
所以，又，所以是直角三角形，，
，
又，，所以，，
，
所以．
故答案为：．
21．D
【解析】
【分析】
设，利用和椭圆的定义用表示出和的长度，
利用△∽△求出，最后在△中由勾股定理求得
，即，解方程即可.
【详解】
由已知条件得
设，由得,即，，
由椭圆的定义可知，
∵△∽△, ∴,即，解得，
在△中由勾股定理得,
即，，
，解得，
∵，∴.
故选：.
22．A
【解析】
【分析】
由已知得，，由已知比值得，再利用双曲线的定义可用表示出，，用勾股定理得出的等式，从而得离心率．
【详解】
.又，可令，则.设，得，即，解得，∴,,
由得，，，该双曲线的离心率.
故选：A.
【点睛】
本题考查求双曲线的离心率，解题关键是由向量数量积为0得出垂直关系，利用双曲线的定义把双曲线上的点到焦点的距离都用表示出来，从而再由勾股定理建立的关系．
23．C
【解析】
【分析】
由分析可得出△为直角三角形，再结合条件及椭圆定义得到即得.
【详解】
不妨设M在第一象限，由，两边平方后化简得：
，所以.
在Rt△中，
∵，
∴，
由椭圆定义可知：
所以离心率.
故选：C.
24．B
【解析】
【分析】
设交点坐标，由已知中点坐标结合点差法可得，根据椭圆参数关系求椭圆C的离心率.
【详解】
设交点坐标分别为、，则，
∴两式作差得，而是交点的中点，
∴，结合已知直线方程，有，又，
∴，可得.
故选：B.
25．
【解析】
【分析】
根据直线的斜率之积列方程，化简求得，由此求得椭圆的离心率.
【详解】
依题意，
，
.
故答案为：
26．
【解析】
【分析】
根据对称性设，，，根据得到，再求离心率即可.
【详解】
由对称性，，关于原点对称，设，，，
，
故.
故答案为：
27．B
【解析】
【分析】
过点作准线的垂线，垂足分别为，过点作，垂足为，交轴于点，设，得到，求得，结合椭圆的第二定义，求得，得出，即可求解.
【详解】
如图所示，设准线与轴的交点为，过点作准线的垂线，垂足分别为，
过点作，垂足为，交轴于点，
设，因为，则，
又因为直线与长轴的夹角为，所以，则，
由椭圆的第二定义，可得，
所以，解得，即椭圆的离心率的为.
故选：B.
28．A
【解析】
【分析】
根据题意设，方程为，进而与椭圆联立消元并结合韦达定理得①，②，再结合③，进而联立解得，再根据得，进而求解即可得答案.
【详解】
解：根据题意，设，方程为，
所以联立方程得，
所以①，②
因为，，
所以③，
所以由①③得④，
所以将④代入②得，
因为，
所以，即
所以橢圆C的离心率.
故选：A.
29．B
【解析】
【分析】
由题意，直角三角形的内切圆半径r，结合|F1F2|，可得10，从而可求|AF1|+|AF2|＝2a，即可求得椭圆的离心率．
【详解】
由题意，直角三角形的内切圆半径r，
∵|F1F2|，
∴10，
∴2|AF1||AF2|＝4，
∴14，
∴|AF1|+|AF2|＝2a，
∵|F1F2|，
∴椭圆的离心率是e．
故选B．
【点睛】
本题考查椭圆的几何性质，考查椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
30．A
【解析】
【分析】
由题意可知为的角平分线，推导出，可得出，，利用比例关系可得出，再结合可求得椭圆的离心率的值.
【详解】
如图，连接、，是的内心，可得、分别是和的角平分线，
由于经过点与的内切圆圆心的直线交轴于点，
则为的角平分线，则到直线、的距离相等，
所以，，同理可得，，
由比例关系性质可知．
又因为，所以椭圆的离心率，
故选：A．
【点睛】
方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下：
（1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值；
（2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解；
（3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率.
31．B
【解析】
【分析】
由直角三角形把用表示出来，由得出关系式，从而求得离心率．
【详解】
设，，则，
因为，则，，
由得，，所以离心率为．
故选：B．
32．B
【解析】
【分析】
设的内切圆半径为，则，结合
，，，，可得，再由以及即可求解.
【详解】
由题意可得：，，
设的内切圆半径为，
所以，
因为的内切圆半径的最大值为，
所以
因为，
所以，可得，
所以椭圆的离心率为，
故选：B.
33．D
【解析】
【分析】
直角三角形内切圆半径，可以由三角形三边之长直接算出，然后得到关于的关系式式，进而可求得双曲线的离心率.
【详解】
由，可知，即△为直角三角形，
则有整理得
则的内切圆的半径为，
又由题意可知：
整理得，则
故双曲线的离心率
故选：D
34．A
【解析】
【分析】
根据题意，设，则，，，由，利用余弦定理，可得，在中，利用余弦定理，即可求椭圆的离心率.
【详解】
由题意，如图：
设，因，则，
由椭圆的定义知，，，
在中，由余弦定理得：，
即，整理得，
在中，由余弦定理得：，
即，即，即，
所以，椭圆的离心率为.
故选：A.
【点睛】
本题考查椭圆的性质，考查余弦定理的应用，考查椭圆离心率公式，考查计算能力，属于中档题.
.A
36．A
【解析】
【分析】
根据椭圆性质和定义可得，，利用余弦定理建立关系可求出.
【详解】
因为是上顶点，所以，
由椭圆定义可得，又，则可得，
则由余弦定理可得，
则整理可得，则离心率.
故选：A.
37．B
【解析】
【分析】
设，，，根据，利用勾股定理可得的关系，再根据椭圆的定义可将，，用表示，从而可得，在中，利用余弦定理构造的齐次式，即可的解.
【详解】
解：因为，
所以可设，，，
因为，所以，解得，
因为，所以，，，
所以，
在中，，，
由，可得，
即椭圆的离心率为.
故选：B.
38．B
【解析】
【分析】
由椭圆定义可得各边长，利用三角形相似，可得点坐标，再根据点在椭圆上，可得离心率.
【详解】
如图所示：
因为为等腰三角形，且，
又，所以，
所以，
过点作轴，垂足为，
则，
由，，得，
因为点在椭圆上，所以，
所以，
即离心率，
故选：B.
39．
【解析】
【分析】
设椭圆的左焦点为，计算出三边边长以及，利用余弦定理可得出关于的方程，结合可求得椭圆的离心率的值.
【详解】
设椭圆的左焦点为，由题意可知，，，
设圆交轴于另一点（不与点）重合，则，则，
由椭圆的定义可得，
由余弦定理可得，
即，即，
即，，解得.
故答案为：.
40．D
【解析】
【分析】
结合椭圆的定义列方程，结合余弦定理求得离心率.
【详解】
设，
由椭圆的定义得，
在三角形和三角形中，由余弦定理得
，
整理得.
故选：D
42．C
【解析】
【分析】
由双曲线的定义得出中各线段长（用表示），然后通过余弦定理得出的关系式，变形后可得离心率
【详解】
由题意
又
则有：
可得：，，
中，
中．
可得：
解得：
则有：
故选：C
43．B
【解析】
【分析】
由已知条件结合双曲线的定义可得，从而可得为等边三角形，则，然后在中利用余弦定理列方程可求出离心率
【详解】
因为，，
所以，
因为
所以，则，
因为，所以，
所以，所以为等边三角形，则，
在中，由余弦定理得
，
，得，
所以，
所以离心率，
故选：B
44．
【解析】
【分析】
求出点坐标，进而求出直线的方程，利用点到直线距离公式求出O到直线的距离，利用建立关于的齐次式，求出离心率.
【详解】
如图，渐近线方程为，则焦点到渐近线距离，即，则，过点P作PA⊥x轴于点A，则，由勾股定理得：，则，则直线方程为：，即，过点O作OB⊥于点B，则，又，所以，即，解得：，即C的离心率为.
故答案为：
45．
【解析】
【分析】
由题意计算点到渐近线的距离，从而得，，再由，计算，设，由，可计算得，即，从而得离心率.
【详解】
由题意，设双曲线的渐近线方程为，，则点到渐近线的距离为，即，所以.如图所示，因为，所以，设，则，得，即，所以.
故答案为：
46．B
47．
【解析】
【分析】
由点到直线距离公式求出然后根据余弦定理和列式化简，即可求解.
【详解】
双曲线方程为：，双曲线的渐近线方程为：，
假设A是双曲线渐近线上的一点，双曲线的左焦点为，
右焦点为.如图示：
到渐近线的距离为：，
在中，，
又，，
在中根据余弦定理：，
又，，
，，.
故答案为：
48．A
【解析】
【分析】
由，可得，由此可求出点的坐标，再把点的坐标代入椭圆方程中化简可求出离心率
【详解】
由题意得，设
因为，所以，
所以，得，即，
因为点在椭圆上，
所以，化简得，
所以离心率，
故选：A
49．B
【解析】
【分析】
由题意知，，设，由解得点坐标，代入椭圆方程，化简即可求得离心率.
【详解】
设椭圆的焦点在轴上，方程为，，，
设，由，且，
故，，
由点在椭圆上，故，整理得，
故离心率，
故选：B.
50．
【解析】
【分析】
设出椭圆半焦距c，求出直线AB方程，及点C的坐标，再借助垂直关系列式计算作答.
【详解】
设椭圆半焦距为c，则，，直线的方程为：，
由消去y并整理得：，于是得点A的横坐标为，即，
由椭圆对称性知，点，则直线的斜率，
而，于是得，即，整理得，则，
所以椭圆离心率e的值为.
故答案为：

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