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第八章 平面解析几何
§8.3 圆锥曲线
总 复 习
《一课一案 高效复习》
下
基础模块
数 学
高 教 版
一课一案 高效复习
目 标 达 成
1.掌握椭圆的定义、标准方程和几何性质；
2.掌握双曲线的定义、标准方程和几何性质；
3.掌握抛物线的定义、标准方程和几何性质；
4.能灵活运用圆锥曲线解决有关问题.
一课一案 高效复习
知 识 要 点
1、定义：
一、椭圆
平面内______________________________________的点的轨迹叫做椭圆,
到两定点F1,F2的距离之和等于常数(>|F1F2|)
其中F1,F2是焦点，|F1F2|为焦距.
一课一案 高效复习
2、椭圆的标准方程和性质：
数学定义式 焦点位置 x轴 y轴
图形
标准方程
焦点
焦距 顶点
a,b,c的关系 长轴、短轴 离心率 |MF1|+|MF2|=2a(a>0)
F1(-c,0)，F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
|F1F2|=2c
A1(-a,0)
A1(0,-a)
, A2(a,0)
, B1(0,-b)
, B2(0,b)
, A2(0,a)
, B1(-b,0)
, B2(b,0)
a2=b2+c2
长轴长2a，短轴长2b
e =
c
a
(0x2
a2
y2
b2
+ =1(a>b>0)
y2
a2
x2
b2
+ =1(a>b>0)
一课一案 高效复习
1、定义：
二、双曲线
平面内______________________________________的点的轨迹叫做双曲线,
到两定点F1,F2的距离之差的绝对值为常数(<|F1F2|)
其中F1,F2是焦点，|F1F2|为焦距.
一课一案 高效复习
2、双曲线的标准方程和性质：
数学定义式 焦点位置 x轴 y轴
图形
标准方程
焦点
焦距 顶点
a,b,c的关系 实轴、虚轴 渐近线
离心率 ||MF1|-|MF2||=2a(a>0)
F1(-c,0)，F2(c,0)
F1(0,-c)，F2(0,c)
|F1F2|=2c
A1(-a,0)
A1(0,-a)
, A2(a,0)
, A2(0,a)
c2=a2+b2
实轴长2a，虚轴长2b
e =
c
a
(e>1)
x2
a2
y2
b2
- =1(a>0,b>0)
y2
a2
x2
b2
- =1(a>0,b>0)
y=± x
b
a
y=± x
a
b
一课一案 高效复习
1、定义：
三、抛物线
平面内___________________________________的点的轨迹叫做抛物线,
与一个定点F和一条定直线l的距离相等
其中点F是焦点，直线l叫做准线.
一课一案 高效复习
2、抛物线的标准方程和性质：
数学定义式 焦点位置 x轴正半轴 x轴负半轴 y轴正半轴 y轴负半轴
图形
标准方程
焦点
准线
顶点 对称轴 离心率 P的几何意义 |MF1|=d(d为抛物线上一点M到准线的距离)
y2=2px(p>0)
y2=-2px(p>0)
x2=2py(p>0)
x2=-2py(p>0)
F( ,0)
p
2
F(- ,0)
p
2
F(0, )
p
2
F(0,- )
p
2
x = -
p
2
x =
p
2
y = -
p
2
y =
p
2
O (0,0)
x轴
y轴
e=1
P表示焦点到准线的距离(焦准距)
一课一案 高效复习
四、直线与圆锥曲线
1、直线与圆锥曲线的位置关系：
相交(两个交点)、相切(一个交点)、无交点
2、直线被圆锥曲线截得的弦长公式：
|AB|=√1+k2 ·√(x1+x2)2-4x1x2
=√1+ ·√(y1+y2)2-4y1y2
1
k2
一课一案 高效复习
典 型 例 题
题型1 根据条件求圆锥曲线的基本元素
【例1】(1)双曲线25x2-16y2=400的两条渐近线方程是____________________；
(2)已知椭圆16x2+25y2=400，其离心率为________；
(3)若抛物线y2=2px上到焦点的距离为3的点的横坐标为2，则p=______；
(4)椭圆 + =1的焦距为________；
(5)双曲线 - =1的顶点坐标为____________；
(6)抛物线x=4y2的准线方程为______________.
x2
20
y2
11
x2
2
y2
3
2
6
(±√2，0)
一课一案 高效复习
题型2 根据已知条件求圆锥曲线的方程
【例2】根据下列条件，求椭圆方程：
(1)焦点为(-4,0),(4,0)，椭圆上一点到两焦点距离之和等于10；
(2)焦点在坐标轴上，且经过(√3,2)，(-2√3,1)两点；
(3)椭圆长轴长等于20，离心率为 .
【例3】根据下列条件，求双曲线方程：
(1)离心率为3，且过点(-3,8)，焦点在x轴上；
(2)实轴长与虚轴长之比为2：1，焦点为(±√15，0)；
(3)与双曲线 - =1有相同的渐近线，且过点(-3，2√3).
x2
9
y2
16
【例4】根据下列条件，求抛物线方程：
(1)焦点在y轴上，且P(-6,3)为抛物线上的点；
(2)准线x=4；
(3)焦点为双曲线16x2-9y2=144的左顶点；
(4)焦点在x轴上，其上点P(-3,m)到焦点的距离为5.
一课一案 高效复习
【举一反三】
根据下列条件，求圆锥曲线方程：
(1)过点(-3，2)且与 + =1有相同焦点的椭圆方程为___________________；
(2)与双曲线 - =1有共同的渐近线，且经过点A(√3，2√5)的双曲线的方程为
_________________________；
(3)抛物线顶点在原点，对称轴为坐标轴，经过点M(-2,4，其标准方程为_____.
x2
9
y2
4
x2
3
y2
2
一课一案 高效复习
题型3 根据定义解题
【例5】 (1)设P是双曲线 - =1上一点，已知P到双曲线的一个焦点的距离
等于10，则P到另一个焦点的距离为___________；
(2)已知F1，F2是椭圆 + =1上的两个焦点，过F1的直线与椭圆
交于M、N两点，则△MNF2的周长为__________；
(3)已知点A(3,4),F是抛物线y2=8x的焦点，M是抛物线上的动点，当
|MA|+|MF|最小时，M点的坐标是__________;
(4)已知F1，F2是椭圆 + =1的焦点，P是椭圆上一点，且∠F1PF2
=60°，则△F1PF2的面积为___________；
(5)椭圆焦点F1,F2是的坐标分别为(-4,0)，(4,0)，弦AB过F1，且△ABF2
的周长为20，则椭圆的标准方程为____________________；
x2
16
y2
9
x2
25
y2
9
x2
25
y2
16
一课一案 高效复习
题型4 直线与圆锥曲线（一般以压轴题出现）
【例6】 (1)直线y=2x-1被椭圆 + =1所截得的弦长为_________；
(2)顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线截直线y=2x-4，所得的弦长
|AB|=3√5，则抛物线方程为_______________________；
x2
9
y2
4
【例7】已知椭圆 + y2=1及过点B(0,-2)且异于y轴的直线l与椭圆交于C、D两点.
(1)试确定直线l的斜率k的取值范围；
(2)若直线l经过椭圆的左焦点F1，且椭圆的右焦点为F2，求S△CDF .
x2
2
2
一课一案 高效复习
【例8】设抛物线y= x2与直线y=ax+b的交点A，B的横坐标分别是2，-1.
(1)求a，b的值；
(2)求△AOB的面积.
【例9】已知双曲线x2- =1与抛物线y2=6x有共同的焦点F2，过双曲线的左焦
点F1，作倾斜角是30°的直线与双曲线交于A,B两点.
(1)求直线和双曲线的方程；
(2)求△F2AB的面积.
y2
m
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