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专题三 式与方程
教 材 知 识 精 粹
一、用字母表示数 (6)在含有字母的式子里,加号、减号、
1.用字母表示数的意义 除号都不能省略。例如:3+a 不能写成
用任意一个字母,都可以表示我们学过 3a,S÷2不能写成2S。
的整数、小数、分数和百分数。用字母表示 (7)两个相同字母相乘,可以用平方的
数,既可以把数量关系简明地表达出来,同 形式表示。例如,a×a 可以记作a2。
时也可以表示运算的结果。 3.用字母表示数的用法
例如:今年,爸爸比小明大24岁;明年 (1)在一般问题中,未知数不仅可以用
的时候,爸爸还是比小明大24岁;到了后 字母x 表示,也可以用a,b,c,t,y 等字母
年,爸爸仍比小明大24岁……如果用a 表 表示。
示小明的年龄,那么他爸爸的年龄就可以表 (2)按照习惯,在一些特定的问题中,通
示成a+24。实际上,无论小明的年龄a 取 常用固定的字母表示特定的量。例如:用C
什么 值,爸 爸 的 年 龄 都 可 以 用“a+24” 表示周长,用S 表示面积,用v 表示速度,
表示。 用t表示时间等等。这时,不能随意乱用,
2.用字母表示数的写法 以防混淆。
(1)数与字母、字母与字母相乘时,乘号 (3)在同一个问题中,相同的数量要用
“×”通常记作“·”或者省略不写。例如, 同一个字母表示,不同的数量要用不同的字
3×t通常写成3·t或3t,(a×b)×c通常 母表示。例如:正方形的四条边长度相等,
写成(a·b)·c或(ab)c。 都用a 表示。那么,正方形的面积公式就
(2)省略乘号时,
2
应当把数写在字母的 是S=a ;而长方形的长与宽未必相等,如
前面。例如:4×S 通常写成4·S 或4S,但 果用a 表示长,就不能再用a 表示宽,宽习
不能写成S4。 惯上用b表示。
(3)1与字母相乘,1通常省略不写。例 (4)在不同的问题中,同一个字母也可
如:1×b就写成b。 以表示不同的数量。例如:在s=vt 中,
(4)带分数与字母相乘,应先将带分数 s表示路程,在S=ah÷2中,S 表示面积。
化成假分数,然后按数与字母相乘的要求书 (5)在解答实际问题时,通常只用字母
1 7 表示数,字母本身不带单位名称,表示数量写。例如,3 。2×a=2a 时,要加上单位名称。例如:若火车每小时
(5)在含有字母的式子里,数与数之间 行x 千米,则5小时共行5x 千米。这里,
的乘号仍用“×”。例如:在小学里,3×4x “千米”不能少。
通常不写成3·4x。 (6)字母表示的数,可以是特定的,也可
049
以是不确定的。例如:在等式x+3=4.5 我们学过的运算定律、运算性质和运算
中,x 只能取1.5。在加法交换律a+b= 法则等都可以用字母来表示,这比用语言叙
b+a中,a,b 可以是任意的整数、小数或 述更为简洁、明了。例如:
分数。 加法交换律 a+b=b+a
(7)字母的取值有时有一些特殊要求。 加法结合律 (a+b)+c=a+(b+c)
例如:如果用x 表示某校六(1)班的人数, 乘法交换律 ab=ba
这里的x 就不能是小数。又如,在3÷a 乘法结合律 (ab)c=a(bc)
中,a 就不能是0。 乘法分配律 (a+b)c=ac+bc
4.用字母表示数量关系 减法的性质 a-b-c=a-(b+c)
用字母表示数量关系时,要结合具体的
除法的性质 a÷b÷c=a÷(bc)(b≠0,c≠0)
生活情境和常见的数量关系。常用的数量
关系有: 分数加法法则
b c b+c
a+a=
(
a a≠0
)
关系 文字公式 字母公式 分数减法法则 b c b-c- = ( )a a a a≠0
路程=速度×时间 s=vt
路程(s)、速度(v) a c ac
速度=路程÷时间 v=s÷t 分数乘法法则 × = (b≠0,d≠0)
() b d bd与时间t 之间
时间=路程÷速度 t=s÷v
分数除法法则 a c ad÷ = (b≠0,c≠0,d≠0)
总价=单价×数量 a=bc b d bc
总价(a)、单价(b)
单价=总价÷数量 b=a÷c 注:当字母有取值范围时,写在式子后
与数量(c)之间
数量=总价÷单价 c=a÷b 面,并用“( )”括起来。
收入=支出+结余 a=b+c 6.用字母表示图形的计算公式
收入(a)、支出(b)
结余=收入-支出 c=a-b 数学中的计算公式,都可以用字母简明
与结余(c)之间
支出=收入-结余 b=a-c 地表示出来,小学阶段学习的公式及字母表
示具体如下表:
5.用字母表示运算定律、运算性质和
运算法则
名称 字母意义 字母公式
长方形 a:长 b:宽 C:周长 S:面积 C=2(a+b) S=ab
正方形 a:边长 C:周长 S:面积 C=4a S=a2
平行四边形 a:底 h:高 S:面积 S=ah
三角形 a:底 h:高 S:面积 1S=2ah
梯 形 a:上底 b:下底 h:高 S:面积 1S= (2 a+b
)h
圆 r:半径 d:直径 C:周长 S:面积 C=πd=2πr S=πr2
050
续表
名称 字母意义 字母公式
S=2(ab+ah+bh)
长方体 a:长 b:宽 h:高 S:表面积 V:体积
V=abh
正方体 a:棱长 S:表面积 V:体积 S=6a2 V=a3
S=πr2
r:底面半径 h:高
S侧=Ch=2πrh
圆 柱 C:底面周长 S:底面积 V:体积
S表=S侧+2S
S侧:侧面积 S表:表面积
V=Sh=πr2h
圆 锥 r:底面半径 h:高 S:底面积 V:体积 1 1V= 23Sh=3πrh
二、求含有字母的式子的值 图来表示。
当字母的数值确定时,把字母的数值代
入含有字母的式子中进行计算,所得的结果
就是含有字母的式子的值。把具体的数值
2.等式的性质
代入式子求值时,要注意书写格式:先写出
(1)等式的两边同时加上或减去同一个
字母等于几,然后写出原来的式子,再把数
数,所得的结果仍然是等式。
值代入式子计算,求出结果。
(2)等式的两边同时乘或除以同一个不
例如:当x=4时,2x+3=2×4+3=11。
为0的数,所得的结果仍然是等式。
注意,把字母的数值代入含有字母的式
例如:如果 ,那么
子后, x-4=6 x-4+4=省略的乘号要恢复。
、 6+4
,即x=10。
三 简易方程及其解法
又如,若3x=15,则3x÷3=15÷3,即
1.等式与方程
() x=5
。
1 等式与方程的意义
注:等式的性质是解方程的依据。
表示相等关系的式子叫做等式。例如,
3.方程的解与解方程
2+3=5和s=vt都是等式。
(1)方程的解
含有未知数的等式叫做方程。例如,
使方程左右两边相等的未知数的值叫
x+2=5和2-x=0都是方程。小学阶段
做方程的解。例如:x=5能使方程x+3=8
接触的方程都是简易方程。
的左 右 两 边 相 等,那 么 x=5就 是 方 程
(2)等式与方程的关系
x+3=8的解。
方程 等式 (2)解方程
联系 等号的左右两边都相等 求方程的解的过程叫做解方程。我们
区别 含有未知数 不一定含有未知数 可以根据等式的性质或者四则运算各部分
容易看出,方程一定是等式,等式不一 之间的关系解方程。
定是方程。它们之间的关系可以用下面的 (3)解方程的依据
051
①加、减、乘、除各部分之间的关系: x=16
一个加数=和-另一个加数 【解法二】根据“被减数=差+减数”解。
被减数=差+减数 x-4=12
减数=被减数-差 解:x=12+4
一个因数=积÷另一个因数 x=16
被除数=商×除数 (5)方程的解的检验
除数=被除数÷商 将求出的未知数的值代入方程,分别求
②等式的性质 出方程中等号左边和右边的值,如果相等,
(4)解方程的书写格式 那么求出的未知数的值就是方程的解。
①解方程前,先写一个“解”字,“解”字 例如,解方程并检验:x+15=30
后面加一个冒号“:”。 解:x+15-15=30-15
②在解方程的过程中,一般要每一行写 x=15
一个方程。通常情况下,要把未知数写在 检验:把x=15代入原方程,
“=”的左边。 左边=15+15=30
③上、下 方 程(同 原 方 程)的“=”要 右边=30
对齐。 因为左边=右边,所以x=15是原方
例如,解方程:x-4=12 程的解。
【解法一】根据等式的性质解。 注意:解方程时,除了要求写出检验过
x-4=12 程的以外,只要用口算进行检验,不要写出
解:x-4+4=12+4 检验过程。
数 学 好 题 精 粹
【典型题分析】 长方形的周长=2+2×正方形个数。用字母
例1 (福州)用边长1cm的正方形纸 m 表示正方形的个数,那么周 长 就 是(2+
片,按 下 面 的 规 律 拼 成 长 方 形: 2m)cm。当 m=5时,2+2m=2+2×5
……用5个正方形拼 =12。
成的长方形的周长是( )cm,用 m 个正 答案:12 2+2m
方形拼成的长方形的周长是( )cm。 反思提升:解答本题的关键是:找出周长的变
分析:由题图可知,每增加1个正方形,上、 化规律与正方形个数之间的关系。
下两边各增加1cm。1个 正 方 形 的 周 长 是 【举一反三】
2+2=4(cm),2个正方形拼成的长方形的周 1.把一个圆平均分成若干份,拼成一个
长是(2+2×2)=6(cm),3个正方形拼成的 近似的长方形,这个长方形的宽为b分米,原
长方形的周长是(2+2×3)=8(cm)……每 来这个圆的面积是( )平方分米,周长
个长方形的周长都比前一个多2cm,规律是: 是( )分米。
052
2.(南通)甲数是a,比乙数的3倍少b, 时,这个式子的值是( )。
表示乙数的式子是( )。 3.(广元)王叔叔准备去纯净水公司应
1 聘,甲公司每天的基本工资是50元,每送一
A.3a-b B.3a-b 车纯净水另得3元;乙公司没有基本工资,但
1
C. (
1
a-b) D. (a+b) 每送一车水得5元。如果用n 表示每天送纯3 3
净水的车数,到甲公司应聘,每天可得工资
3.(南通)m 是一个两位数,小明将数字 ( )元;当n>25时,去( )公司
5放在它的右边,就得到了一个三位数,这个 应聘比较合算。
三位数是( )。 【题型题分析】
A.100m+5 B.10m+5 例3 (芜湖)下面是贝贝设计的一个计
C.m+5 D.m×5 算程序:
【典型题分析】
输入一个数 → 乘0.25→ 减去b → 输
例2 (安庆)鞋的尺码通常用“码”或 出结果
“厘米”作单位,它们之间的换算关系是b= (1)甜 甜 输 入 a,那 么 输 出 的 数 是
2a-10(b 表示码数,a 表示厘米数)。乐乐 ( )。
的鞋长23.5厘米,他要穿( )码的鞋;乐 (2)当丽丽输入的数是12时,输出的数是
乐的爸爸穿42码的鞋,则乐乐的爸爸的鞋长 0;当丽丽输入的数是52时,输出的数是多少
( )厘米。 分析:本题是程序设计题,根据题目要求,严
分析:b=2a-10中有两个字母a 和b,a 表 格按照程序的顺序,根据要求操作就行。第
示厘 米 数,乐 乐 的 鞋 长23.5厘 米,即a= (1)题,先“输入a”,“乘0.25”后是0.25a,再
23.5,那么b=2a-10=2×23.5-10=37。 “减去b”得:0.25a-b,这就是结果。(2)由
爸爸穿42码的鞋,根据“b 表示码数”得b= “丽丽输入的数是12时,输出的数是0”,得
42。由2a-10=42,得2a=52,于是a=26。 到0.25×12-b=0,解得b=3。即输入的数
答案:37 26 是a 时,输出的数为0.25a-3。那么,当输
反思提升:数量关系式b=2a-10中有两个 入的数a 是52时,输出的数是0.25a-3=
字母,根据括号中的提示“b 表示码数,a 表 0.25×52-3=10。
示厘米数”,可以判断告诉我们的是a 的值 答案:(1)0.25a-b (2)3 10
还是b的值。 反思提升:严格按照步骤和要求解答本题,就
【举一反三】 不易出错。为了避免出错,可以在图下对应
1.(都匀)小红把4×(a+2.5)错算成了 位置写出每一步的结果。例如:
4a+2.5,算出的结果比正确的结果( )。 输入一个数→乘0.25→减去b→输出
A.多2.5 B.少2.5 结果
C.多7.5 D.少7.5 a→0.25a→0.25a-b→0.25a-b
2.(随州)比a 的3倍多1.8的数,用含 【举一反三】
有字母的式子表示是( )。当a=2.4 1.(盐城)按下面程序计算,输入x=3,
053
则输出的答案是( )。 是用字母代替数(或式子)的优越性之一。
输入x → 平方 →+x→ ÷2→答案 【举一反三】
A.3 B.6 C.4 D.8 1.(德州)某人上山的速度为a,原路返
2.乐乐设计了一个计算程序(如图)。 回下山的速度为b,则某人上山、下山的平均
输入一个数 → ×3→ -a → 输出 速度是( )。
(1)若小明输入8,则输出的是( )。 2 a+b
A. B.
(2)当小虎输入12时,输出的结果是 a+b 2
20,如果乐乐输入15,那么输出的结果是 2ab 2C.a+b D.b-a
多少
2.有一个六位数1abcde,1abcde乘3变
成了abcde1。原来的六位数是多少
1 1 1 1 1 1
3.(1+2+3+4 ) × (2+3+4+
【典型题分析】
1 1 1 1 1 1 1 1
例4 计算: 5)- (1+2+3+4+5)× (2+3+4)
( 1 1 1 1 1 1 11+3+5+7 )× (3+5+7+9 )-
( 1 1 1 1) (1 1 11+3+5+7+9 × 3+5+7)
分析:本题直接根据四则运算法则进行计算,
不仅过程繁琐,而且易错。考虑到题中部分
算式相同,因此,把相同的部分用相同的字母
【典型题分析】
表示,不 仅 可 以 简 化 解 题 过 程,而 且 不 易
。 例5 解方程:出错
(1)2x-18=52
解: 1 1 1不妨设 + + =a,
1 1 1
3 5 7 3+5+7+ (2)3.6x-1.4x=11
1 , 1则原式 ( )· ( )· (3)x- ÷4=0.25
9=b = 1+a b- 1+b a= ( 2)
1 1.2 0.4
b+ab-a-ab=b-a= 。 (9 4
)
7.5=x
反思提升:根据题目的数据和结构特点,用字 分析:第(1)题,先把“2x”看成一个整体。第
母表示繁杂的式子,可以使解题过程简化,这 (2)题,先把左边看成“3.6个x 减去1.4个
054
:
x”进行整理。第(3)题,先把“
1
x- ”
3.解方程
看成一
2 1( )
个整体。第(4) , 2
x-3 =1.5
题 把原方程看成比例式进行
变形,更轻松一些。
解:(1)2x-18=52
2x=70
x=70÷2
x=35 3
4x-50%=17.5(2)3.6x-1.4x=11
2.2x=11
x=11÷2.2
x=5
(3)( 1x-2)÷4=0.25
1 4+25%x=8
x-2=4×0.25
1
x-2=1
1
x=12
(4)
1.2 0.4 2
7.5=x 2x-15x=0.12
1.2x=3
x=3÷1.2
x=2.5
反思提升:(1)解方程的依据有二:一是等式的
性质,二 是 四 则 运 算 各 部 分 之 间 的 关 系。 【典型题分析】
(2)对于较复杂的方程,往往要灵活运用算式 例6 五年级种树160棵,比四年级种
的意义、运算定律、运算性质等知识进行适当 的2倍少30棵,四年级种树多少棵 (列方
变形。(3)解方程时,要自觉检验解的正确性。 程解)
【举一反三】 分析:本题要求列方程解,可设四年级种树x
1.(杭州)根据8x-6=50,可推得3x+ 棵。由题意得,“四年级种的棵数×2-30=
7的值,是( )。 160”。
A.50 B.28 C.21 解:设四年级种树x 棵。
2.(南阳)已知3m+n+6=30,则6m+ 2x-30=160
2n-6的值是( )。 2x=190
055
x=95 C.65+x=480÷4
答:四年级种树95棵。 D.4x=480-65
反思提升:(1)根据题目要求,本题必须列方 2.(重庆)以下两题,只列方程,不解答。
程解。(2)对于比较简单的题目,通常题目问 (1)农机厂要生产1320台收割机,已经
什么,就设什么为x。(3)x 后面有单位,故 生产了8天,每天生产60台。剩下的要在
求出的x 值后面不能再加单位“棵”。 12天完成,每天应多生产多少台
【举一反三】 解:设每天应多生产x 台。
1.(海门)一条路长480米,甲、乙两个修
路队同时从路的两端开始修路,4天修完。 (2)运输队要运送一批货物,计划每天运
已知甲队每天修65米,乙队每天修x 米。 50吨。实际每天多运15吨,并提前3天完
下面的方程不正确的是( )。 成了任务。计划多少天完成任务
A.65×4+4x=480 解:设计划x 天完成任务。
B.(65+x)×4=480
预 设 考 题 精 粹
一、用心思考,细心填写。
1.(徐州)在①18-x=6,②7×8=56,③x÷0.9=1.8,④5x,⑤70<8.3x,⑥15x=75中,
方程有( ),等式有( )。(填序号)
2.(郑州)贝贝参加口算比赛,共有50道题,他算错5道,其余皆对。算对一题得a 分,算
错一题扣b分,用含有字母的式子表示这次口算比赛贝贝的得分是( )分。
3.(如皋)三个连续自然数,已知中间一个数是m,那么前一个数是( ),后一个数是
( ),三数之和是( )。
4.(南京)当x=5时,x2=( ),2x+8=( )。
5.(济宁)已知△+△+○=19,△+○=12,那么△=( ),○=( )。
6.(泉州)一 个 数(用 x 表 示)的 2 倍 加 上 3 乘 5 的 积,和 是 20.8,用 方 程 表 示
为( )。
7.(石家庄)小王、小李沿着400米的环形跑道跑步,他们同时从同一地点出发,同向而行。
小王每分钟跑280米,小李每分钟跑240米,经过x 分钟小王追上小李。根据题意列出的方程
是( )。
8.(海门)四年级植树130棵,比三年级植树棵数的2倍少x 棵,根据题意可以知道:
130-(130+x)÷2表示( )。
056
二、仔细推敲,准确判断。
1.方程一定是等式,但等式不一定是方程。 ( )
2.等式两边同时乘或除以a(a 不为0),结果还是等式。 ( )
3.小红今年a 岁,妈妈今年b岁。21年后,妈妈比小红大21岁。 ( )
4.“20除x 的2倍,商是5”列方程是2x÷20=5。 ( )
5.如果5x+4=24,那么3x+5=17。 ( )
三、反复比较,慎重选择。
1.(东莞)下面各组式子中,得数一定相等的是( )(a≠0)。
A.2a 和a2 B.2(a+1)和2a+2
C.3a 和a×a×a D.a×0和a+0
2.(福州)a 是非零自然数,a 和它的倒数相比,( )。
1 1 1 1
A.a>a B.a3.(盐城)一个等腰三角形顶角的度数是α,计算一个底角度数的式子是( )。
A.180°-2α B.180°-α÷2 C.(180°-α)÷2 D.180°÷2-α
4.已知方程2x+k=10的解是x=4,则k的值是( )。
A.2 B.3 C.4 D.5
5.(如东)如果x2=2x,那么x 不可能等于( )。
A.0 B.1 C.2
6.(苏州)有甲、乙两筐苹果,甲筐重30千克,乙筐重x 千克。从甲筐中拿4千克放入乙
筐,两筐苹果就一样重。下列方程正确的是( )。
A.30-x=4 B.x+4=30
C.x-4=30 D.x+4=30-4
7.(资阳)甲、乙两车从A 地到B 地,已知甲车用6h到达,乙车用7h到达,两车速度差是
10km/h,求A,B 两地的距离。如果设A,B 两地的距离为xkm,那么正确的方程是( )。
(1 1 1A.6+
)
7 ×x=10 B.6×10=7x
1 1
C.( - )6 7 ×x=10
8.甲、乙两队合修一段长1400米的公路,两队同时从两头开工,5天修完。已知甲队平均
每天修160米,乙队平均每天修多少米 设乙队平均每天修x 米,正确的方程有( )个。
160×5+5x=1400 5×(160+x)=1400 1400÷(160+x)=5
1400÷5=160+x (1400-160×5)÷x=5 1400÷5-x=160
A.3 B.4 C.5 D.6
057
四、解下列方程。
1
5.4+2x=7.6 7(x-4.5)=32
4 1
11x+3×0.9=24.7 7x=3×1.2
3 1 5
x-80%x=5.2 4x-3x=9
五、运用知识,解决问题。
1.(溧阳)只列方程不计算。
(1)一块面积为450平方米的平行四边形菜地,它的底是18米,这个平行四边形的高是多
少米
解:设这个平行四边形的高是x 米。
(2)溧阳博物馆获得了2019美国建筑大师奖。展区面积达到11000平方米,比总建筑面
积的2少了1000平方米。溧阳博物馆的总建筑面积是多少平方米 3
解:设溧阳博物馆的总建筑面积是x 平方米。
058
2.(射阳)同学们参加植树活动,植的柳树的棵数比杉树的3倍少20棵。柳树植了190
棵,杉树植了多少棵 (用方程解)
3.如图是计算机的一个计算程序。
输入x→ ×a → +b→输出
当输入x 的值是1时,输出的值是7;当输入x 的值是2时,输出的值是11。
(1)当输入x 的值是6时,输出的值是多少
(2)当输出的值是31时,输入x 的值是多少
培 优 提 升 精 粹
一、用心思考,细心填写。
1.(北京)中国经常用“摄氏度”表示温度,如贝贝的体温是36.8摄氏度。还有一些国家用
“华氏度”。二者的关系是:华氏温度比摄氏温度的1.8倍还多32。a 摄氏度是( )华氏
度;某人的体温是96.8华氏度,他( )烧(选填“发”或“不发”)。
2.(商丘)已知x=2是方程ax+3=11的解,则方程10-ay=4的解是y=( )。
3.(淮安)下列算式中的★和☉各代表一个数。已知(☉-★)÷0.8=4.5,★×0.4=12,那
么★=( ),☉=( )
4.(天津)一辆小汽车的牌照是津C·8S○ △,已知○+○= ,○+ + +5=
15,△+△=○,那么牌照号码的后三位数是( )。
ac 6 5
5.(镇江)如果 =ad-bc,且 =22,那么x=( )。
bd x 7
6.(扬州)如图,3个杯子叠起来高16厘米,5个杯子叠起来高22厘米。( )个这样
059
的杯子叠起来高34厘米。n 个这样的杯子叠起来的高度是( )厘米。
二、仔细推敲,准确判断。
1.未知数的值就是方程的解。 ( )
2.方程14x-8.4=9x+2.1可以整理成5x=10.5。 ( )
3.方程3x=0,x 的值是0,所以方程3x=0没有解。 ( )
4.2x+3x=5x2 不是方程。 ( )
5.一批零件,甲单独做需要2小时,乙单独做需要3小时,如果两人合作,完成任务需要的
时间是x 小时,那么 (1 12+3)x=1。 ( )
三、反复比较,慎重选择。
1.(苏州)如果58÷a=58×a,那么a 是( )。
A.真分数 B.假分数 C.0 D.1
2.(常熟)数a 大于0而小于1,那么把 ,2,
1
aa 从小到大排列正确的是( )。a
A.a1 1 1 1
2 C. 2a23.方程5x=6x 的解的情况是( )。
A.没有 B.只有一个 C.无数个 D.有限个
4.一个两位数,若各个数位上的数字之和的5倍比原数大6,则这个两位数是( )。
A.23或21 B.24或69 C.25或69 D.24或25
5.(重庆)一条公路已经修了a 千米,比全长的60%少b千米,求这条公路未修长度的正
确列式为( )。
A.(a+b)÷60%-a B.(a-b)÷60%-a
C.(a-b)×60%-a D.(a+b)×60%-a
四、运用知识,解决问题。
用你认为合适的方法计算:
1 1 1 … 1
2+4+8+ +1024
060(3)246×468÷(
246×468
123×234)=123×234=4
(4)198×199199-199×198198=198×199×1001-199×198×1001=0
()1.1+2.2+3.3+4.4+5.5+6.6 1.1+2.2+3.3+4.4+5.5+6.6 152.2+4.4+6.6+8.8+11+13.2=2×(1.1+2.2+3.3+4.4+5.5+6.6)=2
()(4 1 4 2 2 5 16 7×9×11 46 7×9×11)÷ (11×7×9)=7×9×11× 20 =5
()1×2×3+3×6×9+9×18×27 1×2×3×
(1+3×3×3+9×9×9)
72×4×6+4×8×12+8×16×24=2×4×6×(1+2×2×2+4×4×4)
1+27+729 757
=8×(1+8+64)=584
()1 1 1 1 185×7+7×9+9×11+11×13+13×15
1 é
= × ê (1 1) (1 12 ê 5-7 + 7-9)+ (
1 1 ) (1 1 1 1 ù 1 1 1 19-11 + 11-13)+ ( ú 13-15) ú=2× (5-15)= 15
2.由12@x=52得,[12,x]+(12,x)=52,显然 [12,x]<52。故 [12,x] 可能取12,24,
36,48。又因为(12,x)≤12,所以 [12,x]≥40。于是[12,x]=48。这样,就有(12,x)=52-
48=4。由12x=48×4得,x=16。
专题三 式与方程
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.πb2 2πb 2.D 3.B 解析:在两位数的右边放一个数字5变成三位数后,原来的两
位数扩大为原来的10倍。
例2 举一反三
1.D 2.3a+1.8 9
3.3n+50 乙 解析:到甲公司应聘,每天可得工资(3n+50)元。而到乙公司应聘,每天
可得工资5n 元。由3n+50=5n,解得n=25。即如果每天送25桶纯净水,应聘甲、乙两个公
司的收入是一样的,但是,当n>25时,每多送一桶水,应聘甲公司,只能多得3元,应聘乙公
司,就多得5元。故当n>25时,去乙公司应聘比较合算。
例3 举一反三
1.B 2.(1)24-a (2)由题意,12×3-a=20,解得a=16。15×3-16=29,故输出的
结果是29。
例4 举一反三
1.C 解析:设上、下山的路程都为s。则上、下山的平均速度为:
总路程÷总时间
s s 2ab
=2s÷ ( 。a+b )=a+b
2.设abcde五位数为x。则1abcde=100000+x,abcde1=10x+1。根据题意得:
(100000+x)×3=10x+1,解得x=42857。故原数为142857。
设1 1 1 1 1 1 13. 2+3+4=a
, 。
2+3+4+5=b
203
原式=(
1
1+a)·b-(1+b)·a=b+ab-a-ab=b-a= 。5
例5 举一反三
1.B 2.42 解析:由3m+n+6=30得到3m+n=24,则6m+2n=48,于是6m+2n-
6=42。
1
3.x=6 x=24 x=16 x=5
例6 举一反三
1.D 2.(1)12(x+60)+8×60=1320 (2)(50+15)×(x-3)=50x
【预设考题精粹】
一、1.①③⑥ ①②③⑥ 2.45a-5b 3.m-1 m+1 3m 4.25 18 5.7 5
6.2x+3×5=20.8 7.(280-240)x=400 8.四军级比三年级多植的棵数
二、1.√ 2.√ 3.× 4.√ 5.√
三、1.B 2.C 3.C 4.A 5.B 6.D 7.C 8.D
四、 7 1x=1.1 x=5 x=2 x=10 x=26 x=13
五、1.(1)
2
18x=450 (2)3x-1000=11000
2.设杉树植了x 棵,则3x-20=190,解得x=70。即杉树植了70棵。
3.由题意,a+b=7,2a+b=11解得:a=4,b=3。(1)当输入x 的值是6时,6a+b=6×
4+3=27 (2)4x+3=31,x=7
【培优提升精粹】
一、1.1.8a+32 不发 解析:由“某人的体温是96.8华氏度”得1.8a+32=96.8,解得a=36
36<36.8,故此人不发烧。 2.1.5 3.30 33.6 4.241 解析:由○+○= 和○+
+ +5=15得○+○+○+○+○=10,解得○=2。于是 =4。再由△+△=○知,△
=1。 5.4 6.9 3n+7 解析:由图可知,3个杯子叠在一起的总高度16厘米是1个杯子
的高度再加上2个杯口的高度,5个杯子叠在一起的总高度22厘米是1个杯子的高度再加上
4个杯口的高度,故22-16=6(厘米)相当于5-3=2(个)杯口的高度。这样,一个杯口的高
度是6÷2=3(厘米),一个杯子的高度是16-6=10(厘米)。由34=10+24=10+3×8可以
推得8+1=9(只)杯子叠起来的高度是34厘米,n 个杯子叠起来的高度为10+3(n-1)=
3n+7(厘米)。
二、1.× 2.√ 3.× 解析:x=0就是方程3x=0的解,方程的解可以是0。 4.×
5.√
三、1.D 2.D 解析:取
1 1 1 1 1 1
a= ,则a2= , =2,此时有 < <2,即a23.B 解析:只有当x=0时,方程5x=6x 才成立,故方程5x=6x 只有一个解。 4.B
解析:用筛选法。由题意得,原数加6以后是5的倍数。只有B选项符合这一条件。经进一
步验证,B正确。 5.A
四、设 1 1 1 1 1 1 1S= + … ,则 … ,2 4+8+ +1024 2S=1+2+4+ +512
所以, 1 1023 10232S-S=1- = ,即原式 。1024 1024 =1024
204

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