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第一部分 数与代数
专题一 数的认识
1.整 数
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一、整数的意义 6.整数的分类
1.自然数的定义 整数包括正整数、0和负整数,其中正整
用来计量物体个数或者表示事物次序的 数和0合称自然数。自然数也称非负整数。
0,1,2,3,4,5…叫做自然数。一个物体也没 如下图所示。
有就用0表示。 ì正整数
自然数(非负整数)
2.自然数的特点 整数 í 0 }

(1)0是最小的自然数。(2)在数数时, 负整数
可以一个一个地连续数下去,永远也数不完, 二、计数法
所以没有最大的自然数。(3)自然数的个数 1.计数
是无限的。(4)每相邻两个自然数之间相 计数就是数数。计数的过程就是把要数
差1。 的物体与从1开始、由小到大的自然数1,2,
3.0的作用 3,…建立一一对应的过程。注意,记数与计
(1)0不仅表示没有,还可以表示特定的 数不同,记数是写数的意思,也就是把计数的
数值。(2)0可以表示起点。如直尺上的“0” 结果用符号记录下来。
表示起点。(3)0可以表示界限。如0℃是水 2.计数单位
结冰时的温度,它是零上温度与零下温度的 一(个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、
界限;又如,0是正数与负数的界限。(4)0还 亿、十亿、百亿、千亿……都是整数的计数
具有占位的作用。如203中的0占十位,它 单位。
表示十位上一个计数单位也没有。 3.计数单位的特点
4.整数的定义 (1)自然数的计数单位有很多,但“一”是
像-3,-2,-1,0,1,2,3,…这样的数统 基本单位,任何一个数都可以看成是由若干
称为整数。所有的自然数都是整数。 个“一”组成的。例如,5由5个“一”组成,15
5.整数的特点 由15个“一”组成,0可以看成由0个“一”组
(1)没有最小的整数,也没有最大的整 成。(2)其他计数单位又称为辅助单位。(3)
数。(2)整数的个数是无限的。(3)相邻的两 每相邻的两个计数单位,10个较低单位等于
个整数之间相差1。 1个相邻的较高单位。
001
4.十进制计数法 右往左依次是个位、十位、百位、千位,万位、
每相邻两个计数单位之间的进率都是 十万位、百万位、千万位,亿位……
10,这样的计数方法称为十进制计数法。用 2.位数
十进制计数法表示的数称为十进制数,简称 一个非0自然数含有数位的个数叫做位
十进数。十进制计数法是全世界通用的一种 数。含有一个数位的数是一位数,含有两个
计数方法。 数位的数是两位数,依次类推。例如,最小的
5.十进制的特点 一位数是1,最大的一位数是9;最小的两位
(1)十进制的进位原则是“满十进一”。 数是10,最大的两位数是99;最小的三位数
即10个较低单位等于一个相邻的较高单位。 是100,最大的三位数是999。注意,0不是
例如:10个一等于1个十,10个十等于1个 一位数。
百,10个百等于1个千……(2)十进制用0, 3.数级
1,2,3,…,9这十个数字来记数。类似地,还 按照我国计数的习惯,从个位起,每四个
有十二进制,例如1年=12个月;60进制,例 数位分为一级。个位、十位、百位、千位组成
如1时=60分,1分=60秒;二进制,例如2 “个级”,万位、十万位、百万位、千万位组成
只筷子是“一双”。计算机中常用二进制,二 “万级”,亿位、十亿位、百亿位、千亿位组成
进制用0,1两个数字记数。 “亿级”。个级上的数表示多少个“一”,万级
三、整数数位顺序表 上的数表示多少个“万”,亿级上的数表示多
1.数位 少个“亿”。
在用数字表示数的时候,不同的计数单 4.整数数位顺序表
位按照一定的顺序排列起来,每一个计数单 通常把按照数位的顺序从右到左排列的
位所占的位置叫做数位。整数中的数位,从 数位表,叫做数位顺序表。
数级 …… 亿级 万级 个级
数位 …… 千亿位百亿位十亿位 亿位 千万位百万位十万位 万位 千位 百位 十位 个位
计数单位 …… 千亿 百亿 十亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 一(个)
5.位置值 地往下读。千位上是几就读几千,百位上是
同一个数字,由于所在的数位不同,计数 几就读几百,十位上是几就读几十,个位上是
单位也不同,所表示的数值也就不同,这个值 几就读几。并且,①中间不论有一个或连续
称为位置值。例如,312540336中,亿位上的 几个0,都只读一个“零”;②末尾不管有几个
“3”表示3个亿,百位上的“3”表示3个百,十 0,一律都不读。例如,302读作三百零二,
位上的“3”表示3个十。 3002读作三千零二,3020读作三千零二十,
四、整数的读法和写法 3200读作三千二百。
1.整数的读法 (2)万以上数的读法
(1)万以内数的读法 先分级,再从最高位读起;亿级、万级的
读万以内的数,要从最高位起,一位一位 数,要按照个级的读法去读,再在后面加上
002
“亿”字或“万”字;每级末尾不管有几个0都 (2)多个整数比较大小,可以先把它们的相同
不读,其他数位上,有一个0或者连续几个 数位对齐排列,然后再比较。
0,都只读一个“零”。例如,200005000读作 六、整数的改写与省略尾数
二亿零五千,200000500读作二亿零五百。 有时为了读写方便,常常把一个较大的
2.整数的写法 数改写成用“万”或“亿”作单位的数,有时也
从高位到低位,一级一级地写,每个数位 省略“万”或“亿”后面的尾数。
上是几就写几。哪一个数位上一个单位也没 1.整数的改写
有,就在那个数位上写0。例如,四亿零九十 (1)整万、整亿数的改写,只要去掉末尾
万写作:400900000。注意:写万级时,千万 的4个0或8个0,换成“万”或“亿”字;(2)不
位、百万位上一个单位也没有,要写上两个0 是整万、整亿数的改写,就要在万位或亿位的
补足四位;个级上都是0。 后面点上小数点,去掉小数末尾的0,并写上
五、整数的大小比较 “万”或“亿”字。例如,把450000改写成用
两个多位数比较大小,通常按照下列步 “万”作 单 位 的 数 是 450000=45 万,把
骤进行: 235000000改 写 成 用 “亿”作 单 位 的 数 是
(1)位数不同的两个数比较大小,位数多 235000000=2.35亿。
的数就大。例如,任意一个八位数总比任意 2.省略尾数
一个七位数大。 省略“万”或“亿”后面的尾数时,根据尾
(2)位数相同的两个数比较大小,从最高 数最高位上的数是几进行“四舍五入”。舍去
位比起,最高位上的数大的那个数就大;如果 尾数,写出近似数,再加上“万”或“亿”字。例
最高位上的数相同,就比较下一个数位上的 如,580000000省 略“亿”后 面 的 尾 数 是:
那个数……直到比较出两个数的大小为止。 580000000≈6亿。但把它改写成用“亿”作
注意:(1)整数的大小比较,也可以用下 单位的数是:580000000=5.8亿。
面的口诀帮助记忆:比较大小并不难,分清位 注意:整数改写后得到的是准确数,用
数是关键。位数相同比高位,高位相同往下 “=”连接;省略尾数通常得到的是近似数,要
推。位数 不 同 更 简 单,位 数 越 多 数 越 大。 用“≈”连接。
数 学 好 题 精 粹
【典型题分析】 答案:九 3 6 5 2
例1 300006502是( )位数,它由 反思提升:(1)右起第五位是万位,第九位是
( )个 亿、( )个 千、( )个 百 和 亿位。(2)其余数位上是0,就表示这些数位
( )个一组成。 上一个计数单位也没有。
分析:300006502由9个数字组成,所以它是 【举一反三】
九位数。它的亿位上是3,就表示3个亿;千 1.(抚州)一个数由8个亿、8个千万、8
位上是6,就表示6个千;百位上是5,就表示 个百和8个一组成。这个数写作( ),
5个百;个位上是2,就表示2个一。 它是一个( )位数。
003
2.(武汉)60606000是一个( )位 “0”的读法。
数,从左往右数,第2个“6”在( )位上, 【举一反三】
第3个“6”表示6个( )。 1.(南阳)35619006是一个( )位数,
3.用4个算珠在算盘上表示一个最大的 读作( )。六百五十万三
五位数是( )。 千零五写作( )。
4.用0~9组成一个数字不重复的十位 2.用三个4和三个0组成的六位数,一
数,如果千万位是最小的质数,万位是最大的 个零也不读出来的最小六位数是( ),
一位数,那么组成的最大数是( ),最 只读出一个零的最大六位数是( ),读
小数是( )。 出两个零的六位数是( )。
【典型题分析】 3.(都匀)在读下面这四个数时,要读出
例2 (苏州)如果养成随手关灯的好习 两个“零”的数是 ( )
惯,那么每年每户可节约用电4.9千瓦时,相 A.5008003200 B.5080000320
应可以减排二氧化碳4.7kg。如果全国3.9 C.5008003020 D.5080032000
亿个家庭都能做到,那么每年可节约用电 【典型题分析】
1911000000千瓦时,减排二氧化碳一百八十 例3 (扬州)2019中国·扬州“烟花三

三 万 三 千 吨。 横 线 上 的 数 读 作 月”国际经贸旅游节开幕式暨重大项目签约

( ),波 浪 线 上 的 数 写 作 仪式在扬州南水北调源头公园举行。会上,
( )。 55 个 产 业 项 目 集 中 签 约,总 投 资 大 约
分析:多位数的读法规则是:从高位到低位, 65794500000元,横线上的数改写成用“万”
一级一级地读。每一级末尾的“0”都不读,其 作单位的数是( )元,省略“亿”
他数位有一个“0”或连续几个“0”都只读一个 后面的尾数约是( )亿元。
零。多位数的写法是:从高位到低位,一级一 分析:要把65794500000改写成用“万”作单
级地写。哪一个数位上一个单位也没有,就 位的数,只要去掉该数末尾的四个0,再在后
在那一位上写“0”。 面 加 上 “万”字,得 到 6579450 万。省 略
读1911000000时,通常先分级: 65794500000“亿”后面的尾数时,就是对亿位
19|1100|0000,再按级读数。亿级读作: 后一位上的数进行“四舍五入”。这个数亿位
十九亿;万级读作:一千一百万;个级上都是 的后一位上是9,省略尾数后应该向前一位
0,不读。故横线上的数1911000000读作:十 “进1”。它 省 略“亿”后 面 的 尾 数 约 是658
九亿一千一百万。写一百八十三万三千时, 亿。注意,括号后面的单位是“亿元”,故括号
可以先圈出“万”字:一百八十三万三千。先 里只能填“658”。
写万级:183;再写个级:3000。故波浪线上的 答案:6579450万 658
数一百八十三万三千写作:1833000。 反思提升:(1)省略万位或者亿位后面的尾
答案:十九亿一千一百万 1833000 数,只要根据尾数最高位上的数是几进行“四
反思提升:读、写多位数时,首先要分级,然后 舍五入”,跟其他数位上的数是几没有关系。
从高位开始,按级读数或写数,同时要注意 (2)改写不改变数的大小,省略后得到的是近
004
似数。 数读作( )。实现旅游业总收入
【举一反三】 6329.57亿元,省略“亿”后面的 尾 数 约 是
1.(涿州)一个数由6个千万、4个十万、8 ( )元。
个千、3个百和6个十组成。这 个 数 写 作 3.在 里填上适当的数。
( ),改写成用“万”作单位的数是 (1)3 500≈4万
( )万,四舍五入到万位约是( )。
( ) , “ ” , (2)2.镇江 据统计 今年 五一 期间 我 28 4700000≈28
亿
省共接待游客约3980550000人次,横线上的 (3)35 00≈4万
2.因数与倍数
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一、因数与倍数 a 的倍数。
1.因数与倍数的定义 3.因数的特点
如果自然数a 和自然数b 的乘积是c, (1)一个数的最小因数是1,最大因数是
即a×b=c,那么称a 和b都是c的因数,也 它本身。(2)一个数的因数的个数是有限的。
称c是a 和b的倍数。例如,4×6=24,那么 例如,2有两个因数1和2,最小的是1,最大
4和6都是24的因数,24是4的倍数,也是6 的是它本身2。9有3个因数1、3、9,最小的
的倍数。 是1,最大的是9。一般地,非0自然数n 的
注意:(1)研究因数与倍数时,所说的数 因数最多有n 个。
一般指不是0的自然数。(2)如果c是a 的 4.倍数的特点
倍数,也可以说成c能被a 整除,或者说成a (1)一个数的最小倍数是它本身,没有最
能整除c。 大的 倍 数。例 如,2 的 倍 数 有 2,4,6,8,
2.因数与倍数的关系 10,…。(2)一个数的倍数的个数是无限的。
(1)因数与倍数是相互依存的关系,任何 5.找因数的方法
一方都不能单独存在,不能说某一个数是倍 (1)顺次试找法。从1开始,依次用每一
数,也不能说某一个数是因数。例如,根据 个自然数去试除,看它是不是原数的因数,一
3×5=15,我们可以说15是3的倍数,也可 直除到原数本身为止。例如,找6的因数,就
以说3是15的因数,但不能说15是倍数,3 依次用1,2,3,4,5,6去试除,得到6的因数
是因数。 为1,2,3,6共4个。注意,这种方法适合于
(2)因数和倍数又是成对的两个概念。 找较小的自然数的因数。
例如,2是1的倍数,反过来看,1就是2的因 (2)成对查找法。即根据乘法算式,一组
数。同理,如果a 是c的因数,反过来c就是 一组地找。把一个数写成两个自然数相乘的
005
形式,只要写出所有的乘法算式,就可以找到 数,所以234072就是3的倍数,而30001各
这个数的全部因数。例如,12=1×12=2×6 数位上的数之和为3+1=4,不是3的倍数,
=3×4,所以12的因数为1,2,3,4,6,12,共 所以30001就不是3的倍数。
6个。又如,16=1×16=2×8=4×4,所以 4.9的倍数的特征
16的因数为1,2,4,8,16,共5个。注意:当 一个数各数位上的数之和是9的倍数,
两个因数相等时,就作为一个因数来看待。 这个数就是9的倍数,否则就不是9的倍数。
(3)分解质因数法。要找一个合数的因 5.3的倍数的快速判断法
数,先把它分解质因数,这些质因数以及它们 (1)如果一个数的各个数位上的数都是
的不同形式的乘积,就是这个合数的因数。 3的倍数,那么这个数就是3的倍数。例如,
例如,要找30的所有因数,先把30分解质因 369,3006,9036,3333都是3的倍数。
数:30=2×3×5。这样,30的所有因数为2, (2)如果一个数除0以外的相同数字的
3,5,2×3,2×5,3×5,2×3×5,即30的因数 个数都是3的倍数,那么这个数就是3的倍
为:1,2,3,5,6,10,15,30,共8个。注意:用 数。例如,111,4440,80808,222222,252525
这种方法找一个合数的因数不要漏掉1。 都是3的倍数。
6.找倍数的方法 (3)连续的三个自然数的所有数字组成
一个数和任意非0自然数的乘积都是这 的 数 是 3 的 倍 数。例 如,123,141516,
个数的倍数。在限定范围内找一个自然数的 151614,111456都是3的倍数。
倍数,可先写出这个自然数,然后再用这个自 三、奇数与偶数
然数依次乘2,3,4,5,…,直到所乘的积接近 1.偶数与奇数的定义
且不超过所规定的限制范围为止。例如,30 (1)偶数:自然数中,是2的倍数的数叫
以内4的倍数有:4,8,12,16,20,24,28。这 做偶数,也叫双数。例如,0,2,4,100,312,…
种方法是按照从小到大的顺序找,不容易重 都是偶数。偶数通常用2k(k 是自然数)
复和遗漏。 表示。
二、2,5,3的倍数的特征 (2)奇数:自然数中,不是2的倍数的数
1.2的倍数的特征 叫 做 奇 数,也 叫 单 数。如 1,3,5,101,
个位上是0,2,4,6,8的数都是2的倍 9999,…都是奇数。奇数通常用2k+1(k 是
数。例如,2,100,456都是2的倍数,11却 自然数)表示。
不是。 2.奇数与偶数的特点
2.5的倍数的特征 (1)自然数不是奇数就是偶数。(2)两个
个位上是0或5的数都是5的倍数。例 连续自然数中,必有一个是奇数,一个是偶
如,20,505都是5的倍数,1001却不是。 数。(3)每相邻两个奇数相差2,每相邻两个
3.3的倍数的特征 偶数也相差2。(4)每相邻三个奇数的和是
一个数各数位上的数之和是3的倍数, 中间那个奇数的3倍,每相邻三个偶数的和
这个数就是3的倍数。例如,234072各数位 也是中间那个偶数的3倍。
上的数之和为2+3+4+7+2=18是3的倍 3.奇数与偶数的性质
006
奇数±奇数=偶数 们可以用下面两种方法记忆它们。
偶数±偶数=偶数 (1)分类记忆法
奇数±偶数=奇数 可把100以内的质数分成四类,如下表
奇数×奇数=奇数 所示:
奇数×偶数=偶数 2 3 5 7 11 13 17 19
偶数×偶数=偶数 23 29
、 31 37 41 43 47四 质数与合数 53 59
61 67 71 73 79 97
1.质数与合数的定义 83 89
(1)质数:一个非0自然数,如果只有1 第一类:20以内的质数;
和它本身两个因数,这样的数叫做质数,也叫 第二类:十位是2,5,8的各有两个,个位
素数。例如,19只有1和19两个因数,所以 都是3、9;
19是质数。 第三类:十位是3,6的各有两个,个位都
(2)合数:一个非0自然数,如果除了1 是1、7;
和它本身以外,还有其他因数,这样的数叫做 第四类:十位是4,7的各有3个。十位
合数。例如,25除了1和25两个因数外,还 是4时,个位是1,3,7;十位是7时,个位是
有因数5,所以25是合数。 1,3,9;最后一个是97,刚好是把79的两个
注意:(1)最小的质数2;(2)没有最大的 数字对调。
质数,也没有最大的合数。 (2)歌谣记忆法
2.质数与合数的特点 可用下列歌谣帮助记忆:
(1)1只有1这个因数,所以1既不是质 二、三、五、七、一十一,
数,也不是合数。(2)最小的质数是2,没有 十三、十九、一十七;
最大的质数。(3)最小的合数是4,没有最大 二三、二九、三十一,
的合数。(4)质数的个数是无限的,合数的个 三七、四一、四十七;
数也是无限的。(5)2是偶数中唯一的质数。 四三、五三、五十九,
除2以外,其余质数都是奇数。(6)非0自然 六一、七一、六十七;
数可以分成1、质 数、合 数 三 七三、八三、八十九,
类。如图所示。(7)按照因数 再加七九,九十七。
的个数分类,质数只有两个因 4.质因数
数,合数至少有3个因数。 每个合数都可以写成几个质数相乘的形
3.100以内的质数 式,这几个质数都叫做这个合数的质因数。简
20以内的质数有2,3,5,7,11,13,17, 而言之,质因数首先是因数,而且又要是质数。
19,共8个,这些质数我们经常用到。100以 例如,15的因数有1,3,5,15。其中,3和5都
内的质数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29, 是质数,所以3和5都是15的质因数。
31,37,41,43,47,53,59,61,67,71,73,79, 5.分解质因数
83,89,97,共25个,这些质数也时常用到,我 把一个合数用几个质数相乘的形式表示
007
出来,叫做分解质因数。例如,12分解质因 倍数,2和3的最小公倍数是6。
数为12=2×2×3,即12有3个质因数:2, 显然,(1)几个数的公倍数有无限个。
2,3。注意:(1)只有合数才能分解质因数。 (2)最小公倍数就是几个数的公倍数中最小
(2)重复的质因数有几个就要写几次。 的一个。
6.分解质因数的方法 3.最 大 公 因 数 和 最 小 公 倍 数 的 符 号
分解质因数的方法一般有塔式分解法和 表示
短除法两种。例如,把60分解质因数: 几个数的最大公因数可以用符号“( )”
塔式分解法: 表示。几 个 数 的 最 小 公 倍 数 可 以 用 符 号
“[ ]”表示。例如,12和16的最大公因数
是4可以表示为(12,16)=4。或 12和16的
最小公倍数是48可以表示为 [12,16]=
48。同样道理,(3,4,5)=1,[2,3,5]
60=2×2×3×5 60=2×2×3×5
=30。
4.最大公因数的一般求法
短除法: 求几个数的最大公因数通常采用枚举
法、分解质因数法、短除法和小数缩倍法。
60=2×2×3×5 (1)枚举法:先分别列举出各个数的因
注意:(1)分解质因数时,要把被分解的 数,再从中找出它们的公因数,最后从公因数
合数写在左边,分解的结果写在右边,中间用 中找出最大的一个,就是最大公因数。
“=”连接。(2)通常把分解的质因数从小到 (2)分解质因数法:先把各个数分别分解
大排列,以便于观察分析。 质因数,再把这几个数全部公有的质因数连
五、最大公因数与最小公倍数 乘起来,所得的积就是这几个数的最大公
1.公因数与最大公因数 因数。
几个数公有的因数,叫做这几个数的公 (3)短除法:先用这几个数公有的质因数
因数,其中最大的公因数叫做这几个数的最 依次去除这几个数,一直除到各个商两两之
大公因数。例如,1、2、3、6都是12和18的 间只有公因数1为止,然后把所有的除数连
公因数,12和18的最大公因数是6。 乘起来,所得的积就是这几个数的最大公
显然,(1)最大公因数就是几个数的公因 因数。
数中最大的一个。(2)几个数的公因数只有 例如,求18和24的最大公因数可以这
有限个。 样解:
2.公倍数与最小公倍数 [解法一]枚举法:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公 18的因数有1,2,3,6,9,18,
倍数,其中最小的那个公倍数叫做这几个数 24的因数有1,2,3,4,6,8,12,24,
的最小公倍数。例如,6,12,18,24,…既是2 18和24的公因数有1,2,3,6,
的倍数,又是3的倍数,它们都是2和3的公 18和24的最大公因数是6。
008
[解法二]分解质因数法: [解法三]短除法:
18=2×3×3,24=2×2×2×3,
18和24都含有质因数2和3,所以它们
的最大公因数是2×3=6。 18和24的最小公倍数是2×3×3×4=72。
[解法三]短除法:
6.互质数
公因数只有1的两个数叫做互质数。例
如,1和2是互质数,3和5是互质数。a 和b
18和24的最大公因数是2×3=6。 是互质数又说成a 和b 互质。特别地,如果
5.最小公倍数的一般求法 两个数互质,那么这两个数的最大公因数是
求几个数的最小公倍数通常采用枚举 1,最小公倍数是这两个数的乘积。
法、分解质因数法、短除法和大数扩倍法。 7.互质数的简单判断法
(1)枚举法:先把各个数的倍数从小到大 (1)1和任何非0自然数互质。例如,1
分别列举出来,再从中找出它们的公倍数,最 和3,1和8,1和1都互质。(2)2和任何一
后从公倍数中找出最小的一个,就是最小公 个奇数互质。例如,2和3,2和9,2和333
倍数。 都互质。(3)相邻的两个自然数互质。例如,
(2)分解质因数法:先把各个数分别分解 8和9,35和36,1024和1025都互质。(4)
质因数,再把这几个数全部公有的质因数和 两个连续的奇数互质。例如,11和13,211
各自独有的质因数全部连乘起来,所得的积 和213都互质。(5)两个不同的质数互质。
就是这几个数的最小公倍数。 例如,2和7,17和37,31和97都互质。(6)
(3)短除法:先用这几个数公有的质因数 大数是质数的两个数互质。例如,4和11,8
依次去除这几个数,一直除到各个商两两之 和23,15和67都互质。(7)小数是质数,且
间只有公因数1为止,然后把所有的除数和 大数不是小数的倍数的两个数互质。例如,7
商连乘起来,所得的积就是这几个数的最小 和16,13和21,43和85都互质。
公倍数。 8.最大公因数的几种简单求法
例如,求18和24的最小公倍数可以这 (1)如果两个数是互质数,那么它们的最
样解: 大公因数就是1。例如,1和251互质,所以
[解法一]枚举法:18的倍数有18,36, 1和251的最大公因数是1。同理,17和56,
54,72,… 256和257的最大公因数都是1。
24的倍数有24,48,72,… (2)如果大数是小数的倍数,那么小数就
18和24的最小公倍数是72。 是这两个数的最大公因数。例如,28是7的
[解法二]分解质因数法: 倍数,所以28和7的最大公因数是7。同
18=2×3×3,24=2×2×2×3,所以18 理,8和1000的最大公因数是8。
和24的最小公倍数是(2×3)×(3×2×2) (3)如果两个数相同,那么它们的最大公
=72。 因数就是它本身。例如,1和1的最大公因
009
数是1,20和20的最大公因数是20,99和99 是这两个数的最小公倍数。
的最大公因数是99。 例如,100是25的倍数,那么大数100
9.最小公倍数的几种简单求法 就是100和25的最小公倍数;同理,18和72
(1)如果两个数是互质数,那么这两个数 的最小公倍数是72。
的积就是它们的最小公倍数。 (3)如果两个数相同,那么它们的最小公
例如,12和13互质,它们的最小公倍数 倍数就是它本身。
就是12×13=156;同理,17和56的最小公 例如,1和1的最小公倍数是1;7和7
倍数就是17×56=952. 的最小公倍数是7;123和123的最小公倍数
(2)如果大数是小数的倍数,那么大数就 是123。
数 学 好 题 精 粹
【典型题分析】 3.一个数既是80的因数,又是5的倍
例1 (泉州)写出24的所有因数。李 数,这个数可能是多少
强写出了7个:1,24,2,3,8,4,6。按照李强
的思考方法,你知道他漏写了排在( )后
面的( )。 【典型题分析】
分析:本题考查如何找一个数的因数。它有两 例2 (宿州)一个四位数8 6 ,能
个要求:(1)找出24漏掉的那个因数;(2)按照 同时被2,3,5整除,个位只能填( ),百位
李强的思考方法,找出漏掉的这个因数应排在 上最小可填( )。
哪个数的后面。根据24=1×24=2×12=3 分析:本 题 考 查 2,3,5 的 倍 数 的 特 征。
×8=4×6,与李强写出的7个因数一一对照, 8 6 能同时被2,3,5整除,也就是它
容易看出,他漏写了排在2后面的12。
同时是2,3,5的倍数的意思。它是5的倍
答案:2 12
数,个位上只能是0或5。它又是2的倍数,
反思提升:这道题看上去有很大难度,但是根
个位上的 里只能填0。它是3的倍数,各
据找因数的方法,依次写出积是24的乘法算
, 数位上的数的和就要是3的倍数
。这样8+
式后一一对照 问题就迎刃而解了。所以,面
对难题不要害怕,要充满信心,沉着应对。 +6+ 就要是3的倍数,故百位上最小
【举一反三】 可填1。
1.边长是整厘米数,面积是165平方厘 答案:0 1
米的形状不同的长方形共有( )个。 反思提升:根据题目意思,可以想到整数a
A.165 B.13 C.11 D.4 能被整数b整除,就说明整数a 是整数b 的
2.48名同学站成长方形队伍,一共有多 倍数,同时整数b 又是整数a 的因数。反之
少种不同的站法 (一行站1名同学或48名 亦然。
同学的情况除外) 【举一反三】
1.一个三位数46 , 里填( )
010
时,同时是2和3的倍数; 里填( )时, C.2M+7N D.2(M+N)
【典型题分析】
同时是2和5的倍数; 里填( )时,同
例4 (天津)有四个小朋友,他们的年
时是3和5的倍数。
龄是四个相邻的自然数。将他们的年龄数相
2.(上饶)7 8 里有因数2和3,同 乘,积是5040。这四个小朋友的年龄分别是
时是5的倍数,个位上能填( ),百位上最 ( )岁、( )岁、( )岁、( )岁。
大能填( )。 分析:本题考查分解质因数的灵活运用。由
3.(启东)从0,1,5,2中选择3个数字组 题意可知,只要将5040写成四个连续自然数
成 三 位 数,有 因 数 2 的 最 小 三 位 数 是 相乘的形式,就可以求出这四个小朋友的年
( );既是3的倍数又是5的倍数的最 龄。因此,先将5040分解质因数,再将分解
大三位数是( )。 成的质因数整理成四个连续自然数相乘的形
【典型题分析】 式,即5040=2×2×2×2×3×3×5×7=7
例3 (资阳)5个连续奇数的和是m,这 ×(2×2×2)×(3×3)×(2×5)=7×8×9×
5个奇数中最大的一个奇数是( )。 10,所以这四个小朋友的年龄分别是7岁、8
分析:每相邻两个奇数相差2。把5个连续 岁、9岁、10岁。
奇数从小到大排列,第一个比中间那个奇数 答案:7 8 9 10
少4,第五个比中间那个奇数多4,相加后刚 反思提升:先彻底分解质因数,再把质因数重
好是中间那个奇数的2倍。同理第二个与第 新组合,整理成符合题目要求的形式。
四个相加的和也是中间那个奇数的2倍。这 【举一反三】
样,5个连续奇数的和就是中间那个奇数的5 1.(铜仁)1~100各数中最大的质数是
倍,中间那个奇数就是m÷5。那么,这5个 ( ),最小的合数( );既是2和3的倍
奇数中最大的一个奇数就是m÷5+4。 数,又是5的倍数的最大两位数是( )。
答案:m÷5+4 2.(苏州)三个不同的质数x,y,z,满足
反思提升:n 个(n 为奇数)连续奇数(或偶 x+y=z,则x×y×z的最小值是( )。
数)的和等于中间那个数的n 倍。 A.6 B.15 C.20 D.30
【举一反三】 3.有一个长方体,前面与上面的面积之
1.(连云港)判断:如果a=b+1(b是非0 和是77cm2,如果这个长方体的长、宽、高都
自然数),那么a与b的积一定是偶数。 是质数。这 个 长 方 体 的 体 积 是 多 少 立 方
( ) 厘米
2.(沧州)用0,1,2组成的三位数中,偶
数有( )个。
A.4 B.2 C.3 D.1 【典型题分析】
3.(连云港)M 是一个奇数,N 是一个偶 例5 已知P=2×3×n,Q=3×3×n,
数,下面( )的值一定是奇数。 如果 P,Q 的最大公因数是15,那么n=
A.4M+3N B.3M+2N ( ),P,Q 的最小公倍数是( )。
011
分析:由P=2×3×n,Q=3×3×n 知,P,Q 一次”“每隔3天去一次”到底是什么意思。
公有的质因数是3和n,各自独有的质因数 否则,容易做错此题。我不妨从1号开始,试
分别为2,3。由于两个数的最大公因数是这 着分析。如下图所示:
两个数公有的质因数之积,所以3×n=15。 1 2 3 4 5 6 7 8 9
解得n=15÷3=5。P,Q 两数的最小公倍
10 11 12 13 14 15…
数是其全部公有的质因数和各自独有的质因
数之积,为3×5×2×3=90。 1 2 3 4 5 6 7 8 9
答案:5 90 10 11 12 13 14 15…
反思提升:观察比较P=2×3×n、Q=3×3 从1号开始,每隔2天去一次,去的日期
×n,可得P,Q 两数公有的质因数和各自独 依次是1,4,7,10,13,…,从图中可以看出,
有的质因数。思维过程如下图所示。 “每隔2天去一次”相当于每3天去一次。同
样道理,“每隔3天去一次”,相当于每4天去
一次。如果第一次同时去是1号,那么第二
【举一反三】 次同时去就是13号,即每过12天同时去一
1.(南京)( )都是合数,又是互质 次。也就是说,两人同时去敬老院后,再次同
数,而且它们的最小公倍数是120。 时去敬老院,经过的天数必须是3和4的公
A.12和10 B.5和24 倍数,即12天、24天、36天……
C.4和30 D.8和15 分析:(1)由题意可知,每过12天、24天、36
2.(辽宁)把自然数A 和B 分解质因数 天……她们又同时去敬老院。从7月7日到
得:A=2×5×7×N,B=3×5×N,如果A 7月31日过了24天,因此7月31日两人都
和B 的 最 小 公 倍 数 是 2310,那 么 N = 去敬老院。这样,8月份她们第一次去敬老
( ),A 和B 的最大公因数是( )。 院应该是8月12日。
3.两个数的最大公因数是12,最小公倍 (2)从7月7日开始到8月31日,她们
数是180,其 中 一 个 数 是60,另 一 个 数 是 同时去敬 老 院 的 日 期 为7月7日、7月19
( )。 日、7月31日,8月12日,8月24日。所以
【典型题分析】 她们一起去敬老院有5次。
例6 暑假期间,田田和苗苗去敬老院 答案:(1)8月份,她们第一次同时去敬老院
照顾老人。7月7日她们都去了敬老院,并 是8月12日。
约定田田每隔2天去一次,苗苗每隔3天去 (2)从7月7日到8月31日,她们一起
一次。 去敬老院有5次。
(1)8月份,她们第一次同时去敬老院是 反思提升:由上面的思路分析可知,“每隔2
几号 天去一次”与“每2天去一次”不是一回事。所
(2)从7月7日到8月31日,她们一起 以,解题时一定要咬文嚼字,仔细分析,弄清题
去敬老院有多少次 意。如果分析起来比较困难,还可以通过举具
分析:解本题的关键是要弄清楚“每隔2天去 体例子或者画出图形帮助思考,寻求突破。
012
【举一反三】 3.一行小树共36棵,原来每隔4米栽一
1.(北京)一块长方形铁皮,长96厘米, 棵树,现在由于小树长大了,必须改为每隔5
宽80厘米,要把它剪成同样大小的正方形且 米栽一棵,一共应有几棵小树不必移动
没 有 剩 余,这 种 正 方 形 的 边 长 最 长 是
( ),被剪成了( )块。
2.(荆州)六(3)班有学生40多人,如果
站成人数相等的6行后还余3人,如果站成
人数相等的7行则还差4人,六(3)班有学生
多少人
3.小 数
教 材 知 识 精 粹
一、小数的意义 二、小数的数位顺序表
1.小数的定义 1.小数的数位及计数单位
把整数“1”平均分成10份、100份、1000 写小数时,小数部分的数字所占的位置
份……这样的几份是十分之几、百分之几、千 叫做小数的数位。小数的计数单位也是按照
分之几……用小数表示就是零点几、零点零 一定的顺序排列的,小数点后面依次是十分
几、零点零零几……例如,3 ,25
位、百分位、千分位……这些数位对应的计数
10→0.3100→ 单位依 次 是 十 分 之 一、百 分 之 一、千 分 之
0.25。反过来看,一位小数表示十分之几,两 一……这些计数单位,相邻的两个之间进率
位小数表示百分之几,三位小数表示千分之 都是“十”,与整数一致。
几……例 如, 表 示 7, 5920.7 10 5.92
表 示 , 2.几位小数
100
一个小数的小数部分含有几个数位,这
1253
1.253表示 。1000 个数就是几位小数。例如,1.2是一位小数,
2.小数的组成 1.20是两位小数,0.003是三位小数。注意:
一个小数由整数部分、小数点和小数部 (1)几位数是针对整数而言的,几位小数是针
分这三个部分组成。例如,2.50的整数部分 对小数而言的。(2)一个小数是几位小数只
是“2”,小数部分是“50”。“0.25”的整数部分 跟它的小数部分有几个数字有关,跟它的整
是“0”,小数部分是“25”。 数部分没有关系。
013
3.小数数位顺序表
整数部分 小
数 小数部分
… 亿级 万级 个级 点
数 千 百 十 千 百 十… 亿 亿 亿 亿 万 万 万 万 千 百 十 个
十 百 千 万
位 位 位 位 位 位 位 位 位 位 位 位 位
· 分 分 分 分 …
位 位 位 位
计 十 百 千 万
数 … 千 百 十 千 百 十 一 分 分 分 分单 亿 亿 亿 亿 万 万 万 万 千 百 十 (个)· 之 之 之 之 …
位 一 一 一 一
三、小数的读法和写法 五、小数点的移动引起小数大小的变化
1.小数的读法 1.右移扩大:小数点向右移动一位、两位、
读小数时,整数部分按照整数的读法读, 三位……小数的值就依次扩大到原来的10倍、
小数点读作“点”,小数部分依次读出每个数 100倍、1000倍……例如,把4.03的小数点向右
字。例如,10.080读作十点零八零,6090.007 移动两位是403,扩大到原来的100倍。
读作六千零九十点零零七。 2.左移缩小:小数点向左移动一位、两
2.小数的写法 位、三位……小数的值依次缩小到原来的
写小数时,要先写整数部分,再写小数 1,1 ,1 ……例如,把50.2的小数点向
点,最后写小数部分。整数部分按照整数的 101001000
写法来写,整数部分是零的写作“0”,然后把 左移动一位,缩小到原来的1。
小数点写在个位的右下角,小数部分从高位 10
到低位依次写出每个数字。 六、小数的分类
四、小数的性质 1.按整数部分是否为0可分为:
1.小数的性质 纯小数:整数部分是0的小数叫做纯小
小数的末尾添上“0”或者去掉“0”,小数 数。例如,0.2,0.303都是纯小数。
的大小不变。 带小数:整数部分不是0的小数叫做带
注意:不在小数末尾的0不能去掉。例 小数,也叫混小数。例如,1.05,205.205都是
如,4.06十分位上的0不能去掉变成4.6。 带小数。注意:纯小数可以类比真分数、带小
2.小数性质的应用 数可以类比带分数来理解。
(1)将小数末尾的0去掉,化简小数。例 2.按小数部分的位数可分为:
如,1.20可以化简为1.2。 ì 有限小数

(2)在小数末尾添上0,将小数改写成指 ì无限不循环小数小数í
定位数。例如,将1.2改写成三位小数是 无限小数í 纯循环小数 无限循环小数
1.200。 {混循环小数
(3)把整数改写成小数。例如,把235改 说明:(1)有限小数又可以根据小数部分
写成两位小数是235.00。 的位数 分 为 一 位 小 数、两 位 小 数、三 位 小
数……
014
(2)各类小数的含义如下: 整数、小数比较大小,按下列步骤进行:
①有限小数:小数部分的位数是有限的 (1)先看整数部分,整数部分大的那个数就
小数。例如,2.3,360.00都是有限小数。 大;(2)整数部分相同,十分位上的数大的那
②无限小数:小数部分的位数是无限的 个数就大;(3)如果还相同,则继续比较后面
小数。例如,0.333…,π都是无限小数。 数位上的数……依次类推,直到比较出大小
③无限循环小数:小数部分从某一位起, 为止。
一个数字或几个数字依次不断重复出现的小 八、取近似值的方法
数。例如,2.3454545…是循环小数。 1.准确数与近似数
④无限不循环小数:一个小数的小数位 (1)准确数和近似数
数是无限的但又不循环,这样的小数叫做无 在人类的实践活动中,经常会遇到各种
限不循环小数。例如,圆周率π的值——— 各样的数据,有的数据是与实际完全符合的,
3.14159265358979…是无限不循环小数。 叫做准确数。而有些数据只是与实际大体符
⑤循环节:循环小数的小数部分依次不 合,或者说与实际数接近,这样的数叫做近似
断地重复出现的数字,叫做这个循环小数的 数。例如,六(3)班有46名同学。这里的
循环节。循环小数通常在第一个循环节的 “46”就是准确数。目前,中国有14亿人口。
首、尾两个数字上各加一个点表示。如果循 这里的“14亿”就是近似数。
环节只有一个数字,那么就在这个数字上加 (2)精确度
一个点。这种点称为循环点。例如,0.22… 精确度表示一个近似数的精确程度,一
· ··
“”, … 个近似数的近似值截取到哪一位,=0.2的循环节为 2 0.31414 =0.314的 就说这个
循环节为“14”。 数精确到那一位
。例如,圆周率π是一个无
。 ,
⑥纯循环小数:循环节从小数部分第一 限不循环小数 在实际计算时 通常取π≈
, ,
位就开始的循环小数叫做纯循环小数。例 3.14 也就是精确到百分位 或者说精确到小
· · 数第二位,也可以说成保留两位小数。
如,6.213是纯循环小数。
2.求近似数的方法
⑦混循环小数:循环节不是从小数部分 近似数是把一个数按照具体的要求截取
第一位开始的循环小数叫做混循环小数。例
到指定的数位而得到的。求近似数一般有以
··
如,13.245是混循环小数。 下三种方法。到底用哪一种方法,应该根据
七、整数、小数的大小比较 实际问题或具体要求而定。
方法名称 四舍五入法 进一法 去尾法
按需要截取到指定的数位后,如果尾数 在 截 取 近 似 数
的最高位上的数是4或比4小,就把尾 在截取近似数时,不管尾数的最 时,不管尾数的
具体做法 数都舍去(四舍);如果尾数的最高位上 高位上的数是多少,都向前一位 最 高 位 上 的 数
的数大于或等于5,把尾数舍去后,再向 “进1”。 是 多 少,都 要
它的前一位“进1”(五入)。 去掉。
015
数 学 好 题 精 粹
【典型题分析】 看小数第一位是几。小数第一位是9,保留
例1 (肥城)判断:0.58和0.580大小相 整数省略尾数时要向个位进1,得10。精确
等,意义相同,计数单位也相同。 ( ) 到十分位,就看小数第二位是几。小数第二
分析:根据小数的性质,在0.58的末尾添上一 位是5,省略尾数时要向十分位进1。原来的
个0后大小不变,故0.58和0.580大小相等。 十分位是9,加上进上来的1后是10。这时
但是,0.58的计数单位是0.01(即百分之一), 在十分位写0,再向个位进1,得10.0。精确
0.58表示由58个0.01组成的数,而0.580的 到百分位,就看小数第三位是几。小数第三
计数单位是0.001(即千分之一),0.580表示由 位是4,直接省略尾数,得9.95。第(2)题,一
580个0.001组成的数。所以,0.58和0.580的 个三位小数,“四舍五入”后约是0.20。如果
意义不相同,计数单位也不相同。 是“四舍”后得0.20,那么原来的小数千分位
答案:× 上最大是4。即原来的小数最大是0.204。
反思提升:本题要对0.58和0.580的大小是 如果是“五入”后得0.20,那么原来的小数千
否相等、意义是否相同、计数单位是否相同进 分位上最小是5。省略尾数后,千分位上向
行判断。这三者当中只要有一个错误,本题 百分位进1后是0,所以原来的百分位是9,
就要画×。 十分位是1。即原来的小数最小是0.195。
【举一反三】 答案:(1)10 10.0 9.95 (2)0.204 0.195
1.不改变数的大小,把5.4改写成计数 反思提升:一个小数取近似数,精确到哪一
单位是千分之一的数是( ),改写成计 位,只要看它的下一位是几。省略尾数时,用
数单位是百分之一的数是( )。 “四舍五入”法。有时要分“四舍”“五入”两种
2.(北师大附中)在200.02中,从左往 情况分别考虑。有时要连续进位,不能出错。
右第一个“2”所表示的数是最后一个“2”所表 【举一反三】
示的数的( )倍。 1.(南京)9.054是( )位小数,精确
3.(衡水)下列各数中,去掉“0”而大小 到十 分 位 是 ( ),保 留 两 位 小 数 是
不变的是( )。 ( )。
A.4.00 B.400 C.0.04 D.0.40 2.(合肥)一个两位小数用“四舍五入”
【典型题分析】 法保留整数得到的近似数是8,这个小数最
例2 (1)9.954保留整数约是( ), 大是( ),最小是( )。
精确到十分位约是( ),精确到百分位约 3.一个三位小数保留两位小数后是3.47,
是( )。 这个三位小数最大是( ),最小是( )。
(2)一个三位小数,“四舍五入”后约是 A.3.474 B.3.479
0.20。这个 小 数 最 大 是( ),最 小 是 C.3.475 D.3.465
( )。 【典型题分析】
分析:第(1)题,9.954保留整数取近似数,就 例3 (无锡市)一个数的小数点向左移
016
动两位,得到的数比原数少34.65,原数是 油30升,余下的2升油还需要1只油瓶装才
( )。 行。故需要6+1=7(只)这样的油瓶。
分析:根据小数点移动引起小数大小变化的 解:32÷5=6(只)……2(升)
规律,一个数的小数点向左移动两位,得到的 6+1=7(只)
1 答:需要7只这样的油瓶。
数是原数的 ,反过来看,原数就是现在数
100 反思提升:(1)取近似值的方法通常有三种:
的100倍。这样,现在数的99倍就是34.65。 四舍五入法,进一法,去尾法。(2)一般情况
34.65÷99=0.35,即现在的数是0.35。此 下,计算题通常用“四舍五入法”取近似值。
时,再把0.35的小数点向右移动两位就得到 (3)实际问题通常根据题目的实际意义和具
原数,原数是35。 体要求,决定取近似值的方法。(4)根据实际
答案:35 情况,本题用“进一法”取近似值。
反思提升:本题根据小数点移动引起小数大 【举一反三】
小变化的规律求解。为了避免出错,需要倒 1.做一顶蚊帐要用涤纶纱布18米,100
过来思考,即“反过来看”。 米涤纶纱布能做多少顶这样的蚊帐
【举一反三】
1.(天津)一个数的小数点向右移动一
位,得到的数比原数大10.8,原数是( )。
2.(宿迁)在一次捐款活动中,班长记录 2.某型号卡车一次运货8吨,用这种卡
时把一个同学的捐款钱数的小数点点错了一 车运25吨货物,需运多少次
位,结果捐款总数多出64.8元。这个同学的
实际捐款钱数应该是( )元。
3.甲、乙两数的和是7.26,如果把乙数
的小数点向右移动一位,则甲、乙两数相等。 3.一个长方形,长8.6米,宽2.3米,它
甲数是( ),乙数是( )。 的周长是多少(得数保留整数) 面积是多少
【典型题分析】 (精确到个位)
例4 一只油瓶装油5升,装32升油需
要多少只这样的油瓶
分析:一只油瓶装油5升,问装32升油需要
多少只这样的油瓶,就要看32升里有几个5
升。32÷5=6(只)……2(升)。6只油瓶装
017
4.分数与百分数
教 材 知 识 精 粹
一、分数的意义 3.分数的组成
1.单位“1” 一个分数由分数线、分母、分子三个部分
一个物体、一个计量单位或者许多物体 组成。分数线表示平均分,分母表示把单位
组成的一个整体都可以看作单位“1”。例如, “1”平均分成的份数,分子表示取的份数。
1个蛋糕可以看作单位“1”,一个班的人数可 4.分数与除法的关系
以看作单位“1”。5个蛋糕作为一个整体,也 (1)两个数相除,可以写成分数形式:被
可以看作单位“1”。 被除数除数÷除数= 。用字母表示为:除数 a÷b2.分数、分数单位
把单位“1”平均分成若干份,表示这样的 a= (b≠0)。b
一份或几份的数叫做分数。例如,把一根绳
(2)分数与除法之间存在对应关系。被
子平均剪成8段,每段是绳长的
1,
8 3
段就是 除数对应分子,除数对应分母,商对应分数
3 值。特别地,在除法中,除数不能为0,那么绳长的 。
8 在分数中,分母不能为0。
在分数中,表示其中的一份的数叫做分 (3)不同点:分数是一个数,而除法是一
。
数单位。例如,3
种运算
的分数单位是1。3可以
8 8 8 二、分数的分类
看成是由 个13 组成的。又如,
1的分数单 1.真分数、假分数与带分数
8 2
(1)真分数和假分数
位是1。注意,分数单位都是几分之一。
2
类别 定义 与1比较 举例
分子 比 分 母 小 的 分 数 叫 做 真
真分数 真分数都小于1 1、3、5都小于
分数。 2 4 8
1
分子比分母大或分子和分母相等 假分数大于1 3、7、16都 大 于 1,
2、10都 等
假分数 2 5 9 2 10
的分数叫做假分数。 或者等于1 于1。
注意:分子是分母倍数的假分数实际上是整数。
(2)带分数 数。例如,12 就是一个带分数。其中,2叫
分子不是分母倍数的假分数,可以写成 3
整数和一个真分数合成的数,称为带分数。 做带分数的整数部分,1叫做带分数的分数
3
顾名思义,带分数就是整数带着一个真分
部分。
018
2.真 分 数、假 分 数 和 带 分 数 之 间 的 之五。
关系 写法:写真分数或假分数时,先写出分
分数按照分子、分母的大小关系可以分 数线,再写分母,最后写分子。
成真分数和假分数。假分数又可以分成整 (2)带分数的读法与写法
数或带分数,其关系如下: 读法:先读带分数的整数部分,再读分
ì真分数 数部分,并在两者之间加读“又”字。例如,

分数 í 整数 3
假分数{ 14 读作十四又五分之三。 带分数 5
3.真分数、假分数与带分数的读写 写法:写带分数时,先写带分数的整数
(1)真分数、假分数的读法与写法 部分,后写分数部分。
读法:先读分母,再读“分之”,后读分 4.假分数与整数或带分数的互化
2 5 (1)假分数化成整数或带分数的方法子。例如, 读 作 三 分 之 二; 读 作 四 分
3 4
方法 结果 举例
分子是分母的倍数时,化成整数,商就是这个倍数。 12
用假分数的分子 3
=12÷3=4
除以分母 分子不是分母的倍数时,化成带分数,商是带分数的整数 17 2
=17÷5=3
部分,余数是分数部分的分子,分母不变。 5 5
(2)整数或带分数化成假分数的方法
类别 方法 举例
( ) 把 化成分母是 的假分数:整数化成 用指定的整数 0除外 作为分数的分母,用分母和这个 4 3
假分数 整数的乘积作分子。 4×3 124= 3 =3
带分数化成 用原来的分母作分母,用分母和整数的乘积再加上原来 3 6×7+3 45
6 = =
假分数 的分子所得到的和作分子。 7 7 7
三、分数的基本性质 变化
1.分数的基本性质 (1)分数的分母不变,分子乘(或除以)
分数的分子和分母同时乘或除以相同 n(n≠0),分数值也乘(或除以)n。
的数(0除外),分数的大小不变。这叫做分 (2)分数的分子不变,分母乘(或除以)
数的基本性质。 n(n≠0),分数值除以(或乘)n。
(1)说明:分数的基本性质是约分、通分 3.约分
的依据。(2)分数的基本性质可用口诀:“基 (1)最简分数
本性质超好记,分子、分母步调齐。同乘、同 分子和分母只有公因数1的分数叫做
除非0数,大小不变特神奇。”帮助记忆。 最简分数。例如,2,3都是最简分数。
3 2
2.分子或分母的变化引起的分数值的
019
(2)约分的定义 较大小时,我们可以先分别求出它们与1的
利用分数的基本性质,把一个分数化成
差,差较小的分数比较大。例如,比较13与
和它相等,但分子和分母都比较小的分数, 16
叫做约分。通常约分应约到最简分数为止。 12的大小。先作差, 13 3, 12
15 1-16=161-15=
注意:无论用哪种方法来约分,约分不
3 3 3 13 12
能改变分数的大小。 。因为 ,所以 。15 16<15 16>15
4.通分 (2)化相同分子法
(1)通分的定义 把分子不同的分数化成同分子分数比
把异分母分数分别化成和原来的分数 较大小,有时候会比通分法更简便、快捷。
相等的同分母分数,叫做通分。通分时所化
例如,比较3与9的大小。因为3 9= ,
9
成的相同的分母叫做公分母。其中最小的 13 40 13 3939
公分母叫做这几个异分母分数的最小公 9> ,所以
3 9
> 。
分母。 40 13 40
() ()化小数法2 通分的方法 3
先把两个分数化成小数,再根据小数比
先求出几个分数的分母的最小公倍数,
用它作为这几个分数的公分母,然后依据分 较大小的方法进行比较。例如,比较4与3
5 4
数的基本性质,把原来的几个分数都化成以
4 3
公分母为分母的分数。 的大小。先化小数, =0.8, =0.75,因为5 4
四、分数的大小比较 4 3
0.8>0.75,所以 > 。
1.同分母分数的大小比较 5 4
分母相同的两个分数,分子大的分数比 (4)倒数法
4 3 先比较两个分数的倒数,倒数小的分数较大。例如,
7>
。
7
比较大。例如,比较4与7的大小。4的倒
2.同分子分数的大小比较 5 8 5
分子相同的两个分数,分母小的分数比 数为5 1 7 8 1 1
4=1
, 的倒数为 ,
4 8 7=17 14>
较大。例如,3 3
5<
。
4 11 ,所以
4 7。
7 5<8
3.异分母分数的大小比较
五、倒数
分母不同的两个分数比较大小,一般先通
1.倒数的定义
分,再比较。例如,比较4与5的大小。先通
7 8 乘积是1的两个数互为倒数。1的倒
分,4 32,5 35。因为32 35 4 5
数是1,0没有倒数。
7=568=56 56<
,所以 。
56 7<8 2.倒数的求法
4.分数比较大小的特殊方法 求一个数(0除外)的倒数的一般方法
(1)与1比较法 是:把这个数的分子、分母调换位置。要正
当两个真分数都比较接近1,却难以比 确、迅速地求一个数的倒数,最好根据下面
020
几种情况区别对待。 百分数时,先写分子,再写“%”。
(1)求真分数或假分数的倒数,只要把 3.百分数的读法
一个百分数,“%”前面的数是几,我们
这个分数的分子、分母调换位置。例如,5
8 就把 这 个 百 分 数 读 作 百 分 之 几。例 如,
的倒数是8,7的倒数是4。特别地,分数 12.5%读作:百分之十二点五。
5 4 7
4.百分数与分数的区别和联系
单位 的 倒 数 就 是 分 母。例 如,1 的 倒 数 (1)百分数只能表示“率”,不能用来表13
示具体的数,不能带单位。而分数既可以表
是13。
示“率”,即谁是谁的几分之几,又可以表示
(2)求一个带分数的倒数,先把这个带
量的多少。例如,说“5%米”是不正确的,但
分数化成假分数,再把分子、分母调换位置。
1 5
1 1 7 “ 米”“ 米”却是正确的表述。例如,求3 的倒数。因为3 = ,所以 20 1002 2 2
(2)百分数的分子可以是整数,也可以
1
3 的倒数是
2。
2 7 是小数。而分数的分子通常是整数。
( 七、小数、分数与百分数之间的互化3)非0自然数的倒数,是以这个自然
、 。 , 1.小数、分数的互化数为分母 1为分子的分数 例如 5的倒数
(1)小数化分数:原来有几位小数就在
是1, 112的倒数是 。特别地, 的倒数是5 12 1 1后面写几个0作分母,把原来的小数去掉
1 小数点作分子,能约分的要约成最简分数。,也就是1。1
例如, 43, 125 10.43= 0.125= 。
(4)求一个小数的倒数,先把这个小数 100 1000
=8
化成分数,然后再把分子、分母调换位置。 (2)分数化小数:直接用分子除以分母
1 即可(有时须按题目要求写成几位小数的形例如,求3.2的倒数。因为3.2=35= 式)。注意,带分数化小数时,可以直接将带
16 5 分数的整数部分写成小数的整数部分。例,所以
5 3.2
的倒数是 。
16
如,1 1
、 3=1÷3=0.333
…,2 。
六 百分数的认识 5=2.2
1.百分数的意义 2.小数、百分数的互化
表示一个数是另一个数的百分之几的 (1)小数化百分数:小数点向右移动两
数叫做百分数。百分数也叫百分率或百分 位,再添上%。例如,0.3=30%,21.363=
比。百分数的计数 单 位 是“1%”。例 如, 2136.3%。
25 (2)百分数化成小数:小数点向左移动
25%表示一个数是另一个数的 。100 两位,去掉%。例如,50%=0.5,120%=
2.百分数的写法 1.2。
百分数是分母为100的分数,是分数的 3.分数、百分数的互化
特例。百分数通常用百分号“%”表示。写 (1)分数化百分数:先把分数化成小数,
021
再按小数化百分数的方法化成百分数。例 应纳税额与各种收入(销售额、营业额……)
。
如,3=0.75=75%。
的比率叫做税率
4 (2)利率:人们常把暂时不用的钱存入
(2)百分数化分数:先写成分母是100 银行储蓄起来。存款分为整存整取、零存整
的分数,再约分成最简分数。例如,45%= 取等多种方式。存入银行的钱叫做本金,取
45 9。 款时银行多付的钱叫做利息。利息与本金
100=20
的比值叫做利率,利率常用百分数表示。利
4.判断一个分数能否化成有限小数的
率随着国家市场经济的调节而波动。利息
方法
的计算公式是:利息=本金×利率×存期。
首先,看这个分数是不是最简分数。如
2.成数和折扣
果不是,先把它约分成最简分数。其次,看
(1)成数:工农业生产中,经常用“成数”
分母。这时,分下面三种情况:(1)如果分母
表示生产的变化情况,几成就是十分之几,
中只含有质因数2和5,则能化成有限小
也可以用百分数表示,几成就是百分之几
数。例如,1 1
4=0.25
,
125=0.008
。(2)如果 十。例如,“五成”就是十分之五,也就是百
分母中除了2和5以外,还有其他的质因 分之五十。
数,则不能化成有限小数,这时化成的是混 (2)折数:在商品销售时,经常用到“折
1 数”,打折就是按折数低价出售商品。几折循环小数。例如, =0.1666…。(3)如果6 就是十分之几,化成百分数就是百分之几
分母中不含有质因数2和5,则不能化成有 十。例如,八折是80%,八五折是8.5折的
限小数,这时,化成的是纯循环小数。例如, 意思,也就是85%。显然,同种商品,折数
1 · ·。 越低,价格越低。
7=0.142857 3.常见的百分率有:
八、小数、分数和百分数的大小比较
() 出勤人数
比较的原则是:整体把握,灵活处理。 1 出勤率= 总人数 ×100%
宏观上,可以把要比较的几个数都化成小
( 发芽种子数2)发芽率= ×100%
数,再根据小数比较大小的法则进行比较。 种子总数
微观上,也可以根据题目中各数据的特点, () 合格产品数3 合格率= 产品总数 ×100%
把容易比出大小的先比较。
() 成活棵数九、百分数的实际应用 4 成活率=树木总棵数×100%
1.税率和利率
() 面粉质量( 出粉率1)税率:纳税是根据税法的有关规定, 5 =小麦的质量×100%
按照一定的比率把集体或个人收入的一部 ( 糖的质量6)含糖率= ×100%
分缴纳给国家。缴纳的税款叫应纳税额。 糖水的质量
022
数 学 好 题 精 粹
【典型题分析】 A.第一根长 B.第二根长
例1 (无锡)一根15米长的绳子对折3 C.一样长 D.无法确定
( )
, , 【典型题分析】次 每 一 段 是 绳 长 的 ( )
每 段 长 是
例 ( )4( ) 。 2 上海 的分子加上 ,要使分 米 15 12
分析:一根绳子,对折一次,就折成了长度相 数的大小不变,分母应加上( )。
等的2段;再对折一次,就折成了长度相等的 分析:本题最容易想到的是利用分数的基本
2×2=4(段);再对折一次,就折成了长度相 性质求解。分子4加上12是16,即“分子×
等的4×2=8(段)。由此可见,对折3次,相 4”,要使分数大小不变,应使“分母×4”,得
当于把这根绳子平均分成8段,每段是绳长 15×4=60。60-15=45,故分母应加上45。
1
的 。因为这根绳长是15米,所以每段长是 4 4+128 本题也可以列方程解。15=
,解得
15+x x
15 。 =45。米
8 答案:45
答案:1 15 反思提升:(1)要利用分数的基本性质解题,8 8
: “ ” 应将
“加上”(或“减少”)转化成“乘”(或“除
反思提升 正确理解 对折3次 的数学含义
以”。)(2)解选择、填空、判断题时,并没有指
是顺利解答本题的关键。找一根绳子折一
, 定用哪种方法解,可以列方程求解。折 或者画出图形想一想是有效的方法。
【 】 【举一反三】举一反三
1.(盐城)一个蛋糕4千克,把它平均分 ( 1 51. 四 川)大 于 且 小 于 的 分 数 有8 8
给10 个 小 朋 友,每 人 分 得 这 个 蛋 糕 的 ( )个。
( ),每份重( )千克。
A.1 B.3 C.4 D.无数
2.(北京)一根绳子,第一次用去
1米,第
2 2 ( )若 32.抚州 < < ,则 里可以
二次用去1
5 20 4
。第( )用去的数量可用百分2 填的最小自然数是( )。
数表示。 3.(六安)一个真分数加上它的一个分
A.一次 B.二次 数单位得1,减去它的一个分数单位得
4,这
C.都可以 D.都不可以 5
个真分数是( )。
3.(日照)有两根铁丝,第一根用去
2米,
5 【典型题分析】
9 ( )
第二根用去2,剩下的一样长,两根铁丝原来 例
5 3 ( )= 20 =0.25=12∶
的长度相比,( )。 ( )=( )%
023
分析:本题中,0.25是一个完整的数。根据 反思提升:本题要从六个数中选出最大数和
1, , 最小数,除了上述通用方法外,还可以采用逐0.25= 利用分数的基本性质及比的性质4 2
9 (5) 1 步淘汰中间数的方法。例如,一看便知, =
易得(36)=20=4=12∶
(48)。0.25化成 3
2
百分数,只要把小数点向右移两位,加上“%” 0.666…,66.06%=0.6606, 和3 66.06%
介于
即可。 0.6与0.67之间,所以首先将其淘汰,再进一
答案:36 5 48 25 步比较剩下四个数的大小。
反思提升:0.25是一个完整的数,通常以此 【举一反三】
为突破口。 3
【举一反三】 1.(沈阳)在1.66,1.6,1.7%和 这四个4
1.( )
16
北京 ( )=24∶( )
, ( ),
=0.8=
数中 最 大 的 数 是 最 小 的 数 是
( )。
( )÷10=( )%=( )成 · 9
2.(南通)下面的分数中能化成有限小 2.(连云港)把0.9,0.909, , 按从109%
数的是( )。 大到小的顺序排列是( )。
2 17 5 9
A. B. C. D. 3.在下列数的小数部分直接加上循环13 21 16 23
点,使得排列顺序符合要求。
3.(芜湖)下面的分数中,不能化成有限
( 3.1416>3.1416>3.1416>3.1416 小数的是 )。
【典型题分析】
7 21 3 3
A.10 B.28 C.8 D.7 例5 (启东)在含盐30%的盐水中加入
【典型题分析】 3克 盐 和 10 克 水,这 时 盐 水 的 含 盐 率
2 5 ( )30%。例4 (武 汉)在 , , , ,3 66.06% 0.6 7 A.大于 B.小于
·
0.67,0.6这六个数中,最大的数是( ), C.等于 D.无法比较
最小的数是( )。 分 析:
盐的质量
含 盐 率 = ×100% =
分析:本题是分数、小数、百分数比较大小,通 盐水的质量
用的方法是:统一转化为小数后再比较。 盐 ×100%。由此可见,含盐盐+水 30%
的盐
2 · 5
3 =0.6
,66.06% =0.6606,7 = 水中,盐 占3份,水 占7份。这 样 在 含 盐
· · · 30%的盐水中,如果加入3克盐和7克水,其
0.714285,而0.6<0.6606<0.6<0.67<
· · 含盐率不变。而现在加的是10克水,比7克
0.714285。 多,故现在的含盐率小于30%。
· 2 5
即0.6<66.06%<0.6= <0.67< 。 答案:3 7 B
5 反思提升:百分数的简单应用,需要根据公式答案:
7 0.6 和题目特点,灵活思考,寻找合适的解题思路。
024
【举一反三】 2.(淮安)一批种子的发芽率是95%,要
1.(南京)首饰的含金量用“12K”“18K” 想保证成活300粒,至少需要种( )粒。
“24K”等 来 表 示。“12K”表 示 含 金 量 是 3.(福州)王伯伯栽下50棵树苗,有3棵
50%,“24K”表 示 含 金 量 是 100%,那 么 没有成活,成活率是( );如果要使成活
“18K”表示的含金量是( )。 率达到98%,最多只能有( )棵没有
A.65% B.75% C.80% D.90% 成活。
5.负数的认识
教 材 知 识 精 粹
一、负数的意义 “+”称为正号。
1.相反意义的量 (2)负数的定义
在日常生活和生产实践中,人们经常碰
像 1-3,-7 ,-0.99,…这样小于0的
到收入与支出、增加与减少、向东与向西、胜 2
与负、零上温度与零下温度、海平面以上与海 数叫做负数。负数前面的“-”称为负号。
:() 。
平面以下这些成对出现的量。这些量的共同 说明 1 正数前面的正号可以省略 也
,“ ” “ ”
特点是:()属于同一种类型;()意义相反。 就是说 +120 与 120 这两个数是一回事,1 2
。 都是正数。(2)负数前面的负号不能省略。我们称其为相反意义的量
例如,“-3”省略负号就变成正数“2.相反意义的量的表示 3
”了。
()既不是正数,也不是负数,它是正数和负
具有相反意义的量,通常用正数和负数 30
来表示。例如,同样是“100元”,
数的分界。写0时,它的前面既不加正号,也增加100元
不加负号。
和减少100元的意义是不一样的。通常增加
二、正、负数的读写
100元可以记作“+100元”,那么减少100元
正、负数的读法
就记作“-100元”。同样道理,如果向东走
1.
带“+”号的数,先读“正”,“+”号后面是
20米记作“+20米”,那么向西走1.5米就记
几,这个数就读“正几”。不带“+”号的数,按
作“-1.5米”。这里的+100、+20都是正
原来的读法读。读负数时,先要读“负”,再读
数,-100、-1.5都是负数。
“-”号后面的数。例如,+2.5读作正二点
3.正数、负数的定义
五;
() 2.5
读作二点五;-309读作负三百零九。
1 正数的定义
2.正、负数的写法
以前学过的像 3120,3.5, ,…这样大于4 写正数时,可以先写一个“+”号,再写出
0的数都是正数。正数前面通常添上“+” 数字;也可以不写“+”号,直接写出数字。写
3 负数时,一定要在前面先写一个“-”号,再写号,例如+120,+3.5,+ 。正数前面的4 数字。
025
三、正、负数的大小比较 大,因此负数都比正数小。即:负数<0<正数。
1.数轴 3.正、负数的大小比较
(1)两个正数按原来的方法比较大小。
像上面这样表示出正数、0和负数的直 例如,+203小于+302。
线,叫做数轴。 (2)负数与正数比较:所有的负数都小于
2.借助数轴比较两个数的大小 正数。例如,-100比+3小。
(1)在数轴上,从左到右的顺序就是数从 (3)负数与负数比较:负数与负数比较大
小到大的顺序。例如,-2在-5的右边,所 小,可以先比较与其对应的两个正数的大小,
以-2比-5大。 对应正数大的那个负数反而小。即:负得越
(2)所有的负数都在0的左边,即负数都比 多,就越小。例如,-2与-5比较,先比较2
0小;所有的正数都在0的右边,即正数都比0 和5,2比5小,所以-2比-5大。
数 学 好 题 精 粹
【典型题分析】 准重的误差,把净重243g记作+3g,那么净
例1 (济源)六(1)班在一次数学测验 重238g记作( )g.
中的平均成绩是95分,老师为了便于把每名
在 ,, 13. 101 ,
2
-3,-0.15,+4,-
同学的成绩与平均成绩作比较,就把100分 4 3
记作+5分,按这种方法,92分应记作( ) 中,正整数有( ),负数有( ),
分;-5分表示实际得分是( )分。 自然数有( )。
分析:这位老师把平均成绩95分作为标准, 4.(海安)一袋面粉的包装袋上标有“净
把100记作+5分,也就是把得分超过95分 含量:25±0.25千克”字样,下面( )可能
的部分记作正数,那么低于95分的部分就应 是这袋面粉的质量。
该记 作 负 数。由 于92分 低 于95分3分 A.24.70千克 B .24.80千克
(95-92=3),所以记作-3分,而-5分表示 C.25.30千克 D.25.51千克
低于95分5分,应该是95-5=90(分)。 【典型题分析】
答案:-3 90 例2 (南昌)一台冰箱冷藏室的温度是
反思提升:对于具有相反意义的量,通常都是 4℃,冷冻室的温度比冷藏室低12℃,则冷冻
根据问题的实际意义,多于、上升、增加、零 室的温度是( )℃。
上、收入等往往用正数表示;相应地少于、下 分析:冷藏室的温度是4℃即零上4℃,0℃比
降、减少、零下、支出等就用负数表示。 零上4℃低4℃。冷冻室的温度比冷藏室低
【举一反三】 12℃,它就要比0℃再低12-4=8(℃),即零
1.如 果 把 逆 时 针 方 向 旋 转 一 周 记 作 下 8℃。零 下 8℃ 应 该 用 负 数 表 示,就
+360°,那么-90°表示( )。 是-8℃。
2.(潍 坊)一种 袋 装 食 品 的 标 准 重 为 答案:-8
240g,质检人员为了记录每一袋的净重与标 反思提升:(1)本题难度较大,故采取了分段
026
思考的 策 略,其 中,0℃起 到 了 桥 梁 作 用。 全班的平均分高出5分,记作+5分,若小红
(2)对于难度较大的题目,也可以借助数轴进 的 分 数 记 作 -3 分,则 小 明 比 小 红 多
行分析。 ( )分。
3.(石家庄)文具店、书店和玩具店依次
坐落在一条东西走向的大街上,文具店在书
【举一反三】 店西边20米处,玩具店位于书店东边100米
1.(厦门)如图 ,现在蜗牛的位置在0 处,小明从书店沿街向东走了40米,接着又
处,每走1格表示1m,蜗牛向东行4m后,又 向 东 走 了 -60 米,此 时 小 明 的 位 置 在
向西行5m,这时蜗牛的位置在( )处。 ( )。
A.文具店 B.玩具店
( ) , 文具店以西 米2.济南 在一次考试中 小明的分数比 C. 40
预 设 考 题 精 粹
一、用心思考,细心填写。
1.从0,1,5,9中任选三个数字组成的所有三位数中,最大的是( ),最小的是
( );组成的所有四位数中,最大的是( ),最小的是( )。
2.(杭州)23AA是一个四位数(相同字母表示相同的数字)。若这个四位数既是2的倍
数,也是3的倍数,则这个四位数可能是( );若这个四位数既是3的倍数,也是5的倍
数,则这个四位数是( )。
3.(绍兴)如图,直线上的点A 表示的数是( ),如果点B 在3处,且C 是线段AB
的中点。那么点C 表示的数是( )。
4.(丽水)一个数由3个百、7个一、6个十分之一、4个百分之一组成,这个数是( ),
读作( ),精确到十分位是( ),保留整数是( )。
·
5.(汕尾)把
9
0.81,0.81,82%, 按照从小到大的顺序排列起来:(11
)。
已知5 7 16. >( ,则括号里能填写的整数有( )。6 )>2
7.(苍溪)把一根4米长的圆木截成一样长的5段,每段是全长的( ),每段长
( )米。如果截断圆木一次需要3分钟,共需( )分钟才能截好。
8.一个三角形的三条边长分别为15米、18米和27米,要给它的三条边栽树(三个顶点都
栽),且相邻两棵树的间距都相等,则最少需要准备( )棵树苗。
9.(徐州)用长6厘米、宽4厘米的长方形木板拼正方形,至少需要( )块这样的木板
才能拼成一个最小的正方形。
027
10.(安庆)“六一”期间永丰超市儿童商品大减价,某玩具“买四送一”,亮亮一次买了5个
这样的玩具(含送的1个),他相当于享受到了 ( )折优惠。
二、仔细推敲,准确判断。
1.最小的一位数是0。 ( )
2.两个自然数的倒数之和是
1,这两个自然数是3和2。 ( )2
3.一个分数的分数单位越大,分数值就越大。 ( )
3 1
4.1米的 与5 3
米的 一样长。 (
5
)
5.无限小数一定是循环小数。 ( )
6.正整数a,b满足a>b,则a+b与a-b的奇偶性相同。 ( )
三、反复比较,慎重选择。
1.下列与310万最接近的数是( )。
A.3081000 B.3097999 C.30109999 D.3099997
2.分别用2,3,5,6这四个数作分子和分母组成一个分数,其中最简分数共有( )个。
A.3 B.4 C.6 D.8
3.(滨州)如果一个数恰好等于它的所有因数(本身除外)相加之和,那么就称这个数是
“完美数”。例如:6有四个因数1,2,3,6,除本身6以外的三个因数1,2,3的和为1+2+3=6,
所以6是“完美数”。下面的数中是“完美数”的是( )。
A.9 B.12 C.15 D.28
4.把一个数扩大到它的100倍后,再缩小到它的一半是0.6,原来这个数是( )。
A.0.03 B.0.012 C.0.003 D.0.006
5.(
2
邯郸)在-9,0,15,-100,+8,-25,-4.8, 这八个数中,下列说法中正确的是3
( )。
A.正数有1个 B.正数有3个 C.正数有4个 D.负数有3个
6.(嘉兴)小丽的爸爸每上班3天休息1天,妈妈每上班4天休息1天。6月1日他们同时
在家休息,那么下一次同时在家休息是( )。
A.6月12日 B.6月13日 C.6月20日 D.6月21日
1
7.(北京)11路公交车,开到中山公园站时,车上人数的 先下车后,又上来这时车上人数6
的1,那么,上车的人数和下车的人数相比较,( )。6
A.上车的多 B.下车的多 C.同样多 D.无法确定
8.(长沙)某种药品的进价为100元,零售价为120元,该药品的利润率为( )。
A.20% B.25% C.22.5% D.无法确定
028
四、运用知识,解决问题。
1.用4,5,3,8,0,0,0,0这八张卡片,按下列要求各组成一个八位数。
(1)只读出一个“零”的数。
(2)连续四个“0”,但只读出一个零。
(3)最接近4千万的数。
(4)最接近5千万的数。
2.我们知道,如果再往糖水里面加些糖,完全溶解后糖水将变得更甜。你能结合这个事
实,说明真分数a和a+m(
b b+m m>0
)的分数值的大小吗
3.(开封)有两根铁丝,长度分别是75cm和90cm。现把它们截成同样长的小段,并且没
有剩余。每段长最多是多少厘米 一共可以截成多少段
培 优 提 升 精 粹
一、用心思考,细心填写。
1.(扬州)小明的QQ号码是由9位数字组成的5A13B47CD,其中A的最大因数是8,B
是最小的质数,C是2和3的公倍数,D是奇数也是合数,小明的QQ号码是( )。
2.(合肥)一个两位小数用“四舍五入法”保留整数得到的近似数是8,这个小数最大是
( ),最小是( )。
029
3.(武汉)循环小数0.1234512345…简记为( ),它的小数部分第2021位上的数字是
( )。
4.(徐州)一个数,它的最大两个因数的和是1332,最小两个因数的和是3,这个数是
( )。
5.(天津)50名同学面向老师站成一行,老师先让大家从左至右按1,2,3,…,49,50的顺
序依次报数,再让报数是4的倍数的同学向后转,接着又让报数是6的倍数的同学向后转,这
时面向老师的同学还有( )名。
6.有一名学生无意间将
154中间的两个 划去得145 ,他惊讶地发现这两个分数居然相等。253 23
这是偶然吗 他进行了研究,发现这样的分数还有很多,请你也写出两个类似这样的分数:
( )(,
)
( )( )
。
7.(天津)一个最简分数,分子和分母的和是50,如果把这个分数的分子、分母都减去15,
所得分数的值是3。原来的分数是(
7
)。
8.(深圳)商场促销时打出的标语是“100元当125元花”,这相当于打了( )折。工
厂今年的产量增加了一成半,指的是工厂今年增产了( )%。
二、仔细推敲,准确判断。
1.如果两个质数的和仍然是质数,那么它们的积一定是偶数。 ( )
2.晚上,芳芳开着灯吃饭,顽皮的弟弟按了5次开关,这时灯开着。 ( )
3.分母是质数的真分数一定是最简分数。 ( )
4.一个真分数,若分子、分母都加1,则分数值变大。 ( )
5.一种商品,先提价10%,再降价10%,售价与原价相等。 ( )
6.甲每秒跑2米,乙每秒跑3米,丙每秒跑4米,他们三人沿着600米的环形跑道从同一
起点同时同向开始跑步,经过600秒,三人又同时从出发点出发。 ( )
三、反复比较,慎重选择。
1.(上海)已知A=22×3×5,那么A 的因数有( )个。
A.3 B.4 C.6 D.12
2.(绍兴)下面4个数都是六位数,A是1~9中任意的自然数,M是0,一定能同时被3和
5整除的数是( )。
A.AAAMAA B.AMMAMM
C.AMAMAM D.AMMAMA
3.(上海)下列各式按从大到小的顺序排列正确的是( )。
10 11 12 12 11 10
A.11>12>13 B.13>12>11
030
11 12 10 12 10 11
C.12>13>11 D.13>11>12
4.(石 家 庄)已知a,b,c 都是整数,则在
a+b,b+c,c+a这三个数中,整数的个数
2 2 2
( )。
A.至少有1个 B.仅有1个 C.仅有2个 D.3个都是
5.A,B 两只青蛙进行跳跃比赛,A 每次跳10厘米、B 每次跳15厘米,它们同时从起点开
始,且每秒都只跳一次。在比赛途中,每12厘米有一个陷阱,当它们中第一只掉进陷阱时,另
一只距离它最近的陷阱有( )厘米。
A.2 B.4 C.6 D.8
6.远古时期,人们通过在绳子上打结记录数量,即“结绳计数”。如右图,一
位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结,满七进一,用来记录孩子自出生后的
天数。由图可知,孩子自出生后的天数是( )。
A.1326 B.510 C.336 D.84
四、运用知识,解决问题。
1.(南京)亮亮在一条长凳上做摆卡片游戏(如下图),他用了三种摆法,都正好从长凳的
一端摆到另一端,而且没有剩余。已知每张卡片长12厘米,宽8厘米。这条长凳最短是多少
厘米
2.(广州)[A]表示自然数A 的因数的个数。例如,4有1,2,4三个因数,可以表示成[4]
=3。试求([18]+[22])÷[7]的值。
3.桌子上放着29个杯口朝上的水杯,每次翻动4个水杯,经过若干次翻动,能使全部水杯
的杯口朝下吗
031部分参考答案
第一部分 数与代数
专题一 数的认识
1.整 数
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.880000808 九 2.八 十万 千 3.80000 4.8726594310 1023495678
例2 举一反三
1.八 三千五百六十一万九千零六 6503005 2.404400 440400 400404 3.C
例3 举一反三
1.60408360 6040.836 6041万 解析:改写成用“万”作单位的数,不改变原数的大小,
只要从右边起数出4位,点上小数点,末尾有“0”的要去掉;四舍五入到万位,只要看千位上的
数是几,对其“四舍五入”,并去掉尾数。“四舍五入”得到的是近似数。
2.三十九亿八千零五十五万 6330亿 解析:读数时,先从右边起每四位一级把数分级,
再从高位起依次按级读数。每级末尾的“0”都不读,级中和级首有一个“0”或连续几个“0”的都
只读一个零。6329.57亿省略“亿”后面的尾数要用“四舍五入”法,本题要连续进位不能出错。
省略尾数后,得数末尾的“0”不能省略。
3.(1)5,6,7,8,9 (2)0,1,2,3,4 (3)0~9中的任一个数 解析:(1)3 500的万位
是3,“3 500≈4万”说明,省略万位后面的尾数时,是向万位“进1”的。故原数千位上的数
满足“五入”的条件。这样,3 500的 里可填5~9中的任一个数。(2)“28 4700000≈
28亿”说明,省略亿位后面的尾数时,千万位上的数满足“四舍”的条件,故28 4700000的
里可以填0~4中的任一个数。(3)35 00省略万位后面的尾数时,只要对千位上的“5”
进行“四舍五入”,与百位上的数是几没有关系。故35 00百位上的 里可以填0~9中的
任一个数。
2.因数与倍数
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.D 解析:因为165=1×165=3×55=5×33=11×15,所以长方形的形状只有4种。
2.因为48=1×48=2×24=3×16=4×12=6×8,而题中说明一行站1名或48名同学
的情况除外,故一共有4种不同的站法。
3.因为80=1×80=2×40=4×20=5×16=8×10,所以80的因数有1,2,4,5,8,10,16,
20,40,80,共10个。其中5,10,20,40,80这五个数又是5的倍数。故这个数可能是5,10,20,
40,80。
195
例2 举一反三
1.2或8 0 5 解析:2的倍数,末位是0,2,4,6,8;5的倍数,末位是0或5;3的倍数,
各个数位上的数字之和是3的倍数。第一个括号,已有4+6=10,而10+2=12,故 里最小
填2。又因为2加上6是8,故 里填8也满足“同时是2和3的倍数”这一条件,不能漏填。
第二个括号,同时是2和5的倍数,也就是10的倍数,这时 里应该填0。第三个括号,要是
5的倍数, 里可以填0或5。而4+6+0=10不是3的倍数,4+6+5=15是3的倍数,所以
里填5。
2.0 9 3.102 510 解析:填第一个括号时,先选出最小的三个数字0,1,2。要组成有
因数2的最小三位数,必须把最小的非0数字1排在百位,0放在十位,个位放2。填第二个括
号时,要使组成的三位数最大,必须把5放在百位。要使组成的数是5的倍数,0必须放在个
位。再根据组成的三位数是3的倍数,选出十位上的数字1。
例3 举一反三
1.√ 解析:由题意,b是非0的自然数,a,b 是两个相邻的自然数,肯定一奇一偶,奇数
×偶数=偶数。 2.C
3.B 解析:奇数×奇数=奇数,奇数+偶数=奇数。
例4 举一反三
1.97 4 90 解析:100以内的质数有:2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,
53,59,61,67,71,73,79,83,89,97共25个。
2.D 解析:要求x×y×z的最小值,可以从x,y,z最小入手考虑。由于2+3=5,所以
x,y,z的值分别为2,3,5,其积为2×3×5=30。
3.长方体前面的面积=长×高,长方体上面的面积=长×宽。由题意,长×(高+宽)=
77=7×11。因为长、宽、高都是质数,所以只能是77=(2+5)×11。于是长方体的棱长分别
为2cm、5cm、11cm,其体积=2×5×11=110(cm3)。
例5 举一反三
1.D 2.11 55 解析:2310=2×3×5×7×11。根据A,B 分解质因数的情况容易看
出,A,B 分解质因数后至少应该有一个11,故N=11。A,B 的最大公因数就是这两个数全部
公有质因数的积,为5×11=55。 3.36 解析:根据“甲数×乙数=最大公因数×最小公倍
数”易得,另一个数=12×180÷60=36。
例6 举一反三
1.16厘米 30 解析:要求剪成的正方形边长最长,就是求96和80的最大公因数。96
和80的最大公因数是16,所以剪成的正方形的边长是16厘米。注意,单位“厘米”不能漏掉
不填。96÷16=6,80÷16=5,6×5=30,所以被剪成了30块。
2.“站成人数相等的7行还差4人”说明,六(3)班的学生人数比7的倍数多3人。由题
意,六(3)班的人数比6和7的公倍数多3人。由于6和7的最小公倍数是42,故六(3)班有学
生45人。
3.36棵小树中间有35个间隔,首、尾两棵相距35×4=140(米)。4,5的最小公倍数是
20,显然,距离起点20米的倍数的地方的小树不需要移动。140÷20=7,且首、尾两棵不必移
动,那么一共有7+1=8(棵)小树不必移动。
196
3.小 数
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.5.400 5.40 2.10000 3.A
例2 举一反三
1.三 9.1 9.05 2.8.49 7.50 解析:“四舍五入法”保留整数只要看小数第一位是几。
小数第二位上是几跟“舍”“入”没有关系,但它的大、小跟“最大”“最小”有直接关系。要求的小
数最大,小数第二位上必须最大,应该是9;要求的小数最小,小数第二位上必须最小,应该是
0。 3.A D
例3 举一反三
1.1.2 解析:一个数的小数点向右移动一位后的数是原数的10倍,比原数多9倍,原数
是10.8÷9=1.2。 2.7.2 解析:捐款总数多出64.8元,说明班长把这位同学的捐款数的小
数点向右点了一位,多出原数的9倍,所以,实际捐款数是64.8÷9=7.2(元)。 3.6.6 0.66
解析:由题意,甲数是乙数的10倍。则乙数=7.26÷(10+1)=0.66,甲数=0.66×10=6.6。
例4 举一反三
1.100÷18=5(顶)……10(米),所以能做5顶这样的蚊帐。
2.25÷8=3(次)……1(吨),所以需运3+1=4(次)。
3.(8.6+2.3)×2=21.8(米) 21.8米≈22米 8.6×2.3=19.78(平方米) 19.78平方
米≈20平方米 所以长方形的周长约为22米,面积约为20平方米。
4.分数与百分数
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1 2 4
1. 或 2.B 3.D 解析:因为题目没有告诉我们“
2米”与“第二根用去的2”哪
10 5 10 5 5
个长,所以加上剩下的那部分相同的长度后,也就无法比较哪根更长。
例2 举一反三
1.D 解析:大于
1且小于5的分数中,分母为 2 3 48的有 、 、 三个,分母还可以依次扩大8 8 8 8 8
2倍、3倍、4倍……这样就可以写出无穷多个符合条件的分数。
2 3 8 15
2.9 解析: < < 化为 < ,所以 里可以填的最小自然数是 。5 20 4 20 20<20 9
9
3. 解析:由题意,
4
1+ 就是这个真分数的2倍,所以这个真分数是10 5 (
4 9
1+5)÷2= 。10
例3 举一反三
16
1.20=24∶30=0.8=8÷10=80%=
八成 2.C 解析:最简分数中,只有分母中含有质
因数 或者 的才能化成有限小数。 解析:212 5 3.D 约分成最简分数是
3,所以21能化成有
28 4 28
限小数。最简分数中,只有分母中含有质因数2或者5的才能化成有限小数。
197
例4 举一反三(要加循环点)
· 9
1.1.66 1.7% 2.0.9>0.909>10>9%
· · · ·· · ·
3.3.1416>3.1416>3.1416>3.1416
例5 举一反三
1.B 解析:“12K表示含金量50%,24K表示含金量100%”说明,12K占24K的几分之
几,其含金量就是100%的几分之几。
3
18K是24K的 ,那么18K表示的含金量就是75%。4
2.316 解析:成活率是95%,死亡率就是5%。设成活300棵时死亡x 棵,则300∶x=
95∶5。解得,x≈15.79。故至少需要种300+16=316(棵)种子。
3.94 1 解析:栽下50棵树苗,成活50-3=47(棵),成活率为47÷50×100%=94%。
要使成活率达到98%,100棵中只能有2棵不成活,50棵中只能有1棵不成活。
5.负数的认识
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.顺时针旋转了
2
90° 2.-2 3.1,+4 -3,-0.15,-3 1
,0,+4 4.B
例2 举一反三
1.-1 2.8 解析:小明比平均分高5分,小红比平均分低3分,所以小明与小红相差8
分,即小明比小红高8分。 3.A 解析:“向东走了-60米”相当于向西走了60米。小明从
书店沿街向东走了40米,接着又向东走了-60米,相当于小明向西走了20米,这时小明的位
置在书店西边20米,即在文具店位置。
【预设考题精粹】
一、1.951 105 9510 1059 解析:要组成最大的三位数,先要选出最大的三个数字1,5,9,
再把1,5,9这三个数字按从左到右的顺序从大到小依次排列,即得951。要组成最小的三位
数,先要选出最小的三个数字0,1,5。用0,1,5组成最小的三位数时,“0”不能放在首位,故把
“0”放在次高位,其余数字“1”和“5”按从左到右的顺序从小到大依次排列得到105。
1
2.2322或2388 2355 3.-2 2 4.307.64
三百零七点六四 307.6 308 5.0.81
· 9 · 9 · 9
<0.81<11<82%
解析:0.81=0.8111…,11=0.818181
…,故0.81<0.81<11<82%
。
7 7 7
6.9,10,11,12,13 解析:把分子化相同得: >( )> ,故分母在8.4 14 8.4
与14之间,这样
的整数有9,10,11,12,
1 4
13。 7. 12 8.20 解析:要使棵数最少,每两棵的间距就要5 5
最大。由于15、18和27的最大公因数是3,故每3米栽一棵。15+18+27=60(米),60÷3=
20(棵),最少需要准备20棵树苗。
9.6 解析:6和4的最小公倍数是12。故用长6厘米、宽4厘米的长方形木板拼正方形,
拼成的正方形边长最小是12厘米。于是至少需要这样的木片(12÷6)×(12÷4)=6(块)。
10.八 解析:“买四送一”相当于买5个付4个的钱,即享受了八折优惠。
二、1.× 2.× 解析:3和 倒数之和为
1 1 5
2 + 。3 2=6 3.× 4.√ 5.×
解析:无限小数
198
也可能是无限不循环小数,例如π。 6.√ 解析:可以根据a,b的奇偶性分类讨论。如下表:
a 奇 奇 偶 偶
b 奇 偶 奇 偶
a+b 偶 奇 奇 偶
a-b 偶 奇 奇 偶
三、 3 5 2 5 2 3 61.D 2.D 解析:分子与分母互质的分数称为最简分数,分别为 , , , , , , ,2 2 3 3 5 5 5
5,共
6 8
个。 3.D 解析:28=1×28=2×14=4×7,1+2+4+7+14=28,故28符合条件。
4.B 解析:0.012扩大100倍后是1.2,再缩小到它的一半是0.6。 5.B 6.D 解析:“每
上班3天休息1天”相当于“每4天休息1天”,“每上班4天休息1天”相当于“每5天休息1
天”。4和5的最小公倍数是20,即从6月1日他们同时在家休息开始,每隔20天他们又同时
在家休息,那么下一次同时在家休息是 16月21日。 7.B 解析:“车上人数的 先下车后”,6
车上剩下的人数就没有原来的多,那么“剩下人数的1”就没有车上原来人数的1多。于是,上
6 6
车的人数就没有下车的人数多。即下车的人多。
解析:
利润
利润率 120-1008.A =成本×100%= 。100 ×100%=20%
四、1.(1)45038000(答案不唯一) (2)40000538(答案不唯一) (3)40000358 (4)50000348
2.据题意,可以把真分数
a看成是加糖之前的含糖率,则加入m 克糖后,含糖率变成了b
a+m。糖水变甜,说明糖水的含糖率变高了。即:a a+m< 。b+m b b+m
3.据题意,每段长都是75和90的因数。75,90的最大公因数是15,即每段长最多是
15cm。75÷15=5(段),90÷15=6(段),5+6=11(段)。一共可以截成11段。
【培优提升精粹】
一、1.581324769 解析:A,B,C,D是0~9这十个数字中的某一个。其中最大因数是8的只
有8,最小的质数是2,2和3的公倍数只有6,既是奇数又是合数的只有9。
2.8.49 7.50 解析:两位小数用“四舍五入法”保留整数,只要看小数第一位是几,跟小
数第二位是几无关。如果是一位小数,其范围是7.5~8.4。再根据“最大”和“最小”的要求添
上小数第二位,易得最大是8.49,最小是7.50。
· ·
3.0.12345 1 解析:容易看出,题中的数1,2,3,4,5依次重复出现,故循环节是
“12345”。又2021÷5的余数是1,故它的小数部分第2021位上的数字与循环节第一位上的
数字相同,是1。
4.888 解析:根据最小两个因数的和是3得,这两个因数是1和2。设原数为a,把原数
分解因数得到: a,则最大的两个因数分别是 和a。于是, aa=1×a=2× 。解得2 a 2 a+2=1332
a=888。
5.38 解析:1,2,3,…49,50中,4的倍数有12个,6的倍数有8个,12的倍数有4个。报
4的倍数的同学向后转,面向老师的同学剩下50-12=38(名)。报6的倍数的同学向后转时,
199
4和6的公倍数也就是12的倍数的同学又转向老师,这时面向老师的同学为38-(8-4)+4
=38(名)。
352 253 解析:154 14×11 146. = ,要使中间的“”划去以后的分数跟原分数相等,得451 451 253 23×11=23 5
到的分数的分子、分母两个两位数的个位、十位上的数之和必须为5。
21
7. 解析:据题意,
3约分前,分子、分母的和为50-15×2=20,这样,
3约分前应为
29 7 7
6。把6的分子、分母各加上15,即得原来的分数
21。
14 14 29
8.八 15 解析:“100元当125元花”即
100
125元的商品只要付100元,折扣为125×100%
=80%。一成是10%,所以一成半是15%。
二、1.√ 解析:质数中,只有最小的质数2是偶数,其余都是奇数,由“两个质数的和仍然是
质数”得,和一定是奇数。故两个加数中肯定有一个是2。2与另一个质数的积一定是偶数。
2.× 解析:灯开着,按1次就关,按2次就开,按3次又关,按4次又开,按了5次,灯是
关着的。也可以根据奇偶性分析。
3.√ 解析:分子、分母互质的分数称为最简分数。真分数的分子比分母小,如果分母是
质数,它与比它小的分子肯定互质。
4.√
5.× 解析:假设这种商品原价100元,提价10%后售价是110元,再降价10%,售价变
成99元,故售价与原价不等。
6.√ 解析:经过600秒,甲跑了2×600=1200(米),刚好跑了1200÷600=2(圈)。乙跑
了3×600=1800(米),刚好跑了1800÷600=3(圈)。丙跑了4×600=2400(米),刚好跑了
2400÷600=4(圈)。故甲、乙、丙三人刚好又同时从出发点出发。
三、1.D 解析:分解质因数以后,容易求得因数的个数为(2+1)×(1+1)×(1+1)=12(个)。
2.C 解析:能被5整除的数末位只能是0或5,即 M在个位,只有B和C符合这一条件。
能被3整除的数,各数位上的数字之和是3的倍数,B中只有两个A,不符合这一条件,C中有
3个A,符合这一条件。
3.B 解析:一个真分数,分子与分母加上相同的数以后,所得的分数比原分数大。
a+bb+cc+a
4.A 解析:要使 , , 是整数,只要其分子是偶数,a,b,c可以分三奇、两奇2 2 2
一偶、一奇两偶、三偶四种情况讨论,分别得三偶、一偶、一偶、三偶,故a+b,b+c,c+a中,可
2 2 2
能有1个整数,也可能有3个整数。
5.B 解析:10与12的最小公倍数是60,故A 跳6次时掉进陷阱。15与12的最小公倍
数是60,60÷15=4,故B 跳4次时掉进陷阱。B 跳4次时,A 跳了10×4=40(厘米)。根据
40=12×3+4或者40=12×4-8,这时A 离最近的陷阱4厘米。
6.B 据题意,最右边一列,每一个绳结代表“1天”;右起第二列,每一个绳结代表“1个7
天”,右起第三列,每一个绳结代表“7个7天”,即49天;右起第四列,每一个绳结代表“7个49
天”,即343天,故孩子出生后的天数是:1×343+3×49+2×7+6=510(天)。
四、1.根据摆法一,长凳的长度是8的倍数。根据摆法二,长凳的长度是12的倍数。根据摆
法三,长凳的长度是12+8=20的倍数。因此,长凳的长度是8,12,20的公倍数。由于8,12,
200
20的最小公倍数是120,那么,这条长凳最短是120厘米。
2.因为18=1×18=2×9=3×6,所以18有6个因数,即[18]=6。因为22=1×22=2×
11,所以22有4个因数,即[22]=4。因为7=1×7,所以7有2个因数,即[7]=2。所以([18]
+[22])÷[7]=(6+4)÷2=5。
3.不能。29是奇数,开始29个水杯杯口全部朝上。第一次翻动4个,杯口朝上的剩下25
个,仍是奇数。以后每次翻动其中4个,共有这样五种情况:(1)四上变四下,这时,杯口朝上的
减少4个,剩下杯口朝上的个数仍是奇数。(2)三上变三下,一下变一上。这时,杯口朝上的减
少2个,剩下的杯口朝上的个数仍是奇数。(3)二上变二下,二下变二上。这时,杯口朝上的个
数没有变化,仍是奇数。(4)一上变一下,三下变三上。这时,杯口朝上的增加2个,杯口朝上
的个数仍是奇数。(5)四下变四上。这时,杯口朝上的增加4个,杯口朝上的个数仍是奇数。
由此看来,杯口朝上的水杯不可能变成0个。即:无论经过多少次翻动,都不能使所有杯口
朝下。
专题二 数的运算
【数学好题精粹】
例1 举一反三
1.增加10 2.5 3.36.36 4.A
例2 举一反三
1.0.2 223 2.C 3.C 4.B
例3 举一反三
1
1.3 2.77 3.5
例4 举一反三
5 4
1.08 35 3.8 31.5 3 9
例5 举一反三
1.C
49 12
2.1000 15 7800 730 70.9 45 81 17
63
解析:因为
1 1 1 1 1 127
+ + +…+ =1- = ,所以原式
127 1 63
128 2 4 8 128 128 128 =128-2=128
6 解析:1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
7 2+6+12+20+30+42= (1-2 )+ (2-3 )+ (3-4 )+ (4-5 )+ (5-6 )
+ (1 1 1 66-7)=1-7=7
3.288 664 9802 26000 2300 0.8
例6 举一反三
1.1000 500 80 90 2.B 3.B
【预设考题精粹】
一、1.12.6 450 280 2.23或46 解析:251-21=230,除数是230的因数,并且要比余数
21大,可能是23,也可能是46。 3.975 23 60 150 4.b5.18 解析:2※3=3×2+4×3=18 6.(1)2+2×9+4=24 (2)5×6-1-5=24
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