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第三十四讲 直线的方程
【考纲解读】
理解直线倾斜角，直线斜率的定义，了解直线倾斜角的取值范围，掌握确定直线倾斜角的基本方法；掌握求直线斜率几种常用方法，能够熟练求出直线满足一定条件下的斜率；
理解直线方程的定义，掌握直线方程的几种常用形式，能够根据问题条件，选择恰当的直线方程形式求出直线的方程；
了解直线系方程的定义和直线系方程的常用类型，能够运用直线系方程的知识解答求直线方程的问题。
【知识精讲】
一、直线的倾斜角和斜率：
1、直线的倾斜角： y
（1）直线的倾斜角的定义：如图在直角坐标系xoy中，
一条与x轴相交的直线如果把x轴绕交点按逆时针方向
旋转到和直线重合时，所转的最小正角（即直线与x轴
的正方向的夹角），称为直线的倾斜角； 0 x
(2) 直线的倾斜角的取值范围：设直线的倾斜角为，
则 ≤＜，即[，）；
（3）直线的倾斜角的特殊情况：①直线与x轴平行或重合时，倾斜角=；
②直线与x轴垂直（与y轴平行）时，倾斜角= 。
2、直线的斜率：
（1）直线的斜率的定义：当直线的倾斜角≠时，直线倾斜角的正切值，称为直线的斜率，常用k表示；
注意：倾斜角= 时，直线的斜率不存在，所以在理解定义时一定要注意倾斜角≠的这个限制条件。
（2）直线斜率的求法：①已知直线的倾斜角求直线的斜率，直接运用公式：k=tan(≠)进行；②已知直线上的两点A()，B（）的坐标，求直线的斜率，直接运用公式：k= （≠0）进行；③已知直线的方向向量=（m，n）求直线的斜率, 直接运用公式：k= 进行；④已知直线的一般方程Ax+By+C=0求直线的斜率, 直接运用公式：k=- 进行（注意直线方程一般式的结构特征）。
二、直线的方程：
1、直线方程的定义：设关于x，y的一次方程Ax+By+C=0的解为M=｛（x，y）|Ax+By+C=0｝，如果对任意的（x，y）M为坐标的点都在直线l上；同时对直线l上任意的点（x，y）都是方程Ax+By+C=0的解，则称方程Ax+By+C=0为直线l的方程，直线l为方程Ax+By+C=0的直线。
2、直线方程的求法：在给定条件下求直线方程的基本方法：①根据问题的条件在常见的直线方程形式中恰当的选择其中的一种（这里的恰当是指你选择的这种方程形式能使问题的解答更简单，便捷，并注意其适用范围）；②运用选择的直线方程公式求出直线的方程；③得出所求直线的方程。
3、常见直线方程的形式
名 称 已知条件 直线的方程 适用范围
点斜式 直线过点P(，) y=k(x-)+ 直线的斜率存在(即倾斜
且斜率为k； ≠）
斜截式 已知直线的斜率k和 y=kx+b 直线的斜率存在(即倾斜
纵截距b； ≠）
两点式 已知直线上的两点（， = 直线的斜率存在且不为0
），（，）； （即≠，≠）
截距式 已知直线在x轴，y轴 +=1 直线的斜率存在且不为0
上的截距a，b； 不过原点（即a≠0,b≠0）
一般式 直线上的点，直线的斜率， Ax+By+C=0 所有的直线
直线在坐标轴上的截距
中的任意两个独立条件。
4、直线系方程：
（1）直线系方程的定义：具有某些特性的所有直线组成的集合称为直线系，它们的方程叫做直线系方程；
（2）直线系方程的常见类型：①过定点P(，)的直线系方程：A（x-）+B(y-)=0(+0)或y-=k(x-)（x）；②平行已知直线：Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+=0（C）；③垂直已知直线：Ax+By+C=0的直线系方程：Bx-Ay+=0（C）；④过两条已知直线：x+y+=0与x+y+=0的交点的直线系方程：
x+y++（x+y+）=0（不包括直线x+y+=0）。
【探导考点】
考点1直线的倾斜角和斜率：热点①已知直线倾斜角，求直线的斜率；热点②已知直线时两点的坐标，求直线的斜率；热点③知直线斜率，求直线的倾斜角；
考点2求直线方程：热点①已知直线满足一定条件，求直线的方程；热点②运用直线系方程，求直线的方程；热点③求三角形中某线所在直线的方程；
考点3直线方程的综合运用：热点①运用基本不等式，求与直线相关的最值；热点②根据直线方程，求参数的值（或取值范围）；热点③已知直线系方程，求与直线相关的最值。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、直线y=x+1的倾斜角为（ ）
A B C D
2、已知直线l的倾斜角为，且≤＜，直线L的斜率的取值范围是（ ）
A 〔0，+∞） B （-∞，+∞） C （-1，+∞） D （-∞，-1）∪〔0，+∞）
3、直线l经过A（2，1），B（1，）（mR）两点，那么直线L的倾斜角的取值范围
是（ ）
A 0≤＜ B 0≤≤或＜＜ C 0≤≤ D ≤＜或＜＜
4、已知直线PQ的斜率为-，将直线绕点P顺时针旋转所得直线的斜率是（ ）
A 0 B C D -
5、如果直线l沿X轴负方向平移3个单位，再沿Y轴正方向平移1个单位后又回到原来的位置，求直线l的斜率k；
6、已知两点A（-1，-5），B（3，-2），直线L的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，求直线L的斜率k；
7、设M（2，-5），N（-3,，2），直线L过点P（1，1），若L与线段MN有交点，则斜率k的取值范围是多少？倾斜角的取值范围是多少？
8、已知函数f(x)=asinx-bcosx的图像的一条对称轴方程是x=，求直线ax-by+c=0的倾斜角的正切值；
10、设直线L的方程为2x+By-1=0，倾斜角为。
（1）试将的正切值表示为B的函数；
（2）若＜＜，试求B的取值范围；
（3）若B∈（-∞，-2）∪（2，+∞），求的取值范围。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与直线倾斜角，直线斜率相关的问题，解答这类问题需要理解直线倾斜角的定义，掌握求直线斜率的公式和基本方法；
（2）直线的倾斜角是X轴绕直线与X轴的交点（条件是直线与X轴相交）按逆时针方向旋转到与直线重合时转动的最小正角，求倾斜角的取值范围的基本方法是：①根据问题条件，运用求直线斜率的基本方法求出直线斜率的取值范围；②利用正切函数的图像和性质确定直线倾斜角的取值范围；
（3）直线的倾斜角有两个特殊情况：①直线与X轴平行或重合时，倾斜角=0；②直线与Y轴平行或重合时，倾斜角=；
（4）已知直线的倾斜角，求直线的斜率可直接运用公式k=tan，但应注意这个故事的条件是；
（5）在求直线的斜率时，应根据题给的条件选用恰当的公式和方法，常用求直线斜率的基本方法有：①已知直线倾斜角，运用公式k=tan（）；②已知直线上两点的坐标A（，），B（，），运用公式k=（0）；③已知直线的方向向量
=（m，n），运用公式k= （n0）；④已知直线的一般式方程Ax+By+C=0，运用公式k=- （B0）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、直线x+3y+1=0的倾斜角是（ ）
A B C D
2、直线2x-y-2=0绕它与Y轴的交点逆时针方向旋转所得的直线方程是（ ）
A -x+2y+2=0 B x+2y+2=0 C -x+2y+2=0 D x+2y+2=0
3、若点A(2，-3)是直线x+y+=0和x+y+=0(==1)的公共点，则相异两点（，）和（，）所确定的直线方程是（ ）
A 2x-3y+1=0 B 3x-2y+1=0 C 2x-3y-1=0 D 3x-2y-1=0
4、过点P（-1,2），且方向向量为=（-1,2）的直线方程是（ ）
A 2x+y=0 B x-2y+5=0 C x-2y=0 D x+2y-5=0
5、直线Ax+By+C=0的倾斜角是，则A=（ ）
A B B -B C B D -B
6、设点A（-2，3），B（-3，2），若直线y=ax+2与线段AB有公共点，则a的取值范围是
；
7、已知直线L的方向向量是=（-1, ），求直线L的斜率与倾斜角；
8、方程（x-2a）(2x+ay-2)=0表示什么曲线？如果是直线，求直线的斜率和倾斜角。
【典例2】解答下列问题：
1、过点（3，1）且与直线x-2y-3=0垂直的直线方程是（ ）
A 2x+y-7=0 B x+2y-5=0 C x-2y-1=0 D 2x-y-5=0
2、过,点P（1，1）的直线将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线方程为（ ）
A x+y-2=0 B y-1=0 C x-y=0 D x+3y-4=0
3、直线L经过点P（3,0），且它夹在两直线：2x-y-2=0与：x+y+3=0之间的线段AB恰好被点P平分，求直线l的方程；
4、已知点P到两个定点M(-1，0)，N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程；
5、已知两直线x+y+1=0和x+y+1=0的交点为P（2，3），求过两点（，）和（，）（≠）的直线方程；
6、过点M（1，-2）作直线L，使点B（2，1）到直线L的距离等于1，求直线L的方程；
7、直线L过点M（2，1），且分别于X轴、Y轴正半轴相交于A、B两点，O为坐标原点。
（1）当的面积最小时，求直线L的方程；
（2）当|MA|.|MB|最小时，求直线L的方程。
8、已知的三个顶点为A（-3，0），B（2，1），C（-2，3），求：
（1）边BC所在的直线方程；
（2）BC边上中线AD的直线方程；
（3）BC边上的垂直平分线DE的方程。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求直线方程的问题，解答这类问题需要理解直线方程的定义，掌握求直线方程的基本方法；
（2）求直线方程的常用方法有：①直接法；②间接法；
（3）直接法是根据题给条件，选择恰当的直线方程形式，依据相应直线方程形式求出直线方程；
（4）间接法是根据直线在题给条件中所具有的某些性质，先设出方程（含参数或待定系数），再由题给条件求出参数或待定系数，然后求出直线方程；
（5）常见的直线系方程：①过定点P(，)的直线系方程：A（x-）+B(y-)=0
(+0)或y-=k(x-)和x=；②平行已知直线：Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+=0（C）；③垂直已知直线：Ax+By+C=0的直线系方程：Bx-Ay+=0（C）；
④过已知直线：x+y+=0与x+y+=0的交点的直线系方程：x+y++（x+y+）=0（不包括直线x+y+=0）。
〔练习2〕解答下列问题：
1、一条中线被两条直线：4x+y+6=0与：3x-5y-6=0截得的线段中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程；
2、过点M(-1,2)作中线L，使点A(-3,4)和B（1，-2）到中线L的距离相等，求中线L的方程；
3、一条直线经过P（3,2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与X、Y轴的正半轴相交于A、B两点，且的面积最小（O为坐标原点）；
4、已知的三个顶点为A（-3-2,0），B（3,1），C（-1,3），求：
（1）边BC所在的直线方程；
（2）BC边上的高AD的直线方程；
（3）BC边上的垂直平分线DE的方程。
【追踪考试】
【典例3】解答下列问题：
1、已知M：-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|.|AB|最小时，直线AB的方程为（ ）（2020全国高考新课标I理）
A 2x-y- 1=0 B 2x+y-1=0 C 2x-y+1=0 D 2x+y+ 1=0
2、若直线l与曲线y= 和圆=都相切，则直线l的方程为（ ）（2020全国高考新课标III理）
A y= 2x+1 B y=2x+ C y=x+1 D y=x+
3、直线x-y+=0的倾斜角为（ ）（成都市高2021级2022-2023学年度上期期末名校联盟考试）
A B C D
4、已知直线：x-y+2=0和：x+y=0相交于点P（成都市高2021级2022-2023学年度上期期末名校联盟考试）
（1）若直线l经过点P且与：x+2y-2=0垂直，求直线l的方程；
（2）若直线经过点P且与：2x-3y-1=0平行，求直线的方程。
5、已知直线l：2x-3y+1=0，点A（-1，-2），求：
（1）过点A（-1，-2）且与直线l平行的直线m的方程；
（2）点A关于直线l的对称点的坐标（成都市2018—2019高一下期质量检测）
y的值就可求出点的坐标。
6、（理）已知直线l过点A（1，1），B（-1，3），则直线l的倾斜角为（ ）
A B C 或 D 或
（文）直线x-y-2018=0的倾斜角等于（ ）（成都市2017—2018高一下期质量检测）
A B C D 不存在
7、已知直线x+ky-2-2k=0恒过定点A，若点A在直线mx-y+2n=0(m＞0，n＞0)上，则+的最小值为（ ）（成都市2017—2018高一下期质量检测）
A B 18 C 9 D 25
8、已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2）。
（1）求线段AB的垂直平分线的方程；
（2）求ABC的面积（成都市2017—2018高一下期质量检测）
『思考问题3』
【典例3】是近几年高考（或高三诊断考试或高二期末考试）试卷中关于直线方程的问题，归结起来主要包括：①直线线倾斜角（或向量）的问题；②求直线方程的问题；③直线方程综合运用等几种类型；
解答直线相关问题的基本方法是：①根据问题结构特征判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、垂直于直线y=x+1且与圆=1相切与第一象限的直线方程是（ ）（2013广东）
A x+y- =0 B x+y+1=0 C x+y-1=0 D x+y+ =0
2、已知直线l过圆+=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（ ）（2014安徽）
A x+y- 2=0 B x-y+2=0 C x+y-3=0 D x-y+ 3=0
3、已知点A的坐标为（4,1），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（ ）（2015上海）
A B C D
4、在平面直角坐标系中，曲线C： x=2+ t (t为参数)的普通方程为 ； y=1+t （2014湖南）
5、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（1，7），C（6，2），D（5，-5）。
（1）求经过点B且与直线x-2y+1=0垂直的直线方程；
（2）试判断四边形ABCD的形状，并给出证明。
6、已知直线l：kx-y+1+2k=0(kR)，直线l交X轴负半轴于点A，角Y轴正半轴于点B。
（1）记ABO的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；
（2）直线l过定点M，求|MA||MB|的最小值。
7、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（1，7），C（6，2），D（5，-5）。
（1）求经过点B且与直线x-2y+1=0垂直的直线方程；
（2）试判断四边形ABCD的形状，并给出证明（成都市2017—2018高一下期质量检测（文））
8、已知直线l：kx-y+1+2k=0(kR)，直线l交X轴负半轴于点A，角Y轴正半轴于点B。
（1）记ABO的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；
（2）直线l过定点M，求|MA||MB|的最小值（成都市2017—2018高一下期期末质量检测）
第三十四讲 直线的方程
【考纲解读】
1.理解直线倾斜角，直线斜率的定义，了解直线倾斜角的取值范围，掌握确定直线倾斜角的基本方法；掌握求直线斜率几种常用方法，能够熟练求出直线满足一定条件下的斜率；
2.理解直线方程的定义，掌握直线方程的几种常用形式，能够根据问题条件，选择恰当的直线方程形式求出直线的方程；
3.了解直线系方程的定义和直线系方程的常用类型，能够运用直线系方程的知识解答求直线方程的问题。
【知识精讲】
一、直线的倾斜角和斜率：
1、直线的倾斜角： y
（1）直线的倾斜角的定义：如图在直角坐标系xoy中，
一条与x轴相交的直线如果把x轴绕交点按逆时针方向
旋转到和直线重合时，所转的最小正角（即直线与x轴
的正方向的夹角），称为直线的倾斜角； 0 x
(2) 直线的倾斜角的取值范围：设直线的倾斜角为，
则 ≤＜，即[，）；
（3）直线的倾斜角的特殊情况：①直线与x轴平行或重合时，倾斜角=；
②直线与x轴垂直（与y轴平行）时，倾斜角= 。
2、直线的斜率：
（1）直线的斜率的定义：当直线的倾斜角≠时，直线倾斜角的正切值，称为直线的斜率，常用k表示；
注意：倾斜角= 时，直线的斜率不存在，所以在理解定义时一定要注意倾斜角≠的这个限制条件。
（2）直线斜率的求法：①已知直线的倾斜角求直线的斜率，直接运用公式：k=tan(≠)进行；②已知直线上的两点A()，B（）的坐标，求直线的斜率，直接运用公式：k= （≠0）进行；③已知直线的方向向量=（m，n）求直线的斜率, 直接运用公式：k= 进行；④已知直线的一般方程Ax+By+C=0求直线的斜率, 直接运用公式：k=- 进行（注意直线方程一般式的结构特征）。
二、直线的方程：
1、直线方程的定义：设关于x，y的一次方程Ax+By+C=0的解为M=｛（x，y）|Ax+By+C=0｝，如果对任意的（x，y）M为坐标的点都在直线l上；同时对直线l上任意的点（x，y）都是方程Ax+By+C=0的解，则称方程Ax+By+C=0为直线l的方程，直线l为方程Ax+By+C=0的直线。
2、直线方程的求法：在给定条件下求直线方程的基本方法：①根据问题的条件在常见的直线方程形式中恰当的选择其中的一种（这里的恰当是指你选择的这种方程形式能使问题的解答更简单，便捷，并注意其适用范围）；②运用选择的直线方程公式求出直线的方程；③得出所求直线的方程。
3、常见直线方程的形式
名 称 已知条件 直线的方程 适用范围
点斜式 直线过点P(，) y=k(x-)+ 直线的斜率存在(即倾斜
且斜率为k； ≠）
斜截式 已知直线的斜率k和 y=kx+b 直线的斜率存在(即倾斜
纵截距b； ≠）
两点式 已知直线上的两点（， = 直线的斜率存在且不为0
），（，）； （即≠，≠）
截距式 已知直线在x轴，y轴 +=1 直线的斜率存在且不为0
上的截距a，b； 不过原点（即a≠0,b≠0）
一般式 直线上的点，直线的斜率， Ax+By+C=0 所有的直线
直线在坐标轴上的截距
中的任意两个独立条件。
4、直线系方程：
（1）直线系方程的定义：具有某些特性的所有直线组成的集合称为直线系，它们的方程叫做直线系方程；
（2）直线系方程的常见类型：①过定点P(，)的直线系方程：A（x-）+B(y-)=0(+0)或y-=k(x-)（x）；②平行已知直线：Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+=0（C）；③垂直已知直线：Ax+By+C=0的直线系方程：Bx-Ay+=0（C）；④过两条已知直线：x+y+=0与x+y+=0的交点的直线系方程：
x+y++（x+y+）=0（不包括直线x+y+=0）。
【探导考点】
考点1直线的倾斜角和斜率：热点①已知直线倾斜角，求直线的斜率；热点②已知直线时
两点的坐标，求直线的斜率；热点③知直线斜率，求直线的倾斜角；
考点2求直线方程：热点①已知直线满足一定条件，求直线的方程；热点②运用直线系方程，求直线的方程；热点③求三角形中某线所在直线的方程；
考点3直线方程的综合运用：热点①运用基本不等式，求与直线相关的最值；热点②根据直线方程，求参数的值（或取值范围）；热点③已知直线系方程，求与直线相关的最值。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、直线y=x+1的倾斜角为（ ）
A B C D
【解析】
1、【知识点】①直线方程的定义与常见形式；②确定一般式直线方程斜率的基本方法；③直线倾斜角的定义与性质；④正切函数的图像与性质。
【解题思路】运用确定一般式直线方程斜率的基本方法，结合问题条件求出直线的斜率，利用正切函数的图像与性质求出直线的倾斜角理科得出选项。
【详细解答】设直线的倾斜角为，直线y=x+1， k=tan=，≤＜，=，C正确，选C；
2、已知直线l的倾斜角为，且≤＜，直线L的斜率的取值范围是（ ）
A 〔0，+∞） B （-∞，+∞） C （-1，+∞） D （-∞，-1）∪〔0，+∞）
【解析】
【知识点】①直线倾斜角的定义与性质；②已知直线倾斜角求直线斜率的方法；③正切函数的图像与性质。
【解题思路】运用已知直线倾斜角求直线斜率的方法，正切 y
函数的图像与性质，问题条件求出直线斜率的取值范围，就 1
可得出选项。
【详细解答】直线L的倾斜角为，且≤＜， 0 x
函数y=tanx，x[，）的图像如图所示，由图 -1
k=tan的取值范围为（-∞，-1）∪〔0，+∞），D正确，选D。
3、直线l经过A（2，1），B（1，）（mR）两点，那么直线L的倾斜角的取值范围
是（ ）
A 0≤＜ B 0≤≤或＜＜ C 0≤≤ D ≤＜或＜＜
【解析】
【知识点】①直线倾斜角的定义与性质；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；
③求函数值域的基本方法，④正切函数的图像与性质。
【解题思路】运用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件得到直线斜率关于参数m的函数，根据求函数值域的基本方法求出直线斜率的取值范围，利用正切函数的图像与性质确定直线倾斜角的取值范围就可得出选项。
【详细解答】直线l经过A（2，1），B（1，）两点， k=tan= =1-，mR， k=tan=1-1， 0≤≤或＜＜，B正确，选B。
4、已知直线PQ的斜率为-，将直线绕点P顺时针旋转所得直线的斜率是（ ）
A 0 B C D -
【解析】
【知识点】①直线倾斜角的定义与性质；②已知直线倾斜角，求直线斜率的基本方法；③已知直线斜率，确定直线倾斜角的基本方法；④直线绕定点旋转的定义与性质。
【解题思路】运用已知直线斜率，确定直线倾斜角的 y
基本方法确定直线旋转前的倾斜角，根据直线绕定点
旋转的性质确定直线旋转后的倾斜角，利用已知直线
倾斜角，求直线斜率的基本方法求出直线的斜率就可 O P x
得出选项。
【详细解答】直线PQ的斜率为-，直线PQ的倾斜角为，设直线PQ与X轴相较于点P，如图当直线PQ绕点P顺时针旋转时，直线P的倾斜角为， k=tan=，C正确，选C。
5、如果直线l沿X轴负方向平移3个单位，再沿Y轴正方向平移1个单位后又回到原来的位置，求直线l的斜率k；
【解析】
【知识点】①直线方程的定义与常见形式；②直线平移的定义与性质；③待定系数法及运用。
【解题思路】不失一般性设直线l的方程为：y=kx+b，运用直线平移的性质，结合问题条件得到平移后直线的方程，利用待定系数法的基本方法得到关于k，b的方程组，求解方程组就可求出k的值。
【详细解答】不失一般性设直线l的方程为：y=kx+b，=k(x+3)+b+1=kx+3k+b+1=
kx+b，3k+b+1=b，k=-。
6、已知两点A（-1，-5），B（3，-2），直线L的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，求直线L的斜率k；
【解析】
【知识点】①已知直线上两点坐标，求直线斜率的基本方法；②三角函数二倍角公式及运用。
【解题思路】运用已知直线上两点坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件求出直线AB的斜率，利用三角函数二倍角公式得到关于直线l斜率k的方程，求解方程，结合问题条件就可求出k的值。
【详细解答】设直线l的倾斜角为， A（-1，-5），B（3，-2），直线AB的斜率为
=，k=tan，直线L的倾斜角是直线AB的倾斜角的一半，=，
3+8k-3=0，k=-3或k=，<<， k=。
7、设M（2，-5），N（-3,，2），直线L过点P（1，1），若L与线段MN有交点，则斜率k的取值范围是多少？倾斜角的取值范围是多少？
【解析】
【知识点】①已知直线上两点坐标，求直线斜率的基本方法；②过定点的直线与相等相交的定义与性质；③正切函数的图像与性质。
【解题思路】运用已知直线上两点坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别求出直线PM，PN的斜率，利用定点的直线与相等相交的性质，结合正切函数的图像与性质就可求出直线l斜率的取值范围，从而得出直线k倾斜角的取值范围。
【详细解答】如图，直线PM，PN的斜率分别 N（-3，2）y
为：=-6，=-，直线L过点P（1， P（1，1）
1），且与线段MN有交点，k-6或k-， 0 x
直线l倾斜角的取值范围是[0，arctan(-6)]
[ arctan(-)，）。
8、已知函数f(x)=asinx-bcosx的图像的一条对称轴方程是x=，求直线ax-by+c=0的倾斜角的正切值；
【解析】
【知识点】①三角函数辅助角公式及运用；②正弦函数的图像与性质；③求直线方程一般式斜率的基本方法。
【解题思路】运用三角函数辅助角公式，结合问题条件得到正弦型函数，根据正弦型函数处理的基本方法，结合正弦函数的图像与性质求出的值，利用求直线方程一般式斜率的基本方法就可求出直线倾斜角的正切值。
【详细解答】设直线ax-by+c=0的倾斜角为，f(x)=asinx-bcosx=sin(x-)（tan=）的图像的一条对称轴方程是x=， x-=k+ ，=- k-(k
Z）， tan==tan(- k-)=-tan=-1， tan=k==-1，直线ax-by+c=0的倾斜角为的正切值为-1。
10、设直线L的方程为2x+By-1=0，倾斜角为。
（1）试将的正切值表示为B的函数；
（2）若＜＜，试求B的取值范围；
（3）若B∈（-∞，-2）∪（2，+∞），求的取值范围。
【解析】
【知识点】①求直线方程一般式斜率的基本方法；②已知直线倾斜角，求直线斜率的基本方法；③已知直线斜率，求直线倾斜角的基本方法；④求函数值域的基本方法。
【解题思路】（1）运用求直线方程一般式斜率的基本方法，结合问题条件就可求出直线倾斜角正切值关于B的函数；（2）运用已知直线倾斜角，求直线斜率的基本方法，结合问题条件求出直线斜率的取值范围，根据直线斜率公式就可求出B的取值范围；（3）利用求函数值域的基本方法，结合（1）的函数式求出直线斜率的取值范围，从而就可求出直线倾斜角的取值范围。
【详细解答】（1）直线l的斜率k= tan=- ，直线倾斜角的正切值表示为B的函数是tan=- ；（2）＜＜， k= tan=- 的取值范围为（-，- ）（，+ ），B的取值范围为（-2，0）（0，）；（3） B∈（-∞，-2）∪（2，+∞）， k= tan=- 的取值范围为（-1，0）（0，1），直线l倾斜角
的取值范围为（0，）（，）。
『思考问题1』
（1）【典例1】是与直线倾斜角，直线斜率相关的问题，解答这类问题需要理解直线倾斜角的定义，掌握求直线斜率的公式和基本方法；
（2）直线的倾斜角是X轴绕直线与X轴的交点（条件是直线与X轴相交）按逆时针方向旋转到与直线重合时转动的最小正角，求倾斜角的取值范围的基本方法是：①根据问题条件，运用求直线斜率的基本方法求出直线斜率的取值范围；②利用正切函数的图像和性质确定直线倾斜角的取值范围；
（3）直线的倾斜角有两个特殊情况：①直线与X轴平行或重合时，倾斜角=0；②直线与Y轴平行或重合时，倾斜角=；
（4）已知直线的倾斜角，求直线的斜率可直接运用公式k=tan，但应注意这个故事的条件是；
（5）在求直线的斜率时，应根据题给的条件选用恰当的公式和方法，常用求直线斜率的基本方法有：①已知直线倾斜角，运用公式k=tan（）；②已知直线上两点的坐标A（，），B（，），运用公式k=（0）；③已知直线的方向向量
=（m，n），运用公式k= （n0）；④已知直线的一般式方程Ax+By+C=0，运用公式k=- （B0）。
〔练习1〕解答下列问题：
1、直线x+3y+1=0的倾斜角是（ ）（答案：D）
A B C D
2、直线2x-y-2=0绕它与y轴的交点逆时针方向旋转所得的直线方程是（）（答案：D）
A -x+2y+2=0 B x+2y+2=0 C -2x+y+2=0 D 2x+y+2=0
3、若点A(2，-3)是直线x+y+=0和x+y+=0(==1)的公共点，则相异两点（，）和（，）所确定的直线方程是（ ）（答案：C）
A 2x-3y+1=0 B 3x-2y+1=0 C 2x-3y-1=0 D 3x-2y-1=0
4、过点P（-1，2），且方向向量为=（-1，2）的直线方程是（ ）（答案：D）
A 2x+y=0 B x-2y+5=0 C x-2y=0 D x+2y-5=0
5、直线Ax+By+C=0的倾斜角是，则A=（ ）（答案：B）
A B B -B C B D -B
6、设点A（-2，3），B（-3，2），若直线y=ax+2与线段AB有公共点，则a的取值范围是
；（答案：若直线y=ax+2与线段AB有公共点，则a的取值范围是（-∞，0][，+∞）。）
7、已知直线l的方向向量是=（-1，），求直线l的斜率与倾斜角；（答案：直线l的斜率与倾斜角分别为-，。）
8、方程（x-2a）(2x+ay-2)=0表示什么曲线？如果是直线，求直线的斜率和倾斜角。（答案：是直线，直线的倾斜角为或arctan（-）。）
【典例2】解答下列问题：
1、过点（3，1）且与直线x-2y-3=0垂直的直线方程是（ ）
A 2x+y-7=0 B x+2y-5=0 C x-2y-1=0 D 2x-y-5=0
【解析】
【知识点】①直线点斜式方程及运用；②求直线一般式方程斜率的基本方法；③两条直线垂直的充分必要条件。
【解题思路】运用求直线一般式方程斜率的基本方法，结合问题条件求出已知直线的斜率，根据两条直线垂直的充分必要条件求出所求直线的斜率，利用直线的点斜方程就可求出所求直线的方程。
【详细解答】设直线x-2y-3=0的斜率为，所求直线的斜率为，=-=，所求直线与直线x-2y-3=0垂直，.=-1，=-2，过点（3，1）且与直线x-2y-3=0垂直的直线方程是：y-1=-2(x-3)，即2x+y-7=0，A正确，选A。
2、过,点P（1，1）的直线将圆形区域分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线方程为（ ）
A x+y-2=0 B y-1=0 C x-y=0 D x+3y-4=0
【解析】
【知识点】①直线点斜式方程及运用；②圆的定义与性质；③两条直线垂直的充分必要条件。
【解题思路】运用圆的性质，两条直线垂直的充分必要条件，结合问题条件求出所求直线的斜率，利用直线的点斜方程就可求出所求直线的方程。
【详细解答】如图，设过点P（1，1）和点（0，0）直线 y
的斜率为，所求直线的斜率为，==1，.
EMBED Equation.DSMT4 =-1，=-1，过,点P（1，1）的直线将圆形区域 x
分为两部分，使得这两部分的面积之差
最大，则该直线方程为：y-1=-(x-1)，即x+y-2=0，A正确，选A。
3、直线L经过点P（3,0），且它夹在两直线：2x-y-2=0与：x+y+3=0之间的线段AB恰好被点P平分，求直线L的方程；
【解析】
【知识点】①直线点斜式方程及运用；②求两条直线交点坐标的基本方法；③线段中点的定义与性质。
【解题思路】运用求两条直线交点坐标的基本方法，结合问题条件求出所求直线已知两条直线的交点坐标，根据线段中点的性质求出所求直线的斜率，利用直线的点斜方程就可求出所求直线的方程。 A
【详细解答】如图，设所求直线的斜率为k， y
直线l过点P（3，0），直线l的方程为：kx-y
-3k=0，由 kx-y-3k=0， kx-y-3k=0，得A（， 0 1 2 3 x
2x-y-2=0， x+y+3=0，），B
（，），线段AB恰好被点P平分， B
+=0，k=0或k=，k=0时，与题意不符应舍去， k=，直线l的方程为：4x-5y-12=0。
4、已知点P到两个定点M(-1，0)，N(1，0)距离的比为，点N到直线PM的距离为1，求直线PN的方程；
【解析】
【知识点】①直线点斜式方程及运用；②两点之间的距离的定义与性质；③点到直线的距离的定义与性质；④余弦定理及运用；②正切的和角公式及运用。
【解题思路】设直线PN的斜率为，如图，运用直角三角形的性质，结合问题条件求出AMN的值，根据余弦定理，结合问题条件得到关于|PN|的方程，求解方程求出|PN|的值，从而求出tanMPN的值，由正切的和和角公式求出的值，利用直线的点斜式方程就可求出直线PN的方程。
【详细解答】设直线PN的斜率为，如图，点N y P
到直线 PM的距离为1，|MN|=2， |NA|=1，MA A
N=，AMN=，点P到两个定点M(-1， M 0 N x
0)，N(1，0)距离的比为，|PN|=4+2|PN|-22|PN|， |PN|=(+1)，
sinMPN===，tanMPN=2-，= tan（MPN+AMN）==1，直线PN的方程为：x-y-1=0。
5、已知两直线x+y+1=0和x+y+1=0的交点为P（2，3），求过两点（，）和（，）（≠）的直线方程；
【解析】
【知识点】①直线两点式方程及运用；②两条直线交点的定义与性质。
【解题思路】运用求直线一般式方程斜率的基本方法，结合问题条件求出已知直线的斜率，根据两条直线垂直的充分必要条件求出所求直线的斜率，利用直线的点斜方程就可求出所求直线的方程。
【详细解答】两直线x+y+1=0和x+y+1=0的交点为P（2，3），2+3+1=0，
2+3+1=0，2（-）+3（-）=0，=-， y-=-(x-)，3y-3
=-2x+2=0，过两点（，）和（，）（≠）的直线方程为：2x+3y+1=0。
6、过点M（1，-2）作直线L，使点B（2，1）到直线L的距离等于1，求直线L的方程；
【解析】
【知识点】①直线点斜式方程及运用；②点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】设直线l的斜率为k，运用点到直线的距离公式，结合问题条件求出所求直线的斜率，利用直线的点斜方程就可求出所求直线的方程。
【详细解答】设直线l的斜率为k，直线l过点M（1，-2），直线l的方程为：y+2=k（x-1），kx-y-k-2=0，点B（2，1）到直线,l的距离等于1，=1，
K=，直线l的方程是：4x-3y-10=0。
7、直线L过点M（2，1），且分别于X轴、Y轴正半轴相交于A、B两点，O为坐标原点。
（1）当的面积最小时，求直线L的方程；
（2）当|MA|.|MB|最小时，求直线L的方程。
【解析】
【知识点】①直线点斜式方程及运用；②三角形面积公式及运用；③两点之间距离公式及运用；④求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）如图，运用三角形的面积公式，结合问题条件得到面积关于参数a，b的表示式，根据求函数最值的基本方法求出a，b的值就可求出所求直线的方程；（2）运用两点之间的距离公式，结合问题条件得到|MA|.|MB|关于参数a，b的表示式，根据求函数最值的基本方法求出a，b的值就可求出所求直线的方程。
【详细解答】（1）如图，设直线AB的斜率为k， y
直线AB过点M（2，1），直线AB的方程为：y-1
=k(x-2)，kx-y-2k+1=0，A（2-，0），B（0， B M(2，1)
1-2k），=|OA|.|OB|=（2-）（1-2k）= 0 A x
（4-4k-）2+22+4=6，当且仅当-4k=-，即k=时，等号成立，
k<0，k=-，当的面积最小时，直线l的方程为：x-2y+1=0；（2）|MA|.|MB|
=.=2=22=4，当且仅当=- ，即k=1时，等号成立，k<0，k=-1，当|MA|.|MB|最小时，直线l的方程为：x-y-1=0。
8、已知的三个顶点为A（-3，0），B（2，1），C（-2，3），求：
（1）边BC所在的直线方程；
（2）BC边上中线AD的直线方程；
（3）BC边上的垂直平分线DE的方程。
【解析】
【知识点】①直线两点式方程及运用；②直线点斜式方程及运用；③已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；④三角形一边中线的定义与性质；⑤三角形一边垂直平分线的定义与性质。
【解题思路】（1）如图，运用直线两点式方程，结合问题条件就可求出边BC所在直线的方程；（2）运用三角形一边中线的性质，结合问题条件求出线段BC中点D的坐标，利用直线两点式方程可求出边BC中线AD所在直线的方程；（3）运用三角形一边垂直平分线的性质求出线段BC中点D的坐标和直线DE的斜率k，利用直线点斜式方程就可求出BC边上垂直平分线DE所在直线的方程。 y
【详细解答】（1）如图， B（2，1），C（-2，3）， C（-2，3）
直线BC的方程为：=，x+2y-4=0， D B(2，1)
EMBED Equation.DSMT4 边BC所在的直线方程是：x+2y-4=0；（2） B（2， A （-3，0） 0 x
1），C（-2，3），D是边BC的中点，点D（0，2）， E
直线AD的方程为：=，2x-3y+6=0， BC边上中线AD的直线方程是：2x-3y+6=0；（3）直线BC的斜率==-，直线DE垂直直线BC，.k=-1，
k=2，由（2）知，点D（0，2），直线DE的方程为：y-2=2(x-0)，2x-y+2=0，
BC边上的垂直平分线DE的方程是：2x-y+2=0。
『思考问题2』
（1）【典例2】是求直线方程的问题，解答这类问题需要理解直线方程的定义，掌握求直线方程的基本方法；
（2）求直线方程的常用方法有：①直接法；②间接法；
（3）直接法是根据题给条件，选择恰当的直线方程形式，依据相应直线方程形式求出直线方程；
（4）间接法是根据直线在题给条件中所具有的某些性质，先设出方程（含参数或待定系数），再由题给条件求出参数或待定系数，然后求出直线方程；
（5）常见的直线系方程：①过定点P(，)的直线系方程：A（x-）+B(y-)=0
(+0)或y-=k(x-)和x=；②平行已知直线：Ax+By+C=0的直线系方程：Ax+By+=0（C）；③垂直已知直线：Ax+By+C=0的直线系方程：Bx-Ay+=0（C）；
④过已知直线：x+y+=0与x+y+=0的交点的直线系方程：x+y++（x+y+）=0（不包括直线x+y+=0）。
〔练习2〕解答下列问题：
1、一条中线被两条直线：4x+y+6=0与：3x-5y-6=0截得的线段中点恰好是坐标原点，求这条直线的方程；（答案：这条直线的方程为119x-102y-504=0）
2、过点M(-1，2)作中线l，使点A(-3，4)和B（1，-2）到中线l的距离相等，求中线l的方程；（答案：中线l的方程为3x+2y-1=0）
3、一条直线经过P（3，2），并且分别满足下列条件，求直线方程：
（1）倾斜角是直线x-4y+3=0的倾斜角的2倍；
（2）与x，y轴的正半轴相交于A，B两点，且的面积最小（O为坐标原点）；
（答案：（1）直线方程为8x-15y+6=0；（2）直线方程为2x-3y=0。）
4、已知的三个顶点为A（-3，0），B（3，1），C（-1，3），求：
（1）边BC所在的直线方程；
（2）BC边上的高AD的直线方程；
（3）BC边上的垂直平分线DE的方程。
（答案：（1）边BC所在的直线方程为x+2y+1=0；（2）BC边上的高AD的直线方程为2x-y+6=0；（3）BC边上的垂直平分线DE的方程为2x-y=0。）
【追踪考试】
【典例3】解答下列问题：
1、已知M：-2x-2y-2=0，直线l：2x+y+2=0，P为l上的动点，过点P作M的切线PA，PB，切点为A，B，当|PM|.|AB|最小时，直线AB的方程为（ ）（2020全国高考新课标I理）
A 2x-y- 1=0 B 2x+y-1=0 C 2x-y+1=0 D 2x+y+ 1=0
2、若直线l与曲线y= 和圆=都相切，则直线l的方程为（ ）（2020全国高考新课标III理）
A y= 2x+1 B y=2x+ C y=x+1 D y=x+
3、直线x-y+=0的倾斜角为（ ）（成都市高2021级2022-2023学年度上期期末名校联盟考试）
A B C D
4、已知直线：x-y+2=0和：x+y=0相交于点P（成都市高2021级2022-2023学年度上期期末名校联盟考试）
（1）若直线l经过点P且与：x+2y-2=0垂直，求直线l的方程；
（2）若直线经过点P且与：2x-3y-1=0平行，求直线的方程。
5、已知直线l：2x-3y+1=0，点A（-1，-2），求：
（1）过点A（-1，-2）且与直线l平行的直线m的方程；
（2）点A关于直线l的对称点的坐标（成都市2018—2019高一下期质量检测）
【解析】
【知识点】①直线系方程的定义与性质；②求直线系方程的基本方法；③轴对称的定义与性质；④求已知点关于已知直线对称点坐标的基本方法。
【解题思路】（1）运用直线系方程的性质，结合问题条件得到直线l含参数t的方程，根据直线l过点A得到关于参数t的方程，求解方程求出参数t的值就可求出直线l的方程；（2）设（x，y），运用轴对称的性质，结合问题得到关于x，y的方程组，求解方程组求出x，y的值就可求出点的坐标。
【详细解答】（1）直线l：2x-3y+1=0，直线m与直线l平行，直线m的方程为：2x-3y+t=0，
直线m过点A（-1，-2），-2+6+t=0，t=4，直线m的方程是：2x-3y+4=0；（2）设（x，y），点A关于直线l的对称点为，2-3+1=0， x=，
=-1， y=，
点的坐标为（-，）。
6、（理）已知直线l过点A（1，1），B（-1，3），则直线l的倾斜角为（ ）
A B C 或 D 或
（文）直线x-y-2018=0的倾斜角等于（ ）（成都市2017—2018高一下期质量检测）
A B C D 不存在
【解析】
【知识点】①已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；②已知直线一般式方程，求直线斜率的基本方法；③已知直线斜率，求直线倾斜角的基本方法。
【解题思路】（理）设直线l的斜率为k，倾斜角为，运用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件求出直线l的斜率，利用已知直线斜率，求直线倾斜角的基本方法就可求出所求直线的倾斜角。（文）设直线l的斜率为k，倾斜角为，运用已知直线一般式方程，求直线斜率的基本方法，结合问题条件求出直线l的斜率，利用已知直线斜率，求直线倾斜角的基本方法就可求出所求直线的倾斜角。
【详细解答】（理）设直线l的斜率为k，倾斜角为，k= =-1，直线l的倾斜角为，B正确，选B。（文）设直线l的斜率为k，倾斜角为， k=- =，直线l的倾斜角为，B正确，选B。
7、已知直线x+ky-2-2k=0恒过定点A，若点A在直线mx-y+2n=0(m＞0，n＞0)上，则+的最小值为（ ）（成都市2017—2018高一下期质量检测）
A B 18 C 9 D 25
【解析】
【知识点】①确定直线所过定点的基本方法；②点在直线上的定义与性质；③基本不等式及运用。
【解题思路】运用确定直线所过定点的基本方法，结合问题条件求出点A的坐标，根据点在一张直线上的性质得到关于m，n的等式，利用基本不等式就可求出+的最小值。
【详细解答】令y=2， x+2k-2-2k=0，x=2，点A（2，2），点A在直线mx-y+2n=0上，2m-2+2n=0，m+n=1， m＞0，n＞0，+=（+）（m+n）=4+ +
+9=13++13+213+26=25，D正确，选D。
8、（理）已知三角形的三个顶点A（-5，0），B（3，-3），C（0，2）。
（1）求线段AB的垂直平分线的方程；
（2）求ABC的面积（成都市2017—2018高一下期质量检测）
【解析】
【知识点】①已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；②线段中点的定义与性质；③直线点斜式方程及运用；③两条直线垂直的充分必要条件；④两点之间的距离公式及运用；⑤点到直线的距离公式及运用；⑥三角形面积公式及运用。
【解题思路】（1）设直线AB的斜率为k，线段AB垂直平分线的斜率为，线段AB的中点为D，运用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法，结合问题条件求出直线AB的斜率，从而求出线段AB垂直平分线的斜率，根据线段中点的性质求出点D的坐标，利用直线点斜式方程就可求出线段AB垂直平分线的方程；（2）运用两点之间的距离公式，点到直线的距离公式求出|AB|和边AB上的高，利用三角形的面积公式通过运算就可求出ABC的面积。
【详细解答】（1）设直线AB的斜率为k，线段AB垂直平分线的斜率为，线段AB的中点为D， k==-，k. =-1，=，点D是线段AB的中点，点D（-1，-），线段AB垂直平分线的方程为：y+=(x+1)，16x-6y+7=0；（2）直线AB的方程为：3x+8y+15=0，|AB|==，==，
==。
『思考问题3』
【典例3】是近几年高考（或高三诊断考试或高二期末考试）试卷中关于直线方程的问题，归结起来主要包括：①直线线倾斜角（或向量）的问题；②求直线方程的问题；③直线方程综合运用等几种类型；
解答直线相关问题的基本方法是：①根据问题结构特征判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习3〕解答下列问题：
1、垂直于直线y=x+1且与圆=1相切与第一象限的直线方程是（ ）（2013广东）（答案：A）
A x+y- =0 B x+y+1=0 C x+y-1=0 D x+y+ =0
2、已知直线l过圆+=4的圆心，且与直线x+y+1=0垂直，则l的方程是（ ）（2014安徽）（答案：D）
A x+y- 2=0 B x-y+2=0 C x+y-3=0 D x-y+ 3=0
3、已知点A的坐标为（4,1），将OA绕坐标原点逆时针旋转至OB，则点B的纵坐标为（ ）（2015上海）（答案：D）
A B C D
4、在平面直角坐标系中，曲线C： x=2+ t (t为参数)的普通方程为 （ 2014湖南） y=1+t ，（答案：曲线C的普通方程为y=x+1。）
5、已知四边形ABCD的四个顶点分别为A（0，0），B（1，7），C（6，2），D（5，-5）。
（1）求经过点B且与直线x-2y+1=0垂直的直线方程；
（2）试判断四边形ABCD的形状，并给出证明（成都市2017—2018高一下期质量检测）
（答案：（1）过点B且与直线x-2y+1=0垂直的直线方程为2x+y-9=0；（2）四边形ABCD是平行四边形，提示：证明AB//DC，AD//BC。）
6、已知直线l：kx-y+1+2k=0(kR)，直线l交x轴负半轴于点A，交y轴正半轴于点B。
（1）记ABO的面积为S，求S的最小值并求此时直线l的方程；
（2）直线l过定点M，求|MA||MB|的最小值（成都市2017—2018高一下期期末质量检测）
（答案：（1）S的最小值为4，此时直线l的方程为y=x+2；（2）|MA||MB|的最小值为4。）
P(1，1)
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