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第三十五讲 两条直线的位置关系
【考纲解读】
理解并掌握两条直线平行与垂直的充分必要条件，能够判断两条已知直线是否平行（或垂直）；
理解两条直线相交的定义，掌握求两条相交直线交点坐标与两条相交直线夹角的基本方法（注意一条直线到另一条直线的夹角和一条直线与另一条直线之间的夹角的不同含义）；
理解两点之间的距离，点到直线的距离，两条平行直线之间的距离的定义，掌握求两点之间的距离，点到直线的距离，两条平行直线之间的距离的公式，能够熟练计算两点之间的距离，点到直线的距离，两条平行直线之间的距离。
【知识精讲】
一、两条直线的位置关系：
1、两条直线平行：
设直线：x+y+=0， ：x+y+=0。
（1）==0， ∥≠ (≠0，≠0)
(2) ≠0，≠0， ∥=且≠
2、两条直线垂直：
设直线：x+y+=0， ：x+y+=0。
（1）=0（或=0），⊥=0（或=0）
（2）≠0，≠0， ⊥.=-1.+.=0
3、两直线重合：
设直线：x+y+=0， ：x+y+=0。
（1）==0， 与重合= (≠0，≠0)
（2）≠0，≠0， 与重合=且=
4、两直线斜交：
设直线：x+y+=0， ：x+y+=0。
（1）到的夹角： y
①到的夹角的定义：到的夹角是指
按逆时针方向旋转到时所成的角；
②到的夹角的求法：设 ， 0 x
，到的夹角为，则有：
tan= (≤＜)
（2）与的夹角： y
①与的夹角的意义：与的夹角是指
EMBED Equation.DSMT4 与斜交时所成的角的锐角；
②与的夹角的求法：设 ， 0 x
，与的夹角为，则有：tan=|| (≤＜)
二、两直线相交的交点坐标和点与直线的位置关系：
1、两条直线相交的交点坐标：
设直线：x+y+=0， ：x+y+=0。
求直线与的交点坐标可通过解方程组：x+y+=0来解决问题。
2、点与直线的位置关系： x+y+=0
设点P（，）， 直线L：Ax+By+C=0.
(1)点P在直线l上 A+B+C=0；
（2）点P不在直线l上，则点P到直线l的距离d可由公式：
点到直线的距离公式：d=求出。
3、两点间的距离公式：
设（，），（，），||=；
两条平行线之间的距离：
在一条直线上任意取一点，该点到另一条平行直线的距离，就是两条平行线之间的距离。
【探导考点】
考点1两条直线的平行与和垂直：热点①已知两条直线的方程，判断两条直线是否平行；热点②已知两条直线的方程；判断两条直线是否垂直；热点③已知两条直线平行（或垂直），求直线方程中参数的值（或取值范围）；
考点2两条直线交点坐标（或一条直线到另一条直线所成角或两条直线之间的夹角），点到直线（或两点之间或两条平行直线之间）的距离：热点①已知两条直线的方程，求两条直线的交点坐标；热点②已知两条直线的方程，求一条直线到另一条直线所成角（或两条直线之间的夹角）；热点③求点到直线（或两点之间或两条平行直线之间）的距离；
考点3对称问题：热点①关于定点中心对称问题；热点②关于定直线轴对称问题；热点③中心对称，轴对称的综合问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、在，a、b、c是内角A、B、C的对边，且lgsinA、lgsinB、lgsinC成等差数列，则下列两条直线：（A）x+(sinA)y-a=0， ：(B)x+(sinC)y-c=0的位置关系是（ ）
A 重合 B 相交（不垂直） C 垂直 D 平行
2、已知两直线：3x+5y-6=0， ：6x+10y+3=0，求证： ∥；
3、求过点P（-5,3）的直线方程，设它与直线x+2y-3=0的夹角为，满足：tan=2；
4、等腰三角形一腰所在的直线的方程为：x-2y-2=0，底边所在的直线的方程是：x+y-1=0，点（-2，0）在另一腰上，求这腰所在的直线的方程；
5、已知三角形三个顶点分别是：A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，求三角形三边上的高所在直线的方程。
『思考问题1』
（1）【典例1】是判断两条已知直线位置关系的问题，解答这类问题需要理解并掌握判断两条直线位置关系的充分必要条件；
（2）判定两条直线位置关系的基本方法是：：①直接判断法；②间接判断法；
（3）直接判断法是运用判断两条直线位置关系的充分必要条件：设直线：x+y+=0； ：x+y+=0。∥=且≠；与重合=且=；.=-1；
（4）间接判断法分两步进行：①判断两直线的斜率是否存在；②运用判断两条直线位置关系的充分必要条件得出结果。若两条直线的斜率都存在，则把两条直线的方程都化为斜截式，再看它们的斜率是否相等，截距是否相等（或两条直线斜率的乘积是否为-1）；若两条直线的斜率都不存在，只需判断在X轴上的截距是否相等；若两条直线中的一条直线斜率不存在，则只需判断另一条直线的斜率是否为0就可以了；
（5）到的夹角计算公式中 ，的位置是固定的，这里 ，分别是两条直线和的斜率；
（9）与的夹角计算公式中 ，的位置是不固定的，这里 、分别是两条直线和的斜率；
（10）在上面的公式中，当1+=0，即：=-1时，显然公式已经没有意义了，这时与的夹角为。
〔练习1〕解答下列问题：
1、根据下列条件求直线的方程：
（1）经过点A（2,3），且与直线2x+y-5=0平行；
（2）经过点C（1，-3），且平行于过两点M(2,1)和N(-1，-5)的直线；
（3）经过点B（3,0），且与直线x-y-2=0垂直；
2、已知三角形三个顶点分别是：A(4,0)、B(6,7)、C(0,3)，求三角形三边上的中垂线所在直线的方程；
3、三角形的三个顶点分别是：A(6,3)、B(9,3)、C（3,6），求三角形的三个内角的平分线所在的直线方程。
4、三角形的三个顶点分别是：A(6，3)，B(9，3)，C（3，6），求三角形的三个内角。
【典例2】解答下列问题：
1、设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（ ）
A 〔，2〕 B 〔，2〕 C 〔，4〕 D 〔2，4〕
2、已知直线l的倾斜角为，直线经过点A（3,2）、B（a，-1），且l与垂直，直线：2x+by+1=0与直线平行，则a+b=（ ）
A -4 B -2 C 0 D 2
3、已知两直线：（a-1）x+2y+1=0，：x+ay+3=0平行，则a= ；
4、已知两直线：x+y+6=0， ：（m-2）x+3my+2m=0，求m的值使得：
（1） ∥； （2） 与重合； （3） 与相交；
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知两条直线位置关系，求直线方程中参数的值或取值范围的问题，解答这类问题需要理解并掌握判断两条直线位置关系的充分必要条件，参数分类的原则和基本方法；
（2）一般式的直线方程若系数中含有参数，在判定直线的位置关系时，需分两种情况来考虑：①直线的斜率存在；②直线的斜率不存在；
（3）若直线方程是：：y=x+，：y=x+，则应该注意①∥，②⊥，③与重合，④与斜交的充分必要条件。
〔练习2〕解答下列问题：
1、若直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与直线（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（ ）
A 1 B -1 C 1 D -
2、已知直线：ax+2y+1=0与直线：（3-a）x-y+a=0，若，则实数a的值为（ ）
A 1 B 2 C 6 D 1或2
3、已知直线：（k-3）x+(4-k)y+1=0，：2(k-3)-2y+3=0平行，则k的取值是 。
【典例3】解答下列问题：
1、若动点A、B分别在直线：x+y-7=0， ：x+y-5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ）
A 3 B 2 C 3 D 4
2、点P到点A（1,0）和直线x=-1的距离相等，且P到直线y=x的距离等于，这样的点P共有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
3、求两平行线2x+3y-8=0,2x+3y+18=0间的距离；
4、已知A（0,3）、B（-1,0）、C（3,0），求点D的坐标，使四边形ABCD是等腰梯形；
5、已知三条直线：2x-y+a=0， ： -4x+2y+1=0，：x+y-1=0,且到的距离为。
（1）求a的值；
（2）求到的角；
『思考问题3』
（1）【典例3】是与距离相关的问题，解答这类问题需要理解并掌握两点之间的距离公式和点到直线的距离公式；运用这两个公式时，应该注意点到直线的距离公式中，直线的方程应该是直线方程是一般式方程；
（2）距离问题主要包括：①点到直线的距离；②两点之间的距离；
（3）求两平行直线间的距离时，应该把两直线方程中x、y的系数化成相同的形式。
〔练习3〕解答下列问题：
1、求点A（-2,3）到直线3x+4y+3=0的距离；
2、求经过直线：x-2y+2=0， ： 2x-y-2=0的交点，且与直线：2x+3y-12=0垂直的直线的方程；
3、求过点P（-1,2）到直线L：2x+y-10=0的距离；
4、求平行直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离。
【典例4】解答下列问题：
1、若圆O：+=4与圆C：++4x-4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程是（ ）
A x+y=0 B x-y=0 C x-y+2=0 D x+y+2=0
2、若m＞0，n＞0，点（-m，n）关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上，那么的最小值等于 ；
3、已知点A（5,8），直线L过点B（4,1）且与直线x-2y+1=0垂直，求点A关于直线L对称的点的坐标；
4、光线从点M（-2,3）射到X轴上一点P（1,0）后被X轴反射，求反射光线所在直线的方程。
『思考问题4』
（1）【典例4】是与对称相关的问题，解答这类问题需要理解并掌握中心对称图形，轴对称图形的定义和性质；
（2）对称问题主要包括：①中心对称问题；②轴对称问题；
（3）中心对称问题包括：①点与点的中心对称，解答时直接依据对称中心点是两点连线的中点得到相应的式子，从而求出结果；②直线与直线的中心对称，在已知直线上任意取两点，由点与点的中心对称问题求出对应直线上的两个对应点结合两点式可以得解，也可以求出一个对应点，根据对称的两直线平行结合点斜式得解；
（4）轴对称问题包括：①点与点的轴对称，解答时直接依据对称直线是两点连线被对称轴垂直平分得到相应的式子，从而求出结果；②直线与直线的轴对称，在已知直线上任意取两点，由点与点的轴对称问题求出对应直线上的两个对应点结合两点式可以得解，也可以求出一个对应点，根据对称的两直线平行结合点斜式得解。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知直线：x-y-1=0，若直线关于点A（2,1）成中心对称，求直线的方程；若关于直线x=-2对称，求直线的方程。
2、在平面直角坐标系XOY中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-。
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于M、N两点，问是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、已知直线：x+y+m=0，：x+y=0，则“//”是“m=1”的（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件， C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
2、点（0，-1）到直线y=k(x+1)距离的最大值为（ ）（2020全国高考新课标III文）
A 1 B C D 2
3、直线xcos+ysin+a=0与xsin-ycos+b=0的位置关系是（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考试）
A 平行 B 垂直 C 重合 D 与a，b，的值有关
4、已知直线l的参数方程为 x=1+3t，（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（ ）y=2+4t，（2019全国高考北京）
A B C D
5、已知a＞0,b＞0，若直线（a-1）x+2y-1=0与直线x+by=0互相垂直，则ab的最大值是
（2019成都市高三零诊）
6、（理）在平面直角坐标系XOY中，定义两点A（，），B（，）间的折线距离为d(A，B)=| -|+|-|，已知点O（0，0），C（x，y），d（O，C）=1，则的取值范围是 ；
（文）在平面直角坐标系XOY中，定义两点A（，），B（，）间的折线距离为d(A，B)=| -|+|-|，已知点O（0，0），C（x，y），d（O，C）=1，则的最小值是 （2019成都市高三二诊）
『思考问题5』
【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高二期末考试）试卷中两条直线位置关系的问题，归结起来主要包括：①已知两条直线的方程，判定两条直线的位置关系；②已知两条直线的位置关系，求直线方程中参数的值或取值范围；③两条直线交点坐标（或一条直线到另一条直线所成角或两条直线之间的夹角）的问题；④点到直线（或两点之间或两条平行直线之间）的距离问题；⑤与对称相关的问题等几种类型；
解答两条直线位置关系问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；
②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、在平面直角坐标系中，记d为点P（cos，sin）到直线x-my-2=0的距离，当，m变化时，d的最大值为（ ）（2018全国高考北京卷）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、（理）已知两条直线：（3+m）x+4y=5-3m；：2x+(5+m)y=8，若//，则实数m的值为 ；
（文）直线：x+y+5=0和直线：3mx+(m-2)y+m=0，若//，则实数m的值为( ) （成都市2017—2018高一下期质量检测）
A -1 B 0 C 0或-1 D 0或-1或3
3、（理）若直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与直线（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（ ）
A 1 B -1 C 1 D -
（文）已知直线：ax+2y+1=0与直线：（3-a）x-y+a=0，若，则实数a的值为（ ）（成都市2017—2018高一下期质量检测）
A 1 B 2 C 6 D 1或2
4、（理）直线ax+y+1=0与连接A（2，3），B（-3，2）的线段相交，则a的取值范围是（ ）
A ［-1，2］ B （-，-1］［2，+） C ［-2，1］ D （-，-2］［1，+）
（文）已知平面内两个A（-4，1），B（-3，-1），过定点M（-2，2）的直线与线段AB恒有公共点，则直线斜率的取值范围是 （成都市2017—2018高一下期质量检测）
第三十五讲 两条直线的位置关系
【考纲解读】
1.理解并掌握两条直线平行与垂直的充分必要条件，能够判断两条已知直线是否平行（或垂直）；
2.理解两条直线相交的定义，掌握求两条相交直线交点坐标与两条相交直线夹角的基本方法（注意一条直线到另一条直线的夹角和一条直线与另一条直线之间的夹角的不同含义）；
3.理解两点之间的距离，点到直线的距离，两条平行直线之间的距离的定义，掌握求两点之间的距离，点到直线的距离，两条平行直线之间的距离的公式，能够熟练计算两点之间的距离，点到直线的距离，两条平行直线之间的距离。
【知识精讲】
一、两条直线的位置关系：
1、两条直线平行：
设直线：x+y+=0， ：x+y+=0。
（1）==0， ∥≠ (≠0，≠0)
(2) ≠0，≠0， ∥=且≠
2、两条直线垂直：
设直线：x+y+=0， ：x+y+=0。
（1）=0（或=0），⊥=0（或=0）
（2）≠0，≠0， ⊥.=-1.+.=0
3、两直线重合：
设直线：x+y+=0， ：x+y+=0。
（1）==0， 与重合= (≠0，≠0)
（2）≠0，≠0， 与重合=且=
4、两直线斜交：
设直线：x+y+=0， ：x+y+=0。
（1）到的夹角： y
①到的夹角的定义：到的夹角是指
按逆时针方向旋转到时所成的角；
②到的夹角的求法：设 ， 0 x
，到的夹角为，则有：
tan= (≤＜)
（2）与的夹角： y
①与的夹角的意义：与的夹角是指
EMBED Equation.DSMT4 与斜交时所成的角的锐角；
②与的夹角的求法：设 ， 0 x
，与的夹角为，则有：tan=|| (≤＜)
二、两直线相交的交点坐标和点与直线的位置关系：
1、两条直线相交的交点坐标：
设直线：x+y+=0， ：x+y+=0。
求直线与的交点坐标可通过解方程组：x+y+=0来解决问题。
2、点与直线的位置关系： x+y+=0
设点P（，）， 直线L：Ax+By+C=0.
(1)点P在直线l上 A+B+C=0；
（2）点P不在直线l上，则点P到直线l的距离d可由公式：
点到直线的距离公式：d=求出。
3、两点间的距离公式：
设（，），（，），||=；
两条平行线之间的距离：
在一条直线上任意取一点，该点到另一条平行直线的距离，就是两条平行线之间的距离。
【探导考点】
考点1两条直线的平行与和垂直：热点①已知两条直线的方程，判断两条直线是否平行；热点②已知两条直线的方程；判断两条直线是否垂直；热点③已知两条直线平行（或垂直），求直线方程中参数的值（或取值范围）；
考点2两条直线交点坐标（或一条直线到另一条直线所成角或两条直线之间的夹角），点到直线（或两点之间或两条平行直线之间）的距离：热点①已知两条直线的方程，求两条直线的交点坐标；热点②已知两条直线的方程，求一条直线到另一条直线所成角（或两条直线之间的夹角）；热点③求点到直线（或两点之间或两条平行直线之间）的距离；
考点3对称问题：热点①关于定点中心对称问题；热点②关于定直线轴对称问题；热点③中心对称，轴对称的综合问题。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、在，a、b、c是内角A、B、C的对边，且lgsinA、lgsinB、lgsinC成等差数列，则下列两条直线：（A）x+(sinA)y-a=0， ：(B)x+(sinC)y-c=0的位置关系是（ ）
A 重合 B 相交（不垂直） C 垂直 D 平行
【解析】
【知识点】①等差数列的定义与性质；②对数的定义与性质；③求一般式直线方程斜率的基本方法；④正弦定理及运用；⑤判定两条直线位置关系的充分必要条件。
【解题思路】运用等差数列的性质，对数的运算性质，结合问题条件得到sinA，sinB，sinC直角的关系式，根据求一般式直线方程斜率的基本方法求出两条直线的斜率，利用判定两条直线位置关系的充分必要条件就可得出选项。
【详细解答】lgsinA、lgsinB、lgsinC成等差数列，2 lgsinB=lgsinA+lgsinC， lgsin B=lgsinA.sinC， sin B=sinA.sinC，=-=-sinA，=-=-
=- sinA，= ，两条直线，重合，A正确，选A。
2、已知两直线：3x+5y-6=0， ：6x+10y+3=0，求证： ∥；
【解析】
【知识点】①求一般式直线方程斜率的基本方法；②判定两条直线位置关系的充分必要条件。
【解题思路】运用求一般式直线方程斜率的基本方法求出两条直线的斜率，利用判定两条直线位置关系的充分必要条件就可证明结论。
【详细解答】=-，=-=-，=，-， ∥。
3、求过点P（-5,3）的直线方程，设它与直线x+2y-3=0的夹角为，满足：tan=2；
【解析】
【知识点】①求一般式直线方程斜率的基本方法；②两条直线相交的交角公式及运用；③直线点斜式方程及运用。
【解题思路】设所求直线的斜率为k，已知直线的斜率为，运用求一般式直线方程斜率的基本方法求出已知直线的斜率，根据两条直线相交的交角公式得到关于k的方程，求解方程得出k的值，利用直线点斜式方程就可求出所求直线的方程。
【详细解答】设所求直线的斜率为k，已知直线的斜率为，=-， tan=||
=2，||=2，k=-，过点P（-5,3）且与直线x+2y-3=0的夹角为，满足：tan=2的直线方程为：y-3=-(x+5)，即：3x+4y+3=0。
4、等腰三角形一腰所在的直线的方程为：x-2y-2=0，底边所在的直线的方程是：x+y-1=0，点（-2，0）在另一腰上，求这腰所在的直线的方程；
【解析】
【知识点】①求一般式直线方程斜率的基本方法；②两条直线相交的交角公式及运用；③等腰三角形的定义与性质；④直线点斜式方程及运用。
【解题思路】运用求一般式直线方程斜率的基本方法分别求出直线，的斜率，，根据两条直线相交的交角公式得到关于k的方程，求解方程得出k的值，利用直线点斜式方程就可求出所求直线的方程。
【详细解答】设所求直线，，的斜率分别为，，，直线，的夹角为，直线，的夹角为， =，=-1，tan= ||= ||=3， tan=||
=||，直线，，分别是等腰三角形腰，底边，腰所在的直线，||=3，
=或=2，=时，直线和 平行或重合与题意不符，=2，直线过点（-2，0），直线的方程为：y=2(x+2)，即：2x-y+4=0。
5、已知三角形三个顶点分别是：A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，求三角形三边上的高所在直线的方程。
【解析】
【知识点】①已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；②两条直线垂直的充分必要条件；③直线点斜式方程及运用。
【解题思路】运用已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法分别求出三角形三边所在直线的斜率，，根据两条直线垂直的充分必要条件分别得到关于三角形三边上高所在直线的斜率，，的方程，分别求解方程得出，，的值，利用直线点斜式方程就可求出三角形三边上高所在直线的方程。
【详细解答】设三角形三边所在直线AB，BC，AC的斜率分别为，，，三角形三边上高所在直线的斜率分别为，，，==，==，=
=-，.=-1，.=-1，.=-1，=-，=-，=，边AB，BC，AC上高所在直线分别过点C(0，3)，A(4，0)，B(6，7)，AB，BC，AC边上高所在直线的方程分别为：y-3=-(x-0)，y=-(x-4)，y-7=(x-6)，即：2x+7y-21=0，3x+2y-12=0，4x-3y-3=0。
『思考问题1』
（1）【典例1】是判断两条已知直线位置关系的问题，解答这类问题需要理解并掌握判断两条直线位置关系的充分必要条件；
（2）判定两条直线位置关系的基本方法是：：①直接判断法；②间接判断法；
（3）直接判断法是运用判断两条直线位置关系的充分必要条件：设直线：x+y+=0； ：x+y+=0。∥=且≠；与重合=且=；.=-1；
（4）间接判断法分两步进行：①判断两直线的斜率是否存在；②运用判断两条直线位置关系的充分必要条件得出结果。若两条直线的斜率都存在，则把两条直线的方程都化为斜截式，再看它们的斜率是否相等，截距是否相等（或两条直线斜率的乘积是否为-1）；若两条直线的斜率都不存在，只需判断在X轴上的截距是否相等；若两条直线中的一条直线斜率不存在，则只需判断另一条直线的斜率是否为0就可以了；
（5）到的夹角计算公式中 ，的位置是固定的，这里 ，分别是两条直线和的斜率；
（9）与的夹角计算公式中 ，的位置是不固定的，这里 、分别是两条直线和的斜率；
（10）在上面的公式中，当1+=0，即：=-1时，显然公式已经没有意义了，这时与的夹角为。
〔练习1〕解答下列问题：
1、根据下列条件求直线的方程：
（1）经过点A（2，3），且与直线2x+y-5=0平行；
（2）经过点C（1，-3），且平行于过两点M(2，1)和N(-1，-5)的直线；
（3）经过点B（3，0），且与直线x-y-2=0垂直；
（答案：（1）2x+y-7=0；（2）2x-y-5=0；（3）x+y-3=0。）
2、已知三角形三个顶点分别是：A(4，0)，B(6，7)，C(0，3)，求三角形三边上的中垂线所在直线的方程；（答案：AB边上中垂线所在直线的方程是4x+14y-29=0；BC边上中垂线所在直线的方程是3x+2y-19=0；AC边上中垂线所在直线的方程是8x-6y-7=0。）
3、三角形的三个顶点分别是：A(6，3)、B(9，3)、C（3，6），求三角形的三个内角的平分线所在的直线方程；（答案：角A的平分线所在的直线方程是（-1）x-y+9-6=0；角B的平分线所在的直线方程是（2-）x-y+21-9=0；角C的平分线所在的直线方程是（1-）x-3y+21-3=0；）
4、三角形的三个顶点分别是：A(6，3)，B(9，3)，C（3，6），求三角形的三个内角。（答案：A=；B=arccos；C=arccos。）
【典例2】解答下列问题：
1、设mR，过定点A的动直线x+my=0和过定点B的动直线mx-y-m+3=0交于点P（x，y），则|PA|+|PB|的取值范围是（ ）
A 〔，2〕 B 〔，2〕 C 〔，4〕 D 〔2，4〕
【解析】
【知识点】①确定直线所过定点的基本方法；②求两条直线交点的基本方法；③两点之间距离公式及运用；④求函数值域的基本方法。
【解题思路】运用确定直线所过定点的基本方法，求两条直线交点的基本方法，结合问题条件求出点A，B，P的坐标，根据两点之间的距离公式把|PA|+|PB|表示成关于参数m的函数，利用求函数值域的基本方法求出|PA|+|PB|的取值范围就可得出选项。
【详细解答】当y=0时，由x+my=0得x=0，A（0，0），当x=1时，由mx-y-m+3=0得y=3，B（1，3），联立x+my=0与mx-y-m+3=0得x= ，y= ，P（，），①当m=0时，P（0，3），|PA|+|PB|=+=3+1=4；
②当m 0时，直线x+my=0的斜率=-，直线mx-y-m+3=0的斜率=m，.=-1，点P在以|AB|为直径的圆上，当点P与点A或点B重合时，|PA|+|PB|=|AB|==为最小值，当PAPB时，|PA|+|PB|=|AB|=10，（ |PA|+|PB|）2（|PA|+|PB|）
2|AB|=210=20， |PA|+|PB|2，综上所述|PA|+|PB|的取值范围是[，2]，
B正确，选B。
2、已知直线l的倾斜角为，直线经过点A（3,2）、B（a，-1），且l与垂直，直线：2x+by+1=0与直线平行，则a+b=（ ）
A -4 B -2 C 0 D 2
【解析】
【知识点】①已知直线倾斜角求直线斜率的基本方法；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；③一般式直线方程求斜率的基本方法；④判定两条直线位置关系的基本方法。
【解题思路】运用已知直线倾斜角，求直线斜率的基本方法，已知直线上两点坐标，求直线斜率的基本方法，已知直线一般式方程，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别求出直线l，，的斜率k，，的值，根据判定两条直线位置关系的基本方法，就会问题条件得到含参数a，b的方程组，求解方程组求出a，b的值，从而求出a+b的值就可得出选项。
【详细解答】直线l的倾斜角为，k=tan=-1，直线经过点A（3，2）、B（a，-1），=，直线：2x+by+1=0，=-，直线 l与垂直，直线与平行，
-1=-1，=-，a=0，b=-2，a+b=0-2=-2，B正确，选B。
3、已知两直线：（a-1）x+2y+1=0，：x+ay+3=0平行，则a= ；
【解析】
【知识点】①一般式直线方程求斜率的基本方法；②判定两条直线位置关系的基本方法；③参数分类的原则与基本方法。
【解题思路】①当a=0时，运用已知直线一般式方程，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别求出直线，的斜率，的值，根据判定两条直线位置关系的基本方法，可知直线与不可能平行，从而得到a 0；②当a 0时，运用已知直线一般式方程，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别求出直线，的斜率，的值，根据判定两条直线位置关系的基本方法，结合问题条件得到含参数a的方程，求解方程就可求出a的值。
【详细解答】①当a=0时，=，不存在，直线与平行不可能存在， a 0；②当a 0时，=-，=-，，-=-，且--，a=-1或a=2,，
综上所述两直线：（a-1）x+2y+1=0，：x+ay+3=0平行时，a=-1或a=2,。
4、已知两直线：x+y+6=0， ：（m-2）x+3my+2m=0，求m的值使得：
（1） ∥； （2） 与重合； （3） 与相交；
【解析】
【知识点】①一般式直线方程求斜率的基本方法；②判定两条直线位置关系的基本方法；③参数分类的原则与基本方法。
【解题思路】（1）①当m=0时，运用平行于Y轴直线的特征可知直线//；②当m0时，运用已知直线一般式方程，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别求出直线，的斜率，的值，根据判定两条直线位置关系的基本方法得到含参数m的方程，求解方程就可求出m的值；（2）①当m=0时，运用平行于Y轴直线的特征可知直线//，直线与不可能重合；②当m0时，运用已知直线一般式方程，求直线斜率的基本方法，结合问题条件分别求出直线，的斜率，的值，根据判定两条直线位置关系的基本方法得到含参数m的方程，求解方程就可求出m的值；（3）根据同一平面内两条直线位置关系，结合（1）（2）的结果就可求出m的值。
【详细解答】（1）①当m=0时，直线：x+y+6=0， ：（m-2）x+3my+2m=0可化为：直线：x+6=0， ：-2x=0，显然//成立；②当m0时，=-，=-，
//，=且，m=-1或m=3，m=3时，=，m=-1；综上所述，当//时，m=0或m=-1；（2）①当m=0时，直线：x+y+6=0， ：（m-2）x+3my+2m=0可化为：直线：x+6=0， ：-2x=0，显然与重合不成立；②当m0时，=-，=-，与重合，=且=，m=-1或m=3，m=-1时，=6，m=3；综上所述，当与重合时，m=3；（3）同一平面内两条直线的位置关系只有平行，重合和相交三种情况，当 与相交时，m的值为（-，0）（0，-1）（-1，3）（3，+）。
『思考问题2』
（1）【典例2】是已知两条直线位置关系，求直线方程中参数的值或取值范围的问题，解答这类问题需要理解并掌握判断两条直线位置关系的充分必要条件，参数分类的原则和基本方法；
（2）一般式的直线方程若系数中含有参数，在判定直线的位置关系时，需分两种情况来考虑：①直线的斜率存在；②直线的斜率不存在；
（3）若直线方程是：：y=x+，：y=x+，则应该注意①∥，②⊥，③与重合，④与斜交的充分必要条件。
〔练习2〕解答下列问题：
1、若直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与直线（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（ ）（答案：C）
A 1 B -1 C 1 D -
2、已知直线：ax+2y+1=0与直线：（3-a）x-y+a=0，若，则实数a的值为（ ）
A 1 B 2 C 6 D 1或2 （答案：D）
3、已知直线：（k-3）x+(4-k)y+1=0，：2(k-3)x-2y+3=0平行，则k的取值是 。（答案：k=3或k=5。）
【典例3】解答下列问题：
1、若动点A、B分别在直线：x+y-7=0， ：x+y-5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（ ）
A 3 B 2 C 3 D 4
【解析】
【知识点】①两条直线平行的定义与性质；②线段中点的定义与求法；③两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】运用线段中点的求法，点在直线上的性质，结合问题条件求出线段AB中点满足的等式，从而把中点的纵坐标表示成横坐标的式子，根据两点之间的距离公式得到关于横坐标的函数，利用求函数最值的基本方法求出AB的中点M到原点的距离的最小值就可得出选项。
【详细解答】设点A（，），B（，），M（，），动点A、B分别在直线：x+y-7=0， ：x+y-5=0上移动，+-7=0，+-5=0，+++=12，
+=6，M是线段AB的中点，=，=，+
=6，=6-，|OM|===3，AB的中点M到原点的距离的最小值为3，A正确，选A。
2、点P到点A（1,0）和直线x=-1的距离相等，且P到直线y=x的距离等于，这样的点P共有（ ）
A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
【解析】
【知识点】①点到直线距离公式及运用；②两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】运用点到直线距离公式，两点之间距离公式，结合问题条件得到关于点P坐标的方程组，求解方程组求出点P坐标的值就可得出选项。
【详细解答】设点P（，），点P到点A（1,0）和直线x=-1的距离相等，且P到直线y=x的距离等于， =， =1，或 =3+2，或 =3-2，
=|+1|，=2， =2+2，=2-2，
这样的点P共有3个，C正确，选C。
3、求两平行线2x+3y-8=0,2x+3y+18=0间的距离；
【解析】
【知识点】①点到直线距离公式及运用；②两条直线平行的定义与性质。
【解题思路】运用两条直线平行的性质，点到直线距离公式，结合问题条件求出一条直线上的一个特殊点到另一条直线的距离就可求出两条平行直线之间的距离。
【详细解答】在直线2x+3y-8=0上取一点P（4，0）, 点P到直线2x+3y+18=0的距离为：
=2，两平行线2x+3y-8=0,2x+3y+18=0间的距离为2。
4、已知A（0,3）、B（-1,0）、C（3,0），求点D的坐标，使四边形ABCD是等腰梯形；
【解析】
【知识点】①两点之间距离公式及运用；②等腰梯形的定义与性质；③已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；④判定两条直线位置关系的基本方法。
【解题思路】运用等腰梯形的性质，两点之间距离公式，结合问题条件得到关于点D坐标的方程组，求解方程组求出点D坐标的值就可求出点D的坐标。
【详细解答】如图，设点D（，）, ①当 y
AB//CD时，四边形ABCD是等腰梯形， A D
=， =4，或 =， D
EMBED Equation.DSMT4 =，=3， =， B 0 C x
<3， D（，）；②当AD//BC时，四边形ABCD是等腰梯形，
EMBED Equation.DSMT4 =0， =4，或 =2，<3， D（2，3），综上所述当
=，=3， =3，四边形ABCD是等腰梯形时，点D的坐标是
（，）或（2，3）。
5、已知三条直线：2x-y+a=0， ： -4x+2y+1=0，：x+y-1=0,且到的距离为。
（1）求a的值；
（2）求到的角；
【解析】
【知识点】①点到直线距离公式及运用；②两条直线平行的定义与性质；③两条相交直线夹角公式及运用。
【解题思路】（1）运用两条直线平行的性质，点到直线距离公式，结合问题条件求出一条直线上的一个特殊点到另一条直线的距离得到关于参数a的方程，求解方程就可求出参数a的值；运用两条直线相交夹角公式，结合问题条件求出夹角的正切值，从而求出到的角。
【详细解答】（1）在直线-4x+2y+1=0上取一点P（，0）, 点P（，0）到直线2x-y+a=0的距离，=，a=或a=-；（2）设到的角为，直线的斜率为，直线的斜率为， =2，=-1，tan===-3，
到的角为arctan（-3）.
『思考问题3』
（1）【典例3】是与距离相关的问题，解答这类问题需要理解并掌握两点之间的距离公式和点到直线的距离公式；运用这两个公式时，应该注意点到直线的距离公式中，直线的方程应该是直线方程是一般式方程；
（2）距离问题主要包括：①点到直线的距离；②两点之间的距离；
（3）求两平行直线间的距离时，应该把两直线方程中x、y的系数化成相同的形式。
〔练习3〕解答下列问题：
1、求点A（-2,3）到直线3x+4y+3=0的距离；（答案：。）
2、求经过直线：x-2y+2=0， ： 2x-y-2=0的交点，且与直线：2x+3y-12=0垂直的直线的方程；（答案：直线的方程为3x-2y-2=0。）
3、求过点P（-1，2）到直线l：2x+y-10=0的距离；（答案：2。）
4、求平行直线2x-7y+8=0和2x-7y-6=0的距离。（答案：。）
【典例4】解答下列问题：
1、若圆O：+=4与圆C：++4x-4y+4=0关于直线l对称，则直线l的方程是（ ）
A x+y=0 B x-y=0 C x-y+2=0 D x+y+2=0
【解析】
【知识点】①圆的定义与性质；②轴对称图形的定义与性质。
【解题思路】运用圆的性质，轴对称图形的性质，结合问题条件得到圆O：+=4任意一点关于直线l对称的点在圆C：++4x-4y+4=0上，且对称点的连线被直线l垂直平分，从而求出直线l的方程，就可得出选项。
【详细解答】圆O：+=4与圆C：++4x-4y+4=0关于直线l对称，直线l的方程为：（++4x-4y+4）-（+-4）=0，即：x-y+2=0，C正确，选C。
2、若m＞0，n＞0，点（-m，n）关于直线x+y-1=0的对称点在直线x-y+2=0上，那么的最小值等于 ；
【解析】
【知识点】①中心对称图形的定义与性质；②基本不等式及运用。
【解题思路】运用中心称图形的性质，结合问题条件求出点（-m，n）关于直线x+y-1=0对称点的坐标，根据对称点在直线x-y+2=0上得到关于m，n的等式，利用基本不等式就可求出的最小值。
【详细解答】设点（-m，n）关于直线x+y-1=0对称点为P（，）， +
-1=0，且=1，=1-n，=1+m， P（1-n，1+m），点P在直线x-y+2=0上，
1-n-1-m+2=0，m+n=2，= （）（m+n）= （1+ + +4）
（5+ 2），当且仅当= ，即n=2m时，等号成立，的最小值为。
3、已知点A（5,8），直线L过点B（4,1）且与直线x-2y+1=0垂直，求点A关于直线L对称的点的坐标；
【解析】
【知识点】①直线系方程的定义与性质；②求直线系方程的基本方法；③轴对称图形的定义与性质；④求已知点关于已知直线对称点坐标的基本方法。
【解题思路】设（x，y），运用直线系方程的性质，结合问题条件得到直线l含参数t的方程，根据直线l过点B得到关于参数t的方程，求解方程求出参数t的值就可求出直线l的方程，根据轴对称的性质，结合问题得到关于x，y的方程组，求解方程组求出x，y的值就可求出点的坐标。
【详细解答】设（x，y），直线l与直线x-2y+1=0垂直，直线l的方程为：2x+y+t=0，
直线l过点B（4，1），2 4+1+t=0，t=-9，直线l的方程是：2x+y-9=0，点A关于直线l的对称点为，2 + -9=0， x=4，点的坐标为（4，-8）。
（-2）=-1， y=-8，
4、光线从点M（-2,3）射到X轴上一点P（1,0）后被X轴反射，求反射光线所在直线的方程。
【解析】
【知识点】①直线点斜式方程及运用；②已知直线上两点的坐标，求直线斜率的基本方法；③轴对称图形的定义与性质。
【解题思路】设直线PM的斜率为，所求直线的斜率为k，运用轴对称图形的性质，结合问题条件求出所求直线的斜率k的值，根据直线点斜式方程就可求出所求直线的方程。
【详细解答】设直线PM的斜率为，所求直线的斜率为k，==-1，k=-，
k=1，直线过点P（1,0），反射光线所在直线的方程为：y=x-1，即：x-y-1=0。
『思考问题4』
（1）【典例4】是与对称相关的问题，解答这类问题需要理解并掌握中心对称图形，轴对称图形的定义和性质；
（2）对称问题主要包括：①中心对称问题；②轴对称问题；
（3）中心对称问题包括：①点与点的中心对称，解答时直接依据对称中心点是两点连线的中点得到相应的式子，从而求出结果；②直线与直线的中心对称，在已知直线上任意取两点，由点与点的中心对称问题求出对应直线上的两个对应点结合两点式可以得解，也可以求出一个对应点，根据对称的两直线平行结合点斜式得解；
（4）轴对称问题包括：①点与点的轴对称，解答时直接依据对称直线是两点连线被对称轴垂直平分得到相应的式子，从而求出结果；②直线与直线的轴对称，在已知直线上任意取两点，由点与点的轴对称问题求出对应直线上的两个对应点结合两点式可以得解，也可以求出一个对应点，根据对称的两直线平行结合点斜式得解。
〔练习4〕解答下列问题：
1、已知直线：x-y-1=0，若直线关于点A（2，1）成中心对称，求直线的方程；若关于直线x=-2对称，求直线的方程。（答案：x-y-1=0；x+y+5=0）
2、在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1，1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于-。
（1）求动点P的轨迹方程；
（2）设直线AP和BP分别与直线x=3交于M，N两点，问是否存在点P使得PAB与PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。
（答案：（1）动点P的轨迹方程为+=1（x-1且x1）；（2）存在点P（，），使得PAB与PMN的面积相等。）
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、已知直线：x+y+m=0，：x+y=0，则“//”是“m=1”的（ ）（成都市2019级高三零诊）
A 充分不必要条件 B 必要不充分条件， C 充分必要条件 D 既不充分也不必要条件
【解析】
【考点】①充分条件，必要条件，充分必要条件定义与性质；②判断充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法；③两条直线平行的充分必要条件及运用。
【解题思路】根据充分条件，必要条件，充分必要条件的性质和两条直线平行的充分必要条件，运用跑道充分条件，必要条件，充分必要条件的基本方法，结合问题条件得到“//” 是“m=1”的结果就可得出选项。
【详细解答】当//时，有=1，且m0，m=1或m=-1，“//”不是“m=1”的充分条件，当m=1时，：x+y+1=0，：x+y=0，//，“//”是“m=1”的必要条件，“//”是“m=1”的必要不充分条件，B正确，选B。
2、点（0，-1）到直线y=k(x+1)距离的最大值为（ ）（2020全国高考新课标III文）
A 1 B C D 2
【解析】
【考点】①点到直线的距离公式及运用；②基本不等式及运用。
【解答思路】根据点到直线的距离公式，结合问题条件得到关于k的函数，运用基本不等式求出点（0，1）到直线y=k(x+1)距离的最大值就可得出选项。
【详细解答】点（0，1）到直线y=k(x+1)距离为：d=，==1
-=1-，当且仅当k=-1时，=1+1=2为最大值，点（0，1）到直线y=k(x+1)距离的最大值为d=，B正确，选B。
3、直线xcos+ysin+a=0与xsin-ycos+b=0的位置关系是（ ）（2018-2019成都市高一下期期末考试）
A 平行 B 垂直 C 重合 D 与a，b，的值有关
【解析】
【知识点】①直线方程一般式的定义与性质；②求直线一般式斜率的基本方法；③判定两直线位置关系的基本方法。
【解题思路】对分=k+（kZ），=k（kZ）和k+（kZ）且k（kZ）三种情况，运用求直线一般式斜率的基本方法，结合问题条件分别确定两直线的斜率，利用判定两直线位置关系的基本方法就可得出选项。
【详细解答】①当=k+（kZ）时，直线xcos+ysin+a=0的斜率为0，直线xsin-ycos+b=0的斜率不存在，两直线垂直；②当=k（kZ）时，直线xcos
+ysin+a=0的斜率不存在，直线xsin-ycos+b=0的斜率为0，两直线垂直；③当k+（kZ）且k（kZ）时，直线xcos+ysin+a=0的斜率为- ，直线xsin-ycos+b=0的斜率为，- .=-1，两直线垂直，综上所述，
直线xcos+ysin+a=0与xsin-ycos+b=0垂直，B正确，选B。
4、已知直线l的参数方程为 x=1+3t，（t为参数），则点（1，0）到直线l的距离是（ ）y=2+4t，（2019全国高考北京）
A B C D
【解析】
【知识点】①直线参数方程的定义与性质；②参数方程化普通方程的基本方法；③点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】运用参数方程化普通方程的基本方法，结合问题条件求出直线l的普通方程，利用点到直线的距离公式求出点（1，0）到直线l的距离就可得出选项。
【详细解答】直线l的参数方程为 x=1+3t，（t为参数），直线l的普通方程为：
y=2+4t，4x-3y+2=0，点（1，0）到直线l的距离是
=，D正确，选D。
5、已知a＞0,b＞0，若直线（a-1）x+2y-1=0与直线x+by=0互相垂直，则ab的最大值是
（2019成都市高三零诊）
【解析】
【知识点】①已知直线一般式方程，求直线斜率的基本方法；②判定两条直线位置关系的充分必要条件；③基本不等式及运用。
【解题思路】运用已知直线一般式方程，求直线斜率的基本方法分别求出两条直线的斜率，根据两条直线垂直的充分必要条件得到a，b的等式，利用基本不等式就可求出ab的最大值。
【详细解答】直线（a-1）x+2y-1=0与直线x+by=0互相垂直，-（-）=-1，
a-1=-2b，a+2b=1， a＞0,b＞0，1=a+2b 2，ab，ab的最大值
为。
6、（理）在平面直角坐标系XOY中，定义两点A（，），B（，）间的折线距离为d(A，B)=| -|+|-|，已知点O（0，0），C（x，y），d（O，C）=1，则的取值范围是 ；
（文）在平面直角坐标系XOY中，定义两点A（，），B（，）间的折线距离为d(A，B)=| -|+|-|，已知点O（0，0），C（x，y），d（O，C）=1，则的最小值是 （2019成都市高三二诊）
【解析】
【知识点】①新定义的理解与运用；②绝对值的定义与性质；③函数值域的定义与求法。
【解题思路】（理）在理解新定义的基础上，运用新定义并结合问题条件求出x，y的取值范围，注意的几何意义，根据x，y的取值范围就可求出的取值范围。
（文）在理解新定义的基础上，运用新定义并结合问题条件求出x，y的取值范围，注意
的几何意义，根据x，y的取值范围就可求出的取值范围。
【详细解答】（理）d（O，C）=|x-0|+|y-0|=1， -1x1，-1y1，①当x=1，y=0或y=1，x=0时，= =1；②当x=y=时，=
=，当d（O，C）=1时，的取值范围是[，1]。（文）d（O，C）=|x-0|+|y-0|=1， -1x1，-1y1，当x=y=时，= =，当d（O，C）=1时，的 最小值是。
『思考问题5』
【典例5】是近几年高考（或高三诊断考试或高二期末考试）试卷中两条直线位置关系的问题，归结起来主要包括：①已知两条直线的方程，判定两条直线的位置关系；②已知两条直线的位置关系，求直线方程中参数的值或取值范围；③两条直线交点坐标（或一条直线到另一条直线所成角或两条直线之间的夹角）的问题；④点到直线（或两点之间或两条平行直线之间）的距离问题；⑤与对称相关的问题等几种类型；
解答两条直线位置关系问题的基本方法是：①根据问题结构特征，判断问题所属类型；
②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、在平面直角坐标系中，记d为点P（cos，sin）到直线x-my-2=0的距离，当，m变化时，d的最大值为（ ）（2018全国高考北京卷）（答案：C）
A 1 B 2 C 3 D 4
2、（理）已知两条直线：（3+m）x+4y=5-3m；：2x+(5+m)y=8，若//，则实数m的值为 ；（答案：m=-7）
（文）直线：x+y+5=0和直线：3mx+(m-2)y+m=0，若//，则实数m的值为( ) （成都市2017—2018高一下期质量检测）（答案：B）
A -1 B 0 C 0或-1 D 0或-1或3
3、（理）若直线（a+2）x+（1-a）y-3=0与直线（a-1）x+（2a+3）y+2=0互相垂直，则a的值为（ ）（答案：C）
A 1 B -1 C 1 D -
（文）已知直线：ax+2y+1=0与直线：（3-a）x-y+a=0，若，则实数a的值为（ ）（成都市2017—2018高一下期质量检测）（答案：C）
A 1 B 2 C 6 D 1或2
4、（理）直线ax+y+1=0与连接A（2，3），B（-3，2）的线段相交，则a的取值范围是（ ）（答案：D）
A ［-1，2］ B （-，-1］［2，+） C ［-2，1］ D （-，-2］［1，+）
文）已知平面内两个A（-4，1），B（-3，-1），过定点M（-2，2）的直线与线段AB恒有公共点，则直线斜率的取值范围是 （成都市2017—2018高一下期质量检测）（答案：直线斜率的取值范围是[，3]）
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