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第三十六讲 圆的方程
【考纲解读】
理解圆，圆的标准方程和圆的一般方程的定义，掌握求圆的标准方程和一般方程的基本方法，了解圆的标准方程，一般方程之间转化的基本方法；
了解圆参数方程的定义，掌握圆的标准方程和一般方程化参数方程的基本方法，能够运用圆的参数方程求解与圆相关的最值问题；
3、理解圆的切线，切线方程的定义，掌握求圆的切线方程的基本方法。
【知识精讲】 y
一、圆的概念：
1、圆的定义：
平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹，叫做圆。
2、理解定义时应注意的问题： 0 x
（1）如图，圆定义中的定点为圆的圆心；
（2）如图，圆定义中的定长是圆的半径。
二、圆的方程：
1、圆的标准方程：
（1）圆的标准方程：设圆心为C（a，b），圆的半径是r，则方程：，称为圆的标准方程；
（2）圆的标准方程的特例：当圆心在坐标原点时，圆的方程可以表示为：=。
2、圆的一般方程：
（1）圆一般方程的定义：方程+Dx+Ey+F=0，称为圆的一般方程；
（2）方程+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件：
①当+-4F>0时，方程+Dx+Ey+F=0表示一个圆；
②当+-4F=0时，方程+Dx+Ey+F=0表示一个点；
③当+-4F<0时，方程+Dx+Ey+F=0不表示任何图形；
（3）圆的一般方程化成标准方程的基本方法是配方法。
3、圆的参数方程：
（1）圆的参数方程的定义：方程 x=a+rcos (为参数)，称为圆的参数方程；
y=b+rsin x=rcos
（2）圆参数方程的特例：当圆心在坐标原点时，圆的参数方程可以表示为： y=rsin (为参数)。
（3）圆的参数方程化成普通方程的基本方法是消参数。
三、圆系方程：
1、圆系方程的定义：
具有某些共同性质的所有圆组成的集合，称为圆系，它们的方程叫做圆系方程。
2、常见圆系方程的类型：
（1）同心圆系方程：（其中a，b为常数，r＞0是参数）；
（2）半径相等的圆系方程：（其中a，b为参数，r＞0是常数）；
（3）过直线Ax+By+C=0与圆+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程：+Dx+Ey+F+（
Ax+By+C）=0（R是参数）；
（4）过圆：+x+y+=0和圆：+x+y+=0交点的圆系方程：+x+y++（+x+y+）=0（R是参数，其中不含圆，因此注意检验是否满足题意，以防丢解）；
四、圆的切线方程：
1、圆的切线方程的定义：
与圆相切的直线，称为圆的切线，它的方程，叫做圆的切线方程。
2、圆的切线方程问题常见的类型：
（1）已知点在圆上，设圆的方程为：=，圆上一点是P，则过点P与圆相切的切线方程是：x+y=；
（2）已知点在圆外，设圆的方程为：+Dx+Ey+F =，圆外一点是P，若切点为T，则切线长公式为：|MT|=。
五、与圆有关的最值问题：
１、与圆相关最值问题的类型：
常见的类型有：①u=形式的最值问题；②t=ax+by形式的最值问题；③+
形式的最值问题。
2、与圆相关最值问题的处理方法：
（1）基本思路是借助图形的性质，利用数形结合的方法求解；
（2）对u=形式的最值问题可以转化为动直线斜率的最值问题来解答；
（3）对t=ax+by形式的最值问题可以转化为动直线截距的最值问题来解答；
（4）对+形式的最值问题可以转化为动点到定点距离的最值问题来解答。
【探导考点】
考点1圆的方程：热点①已知圆满足一定条件，求圆的标准方程；热点②已知圆满足一定条件，求圆的一般方程；热点③圆的标准方程与一般方程之间的转化；
考点2与圆相关的最值问题：热点①已知动点在圆上，求某个代数式的最值；热点②已知动点在圆上，求动点到定点距离的最值；热点③已知动点在圆上，求动点到定直线距离的最值；
考点3与圆相关的轨迹问题：热点①已知动点P在圆上和定点A的坐标，求线段PA中点的轨迹方程；热点②已知动点P在圆上和定点A，B的坐标，求直线PA，PB满足某一条件的点的轨迹方程。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、圆心在抛物线=2y（x＞0）上，并且与抛物线的准线及Y轴都相切的圆的方程是（ ）A -x-2y+1=0 B -2x-y+1=0 C -x-2y+=0 D -2x-y+=0
2、若一三角形的三边所在的直线方程分别为：x+2y-5=0，y-2=0，x+y-4=0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为 ；
3、求以C（1，3）为圆心，且与直线3x-4y-7=0相切的圆的标准方程；
4、已知圆与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2，求圆的标准方程；
5、已知圆经过A（5，1），B(4，4)，C（1，3）三点，求圆的标准方程。
『思考问题1』
（1）【典例1】是求圆方程的问题，解答这类问题的基本原则是：①如果从条件中容易求出圆心坐标和半径或需要用圆心坐标列方程，则选用圆的标准方程；②如果条件与圆心坐标和半径没有直接关系，则选用圆的一般方程；
（2）求圆方程常用的方法是：①定义法；②待定系数法；
（3）当已知圆的圆心坐标求圆的标准方程一般用定义法，这时只需根据问题条件件求出圆的半径，问题就可以解决；
（4）当圆心坐标、圆的半径都没有给出求圆的标准方程一般用待定系数法，这时需要根据问题条件，求出圆心坐标和圆的半径才能解决问题；
（5）待定系数法求圆方程的基本方法是：①根据题意选择圆的标准方程或一般方程；②根据问题条件列出关于圆心坐标，圆半径或一次项系数和常数项的方程组；③ 解方程组求出
圆心坐标，圆半径或一次项系数和常数项；④ 把求出的结果代入假设式；
（6）求圆方程时常用的有关圆的几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆任一弦的垂直平分线线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点在同一直线上；④圆心到弦的距离、圆的半径、弦长的一半构成一个直角三角形。
〔练习1〕解答下列问题：
1、求圆心M在Y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的标准方程；
2、已知圆的圆心在原点，且与直线4x+3y-70=0相切，求圆的标准方程；
3、已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，且被直线x-y=0截得的弦长为4，求圆的标准方程。
4、求过直线2x+y+4=0和圆+2x-4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程；
5、求过圆+2x-4y+1=0和圆+2x-6y-4=0交点，且与直线2x-y+4=0相切的圆的方程。
【典例2】解答下列问题：
1、已知一曲线是到两个定点O(0，0)，A（3，0）的距离之比为的点的轨迹，求该曲线的方程，若曲线是圆，求出圆的半径和圆心坐标。
2、已知方程-2（m+3）x+2(1-4)y+16+9=0表示一个圆。
（1）求实数m的取值范围；
（2）求该圆半径r的取值范围；
（3）求圆心的轨迹方程。
3、在平面直角坐标系XOY中，已知圆P在X轴上截得的线段长为2，在Y轴上截得的线段长为2。
（1）求圆心P的轨迹方程；
（2）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程。
4、把圆的方程-6x=0化成参数方程。
5、把圆的参数方程化成普通方程：
（1） x=1+2cos （2） x=2+cos
y=3+2sin y=2+sin
『思考问题2』
（1）【典例2】是圆的标准方程，一般方程和参数方程之间的关系及运用的问题，解决这类问题需要掌握圆的标准方程与一般方程和参数方程互化的基本方法；
（2）方程+Dx+Ey+F=0，①表示圆的充分必要条件是+-4F>0；②表示一个点的充分必要条件是+-4F=0；③当+-4F<0时，方程+Dx+Ey+F=0不表示任何图形；
（3）圆的一般方程化成标准方程的基本方法是配方法；
（4）圆的普通方程化成参数方程的基本方法是：①把圆的一般方程化为标准方程；②将圆的标准方程化为参数方程；
（5）圆的参数方程化成普通方程的基本方法是：①把圆的参数方程作适当变换；②将变换后的方程两边同时平方再相加。
〔练习2〕解答下列问题：
1、圆+2x-4y=0的半径为（ ）
A 3 B C D 5
2、求下列各圆的半径和圆心坐标：
（1）-6x=0； （2）+2by=0；
（3）-2ax-2ay+3=0； （4）-8x+6y=0。
3、已知圆经过A（0,0）、B（1,1）、C（4,2），求圆的一般方程，并求出圆的半径和圆心坐标。 y
4、如图已知点P是圆=16上的一个动点，点A P
是X轴上的定点，坐标为（12，0），当点P在圆上运动 M
时，线段PA的中点M的轨迹是什么？ A x
5、把圆的参数方程化成普通方程：
（1） x=1+5cos （2） x=2+4cos
y=-1+5sin y=2+4sin
6、把圆的方程+2x-4y-4=0化成参数方程。
【典例3】解答下列问题：
1、、已知圆=10上一点M（2，），求过点M与圆相切的切线方程；
2、已知圆的方程是=1，求：
（1）斜率等于1的切线的方程；
（2）在Y轴上截距是的切线的方程。
『思考问题3』
（1）【典例3】是与圆的切线相关的问题，解决这类问题需要掌握求直线方程的基本方法，熟悉直线方程常用的五种形式；
（2）结合图形并联系平面几何中圆的相关知识，可以使问题的解答更为简捷。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知圆=12上一点M（2，-3），求过点M与圆相切的切线方程；
2、已知圆的方程是=2，求：
（1）斜率等于的切线的方程；
（2）在Y轴上截距是2的切线的方程。
【典例4】解答下列问题：
1、圆-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0距离的最大值与最小值之差是（ ）
A 36 B 18 C 6 D 5
2、若实数x、y满足：+ =3，则的最大值为 ；
3、已知圆C：=1，点A(-1，0)，点B（1，0），点P是圆上的动点，求d=的最大值和最小值及对应的P点的坐标。
4、已知实数x、y满足：-4x+1=0。
（1）求的最大值和最小值；
（2）求y-x的最大值和最小值；
5、已知实数x、y满足：-4x+1=0。
（1）求y-x的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值。
『思考问题4』
（1）【典例4】是与圆相关的最值问题，解答这类问题需要注意最值问题的常见类型，掌握数形结合的基本方法；
（2）与圆相关常见的最值问题有：①求u=形式的最值，这类问题可转化为动点（x，y）与定点（a，b）斜率的最值；②求t=ax+by形式的最值，这类问题可转化为动点（x，y）截距的最值；③求+形式的最值，这类问题可转化为动点（x，y）到定点（a，b）的距离的的最值。
〔练习4〕解答下列问题：
1、圆+4x+4y-10=0上的点到直线x+y-10=0的最大值与最小值之差是（ ）
A 36 B 18 C 6 D 5
2、若实数x、y满足：-2x+4y=0，求x-y的最大值；
3、若实数x、y满足：+4x-2y=0，求x-y的最大值；
4、已知圆C：=1，点A(-2,0)、点B（2,0），点P是圆上的动点，求d=的最大值和最小值及对应的P点的坐标；
5、已知实数x、y满足：-6x+1=0。
（1）求的最大值和最小值；
（2）求y-x的最大值和最小值。
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、已知点P在圆+=16上，点A（4，0），B（0，2），则（ ）（2021全国高考新高考I）
A 点P到直线AB的距离小于10 B 点P到直线AB的距离大于2
C 当PBA最小时，|PB|=3 D 当PBA最大时，|PB|=3
2、（理）已知等边ABC的三个顶点均在圆+=4上，点P（，），则.
+.的最小值为（ ）
A 14 B 10 C 8 D 2
（文）已知A，B是圆+=4上的两个动点，且满足|AB|=2，点P（，），则.
的最小值为（ ）（成都市2021高三三诊）
A B C 1 D 7-2
3、点（0，1）到直线y=k(x+1)距离的最大值为（ ）（2020全国高考新课标III）
A 1 B C D 2
4、如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）（2019全国高考北京）
A 4+4cos B 4+4sin C 2+2cos D 2+2sin
5、设抛物线=4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 （2019全国高考北京）
6、在平面直角坐标系中，弧AB，CD，EF，GH是圆=1上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以OX为始边，OP为终边，若tan＜cos＜sin，则P所在的圆弧是（ ）（2018全国高考北京卷）
A 弧AB B 弧CD C 弧EF D 弧GH
7、已知圆C：-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，则实数m= 。
『思考问题5』
【典例5】是近几年高考（或高三的诊断考试或高二期末考试）试卷中与圆的方程相关的问题，归结起来主要包括：①给定条件，求圆的方程；②圆标准方程与一般方程和参数方程的互化；③求圆的切线方程；④与圆相关的最值问题等几种类型；
解答圆的方程问题的基本方法是：①根据问题结构特征判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知直线x+my+n-1=0(m>0，n>0）与圆+=9相交于A，B两点，且|AB|的长度始终为6，则mn的最大值为（ ）（成都市高2021级2022-2023学年度上期期末考试）
A 1 B C D
2、已知圆：++6x=0和圆：++4y-5=0相交于A，B两点，若圆C的圆心在直线x-y+2=0上，且圆C过A，B两点，则圆C的方程为 （成都市高2020级2021-2022学年度上期期末考试）
3、已知A，B是圆O：=4上两个动点，||=2，=-，若M是线段AB的中点，则.的值为（ ）（2017成都市高三一珍）
A 3 B 2 C 2 D -3
4、圆-4x+6y=0的圆心坐标是（ ）（2011全国高考四川卷）
A　　(2，3)　　　B　　　(－2，3)　　C　　　(－2，－3)　　D　　(2，－3)
5、如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为 （2017成都市高三三诊）
6、若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是 （2013全国高考江西卷）
第三十六讲 圆的方程
【考纲解读】
1.理解圆，圆的标准方程和圆的一般方程的定义，掌握求圆的标准方程和一般方程的基本方法，了解圆的标准方程，一般方程之间转化的基本方法；
2.了解圆参数方程的定义，掌握圆的标准方程和一般方程化参数方程的基本方法，能够运用圆的参数方程求解与圆相关的最值问题；
3.理解圆的切线，切线方程的定义，掌握求圆的切线方程的基本方法。
【知识精讲】 y
一、圆的概念：
1、圆的定义：
平面内到一定点的距离等于定长的点的轨迹，叫做圆。
2、理解定义时应注意的问题： 0 x
（1）如图，圆定义中的定点为圆的圆心；
（2）如图，圆定义中的定长是圆的半径。
二、圆的方程：
1、圆的标准方程：
（1）圆的标准方程：设圆心为C（a，b），圆的半径是r，则方程：，称为圆的标准方程；
（2）圆的标准方程的特例：当圆心在坐标原点时，圆的方程可以表示为：=。
2、圆的一般方程：
（1）圆一般方程的定义：方程+Dx+Ey+F=0，称为圆的一般方程；
（2）方程+Dx+Ey+F=0表示圆的充要条件：
①当+-4F>0时，方程+Dx+Ey+F=0表示一个圆；
②当+-4F=0时，方程+Dx+Ey+F=0表示一个点；
③当+-4F<0时，方程+Dx+Ey+F=0不表示任何图形；
（3）圆的一般方程化成标准方程的基本方法是配方法。
3、圆的参数方程：
（1）圆的参数方程的定义：方程 x=a+rcos (为参数)，称为圆的参数方程；
y=b+rsin x=rcos
（2）圆参数方程的特例：当圆心在坐标原点时，圆的参数方程可以表示为： y=rsin (为参数)。
（3）圆的参数方程化成普通方程的基本方法是消参数。
三、圆系方程：
1、圆系方程的定义：
具有某些共同性质的所有圆组成的集合，称为圆系，它们的方程叫做圆系方程。
2、常见圆系方程的类型：
（1）同心圆系方程：（其中a，b为常数，r＞0是参数）；
（2）半径相等的圆系方程：（其中a，b为参数，r＞0是常数）；
（3）过直线Ax+By+C=0与圆+Dx+Ey+F=0交点的圆系方程：+Dx+Ey+F+（
Ax+By+C）=0（R是参数）；
（4）过圆：+x+y+=0和圆：+x+y+=0交点的圆系方程：+x+y++（+x+y+）=0（R是参数，其中不含圆，因此注意检验是否满足题意，以防丢解）；
四、圆的切线方程：
1、圆的切线方程的定义：
与圆相切的直线，称为圆的切线，它的方程，叫做圆的切线方程。
2、圆的切线方程问题常见的类型：
（1）已知点在圆上，设圆的方程为：=，圆上一点是P，则过点P与圆相切的切线方程是：x+y=；
（2）已知点在圆外，设圆的方程为：+Dx+Ey+F =，圆外一点是P，若切点为T，则切线长公式为：|MT|=。
五、与圆有关的最值问题：
１、与圆相关最值问题的类型：
常见的类型有：①u=形式的最值问题；②t=ax+by形式的最值问题；③+
形式的最值问题。
2、与圆相关最值问题的处理方法：
（1）基本思路是借助图形的性质，利用数形结合的方法求解；
（2）对u=形式的最值问题可以转化为动直线斜率的最值问题来解答；
（3）对t=ax+by形式的最值问题可以转化为动直线截距的最值问题来解答；
（4）对+形式的最值问题可以转化为动点到定点距离的最值问题来解答。
【探导考点】
考点1圆的方程：热点①已知圆满足一定条件，求圆的标准方程；热点②已知圆满足一定条件，求圆的一般方程；热点③圆的标准方程与一般方程之间的转化；
考点2与圆相关的最值问题：热点①已知动点在圆上，求某个代数式的最值；热点②已知动点在圆上，求动点到定点距离的最值；热点③已知动点在圆上，求动点到定直线距离的最值；
考点3与圆相关的轨迹问题：热点①已知动点P在圆上和定点A的坐标，求线段PA中点的轨迹方程；热点②已知动点P在圆上和定点A，B的坐标，求直线PA，PB满足某一条件的点的轨迹方程。
【典例解析】
【典例1】解答下列问题：
1、圆心在抛物线=2y（x＞0）上，并且与抛物线的准线及Y轴都相切的圆的方程是（ ）A -x-2y+1=0 B -2x-y+1=0 C -x-2y+=0 D -2x-y+=0
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②求圆方程的基本方法。
【解题思路】运用抛物线的性质，求圆方程的基本方法，结合问题条件求出圆的方程就可得出选项。
【详细解答】设圆的方程为：+Dx+Ey+F=0，+Dx+Ey+F=0，
+=，圆心在抛物线=2y（x＞0）上，并且与抛物线的准线及Y轴都相切，=2（-）①， =②，=③， 联立①②③解得： D=-2， E=-1，F=，圆的方程为：-2x-y+=0，D正确，选D。
2、若一三角形的三边所在的直线方程分别为：x+2y-5=0，y-2=0，x+y-4=0，则能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为 ；
【解析】
【知识点】①求圆方程的基本方法；②三角形的定义与性质；③求两条直线交点坐标的基本方法。
【解题思路】运用求两条直线交点坐标的基本方法，结合问题条件求出三角形三个顶点的坐标，从而得到三角形是一个钝角三角形，根据覆盖钝角三角形最小圆是以钝角的对边为直径的圆就可求出圆的方程。
【详细解答】 由x+2y-5=0，得 x=1， x+2y-5=0，得 x= 3，y-2=0， 得 x=2，三角
y-2=0， y=2， x+y-4=0， y=1，x+y-4=0， y=2， 形三个
顶点的坐标分别为A（1，2），B（3，1），C（2，2），|AB|==，|AC|==1，
|BC|==，|AB|=5>|AC|+|BC|=1+2=3，ABC是以AB为最大边的钝角三角形，能够覆盖此三角形且面积最小的圆是以|AB|为直径的圆，能够覆盖此三角形且面积最小的圆的方程为：+=。
3、求以C（1，3）为圆心，且与直线3x-4y-7=0相切的圆的标准方程；
【解析】
【知识点】①圆标准方程的定义与性质；②求圆标准方程的基本方法；③点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】运用圆标准方程的性质，求圆标准方程的基本方法，结合问题条件求出圆的半径R得到圆的坐标方程就可得出选项。
【详细解答】设圆的标准方程为：+=，圆与直线3x-4y-7=0相切，
R==，以C（1，3）为圆心，且与直线3x-4y-7=0相切的圆的标准方程为：+=。
4、已知圆与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2，求圆的标准方程；
【解析】
【知识点】①圆标准方程的定义与性质；②求圆标准方程的基本方法；③直径三角形的定义与性质。
【解题思路】运用直径三角形的性质，圆标准方程的性质，求圆标准方程的基本方法，结合问题条件得到关于圆心坐标，圆半径的方程组，求解方程组求出圆的圆心坐标和半径就可求出圆的标准方程。
【详细解答】设圆的标准方程为：+=，圆与x轴相切，圆心在直线3x-y=0上，且被直线x-y=0截得的弦长为2， |b|=R， a=1，
3a-b=0， b=3，
（）+7=，=9，
圆的标准方程为：+=9或+=9。
5、已知圆经过A（5，1），B(4，4)，C（1，3）三点，求圆的标准方程。
【解析】
【知识点】①圆标准方程的定义与性质；②求圆标准方程的基本方法。
【解题思路】运用圆标准方程的性质，求圆标准方程的基本方法，结合问题条件得到关于圆心坐标，圆半径的方程组，求解方程组求出圆的圆心坐标和半径就可求出圆的标准方程。
【详细解答】设圆的标准方程为：+=，圆经过A（5,1）、B(4,4)、C（1，
3）三点， +=， a=3，过A（5，1），B(4，4)，C（1，3）三点
+=， b=2，圆的方程为：+ =5。
+=， ,=5，
『思考问题1』
（1）【典例1】是求圆方程的问题，解答这类问题的基本原则是：①如果从条件中容易求出圆心坐标和半径或需要用圆心坐标列方程，则选用圆的标准方程；②如果条件与圆心坐标和半径没有直接关系，则选用圆的一般方程；
（2）求圆方程常用的方法是：①定义法；②待定系数法；
（3）当已知圆的圆心坐标求圆的标准方程一般用定义法，这时只需根据问题条件件求出圆的半径，问题就可以解决；
（4）当圆心坐标、圆的半径都没有给出求圆的标准方程一般用待定系数法，这时需要根据问题条件，求出圆心坐标和圆的半径才能解决问题；
（5）待定系数法求圆方程的基本方法是：①根据题意选择圆的标准方程或一般方程；②根据问题条件列出关于圆心坐标，圆半径或一次项系数和常数项的方程组；③ 解方程组求出
圆心坐标，圆半径或一次项系数和常数项；④ 把求出的结果代入假设式；
（6）求圆方程时常用的有关圆的几何性质：①圆心在过切点且与切线垂直的直线上；②圆心在圆任一弦的垂直平分线线上；③两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点在同一直线上；④圆心到弦的距离、圆的半径、弦长的一半构成一个直角三角形。
〔练习1〕解答下列问题：
1、求圆心M在y轴上，半径为1，且过点（1，2）的圆的标准方程；（答案：圆的标准方程是+=1）
2、已知圆的圆心在原点，且与直线4x+3y-70=0相切，求圆的标准方程；（答案：圆的标准方程是+=12）
3、已知圆的半径为，圆心在直线y=2x上，且被直线x-y=0截得的弦长为4，求圆的标准方程。（答案：圆的标准方程是+=10或+=10）
4、求过直线2x+y+4=0和圆+2x-4y+1=0的交点，且面积最小的圆的方程；（答案：圆的方程是+=）
5、求过圆+2x-4y+1=0和圆+2x-6y-4=0交点，且与直线2x-y+4=0相切的圆的方程。（答案：圆的方程是+=4）
【典例2】解答下列问题：
1、已知一曲线是到两个定点O(0，0)，A（3，0）的距离之比为的点的轨迹，求该曲线的方程，若曲线是圆，求出圆的半径和圆心坐标。
【解析】
【知识点】①点轨迹方程的定义与求法；②圆一般方程化标准方程的基本方法。
【解题思路】运用求点轨迹方程的基本方法，结合问题条件求出曲线的方程，根据圆一般方程化标准方程的基本方法把圆方程化成圆的标准方程，就可求出圆心坐标和圆的半径。
【详细解答】设动点P（x，y），|PO|= ，|PA|= ，=，
2=，+2x-3=0，该曲线的方程为：+2x-3=0，
是一个圆；+2x-3=0，+=4，圆的半径R=2，圆心坐标为（-1，0）。
2、已知方程-2（m+3）x+2(1-4)y+16+9=0表示一个圆。
（1）求实数m的取值范围；
（2）求该圆半径r的取值范围；
（3）求圆心的轨迹方程。
【解析】
【知识点】①圆一般方程化标准方程的基本方法；②点轨迹方程的定义与求法；方程表示一个圆的充分必要条件；④参数方程化普通方程的基本方法。
【解题思路】（1）运用圆一般方程化标准方程的基本方法，结合问题条件得到圆的标准方程，根据方程表示一个圆的充分必要条件得到关于实数m的不等式，求解不等式就可求出实数m的取值范围；（2）由（1）得到半径关于m的函数，根据实数m的取值范围求出函数的值域就可求出圆半径的取值范围；（3）由（1）得到圆心轨迹关于参数m的参数方程，利用参数方程化普通方程的基本方法就可得到圆心的轨迹方程。
【详细解答】（1）-2（m+3）x+2(1-4)y+16+9=0，+=
1+6m-7表示一个圆，1+6m-7>0，-0，该圆半径r的取值范围上（0，）；（3）由（1）知，圆心坐标为（m+3，4-1），
x=m+3，y=4-1，y=4-1，圆心的轨迹方程为：y=4-1（x（，4））。
3、在平面直角坐标系XOY中，已知圆P在X轴上截得的线段长为2，在Y轴上截得的线段长为2。
（1）求圆心P的轨迹方程；
（2）若P点到直线y=x的距离为，求圆P的方程。
【解析】
【知识点】①点轨迹方程的定义与求法；②直角三角形的定义与性质；点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】（1）运用求点轨迹方程的基本方法，结合问题条件就可求出圆心P的轨迹方程；（2）根据点到直线的距离公式，结合问题条件的官员x，y的等式，从而求出圆P的方程。
【详细解答】（1）设圆心P（x，y），圆的半径为R，圆P在X轴上截得的线段长为2，在Y轴上截得的线段长为2，+3=，+2=，-=1，圆心P的轨迹方程为：-=1（xR）；（2） P点到直线y=x的距离为，=，
=1，-=1，x=0，y=-1，或x=0，y=1，=3，圆P的方程为：
+=3或+=3。
4、把圆的方程-6x=0化成参数方程。
【解析】
【知识点】①圆一般方程化标准方程的基本方法；②圆标准方程化参数方程的基本方法。
【解题思路】运用圆一般方程化标准方程的基本方法把圆的方程化为标准方程，利用圆标准方程化参数方程的基本方法就可得到圆的参数方程。
【详细解答】-6x=0，+=9，圆-6x=0的参数方程为：
x=3+3 cos，
y=3sin，
5、把圆的参数方程化成普通方程：
（1） x=1+2cos （2） x=2+cos
y=3+2sin y=2+sin
【解析】
【知识点】①圆参数方程化普通方程的基本方法。
【解题思路】运用圆参数方程化普通方程的基本方法就可得到圆的普通方程。
【详细解答】（1）圆的参数方程为： x=1+2cos，+=4（cos +
y=3+2sin，sin ）=4，该圆的普通方程
是：+=4，（2）圆的参数方程为：x=2+cos，+= cos
y=2+sin，+ sin =1，该圆的普通
方程是： +=1。
『思考问题2』
（1）【典例2】是圆的标准方程，一般方程和参数方程之间的关系及运用的问题，解决这类问题需要掌握圆的标准方程与一般方程和参数方程互化的基本方法；
（2）方程+Dx+Ey+F=0，①表示圆的充分必要条件是+-4F>0；②表示一个点的充分必要条件是+-4F=0；③当+-4F<0时，方程+Dx+Ey+F=0不表示任何图形；
（3）圆的一般方程化成标准方程的基本方法是配方法；
（4）圆的普通方程化成参数方程的基本方法是：①把圆的一般方程化为标准方程；②将圆的标准方程化为参数方程；
（5）圆的参数方程化成普通方程的基本方法是：①把圆的参数方程作适当变换；②将变换后的方程两边同时平方再相加。
〔练习2〕解答下列问题：
1、圆+2x-4y=0的半径为（ ）（答案：C）
A 3 B C D 5
2、求下列各圆的半径和圆心坐标：
（1）-6x=0； （2）+2by=0；
（3）-2ax-2ay+3=0； （4）-8x+6y=0。
（答案：（1）圆的半径为3，圆心坐标为（3，0）；（2）圆的半径为b，圆心坐标为（0，-b）；（3）圆的半径为a，圆心坐标为（a，a）；（4）圆的半径为5，圆心坐标为（4，-3）。）
3、已知圆经过A（0，0），B（1，1），C（4，2），求圆的一般方程，并求出圆的半径和圆心坐标。（答案：圆的一般方程是-8x+6y=0，圆的半径为5，圆心坐标为（4，-3）。）
y
4、如图已知点P是圆=16上的一个动点，点A P
是x轴上的定点，坐标为（12，0），当点P在圆上运动 M
时，线段PA的中点M的轨迹是什么？ x A
（答案：线段PA的中点M的轨迹是以点（6，0）为圆心，
2为半径的圆。）
5、把圆的参数方程化成普通方程：
（1） x=1+5cos （2） x=2+4cos
y=-1+5sin y=2+4sin
（答案：（1）圆的普通方程为+=25；（2）圆的普通方程为+=16）
6、把圆的方程+2x-4y-4=0化成参数方程。（答案：圆的方程+2x-4y-4=0的参数方程为x=-1+3cos，y=2+3sin（为参数）。）
【典例3】解答下列问题：
1、、已知圆=10上一点M（2，），求过点M与圆相切的切线方程；
【解析】
【知识点】①圆切线的定义与性质；②求直线方程的基本方法。
【解题思路】运用圆切线的性质，结合问题条件求出切线的斜率，利用求直线方程的基本方法就可得到过圆上一点的切线方程。
【详细解答】设所求切线的斜率为k，k. =-1，k=-，切线过点M（2，），过点M与圆相切的切线方程为：y-=-(x-2)，即：x+3y-5=0。
2、已知圆的方程是=1，求：
（1）斜率等于1的切线的方程；
（2）在Y轴上截距是的切线的方程。
【解析】
【知识点】①圆切线的定义与性质；②求直线方程的基本方法；③勾股定理及运用。
【解题思路】（1）运用圆切线的性质，结合问题条件求出切线切点的坐标，利用求直线方程的基本方法就可得到过圆上一点的切线方程；（2）如图，运用勾股定理求出切点与原点连线的倾斜角，从而求出切线的斜率，利用求直线方程的基本方法就可求出符合题意的切线方程。
【详细解答】（1）设所求切线的切点为M（，），+=1，.1=-1，=，=-或=-，=，所求切线的切点为（，-）或（-，），圆=1斜率等于1的切线的方程为：y+=x-或y-=x+，即：x-y-=0
或x-y+=0；（2）如图，设所求切线的切点为 y A
M或N，与Y轴的交点为A或B，连接OM， M
ON，在RtAMO中，AM+OM=OA， x
AM= OA- OM=2-1=1，|AM|=1， B
AOM=，直线AM的斜率为-1，同理可得直线BN的斜率为1，圆=1,在Y轴上截距是的切线的方程为：x+y-=0或x-y-=0。
『思考问题3』
（1）【典例3】是与圆的切线相关的问题，解决这类问题需要掌握求直线方程的基本方法，熟悉直线方程常用的五种形式；
（2）结合图形并联系平面几何中圆的相关知识，可以使问题的解答更为简捷。
〔练习3〕解答下列问题：
1、已知圆=12上一点M（2，-3），求过点M与圆相切的切线方程；（答案：过点M与圆相切的切线方程是2x-3y-2=0。）
2、已知圆的方程是=2，求：
（1）斜率等于的切线的方程；（答案：（1）斜率等于的切线的方程是x-y2=0；
（2）在y轴上截距是2的切线的方程。（2）在y轴上截距是2的切线的方程是y=0。)
【典例4】解答下列问题：
1、圆-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0距离的最大值与最小值之差是（ ）
A 36 B 18 C 6 D 5
【解析】
【知识点】①圆标准方程与一般方程和参数方程互化的基本方法；②求三角函数最值的基本方法；③点到直线的距离公式及运用。
【解题思路】运用圆标准方程与一般方程和参数方程互化的基本方法把圆方程化为参数方程，根据点到直线的距离公式得到关于参数的三角函数，利用求三角函数最值的基本方法求出该三角函数的最大值和最小值，从而求出圆-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0距离的最大值与最小值之差就可得出选项。
【详细解答】圆-4x-4y-10=0 + =18，圆的参数方程为：
x=2+3cos，y=2+3sin，设M（2+3cos，2+3sin）是圆-4x-4y-10=0上的任意一点，=
=，-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0距离的最大值为8，,最小值为2，圆-4x-4y-10=0上的点到直线x+y-14=0距离的最大值与最小值之差为8-2=6，C正确，选C。
2、若实数x、y满足：+ =3，则的最大值为 ；
【解析】
【知识点】①圆方程的定义与性质；②求函数最值的基本方法。
【解题思路】设=k，运用点在圆上的性质，结合问题条件得到关于x的一元二次方程，根据x是实数得到关于k的一元二次不等式，求解一元二次不等式得出k的取值范围，从而求出的最大值和最小值。
【详细解答】设=k，y=kx，实数x，y满足：+ =3， +-4x+1=0，
（1+）-4x+1=0，x是实数，=16-4（1+）=12-40，-k，的最大值为。
3、已知圆C：=1，点A(-1，0)，点B（1，0），点P是圆上的动点，求d=的最大值和最小值及对应的P点的坐标。
【解析】
【知识点】①圆标准方程与一般方程和参数方程互化的基本方法；②求三角函数最值的基本方法；③两点之间的距离公式及运用。
【解题思路】运用圆标准方程与一般方程和参数方程互化的基本方法把圆方程化为参数方程，根据两点之间的距离公式得到关于参数的三角函数，利用求三角函数最值的基本方法求出该三角函数取最大值和最小值时参数的取值，从而求出d=的最大值和最小值及对应的P点的坐标。
【详细解答】圆C：=1的参数方程为：x=3+ cos，y=4+sin，设M（3+cos，4+sin）为圆C：=1上的任意一点， d== + + + =16sin+12 cos+54=2 sin（+）+54（tan=），当sin（+）=1，即+=2k+，=2k+-（k Z），sin=cos=，cos=sin=时，d==2+54为最大值，此时点P的坐标为P（，）；当sin（+）=-1，即+=2k+ ，=2k+ -（k Z），sin=-cos=-，cos=-sin=-时，d==2+54为最小值，此时点P的坐标为P（，）， d=的最大值和最小值及对应的P点的坐标分别为P（，），P（，）。
4、已知实数x、y满足：-4x+1=0。
（1）求的最大值和最小值；
（2）求y-x的最大值和最小值；
【解析】
【知识点】①圆方程的定义与性质；②求函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）设=k，运用点在圆上的性质，结合问题条件得到关于x的一元二次方程，根据x是实数得到关于k的一元二次不等式，求解一元二次不等式得出k的取值范围，从而求出的最大值和最小值；（2）设y-x=k，运用点在圆上的性质，结合问题条件得到关于x的一元二次方程，根据x是实数得到关于k的一元二次不等式，求解一元二次不等式得出k的取值范围，从而求出y-x的最大值和最小值。
【详细解答】（1）设=k，y=kx，实数x，y满足：-4x+1=0，+-4x+1=0，
（1+）-4x+1=0，x是实数，=16-4（1+）=12-40，-k，的最大值为，最小值为-；（2）设y-x=k，y=k+x，实数x，y满足：-4x+1=0，++2kx+-4x+1=0，2+2（k-2）x++1=0，x是实数，=4-8（1+）=-4-16k+80，-2-k-2+，y-x的最大值为-2+，最小值为-2-。
5、已知实数x、y满足：-4x+1=0。
（1）求y-x的最大值和最小值；
（2）求的最大值和最小值。
【解析】
【知识点】①圆方程的定义与性质；②求函数最值的基本方法；③圆标准方程与一般方程和参数方程互化的基本方法；④求三角函数最值的基本方法。
【解题思路】（1）设y-x=k，运用点在圆上的性质，结合问题条件得到关于x的一元二次方程，根据x是实数得到关于k的一元二次不等式，求解一元二次不等式得出k的取值范围，从而求出y-x的最大值和最小值；（2）运用圆标准方程与一般方程和参数方程互化的基本方法把圆的方程化为参数方程，结合问题条件得到关于参数的三角函数，利用求三角函数最值的基本方法就可求出的最大值和最小值。
【详细解答】（1）设y-x=k，y=k+x，实数x，y满足：-4x+1=0，++2kx+-4x+1=0，2+2（k-2）x++1=0，x是实数，=4-8（1+）=-4-16k+80，-2-k-2+，y-x的最大值为-2+，最小值为-2-；（2）-4x+1=0+=3，圆-4x+1=0的参数方程为：
x=2+ cos，y= sin，设M（2+ cos，sin）是圆-4x+1=0上的任意一点，=4 cos+7，的最大值为7+4，最小值为7-4。
『思考问题4』
（1）【典例4】是与圆相关的最值问题，解答这类问题需要注意最值问题的常见类型，掌握数形结合的基本方法；
（2）与圆相关常见的最值问题有：①求u=形式的最值，这类问题可转化为动点（x，y）与定点（a，b）斜率的最值；②求t=ax+by形式的最值，这类问题可转化为动点（x，y）截距的最值；③求+形式的最值，这类问题可转化为动点（x，y）到定点（a，b）的距离的的最值。
〔练习4〕解答下列问题：
1、圆+4x+4y-10=0上的点到直线x+y-10=0的最大值与最小值之差是（ ）（答案：C）
A 36 B 18 C 6 D 5
2、若实数x、y满足：-2x+4y=0，求x-y的最大值；（答案：x-y的最大值为3+）
3、若实数x、y满足：+4x-2y=0，求x-y的最大值；（答案：x-y的最大值为-5+）
4、已知圆C：=1，点A(-2，0)、点B（2，0），点P是圆上的动点，求d=的最大值和最小值及对应的P点的坐标；（答案：当点P（，）时，d,取得最大值为80，当点P（，）时，d取得最小值40，）
5、已知实数x，y满足：-6x+1=0。
（1）求的最大值和最小值；（答案：（1）的最大值为2，,最小值为-2；（2）y-x
（2）求y-x的最大值和最小值。的最大值为1，最小值为-7。）
【追踪考试】
【典例5】解答下列问题：
1、已知点P在圆+=16上，点A（4，0），B（0，2），则（ ）（2021全国
高考新高考I）
A 点P到直线AB的距离小于10 B 点P到直线AB的距离大于2
C 当PBA最小时，|PB|=3 D 当PBA最大时，|PB|=3
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②圆参数方程定义与性质；③已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法；④点到直线距离公式及运用；⑤求三角函数最值的基本方法；⑥余弦定理及运用；⑦基本不等式及运用。
【解题思路】根据圆和圆参数方程的性质，得到点P含参数的坐标，运用已知直线上两点的坐标，求直线方程的基本方法，求出直线AB的方程，由点到直线的距离公式，得到点P到直线AB的距离关于参数的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法求出点P到直线AB的距离最值可以判断A，B选项的正确与错误；过点B作圆的切线PC，PD，切点分别为C，D，显然当点P与点C重合时，PBA最大，当点P与点D重合时，PBA最小，此时，|PB|=|BC|=|BD|，运用勾股定理求出|PB|的值，可以判断C，D的正确与错误，就可得出正确的选项。 P
【详细解答】如图，点P在圆+=16上， y C
P（5+4cos，5+4sin），点A（4，0），B（0，2），直线 B D
AB的方程为x+2y-4=0，= 0 A x
=，当且仅当=1时，取得最大值为=
+4<10，当且仅当=-1时，取得最小值为=-4<2，A正确，B错误；过点B作圆的切线PC，PD，切点分别为C，D，显然当点P与点C重合时，PBA最大，当点P与点D重合时，PBA最小，由勾股定理可知，此时|PB|=|BC|=|BD|=
==3，C，D正确，综上所述A，C，D正确，选A，C，D。
2、（理）已知等边ABC的三个顶点均在圆+=4上，点P（，），则.
+.的最小值为（ ）
A 14 B 10 C 8 D 2
（文）已知A，B是圆+=4上的两个动点，且满足|AB|=2，点P（，），则.的最小值为（ ）（成都市2021高三三诊）
A B C 1 D 7-2
【解析】
【考点】①圆定义与性质；②圆参数方程定义与性质；③平面向量坐标运算的法则和基本方法；④向量数量积的定义与性质；⑤求三角函数最值的基本方法。
【解题思路】（理）根据圆和圆参数方程的性质，结合问题条件得到点A，B，C关于参数的坐标，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，向量数量积的性质得到.+.关于的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法求出.+.的最小值就可得出选项。（文）根据圆和圆参数方程的性质，结合问题条件得到点A，B关于参数的坐标，运用平面向量坐标运算的法则和基本方法，向量数量积的性质得到.关于的三角函数表示式，利用求三角函数最值的基本方法求出.的最小值就可得出选项。
【详细解答】（理）如图， 等边ABC的三个顶点均在圆+=4上，点A
（2cos，2sin），点B(2cos(+)，2sin y
(+))，点C(2cos(+)，2sin(+))， A
点P（，），=（2cos-， C x
2sin-），= B(2c os(+)-，2sin( B
+)-)，=(2c os(+)-，2sin(+)-)，.+.=4 cos. cos(+)-2[ cos+ cos()] +3+4 sin. sin(+)-2[ sin+sin(+)]
+6+4cos. cos(+)-2[ cos+ cos(+)]+34+6=4cos[ cos(+)+cos(
+)]sin.sin(+)-2 [ sin+sin(+)]-2[ 2cos+ cos(+)
+cos(+)]+6+4 sin[ sin(+)+sin(+)]-2 [2 sinsin(+)
+sin(+)]+12=4 cos(-cos-sin- cos+ sin)-2( 2cos- cos- sin- cos+sin)+6+4 sin(-sin+ cos- sin- cos)-2 (2 sin-sin+ cos- sin- cos)+12=-4 cos-2
cos+6-4 sin -2 sin+12=-4(cos + sin )-2( sin+cos)+18=-6 sin(+)+14，当且仅当(+)=2k+，即=2k+时，.+.=-6 sin(+)+14=-6+14=8的值为最小，C正确，选C。（文）如图，点A，B是圆+=4上，且|AB|=2，A（2cos，2sin）， y p
B(2cos(+)，2sin(+))，点P（， A
），=（2cos-，2sin-）， B x
= (2cos(+)-，2sin(+)-)，
.=4 cos. cos(+)-2[ cos+ cos(+)] +3+4 sin.sin(+)-2
[ sin+ sin(+)]+6=4 cos[-(+)]-2( cos-sin)-2(sin+
cos)+9=-2-2 cos(+)-2sin(+)+9=7-6 sin(++)，当且仅当
++==2k+，即=2k-时，.=7-61=7-6=1为最小值，C正确，选C。
3、点（0，1）到直线y=k(x+1)距离的最大值为（ ）（2020全国高考新课标III）
A 1 B C D 2
【解析】
【考点】①点到直线的距离公式及运用；②基本不等式及运用。
【解答思路】根据点到直线的距离公式，结合问题条件得到关于k的函数，运用基本不等式求出点（0，1）到直线y=k(x+1)距离的最大值就可得出选项。
【详细解答】点（0，1）到直线y=k(x+1)距离为：d=，==1
-=1-，当且仅当k=-1时，=1+1=2为最大值，点（0，1）到直线y=k(x+1)距离的最大值为d=，B正确，选B。
4、如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，APB是锐角，大小为，图中阴影区域的面积的最大值为（ ）（2019全国高考北京）
A 4+4cos B 4+4sin C 2+2cos D 2+2sin
【解析】
【知识点】①圆的定义与性质；②三角形面积计算公式与计算的基本方法。
【解题思路】运用圆的性质，结合问题条件得到当点P为弧AB的中点时，图中阴影部分的面积最大，根据角形面积计算公式与计算的基本方法通过计算求出图中阴影部分的面积就可得出选项。
【详细解答】由圆的性质可知，当点P为弧AB的中点时，图中阴影部分的面积最大，如图，连接OA，OB，OP，AOP=BOP=-，==|OA|.|OP|sin（-）=2sin，=4.=4，=++=4+4sin，图中阴影部分面积的最大值为4+4sin，B正确，选B。
5、设抛物线=4x的焦点为F，准线为l，则以F为圆心，且与l相切的圆的方程为 （2019全国高考北京）
【解析】
【知识点】①抛物线的定义与性质；②求圆方程的基本方法。
【解题思路】运用抛物线的性质，结合问题条件得到圆心F的坐标，从而求出圆半径R的值，就可得出符合题意的圆的方程。
【详细解答】F是抛物线=4x的焦点，F（1，0），l是抛物线=4x的准线，圆与直线l相切，R=1+1=2，符合题意的圆的方程为：+=4。
6、在平面直角坐标系中，弧AB，CD，EF，GH是圆=1上的四段弧（如图），点P在其中一段上，角以OX为始边，OP为终边，若tan＜cos＜sin，则P所在的圆弧是（ ）（2018全国高考北京卷）
A 弧AB B 弧CD C 弧EF D 弧GH
【解析】
【知识点】①三角函数的定义与性质；②判定命题真假的基本方法。
【解题思路】设P（x，y）分别在弧AB，弧CD，弧EF，弧GH上，运用三角函数的定义得到tan，cos，sin，通过比较就可得出选项。
【详细解答】①设P（x，y）在弧AB上， cos= =x，sin= =y， cos> sin，A错误；②设P（x，y）在弧CD上， cos= =x，sin= =y，
tan= ， tan > sin> cos，B错误；③设P（x，y）在弧EF上， cos= =x，sin= =y，tan= ， sin> cos> tan，C正确；④设P（x，y）在弧GH上， cos= =x<0，sin= =y<0，tan= >0， tan > cos> sin，D错误，C正确，选C。
已知圆C：-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，则实数m=
（2017成都市高三零珍）
【解析】
【知识点】①圆标准方程与一般方程互化的基本方法；②圆的定义与性质。
【解题思路】运用圆标准方程与一般方程互化的基本方法，结合问题条件把圆的方程化为标准方程，从而得到圆心的坐标，根据圆的性质可知直线l：x+my+1=0过圆心，得到关于m的方程，求解方程就可得出m的值。
【详细解答】圆C：-2x-4y+1=0 ，+=4，圆心C（1，2），
圆C：-2x-4y+1=0上存在两点关于直线l：x+my+1=0对称，直线l过点C（1，2），1+2m+1=0，m=-1。
『思考问题5』
（1）【典例5】是近几年高考（或高三的诊断考试或高二期末考试）试卷中与圆的方程相关的问题，归结起来主要包括：①给定条件，求圆的方程；②圆标准方程与一般方程和参数方程的互化；③求圆的切线方程；④与圆相关的最值问题等几种类型；
（2）解答圆的方程问题的基本方法是：①根据问题结构特征判断问题所属类型；②运用解答该类型问题的解题思路和基本方法对问题实施解答；③得出解答问题的结果。
〔练习5〕解答下列问题：
1、已知直线x+my+n-1=0(m>0，n>0）与圆+=9相交于A，B两点，且|AB|的长度始终为6，则mn的最大值为（）（成都市高2021级2022-2023学年度上期期末）（答案：C）
A 1 B C D
2、已知圆：++6x=0和圆：++4y-5=0相交于A，B两点，若圆C的圆心在直线x-y+2=0上，且圆C过A，B两点，则圆C的方程为 （成都市高2020级2021-2022学年度上期期末）（答案：圆C的方程为：+=。）
3、已知A，B是圆O：=4上两个动点，||=2，=-，若M是线段AB的中点，则.的值为（ ）（2017成都市高三一珍）（答案：A）
A 3 B 2 C 2 D -3
4、如图，将一块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB是半圆的直径，上底CD的端点在半圆上，则所得梯形的最大面积为 （2017成都市高三三诊）（答案：所得梯形的最大面积为）
5、圆-4x+6y=0的圆心坐标是（ ）（2011全国高考四川卷）（答案：D）
A　　(2，3)　　　B　　　(－2，3)　　C　　　(－2，－3)　　D　　(2，－3)
6、若圆C经过坐标原点和点（4，0），且与直线y=1相切，则圆C的方程是 （2013全国高考江西卷）（答案：圆C的方程是+=）
r
o(a,b)
0
r
o(a,b)
0
O NN
0
M
O
b
O
b
0
b
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