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　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　章末归纳提升课
　　　
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物理极值问题的两种典型解法
解法一是根据问题所给的物理现象涉及的物理概念和规律进行分析，明确题中的物理量是在什么条件下取极值，或在出现极值时有何物理特征，然后根据这些条件或特征去寻找极值，这种方法更为突出了问题的物理本质，这种解法称之为解极值问题的物理方法．
解法二是由物理问题所遵循的物理规律建立方程，然后根据这些方程进行数学推演，在推演中利用数学中已有的有关极值求法的结论而得到所求的极值，这种方法较侧重于数学的推演，这种方法称之为解极值问题的物理——数学方法．
　如图4－1所示，在质量为M的电动机的飞轮上固定着一个质量为m的重物，重物到轴的距离为R，电动机飞轮匀速转动．当角速度为ω时，电动机恰好不从地面上跳起，则ω＝________，电动机对地面的最大压力F＝________(重力加速度为g)．
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图4－1
【解析】　重物在正上方时，电动机对地面的压力刚好为零，则此时重物对电动机向上的作用力大小等于电动机的重力，即F1＝Mg
根据牛顿第三定律，此时电动机对重物的作用力向下，大小为F′1＝F1＝Mg ①
对重物：F′1＋mg＝mω2R ②
由①②得ω＝ ③
当重物转到最低点时，电动机对地面的压力最大
对重物有：F2－mg＝mω2R ④
对电动机，设它所受支持力为FN，
FN＝F′2＋Mg，F′2＝F2 ⑤
由③④⑤解得FN＝2(M＋m)g
由牛顿第三定律得，电动机对地面的最大压力为2(M＋m)g.
【答案】　　2(M＋m)g
【即学即用】
1.如图4－2所示，倾斜放置的圆盘绕着中轴匀速转动，圆盘的倾角为37°，在距转动中心r＝0.1 m处放一个小木块，小木块跟随圆盘一起转动，小木块与圆盘间的动摩擦因数为μ＝0.8，假设木块与圆盘的最大静摩擦力与相同条件下的滑动摩擦力相同．
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图4－2
若要保持小木块不相对圆盘滑动，圆盘转动的角速度最大不能超过(　　)
A．2 rad/s　　 B．8 rad/s
C. rad/s D． rad/s
【解析】　在最低点物块刚好不滑动时，对应的角速度最大，在最低点，对物块
μmgcos 37°－mgsin 37°＝mrω2
解得ω＝2 rad/s，A选项正确．
【答案】　A
估算问题的思维与解答方法
物理估算，一般是指依据一定的物理概念和规律，运用物理方法和近似计算方法，对物理量的数量级或物理量的取值范围，进行大致的推算．
物理估算是一种重要的方法．有的物理问题， ( http: / / www.21cnjy.com )在符合精确度的前提下可以用近似的方法简捷处理；有的物理问题，由于本身条件的特殊性，不需要也不可能进行精确的计算．在这些情况下，估算就成为一种科学而又有实用价值的特殊方法．
　为了研究太阳演化进程，需知道太阳目前的质量．已知地球半径R＝6.4×106 m，地球质量m＝6.0×1024 kg，日地中心的距离r＝1.5×1011 m，地球表面处的重力加速度g取10 m/s2,1年约为3.2×107 s．试估算太阳目前的质量M.(结果保留一位有效数字)
【解析】　设T为地球公转的周期，则由万有引力定律和牛顿第二定律可知：
G＝mr
地球表面处的重力加速度g＝
以上两式联立得M＝m
将题中数值代入上式得M＝2×1030 kg.
【答案】　见解析
【即学即用】
2．已知引力常量G＝6.67×10－11 ( http: / / www.21cnjy.com )N·m2/kg2，重力加速度g＝9.8 m/s2，地球半径R＝6.4×106 m，则可知地球质量的数量级是(　　)
A．1018 kg　　 B．1020 kg　　
C．1022 kg　　 D．1024 kg
【解析】　依据万有引力定律有
F＝G ①
而在地球表面，物体所受重力约等于地球对物体的吸引力，为F＝mg ②
联立①②解得g＝G
解得M＝＝ kg≈6.02×1024 kg
即地球质量的数量级是1024.
【答案】　D
平抛运动的处理技巧——一“补”登天
由平抛运动的分解规律可知，平抛运动可以分解 ( http: / / www.21cnjy.com )为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，我们在解答有关平抛运动的问题时，如果选择适当的位置补画这两个方向的平面，按照这种分解规律可以给解题带来极大的方便，下面举例说明．
　如图4－3所示，斜面上有a、b、c、d四个点，ab＝bc＝cd.从a点正上方的O点以速度v水平抛出一个小球，它落在斜面上的b点．若小球从O点以速度2v水平抛出，不计空气阻力，则它落在斜面上的(　　)
A．b与c之间某一点　 B．c点
C．c与d之间某一点 D．d点
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图4－3
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【技法攻略】　本题若按常规 ( http: / / www.21cnjy.com )的思考方法会陷入困境，因为以速度2v水平抛出时下落高度与以速度v水平抛出时不一样，而且又是落在斜面上，对应的落点还不在水平面上，所以一时无法下手．但是，如果过b点作一个水平面，如图所示，nc为竖直线，所以有mb＝bn，当以速度v水平抛出小球，它落在斜面上的b点；假设斜面不存在，将小球以速度2v水平抛出时，它会落在n点，所以当有斜面时小球落在斜面上b与c之间某一点，故选项A正确．
【答案】　A
　(2012·上海高考)如图4－4，斜面上a、b、c三点等距，小球从a点正上方O点抛出，做初速为v0的平抛运动，恰落在b点．若小球初速度变为v，其落点位于c，则(　　)
A．v0＜v＜2v0
B．v＝2v0
C．2v0＜v＜3v0
D．v＞3v0
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图4－4
【技法攻略】　根据平抛运动的规律可知若 ( http: / / www.21cnjy.com )小球落在b点，有x＝v0tb，tb＝，若落在c点，则2x＝vtc，而tc＝，显然tc＞tb，所以v0＜v＜2v0，即A正确．
【答案】　A
1．地球可以看做一个巨大的拱形桥， ( http: / / www.21cnjy.com )桥面的半径就是地球的半径(约为6 400 km)．地面上有一辆汽车在行驶，已知汽车的速度越大，地面对它的支持力就越小．当汽车的速度达到下列哪个值时，地面对车的支持力恰好为零(　　)
A．0.5 km/s B．7.9 km/s
C．11.2 km/s D．16.7 km/s
【解析】　当地面对车的支持力为零时 ( http: / / www.21cnjy.com )，靠重力提供向心力，根据牛顿第二定律得，mg＝m，解得v＝≈7.9 km/s.故B正确，A、C、D错误．
【答案】　B
2.(2013·惠安模拟)2008年4月28日凌晨，山东境内发生两列列车相撞事故，造成了大量人员伤亡和财产损失．引发事故的主要原因是其中一列列车转弯时超速行驶．如图1所示是一种新型高速列车，当它转弯时，车厢会自动倾斜，产生转弯需要的向心力；假设这种新型列车以360 km/h的速度在水平面内转弯，弯道半径为1.5 km，则质量为75 kg的乘客在拐弯过程中所受到的合外力为(　　)
A．500 N B．1 000 N
C．500 N D．0
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图1
【解析】　对乘客由牛顿第二定律得F合＝m＝75× N＝500 N，选项A正确．
【答案】　A
3.自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互 ( http: / / www.21cnjy.com )关联的三个转动部分，且半径RB＝4RA、RC＝8RA，如图2所示．正常骑行时三轮边缘的向心加速度之比aA∶aB∶aC等于(　　)
A．1∶1∶8 B．4∶1∶4
C．4∶1∶32 D．1∶2∶4
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图2
【解析】　小齿轮A与大齿轮B是链条连接的两轮边缘上的点，线速度大小相等，由a＝得，＝＝，小齿轮A与后轮C是共轴转动，角速度相等，由a＝ω2R得＝＝，故aA∶aB∶aC＝4∶1∶32，选项C正确．
【答案】　C
4．全球定位系统(GPS) ( http: / / www.21cnjy.com )有24颗卫星，分布在绕地球的6个轨道上运行，距地面的高度都为2万千米．已知地球同步卫星离地面的高度为3.6万千米，地球半径约为6 400 km，则全球定位系统的这些卫星的运行速率约为(　　)
A．3.1 km/s B．3.9 km/s
C．7.9 km/s D．11.2 km/s
【解析】　由万有引力定律得G＝m，
解得v＝，故v1＝v2，
r2＝(6 400＋36 000) km，
r1＝(6 400＋20 000) km，
v2＝＝≈3.1 km/s，解得v1≈3.9 km/s，选项B正确．
【答案】　B
5．(多选)一质量为0.2 kg的物体在水平面上运动，它的两个正交分速度图象分别如图3所示，由图可知(　　)
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图3
A．开始4 s内物体的位移为8 m
B．开始4 s内物体的位移为16 m
C．从开始至6 s末物体一直做曲线运动
D．开始4 s内物体做曲线运动，接着2 s内物体做直线运动
【解析】　速度时间图象中图线与时间轴围成的面积为物体运动的位移，开始4 s内物体在x方向的位移为8 m，在y方向的位移为8 m，所以开始4 s内物体的位移为8 m，故A正确， B错误．
开始时物体初速度方向为x方向，加速度方向为y方向，两者不在一条直线上，所以物体做曲线运动，4 s末物体的速度方向与x方向夹角的正切值为＝2，加速度方向与x方向夹角的正切值为＝2，所以速度方向与加速度方向在同一条直线上，所以物体要做直线运动，故C错误，D正确．
【答案】　AD
6．(多选)火星是位于地 ( http: / / www.21cnjy.com )球轨道外侧的第一颗行星，它的质量约为地球质量的，直径约为地球直径的，公转周期约为地球公转周期的2倍.2013年将出现一个火星离地球最近、发射火星探测器最佳的时段．以下说法正确的是(　　)
A．火星的第一宇宙速度约是地球第一宇宙速度的倍
B．火星表面的重力加速度约是地球表面重力加速度的0.4倍
C．火星公转轨道的半径约是地球公转轨道半径的2倍
D．下一个最佳发射期，最早要到2017年
【解析】　根据万有引力等于向心力得出G＝m，解得v＝，根据万有引力等于重力得出：G＝mg得：g＝，根据火星直径约为地球的一半，质量约为地球的十分之一，计算得出火星的第一宇宙速度约是地球第一宇宙速度的倍，火星表面的重力加速度约为地球表面的0.4倍，故A、B正确；
根据万有引力提供向心力有G＝mr()2，解得T＝，又火星公转周期约为地球公转周期的2倍，故火星公转轨道的半径约是地球公转轨道半径的倍，C错误；下一个最佳发射期，最早要到2015年，D错误．
【答案】　AB
7.(2013·福州一中模拟)如图4所示，斜面体ABC固定在地面上，小球p从A点静止下滑，当小球p开始下滑时，另一小球q从A点正上方的D点水平抛出，两球同时到达斜面底端的B处．
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图4
已知斜面AB光滑，长度l＝2.5 m，斜面倾角θ＝30°，不计空气阻力，g取10 m/s2.求：
(1)小球p从A点滑到B点的时间；
(2)小球q抛出时初速度的大小．
【解析】　(1)小球p从斜面上下滑的加速度为a，由牛顿第二定律得：
a＝＝gsin θ ①
下滑所需时间为t1，根据运动学公式得：
l＝at ②
由①②得：
t1＝ ③
解得： t1＝1 s.
(2)小球q做平抛运动，设抛出速度为v0，则
x＝v0t2 ④
x＝lcos 30° ⑤
依题意得：t2＝t1 ⑥
由④⑤⑥得：
v0＝＝ m/s.
【答案】　(1)1 s　(2) m/s
8.如图5所示，一质量为m＝1 kg的 ( http: / / www.21cnjy.com )小物块轻轻放在水平匀速运动的传送带上的A点，随传送带运动到B点，小物块从C点沿圆弧切线进入竖直光滑的半圆轨道恰能做圆周运动．已知圆弧半径R＝0.9 m，轨道最低点为D，D点距水平面的高度h＝0.8 m．
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图5
小物块离开D点后恰好垂直撞击放在水 ( http: / / www.21cnjy.com )平面上E点的固定倾斜挡板．已知小物块与传送带间的动摩擦因数μ＝0.3，传送带以5 m/s恒定速率顺时针转动(g取10 m/s2)，试求：
(1)传送带AB两端的距离；
(2)小物块经过D点时对轨道的压力的大小；
(3)倾斜挡板与水平面间的夹角θ的正切值．
【解析】　(1)对小物块，在C点恰能做圆周运动，由牛顿第二定律得：
mg＝m
解得：v1＝＝3 m/s
由于v1＝3 m/s<5 m/s，小物块在传送带上一直加速，则由A到B由牛顿第二定律得：
μmg＝ma
解得：a＝μg＝3 m/s2
v＝2axAB
所以传送带AB两端的距离：
xAB＝1.5 m.
(2)对小物块，由C到D由动能定理得：
2mgR＝mv－mv
在D点由牛顿第二定律得：
FN－mg＝m
解得：FN＝60 N
由牛顿第三定律知小物块对轨道的压力大小为
F′N＝FN＝60 N.
(3)小物块从D点抛出后做平抛运动，则：
h＝gt2
解得：t＝0.4 s
vy＝gt＝4 m/s
故：tan θ＝＝.
【答案】　(1)1.5 m　(2)60 N　(3)

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