资源简介

1.1.3 等腰三角形
导学案
学习目标
1、会运用等腰三角形的判定定理其进行简单的证明.
2、能用反证法的基本证明思路简单应用.
学习重点：等腰三角形的判定定理，并会运用其进行简单的证明.
学习难点：反证法的证明方法.
一、自学释疑
根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题.
二、合作探究
探究点一、等腰三角形的判定定理
问题1：前面我们证明了等腰三角形有两个角相等.反过来有两个角相等的三角形是等腰三角形吗？
问题2：如图在△ABC中，∠B=∠C，要证明AB=AC，你是怎样构造的两个三角形全等的，你是怎样证明的？与同伴交流.
结论：定理 .
简述为： .
变式训练
1.满足下列条件不是等腰三角形的是（ ）
A.有两个内角相等的三角形 B.有一个角是45 的直角三角形
C.有一个角是50 的直角三角形 D.有两个角是15 和150 的三角形
2.有一个三角形不同顶点的外角的度数比是3：2：3，则这个三角形是 三角形.
探究点二、运用定理
问题：已知：如图，AB=DC,BD=CA,BD与CA相交于点E，△AED是等腰三角形吗？请你说明理由，并与同伴交流.
变式训练
1.如图，在△ABC中，AB=AC=8，D是BC上的动点（D与B、C不重合），且DE∥AC，DF∥AB，则四边形DEAF的周长是 .
2.如图，三角形ABC中，AB=AC，∠A=36 , ∠ACB的平分线交AB于点E，D为AC的中点，连接ED.
（1）求∠AED的度数；
（2）若CE=5，求BC的长.
探究点三、反正法
问题：在一个三角形中，如果两个角不相等，那么这两个角所对的边也不相等．你认为这个结论成立吗 如果成立，你能证明它吗 ．
强化训练：
反证法证明：一个三角形中不能有两个角是直角.
三、随堂检测
1．在△ABC中，∠B=∠C,AB=5,则AC的长（　　）
A．2 B．3
C．4 D．5
2．用反证法证明“aA．a>b B．a≥b C．a=b D．a≤b
3．如图，在△ABC中，AD平分∠EAC，且AD∥BC，则△ABC一定是（　　）
A．任意三角形 B．等边三角形 C．等腰三角形 D．直角三角形
4.如图，在已知三角形ABC中，BD是∠ABC平分线，∠ABD=360，∠C=720，则图中等腰三角形的个数 .
5.如图，在△ABC中，AB=AC，BD和CD平分∠ABC和ACB的角平分线.求证△DBC是等腰三角形.
6.用反证法证明：在一个三角形中，至少有一个角大于或等于60°
7.如图，△ABC的边AB的延长线上有一点D，过D作DF⊥AC于点F，交BC于点E，且BD=BE，
求证：△ABC是等腰三角形.
参考答案
探究点一、等腰三角形的判定定理
问题2：解：可作BC边上的高或∠A的平分线都可以构造两个全等三角形，
已知：在△ABC中，∠B=∠C，
求证：AB=AC．
证法一:作AD⊥BC于点D.(如图所示)
在△ABD和△ACD中,
∵∠B=∠C, ∠BDA=∠CDA, AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD (AAS).
∴ AB=AC (全等三角形的对应边相等).
证法二：作△ABC顶角的平分线AD交BC于点D.(如图所示)
在△ABD和△ACD中,
∵∠B=∠C, ∠BAD=∠CAD, AD=AD,
∴ △ABD≌△ACD (AAS).
∴ AB=AC (全等三角形的对应边相等).
结论：定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形
简述为：等角对等边.
变式训练
1.C
2.等腰直角三角形
探究点二、运用定理
问题：解：△AED是等腰三角形.理由如下：
∵AB=DC,BD=CA,AD=DA,，
∴△ABD≌△DCA(SSS)
∴∠ADB=∠DAC(全等三角形的对应角相等）
∴AE=DE(等角对等边）
∴ △AED是等腰三角形.
变式训练
1.16
2.（1）∠AED =54 ，（2）BC=5
探究点三、反正法
问题：假设AB=AC，那么根据“等边对等角”定理可得∠C=∠B，但已知条件是∠B≠∠C．“∠C=∠B”与已知条件“∠B≠∠C”相矛盾，因此 AB≠AC，结论成立.
强化训练
已知：△ABC，
求证：∠A、∠B、∠C中不能有两个角是直角.
证明：假设∠A、∠B、∠C中有两个角是直角，不妨设∠A和∠B是直角，即∠A=90°, ∠B=90°，于是∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C＞1 80°这与三角形内角和 定理相矛盾，因此“∠A和∠B都是直角”的假设不成立. 所以，一个三角形中不能有两个角是直角.
三、随堂检测
1．D
2．B
3．C
4.3
5.证明：∵AB=AC
∴∠ABC=∠ACB 等边对等角
∵BD、CD是角平分线
∴∠DBC=∠ABC=∠ACB=∠BCD
∴ΔDBC是等腰三角形
6.证明：假设在一个三角形中，没有一个内角大于或等于60°，即均小于60°， 则三内角和小于180°，与三角形中三内角和等于180°矛盾，
故假设不成立．原命题成立．
7.证明：∵DF⊥AC，
∴∠DFA=∠EFC=90°．
∴∠A=∠DFA-∠D，∠C=∠EFC-∠CEF，
∵BD=BE，
∴∠BED=∠D．
∵∠BED=∠CEF，
∴∠D=∠CEF．
∴∠A=∠C．
∴△ABC为等腰三角形．

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