资源简介

1.2.1直角三角形
学习目标
1.证明直角三角形的有关性质与判定定理.
2.了解逆命题、逆定理的概念；识别互逆命题；知道互逆命题与互逆定理之间的联系与区别.
一、自学释疑
根据线上提交的自学检测，生生、师生交流讨论，纠正共性问题.
二、合作探究
探究点一
问题：直角三角形两锐角有怎样的关系，说明理由.
直角三角形两锐角的关系：
理由:
探究点二
问题：如果一个三角形有两个角互余，这个三角形是直角三角形吗？为什么？
结论：
理由：
1.证明：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
求证：a +b ＝c ．
2.证明：在一个三角形中，两条边的平方和等于第三边的平方,那么这个三角形就是直角三角形.
已知：如图：在△ABC中，AB +AC ＝BC
求证：△ABC是直角三角形．
3.写出下列命题的逆命题，并判断它 们是真命题还是假命题．
(1)两直线平行，同位角相等；
(2)如果a是偶数，b是偶数，那么a＋b是偶数．
三、随堂检测
1．如图，一张长方形纸片，剪去部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是( )
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．由下列 条件不能判定△ABC是直角三角形的是( )
A．∠A＝37°，∠C＝53° B．∠A＝34°，∠B＝56°
C．∠B＝42°，∠C＝38° D．∠A＝72°，∠B＝18°
3．如图，点D在△ABC的边AC上，将△ABC沿BD翻折后，点A恰好与点C重合．若BC＝5，CD＝3，则BD的长为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
4．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为(－6，0)，(0，8)．以点A为圆心，以AB长为半径画弧，交x轴正半轴于点C，则点C的坐标为 ．
5．下列命题中，其逆命题成立的是 ．(只填写序号)
①同旁内角互补，两直线平行；
②如果两个角是直角，那么它们相等；
③如果两个实数相等，那么它们的平方相等；
④如果三角形的三边长a，b，c(c为最长边)满足a ＋b ＝c2，那么这个三角形是直角三角形．
6. 如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高6米，两树相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，问小鸟至少飞行 米．
7．如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝12，AD＝13，AC⊥CD，求四边形ABCD的面积．
8.如图，在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13 ，求△ABC的面积．某学习小组经过合作交流，给出了下面的解题思 路，请你按照他们的解题思路完成解答过程．
【作AD⊥BC于D，设BD＝x，用含x的代数式表示CD】
【根据勾股定理，利用AD作为“桥梁”，建立方程模型求出x】
【利用勾股定理求出AD的长，再计算三角形面积】
参考答案
探究点一
直角三角形的两锐角互余；
已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°.
求证：∠A+∠B=90°.
∵在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
又∵∠C=90°（已知）
∴∠A+∠B=90°（等式的性质）
∴∠A与∠B互余
即：直角三角形的两锐角互余.
探究点二
有两个角互余的三角形是直角三角形.
已知：在△ABC中，∠A+∠B=90°
求证：△ABC是直角三角形
证明：∵ ∠A＋∠B＋∠C＝180°(三角形内角和等于180°)，
又∵∠A＋∠B＝90°(已知)，
∴ ∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝180°－90°＝90°(等式的性质).
∴ △ABC是直角三角形.
即：有两个角互余的三角形是 直角三角形.
1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
已知：如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c．
求证：a2+b2＝c2．
证明：延长CB至D，使BD＝b，作∠EBD＝∠A，并取BE＝c，连接ED、AE(如图)，则△ABC≌△BED．
∴∠BDE＝90°，ED＝a(全等三角形的对应角相等，对应边相等)．
∴四边形ACDE是直角梯形．
∴S梯形ACDE＝(a+b)(a+b) ＝ (a+b)2．
∴∠ABE＝180°－(∠ABC＋∠EBD)＝180°－90°＝90°，
AB＝BE．
∴S△ABE＝c2
∵S梯形ACDE＝S△ABE+S△ABC+S△BED，
∴(a+b) 2＝ c2 + ab + ab,
即a2 + ab + b2＝c2 + ab,
∴a2+b2＝c2
即：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
2.已知：如图：在△ABC中，AB2+AC2＝BC2
求证：△ABC是直角三角形．
证明：作Rt△A′B′C′，使∠A′＝90°，A′B′＝AB，A′C′=AC(如图)，
则A′B′2＋A′C′2= BC 2 (勾股定理)．
∵AB2＋AC2＝BC2，A′B′＝AB，A′C′=AC
∴BC ＝B′C′
∴BC＝B′C′
∴△ABC≌△A′B′C′（SSS）
∴∠A＝∠A′＝90°(全等三角形的对应角相等)．
因此，△ABC是直角三角形．
即：在一个三角形中，两条边的 平方和 等于另一条边的平方,那么这个三角形就是直角三角形.
3.解：(1)同位角相等，两直线平行．真命题．
(2)如果a＋b是偶数，那么a是偶数，b是偶数．假命题．
随堂检测：
1.C 2.C 3.D 4.（4,0）5. ①④ 6. 10
7．解：∵AC⊥CD，CD＝12，AD＝13，
∴AC＝＝＝5.
又∵AB＝3，BC＝4，
∴AB2＋BC2＝32＋42＝52＝AC2.
∴∠B＝90 °.
∴S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD
＝AB·BC＋AC·CD
＝×3×4＋×5×12
＝6＋30＝36.
8．解：在△ABC中，AB＝15，BC＝14，AC＝13，
设BD＝x，则CD＝14－x.
由勾股定理，得AD2＝AB2－BD2＝152－x2，AD2＝AC2－CD2＝132－(14－x)2，
故152－x2＝132－(14－x)2，
解得x＝9.
∴AD＝＝＝12.
∴S△ABC＝BC·AD＝×14×12＝84.

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