资源简介

1.4.1角平分线
学习目标
1. 探索并理解角平分线的性质和判定．
2．能灵活运用角平分线的性质和判定解决有关问题．
学习重点：灵活运用角平分线的性质和判定解决有关问题
学习难点：理解角平分线的性质定理的逆定理必须增加前提条件“在角的内部”.
一、自学释疑
角平分线的性质与判定运用过程中，应该注意些什么？
二、合作探究
问题1：（1）角平分线上的点有什么性质？
（2）如何得到这个结论的？
（3）证明该结论.
问题2：交换角平分线的性质定理的题设和结论得到的逆命题是什么？它是真命题吗？请你说明理由，并与同伴交流。
例1.如图，在△ABC中，∠BAC=60°，点D在BC上，AD=10，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，求DE的长.
变式训练：
1. 如图所示．在ABC中，AC=BC，∠C=90°，AD平分∠CAB交BC于点D，DE⊥AB于点E．若AB=6 cm，则DEB的周长为（ ）
A. 12 cm B. 8 cm C. 6 cm D. 4 cm
2. 如图所示，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分别为A，B，下列结论不一定成立的是 （ ）
A. PA=PB B. PO平分∠APB C. OA=OB D. AB垂直平分OP
例2.如图，已知：BE⊥AC于点E，CF⊥AB于点F，BE、CF交于点D，若BD=CD，
求证：AD平分∠BAC.
变式训练：
1. 如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（ ）
A. ∠1＝∠2 B. ∠1＞∠2 C. ∠1＜∠2 D. 无法确定
四、随堂检测
1．如图，OP平分∠MON，PA⊥ON于点A，点Q是射线OM上的一个动点，若PA＝2，则PQ的最小值为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BE平分∠ABC，ED⊥AB于点D.如果∠A＝30°，AE＝6 cm，那么CE等于( )
A.1 cm 　B．2 cm 　C．3 cm 　 D．4 cm
3. AD是△ABC中∠BAC的平分线，DE⊥AB于点E，S△ABC＝7，DE＝2，AB＝4，则AC的长是( )
A．3 B．4 C．6 D．5
4.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于点E，若AC＝6，BC＝8，CD＝3.求DE的长；
5.如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF.求证：
(1)PE＝PF；
(2)点P在∠BAC的平分线上．
我的收获
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参考答案
合作探究
问题1：解：（1）角平分线性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．
（2）以前我们用折纸的方法得到了这个结论。
（3）角平分线的证明如下：
已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
求证：PD=PE．
证明：∵∠1=∠2，OP=OP，
∠PDO=∠PEO=90°，
∴△PDO≌△PEO(AAS)．
∴PD=PE(全等三角形的对应边相 等)．
问题2：解：角平分线性质定理的逆命题：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上．（为什么要添上条件“在角的内部”）
角平分线性质定理的逆命题是真命题，理由如下：
已知：在∠AOB内部有一点P，且PD 上OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，
求证：点P在在∠AOB的角平分线上．
证明：PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠ PEO=90° ．
在Rt△ODP和Rt△OEP中
OP=OP，PD=PE， ∴Rt△ODP ≌ Rt△ OEP(HL定理，
∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等).[
即; 点P在在∠AOB的角平分线上．
逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就 可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。
例1解：∵DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F，且DE=DF，
∴AD平分∠BAC（在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上）
又∵∠BAC=60
∴∠BAD=30
在Rt△ADE中，∠AED=90 ，AD=10
∴DE= AD= ×10=5（在直角三角形中，如果一个锐角等于30 .那么它所对的直角边等于斜边的一半）
变式训练：
1.C 2.D
例2证明：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，
∴∠BFD=∠CED=90°，
∵∠BDF=∠CDE
∵BD=CD,
∴△BDF≌△CDE
∴DF=DE
又∵BE⊥AC， CF⊥AB
∴AD平分∠BAC。
变式训练：
1.A
随堂检测
1.B 2.C 3.A
4. 解：∵在Rt△ABC中，∠C＝90 °，
∴AC⊥CD.
又∵AD平分∠CAB，DE⊥AB，
∴DE＝CD，
又∵CD＝3，
∴DE＝3.
5. 证明：(1)连接AP.
∵PE⊥AB，PF⊥AC，
∴∠AEP＝∠AFP＝90 °.
又∵AE＝AF，AP＝AP，
∴Rt△AEP≌Rt△AFP(HL)．
∴PE＝PF.
(2)∵PE＝PF，且PE⊥AB，PF⊥AC，
∴点P在∠BAC的平分线上．

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