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第六章 平行四边形考点汇编
导学案
直击考点
典例分析
考点1 平行四边形的性质
平行四边形的对边平行且相等、对角相等、对角线互相平分．
平行四边形的性质可从边、角、对角线三个方面进行应用，常利用平行四边形的性质求线段的长度、角的度数及证明线段相等、角相等．
例1 如图是 ABCD 的对角线，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过点C作CF⊥BD，垂足为F．
(1)补全图形，并标上相应的字母;
(2)求证:AE＝CF．
方法总结
平行四边形的性质常和全等三角形的判定及性质综合起来考查．证明两条线段相等或角相等时，方法一般不止一种，要灵活选用较简捷的证法．解决此类题的关键是从平行四边形的性质中得到三角形全等的条件．
变式训练
如图，点E是 ABCD的对角线AC上任意一点，则= 是否正确 请说明理由.
考点2 平行四边形的判定
平行四边形的判定方法有很多种，可根据题目的已知条件从边（两组对边分别平行的四边形是平行四边形、两组对边分别相等的四边形是平行四边形、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）、角（两组对角分别相等的四边形是平行四边形）、对角线（对角线相互平分的四边形是平行四边形）三个方面考虑．有时判定定理与性质结合使用会使解题更方便．
例2如图， ABCD中，BD是它的一条对角线，过A，C两点作AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E，F，延长AE，CF 分别交CD，AB于点M，N．
(１)求证:四边形CMAN是平行四边形;
(２)已知DE＝4，FN＝3，求BN的长．
方法总结
正确理解与掌握平行四边形的判定与性质是解决与平行四边形有关问题的关键．平行四边形的判定和性质具有互逆的关系，在综合运用时，要注意区分它们适用的不同条件，避免混淆．
变式训练
已知四边形的四条边长分别为a，b，c，d，其中a，b为对边，且满足a +b +c +d =2ab+2cd ，则此四边形一定是( )
A.任意四边形 B.对角线相等的四边形
C.对角线互相垂直且相等的四边形 D.平行四边形
方法总结：
本题将数学式子转化为平行四边形的判定条件，体现了数形结合的思想方法.
考点3三角形中位线的应用
三角形中位线定理是一个重要定理，它不但给出了三角形中线段的位置关系（平行），而且给出了线段的数量关系（一半），为证明线段平行和线段相等（或倍分）提供了新思路．
例3如图，已知E为平行四边形ABCD中DC边的延长线上一点，且CE=CD，连接AE，分别交BC，BD于点F，G，连接AC交BD于点O，连接OF.
求证:AB=2OF.
方法总结
三角形的中位线具有两方面的性质:一是位置上的平行关系,二是数量上的倍分关系．因此,当题目中给出三角形两边的中点时,往往作出中位线;当题目中给出一边的中点时,往往经过这点作平行线．
变式训练
如图，在△ABC 中，AB＝3，BC＝4，AC＝2，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，连接DF，FE，则四边形DBEF 的周长是( )
A．5 B．7 C．9 D．11
考点4 多边形的内角和与外角和
n 边形的内角和为（n－2）·180°，随边数的变化而变化．边数每增加1，内角和增加180°．n 边形的外角和为360°，不随边数的变化而变化．
例4 已知n 边形的内角和θ＝(n－2)×180°．
(1)甲同学说，θ 能取360°;而乙同学说，θ也能取630°．甲、乙的说法对吗 若对，求出边数n;若不对，说明理由．
(2)若n 边形变为(n＋x)边形，发现内角和增加了360°，用列方程的方法确定x．
方法总结
根据多边形内角和公式可知多边形的内角和为180°的整数倍，且公式中的n 必须是大于或等于3的自然数，要注意在解题时利用这些隐含条件．
变式训练
若一个五边形有三个内角都是直角，另两个内角的度数都等于n，则n等于( ).
A.30° B.120° C.135° D.108°
参考答案
例1 (1)解:如图所示
（2）证明1：
如图，∵AE⊥BD ，CF⊥BD ，
∴∠3＝∠4＝90°．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴AB∥CD，AB＝CD (平行四边形的对边平行且相等)，
∴∠1＝∠2，∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE＝CF．
证明2：
如图，连接AC 交BD 于点O．
∵AE⊥BD，CF⊥BD ，
∴∠AEO＝∠CFO＝90°．
∵四边形ABCD 是平行四边形，
∴OA＝OC(平行四边形的对角线互相平分)．
又∵∠1＝∠2，
∴△AOE≌△COF (AAS)，
∴AE＝CF．
变式训练
解:=正确.理由如下:
如图，连接BD交AC于点O.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴BO=DO，∴，S△BOE=S△DOE.
又∵S△BEC=S△BOC+S△BOE，∴S△DEC=S△DOC+S DOE，
∴S△BEC=S△DEC.
例2(1)证明:∵AE⊥BD，CF⊥BD，
∴AE∥CF，∴AM∥CN．
又∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB∥CD，即AN∥CM．
∴四边形CMAN为平行四边形(两组对边分别平行的四边形是平行四边形)．
(2)解:由(1)知四边形CMAN为平行四边形，
∴CM＝AN．
∵四边形ABCD 也是平行四边形，
∴AB＝CD，∠MDE＝∠NBF，
∴DM＝BN．
在△MDE和△NBF中，
∠MDE＝∠NBF，∠DEM ＝∠BFN ，DM＝BN，
∴△MDE≌△NBF，∴BF＝DE＝4．
由勾股定理，得BN＝＝ ＝5
变式训练
分析:由a +b +c +d =2ab+2cd，得a -2ab+b +c -2cd+d =0，
即(a-b) +(c-d) =0，
∴a=b，c=d，由两组对边分别相等的四边形是平行四边形可知这个四边形是平行四边形.故选D.
例3分析:要说明AB=2OF，即OF= AB，
可证明OF为△ABC的中位线。
∵O为AC的中点，只需证明F为BC的中点.
证明:连接BE.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD.
又∵CD=CE， ∴AB= CE.
又∵AB//CD，即AB // CE，
∴四边形ABEC是平行四边形，BF=CF.
又∵AO=CO，
在△ACB中，OF= AB，即AB= 2OF.
变式训练
解析:∵D ，F 分别为AB，AC 的中点，
∴DF∥BC，DF＝ BC．
∵BC＝４，∴DF＝２．
又∵E 为BC 的中点，∴BE＝２．
同理可得，EF＝，DB＝，
∴四边形DBEF 的周长是DB ＋EF ＋DF ＋BE＝７．故选B．
例4 解:(1)甲的说法对，乙的说法不对．
∵θ＝360°，
∴(n－2)×180＝360，解得n＝4．
∵θ＝630°，
∴(n－2)×180＝630，解得n＝．
∵n为整数，
∴θ 不能取630°．
(2)依题意，得(n－2)×180＋360＝(n＋x－2)×180，
解得x＝2．
变式训练
分析:五边形的内角和为(5-2) ×180° = 540°，
∴2n=540°- 90°×3=270°，
∴n=135°，故选C.

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