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第三章 图形的平移与旋转考点汇编
导学案
直击考点
典例分析
考点1平移的概念和性质
1.概念:
在平面内，将一个图形沿某个方向①__________一定的距离，这样的图形运动称为平移.平移是由移动的②__________和③__________决定的
2.性质：
(1)平移不改变图形的形状和④__________.
(2)一个图形和它经过平移所得到的图形， 对应点所连的线段平行(或在一条直线上)且⑤__________，对应线段平行(或在一条直线上)且⑥__________， 对应角⑦__________.
(3)连接对应点的线段的长度就是平移的⑧__________，这条线段的方向就是平移方向
3.作图：
(1) 常用的两种方法
确定对应点，由对应点确定平移后的图形.
确定对应线段，由对应线段确定平移后的图形.
(2) 一般步骤
确定平移的方向和⑨__________.
确定表示图形的关键点.
过关键点作平行且相等的线段，得到关键点的⑩__________.
按原图形的顺序顺次连接对应点，所得到的图形就是平移后的图形.
4.标系内点的平移变换规律:
左右平移，纵坐标不变，横坐标变，具体为左 ______右 ___ ；上下平移，横坐标不变，纵坐标变，具体为上 ______下 ______.
例1 如图，将面积为５的△ABC 沿BC 方向平移至△DEF 的位置，平移的距离是边BC 长的２倍，那么图中的四边形ACED 的面积为_________．
变式训练
如图，平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板，它们中较大锐角的度数为60°，将 ECD沿直线向左平移到图示的位置，使点E落在AB上，即点E'，点P为AC与E'D'的交点.
( 1)求∠CPD'的度数；(2)求证:AB⊥E'D'.
考点2旋转的概念和性质
1.概念:
在平面内，将一个图形绕一个定点按某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转.这个定点称为①___________，转动的角称为②__________，旋转是由旋转中心、旋转角和旋转③_________决定的.
2.性质：
(1)旋转不改变图形的形状和④____________.
(2)一个图形和它经过旋转所得的图形中，对应点到旋转中心的距离⑤________，任意一组对应点与旋转中心的连线所成的角都等于⑥___________ ；对应线段⑦__________，对应角⑧_______________.
3.作图的一般步骤:
确定旋转中心、旋转角的大小及旋转⑨____________________.
连接图形中关键点与旋转中心的线段.
把连线按要求绕旋转中心转过一定角度(大小等于旋转角)
在角的另一边截取关键点到旋转中心的距离相等的线段，得关键点的⑩___________，按原图的顺序依次连接对应点，所得到的图形就是旋转后的图形.
例2如图，两个全等的三角尺重叠摆放在△ACB 的位置，将其中一个三角尺绕着点C 按逆时针方向旋转至△DCE 的位置，使点A 恰好落在边DE 上，AB 与CE 相交于点F.
已知∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠B ＝30°，AB ＝８cm，则CF＝_______cm．
变式训练
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=a(0°(1)如图 (1)，直接写出∠ABD的大小(用含x的式子表示)；
(2)如图 (2)，∠BCE= 150°，∠ABE= 60°，判断△ABE的形状并加以证明；
(3)在(2)的条件下，连接DE，若∠DEC=45°，求a的值.
考点3中心对称和中心对称图形
1.中心对称
概念:如果把一个图形绕着某一点旋转①_______, 它能够与另一个图形重合,那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫作它的②____________.
性质:成中心对称的两个图形中,对应点所连线段③________对称中心,且被对称中心④________.
2. 中心对称图形
概念:把一个图形绕某个点旋转180°,如果旋转后的图形能与原来的图形⑤________,那么这个图形叫作中心对称图形,这个点叫作它的对称中心
例3下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是(　　)
变式训练
下列全国各地地铁标志图中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )
考点4平移、旋转与坐标
1.在平面直角坐标系中，将点（x，y）向右（或向左）平移h（h＞０）个单位长度，可以得到对应点（x＋h，y）或（x－h，y）；将点（x，y）向上（或向下）平移k（k＞０）个单位长度，可以得到对应点（x，y＋k）或（x，y－k）．
2.图形的旋转与坐标包含两方面的应用：一种是由图形变换确定坐标，另一种是由坐标变化确定图形，解此类题的关键是掌握旋转作图及旋转的性质．其中关于原点中心对称的两个图形的对称点的横、纵坐标分别互为相反数．
例4如图，△ABC 的三个顶点都在方格纸的格点上,其中点A 的坐标是(－1,0)．现将△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转90°,则旋转后点C 的坐标是_______.
变式训练
将点A (１,－３)沿x 轴向左平移３个单位长度,再沿y 轴向上平移５个单位长度后得到的点A′的坐标为___________.
考点5平移与旋转作图
这类问题既考查对这两种图形变换的掌握程度，又考查动手能力，是理论与实践的统一．画图时要注意各种变换的依据，准确地画出图形，还应注意以下问题：
平移要找准平移的方向与平移的距离；
旋转要找准旋转中心、旋转方向与旋转角．
有时会出现应用两种变换来作图的问题，如先平移，再旋转，这样的作图要分清层次，按照要求及每种作图应注意的事项来动手操作．
例5在平面直角坐标系中,△ABC的位置如图(每个小方格都是边长为１个单位长度的正方形)．
(１)将△ABC 沿x 轴方向向左平移６个单位长度,画出平移后得到的△A B C ;
(２)将△ABC 绕着点A 顺时针旋转90°,画出旋转后得到的△AB C ,并直接写出点B ,C 的坐标．
变式训练
在5×5的方格纸中将图( 1)中的图形N平移后的位置如图 (2) ,那么下面平移中正确的是( ).
A.先向下移动1格,再向左移动1格 B.先向下移动1格,再向左移动2格
C.先向下移动2格,再向左移动1格 D.先向下移动2格,再向左移动2格
参考答案
考点1①移动②方向③距离④大小⑤相等⑥相等 ⑦相等⑧距离.⑨距离⑩对应点 减 加 加 减.
例1 解析:设点A 到BC 的距离为h，
则S△ABC ＝BC·h＝5．
∵平移的距离是边BC 长的2倍，
∴AD ＝2BC，CE＝BC．
又∵AD ∥CE，所以四边形ACED 为梯形，
∴四边形ACED 的面积S ＝(AD ＋CE ) ·h＝(2BC ＋BC ) ·h
＝×3BC ·h ＝3×5＝15．
方法总结
本题考查了平移的性质，解题的方法是先由平移的性质得到所求四边形是梯形，以及相关线段的长度关系，再利用图形的面积公式求出图形的面积即可．
变式训练(1)解:由平移的性质知，DE// D'E'，
∴∠CPD'=∠CED= 60°.
(2)证明:由平移的性质知CE//C'E'，∠CED=∠C'E'D'=60° ，
∴∠BE'C'=∠BAC=30°，∴∠BE'D'=90°，∴ AB⊥E'D'.
考点2①旋转中心 ②旋转角③方向④大小⑤相等⑥旋转角⑦相等⑧相等⑨方向⑩对应点.
例2解析:因为∠ACB＝90°，∠B＝30°，所以∠CAB＝60°．
由旋转的性质，得AC＝DC，∠D ＝∠CAB＝60°．
所以△ADC 是等边三角形，所以∠DCA ＝６０°，
所以∠ACF＝30°，所以∠AFC＝90°．又因为AB＝８cm，
所以AC＝４cm，所以AF＝２cm，所以由勾股定理，
得CF＝2cm．
方法总结
本题的解题方法是先利用旋转的性质，即旋转前后的对应线段相等，对应角相等，得出特殊的三角形，再利用含３０°角的直角三角形的性质及勾股定理求解．
变式训练：解：（1）∵AB=AC，∠A=α，∴∠ABC=∠ACB=（180°-∠A）=90°-α，
∵∠ABD=∠ABC-∠DBC，∠DBC=60°，即∠ABD=30°-α；
（2）△ABE是等边三角形，
证明：连接AD，CD，ED，
∵线段BC绕B逆时针旋转60°得到线段BD，则BC=BD，∠DBC=60°，
∵∠ABE=60°，
∴∠ABD=60°-∠DBE=∠EBC=30°-α，且△BCD为等边三角形，
在△ABD与△ACD中
AB＝AC，AD＝AD，BD＝CD
∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD=∠CAD=∠BAC=α，
∵∠BCE=150°，∴∠BEC=180°-（30°-α）-150°=α=∠BAD，
在△ABD和△EBC中
∠BEC＝∠BAD，∠EBC＝∠ABD，BC＝BD.
∴△ABD≌△EBC（AAS），
∴AB=BE，∴△ABE是等边三角形；
（3）∵∠BCD=60°，∠BCE=150°，∴∠DCE=150°-60°=90°，
∵∠DEC=45°，∴△DEC为等腰直角三角形，
∴DC=CE=BC，
∵∠BCE=150°，∴∠EBC=（180°-150°）=15°，
∵∠EBC=30°-α=15°，∴α=30°．
考点3①180°②对称中心③经过④平方⑤重合.
例3解析:选项A是中心对称图形，不是轴对称图形；选项B既是轴对称图形，又是中心对称图形；选项C是轴对称图形，不是中心对称图形；选项D是轴对称图形，不是中心对称图形．故选B．
方法总结
确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形的两部分沿对称轴折叠后可重合；确定中心对称图形的关键是要寻找对称中心，绕对称中心旋转180°后，旋转前后的图形可重合．
变式训练C
例4解析:如图所示,△AB′C′即为△ABC 绕点A 按顺时针方向旋转90°后得到的图形,则C′(2,1),即旋转后点C 的坐标是(2,1)．
方法总结
此题是由图形旋转变换确定坐标的题目,解题的关键是掌握旋转作图及旋转的性质,并找准所求点的对应点．
变式训练
解析:将点A 沿x 轴向左平移3个单位长度,则横坐标减3;再沿y 轴向上平移5个单位长度,则纵坐标加5．所以得到的点A′的坐标为(1－3,－3＋5),即A′(－2,2)．
例5 解:(１)如图,△A B C 即为所求．
(２)如图,△AB C 即为所求,点B (4,－2),C (1,－3)．
变式训练C

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