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第四章 因式分解考点汇编
导学案
直击考点
典例分析
考点1因式分解的概念
1.因式分解的定义
把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.
注：⑴因式分解的结果只能是几个因式的积，否则不是因式分解，如：x -4+3x=(x+2)(x-2)+3x不是因式分解.
⑵分解因式一定要分解到不可再分为止.即将一个多项式分解因式后，所得的结果中每一个多项式因式都不能再分解因式，否则还要继续分解下去.
⑶分解因式时要考虑数的范围，例如在有理数范围内x -2已经不能再分解了，但在实数范围内还可以分解为x -2= (x +)(x-) .
⑷因式分解的结果是整式乘积的形式，结果出现相同的因式时，要把它写成幂的形式.
2.整式乘法与因式分解的关系
若把整式乘法看成一个变形过程,则多项式的因式分解就是整式乘法的逆过程;若把多项式的因式分解看成一个变形过程,则整式乘法就是多项式的因式分解的逆过程.
例1下列从左到右的变形是因式分解的是( )
A．a ＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．a ＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a ＋4a－4 D．a ＋4a－21＝(a＋2) －25
方法总结
因式分解的三点注意
⑴因式分解的形式:左边为一个多项式,右边为因式的积的形式;
⑵每个因式必须为整式;
⑶分解因式必须分解到右边的每个因式不能再分解为止．
变式训练
1.判断下列等式，从左边到右边哪些是因式分解？
⑴(x+1)(x+2)=x +3x+2； ⑵ 2x +2x+1=(x+1) ； ⑶ x - y =(x+ y)(x-y)
⑷ 3x -6x=x(3x-6)； ⑸ a x-a=a(x -1)； ⑹ x +1=x(x+).
2.若多项式 x -4x+m因式分解得(x-2)(x+n)，则m= ____，n=_____.
考点2 因式分解的方法
1.提公因式法
公因式的定义:多项式每一项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式.
公因式的确定
一看“系数”：公因式的系数是各项系数绝对值的最大公约数;
二看“ 字母”：公因式中的字母是各项都含有的相同字母;
三看“字母的次数”：公因式中的字母的次数是相同字母的最低次数.
提公因式法
一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
2. 公式法
⑴平方差公式
把整式乘法的平方差公式(a+b)(a-b)=a -b 的等号两边互换位置，就得到a -b =(a+b)(a-b)，即两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积.
⑵完全平方公式
把整式乘法的完全平方公式(a±b) =a ±2ab+b 的等号两边互换位置，就得到a ±2ab+b =(a±b) ，即两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于这两个数的和（或差）的平方.
注：①公式中的字母a,b可以是一个单项式，也可以是一个多项式；
②若多项式各项有公因式，则先提公因式，再运用公式法分解因式；
③在运用公式前，要看多项式是否符合公式的特点，如符合，则看项数选公式，“二项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全平方公式.
例2 把下列多项式因式分解
(1) 25x -9y ； (2)x -4x+4； (3) 25x + 20xy +4y ；
(4) 9(a-b) -4(a+b) ； (5) a -a； (6) x y-2x y+xy.
方法总结
选取因式分解方法的三步曲
第１步:提公因式,即有公因式的先提取公因式;
第２步:套公式,即运用公式法(平方差公式或完全平方式)因式分解;
第３步:检验,即因式分解一定要进行到每个因式都不能再分解为止.
变式训练
1.因式分解：
(1)m3(a－2)＋m(2－a)； (2)x4－16y4；
(3)81x4－18x2y2＋y4； (4)(x2－4x)2＋8(x2－4x)＋16.
2.因式分解：－4＋m2－n2＋4n.
考点3因式分解的应用
因式分解是一种重要的恒等变形，是解决数学问题的一种有力工具，其应用十分广泛．
主要表现为：⑴用于简化计算，尤其是对一些计算量大、费时费力易出错的计算；
⑵用于求代数式的值，主要利用因式分解后进行整体代入求值．
例3已知a +b +2a-4b+5=0，求2a +4b-3的值.
分析：从已知可以看出该式与完全平公式有极大的联系.故用“凑”成完全平方式的方法将已知转化为非负数的和为0的形式，进而利用非负数的性质求解.
方法总结
利用拆项的方法，将5拆成4+1，配成完全平方式的和，再根据非负数的性质“几个非负数的和为0, 每个非负数的值都为0”求出a、b的值，进而求出代数式的值.
变式训练
1.已知a＋b＝３,ab＝２,求代数式a b＋２a b ＋ab 的值．
2.若实数x满足x - 2x-1=0,求2x －7x +4x+2020 的值
参考答案
例1解析: 选项A等式右边仍是和的形式，所以不是；选项B符合因式分解的概念，所以是；选项C的变形是整式乘法，所以不是；选项D等式右边仍是和的形式所以不是.
变式训练
1.解：（2）（3）是因式分解.
⑴是整式乘法；⑷⑸没有分解完全，还可以进行分解；⑹分解的结果有分式.
注：因式分解是将一个多项式化成几个整式的积的形式，一定要分解到不能再分解为止.
2.解析：x -4x+m因式分解得(x-2)(x+n)，
∴x -4x+m=(x-2)(x+n)
又∵(x-2)(x+n)=x + nx-2x-2n=x +(n-2)x-2n
∴n-2=-4,2n=-m
即n=-2,m=4
例2解: (1) 原式=(5x) -(3y) = (5x+3y)(5x-3y)；
(2)原式=x -2x·2+2 =(x-2) ；
(3)原式=(5x) +2×5x·2y+(2y) =(5x+2y) ；
(4)原式=[3(a-b)] -[2(a+b)] =[3(a-b)+ 2(a+ b)][3(a-b)-2(a+b)]=(5a-b)(a-5b)；
(5)原式=a(a -l)=a(a +1)(a-1)；
(6)原式=xy(x -2x+1)=xy(x-1) .
变式训练
1.解：(1)原式＝m3(a－2)－m(a－2)＝m(a－2)(m＋1)(m－1)．
(2)原式＝(x2＋4y2)(x2－4y2)＝(x2＋4y2)(x＋2y)(x－2y)．
(3)原式＝(9x2－y2)2＝(3x＋y)2(3x－y)2.
(4)原式＝(x2－4x＋4)2＝(x－2)4.
2.解：原式＝m2－n2＋4n－4
＝m2－(n－2)2＝(m＋n－2)(m－n＋2)．
例3解：∵a +b +2a-4b+5=0，
∴（a +2a+1）+（b -4b+4）=0，
∴（a+1） +（b-2） =0，
∴a=-1，b=2.
∴2a +4b-3=2×（-1） +4×2-3=7.
变式训练
1.解:∵a＋b＝３,ab＝２,
∴a b＋２a b ＋ab
＝ab(a ＋２ab＋b )
＝ab(a＋b)
＝２×３ ＝18．
2.解: ∵x -2x- 1=0, ∴x - 2x = 1,
∴2x - 7x + 4x-2020
= 2x - 4x -3x + 4x+2020
= 2x(x -2x)-3x +4x+2020
=6x- 3x +2020
= -3(x -2x)+2020
=-3+2020
= 2017

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