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第五章 分式与分式方程考点汇编
导学案
直击考点
典例分析
考点1分式有(无)意义和分式值为零的条件
分式有意义的条件：分母B≠０；
分式 无意义的条件：分母B＝０；
分式的值为零的条件： 分子A＝０， 分母B≠０．
例1 函数y＝中,自变量x 的取值范围是(　 　)
A．x≥１ B．x＞１
C．x≥１,且x≠２ D．x≠２
方法总结
有关分式有意义的条件的题目,常与二次根式和函数自变量的取值范围结合考查．注意分式有意义的条件是分母不为零,二次根式有意义的条件是被开方数是非负数．
变式训练
当x ＝ 　　时,分式的值为０．
考点2 分式的基本性质
分式的基本性质是分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变．
注意:同乘(或除以)的整式不为零．分式的基本性质是分式约分和通分的重要依据．
例2 化简.
方法总结
分式的化简实质上就是分式的约分,约分的关键在于找公因式,因此,要对分式的分子、分母合理因式分解．分式化简的结果是最简分式或整式．
变式训练
小丽在化简分式时,被■挡住的部分不小心撒上了墨水，请你推测，被■挡住的部分的代数式应该是______
分析:分母由x -1除以x-1得到x+1,所以■部分的代数式应该是(x-1)(x-1)=(x-1) =x -2x+1.
考点3分式的运算与化简求值
分式的运算包括加减、乘除、乘方以及分式的混合运算．
分式混合运算顺序:先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，要先算括号内的．
分式运算的结果要化为最简．分式的运算与整式的运算一样，可以灵活运用运算律，以简化过程，提高解题的速度．
例3化简：.
方法总结
进行异分母分式的加减运算时,应先对分子、分母进行因式分解,再通分,最后按照同分母分式加减法法则进行计算．注意分式混合运算时的运算顺序,且最后结果要化为最简．
变式训练
化简：-÷. 然后在不等式x≤２的非负整数解中选择一个适当的数代入求值．
注意：自选字母的值代入求分式值的题目,要注意选取的字母的值一定要使原分式有意义．
考点4解分式方程
解分式方程的核心就是先利用等式的基本性质将分式方程转化为整式方程，再利用整式方程的解法求解，但要注意对求解的结果进行检验，因为解分式方程有时会产生增根．
例4解方程:=1+
方法总结
把分式方程转化为整式方程,方程两边同乘最简公分母时,不含分母的项(尤其是常数项１)不要漏乘．解分式方程一定要注意验根．
变式训练
若关于x 的方程+=3的解为正数，求m 的取值范围是.
考点5分式方程的实际应用
列分式方程解应用题的基本思路和列整式方程解应用题的基本思路是相同的，关键步骤是先根据题意寻找等量关系， 建立分式方程模型， 再解方程，最后需要验根．
例5 2019年“母亲节”前夕,某花店用４000元购进若干束花,很快售完,接着又用4500元购进第二批花,已知第二批所购花的束数是第一批所购花束数的1.5倍,且每束花的进价比第一批的进价少５元,求第一批花每束的进价是多少
方法总结
列分式方程解应用题时要注意检验根,既要检验它是否为所列分式方程的根,又要检验它是否符合实际意义．
变式训练
某车间按计划要生产450个零件，由于改进了生产设备，该车间实际每天生产的零件个数比原计划每天多20%，结果提前5天完成任务，求该车间原计划每天生产的零件个数．
参考答案
例1 解析: 根据题意,自变量x 的取值范围应满足
,
解得x≥１,且x≠２,故选C．
变式训练
解析:因为分式的值为０,所以x－２＝０,解得
x＝２．
当x＝２时,２x＋５≠０,
所以当x＝２时,分式的值为０．
例2解:
变式训练 或
分析:分母由x -1除以x-1得到x+1,所以■部分的代数式应该是(x-1)(x-1)=(x-1) =x -2x+1.
例3解：
=·
=·
=·
=1
变式训练
解：-÷
=-·
=
=
=
因为不等式x≤２的非负整数解有x＝０,x＝１(分式无意义,舍去),x ＝2．
可把x ＝０代入,得原式==2
例4 解:方程两边同乘x－2,得１－x＝x－2－3,
解得x＝3．
检验:当x＝3时,x－2≠0,
故原分式方程的根是x＝3．
变式训练
解：去分母（两边同乘以(x-3)）得，x +m-3m=3(x-3)
整理得：2x =-2m+9
解得：
∵关于x 的方程 +=3的解为正数,
∴
解得m≤且m≠.
例5 解:设第一批花每束的进价是x 元,
依题意,得×1.5＝,
解得x＝20．
经检验x＝20是原方程的根,且符合题意．
答:第一批花每束的进价是20元．
变式训练
解：设该车间原计划每天生产的零件为x个，则根据题意得：
,
解得x＝15，
经检验，x＝15是原方程的根且符合题意．
答：该车间原计划每天生产的零件为15个.

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