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第一章 三角形的证明
考点汇编
直击考点
考点分析
考点1等腰三角形
1．定义：
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
2．性质：
(1)具有三角形的一切性质；
(2)两底角相等(等边对等角)；
(3)顶角的平分线，底边中线，底边上的高互相重合(三线合一)；
(4)等边三角形的各角都相等，且都等于60°.
3．判定：
(1)如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)；
(2)三个角都相等的三角形是等边三角形；
(3)有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形。
例1 已知:如图,点D在等边三角形ABC的边AB上，点F在边AC上，连接DF并延长交BC的延长线于点E,FE=FD.求证:AD=CE.
分析:可过点D作DG//BC交AC于点G,则△ADG是等边三角形,则AD=DG.再通过证明△DGF≌△ECF得到CE=DG,根据等量代换可证明AD=CE.
总结
“等边对等角”和“等角对等边”分别是等腰三角形的性质与判定，它是证明角、边相等的重要依据
变式训练
如图,在等边三角形ABC的AC边上取中点D,BC的延长线上取一点E,使CE=CD.
求证:BD=DE.
考点2直角三角形
1．定义：
有一个角是直角的三角形叫做直角三角形。
2．性质：
(1)直角三角形中两锐角互余；
(2)直角三角形中，30°锐角所对的直角边等于斜边的一半；
(3)在直角三角形中，如果有一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于30°；
(4)勾股定理：直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方；
(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足a +b =c ，那么这个三角形是直角三角形；
(6)直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半；
(7)SRt△ABC=ch=ab，其中a、b为两直角边，c为斜边，h为斜边上的高。
3．判定：
(1)两内角互余的三角形是直角三角形；
(2)一条边上的中线等于该边的一半，则这条边所对的角是直角，则这个三角形是直角三角形；
(3)如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形，第三边为斜边。
例2如图,在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=60°,点E是∠BAC的平分线上一点,过点E作AE的垂线，过点A作AB的垂线,两垂线交于点D,连接DB,点F是BD上一点，AF= DF,DH⊥AC,垂足为H,连接EF,HF.
(1)若点H是AC的中点,AC=2 ,求AB ,BD的长;
(2)求证:HF = EF.
分析：(1)根据直角三角形的性质即可得到结果;
(2)证明△DAE≌△ADH,△DHF≌△AEF ,即可得到结果.
总结
勾股定理和30°角所对的直角边等于斜边的一半是在直角三角形中求线段之间的关系 的常用方法.
变式训练
已知,如图,△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB=CECD=90°,D为AB边上一点.
(1)求证:△ACE≌△BCD;
(2)求证:2CD =AD +DB
考点3线段垂直平分线和角平分线
1．线段垂直平分线：
经过线段的中点并且垂直这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线。
线段垂直平分线的定理：
(1)线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等；
(2)与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。
线段垂直平分线可以看作是与线段两个端点距离相等的所有点的集合。
2．角平分线的性质：
(1)角的平分线上的点到角的两边的距离相等；
(2)到角的两边的距离相等的点在角的平分线上；
(3)角的平分线可以看做是到角的两边距离相等的所有点的集合。
例3 如图,在△ABC中,∠C=90°,DF⊥AB,垂足为F,DE=BD,CE=FB.求证:点D在∠CAB的角平分线上.
分析：要证明点D在∠CAB的角平分线上,只要证明CD=DF即可.
总结
线段的垂直平分线的性质和判定定理与角平分线的性质与判定定理是证明相等相等或角相等的重要依据.
变式训练
如图,在△ABC中, ∠BAC =90°,AD⊥BC,BE,AF分别是∠ABC,∠DAC的平分线, BE和AD交于点G,和AF交于点0,求证:GF//AC.
参考答案
例1 证明:如图,过点D作DG//BC,则∠DGF=∠ECF,∠FDG=∠E.
∵△ABC是等边三角形，
∴∠ADG=∠B=60°=∠A.
∴△ADG是等边三角形.∴DG=AD.
在△DGF和△ECF中，
∠DGF=∠ECF,∠FDG=∠E,FD=FE,
∴△DGF≌△ECF(AAS).
∴DG=CE.∴AD=CE.
变式训练
证明:∵△ABC为等边三角形,BD是AC边的中线，
∴BD⊥AC,BD平分∠ABC(三线合一).
∴∠DBE=∠ABD=30°.
∵CD=CE，∴∠CDE=∠E(等边对等角).
∵∠ACB=60°,且∠ACB为△CDE的外角，
∴∠CDE+∠E=60°，∴∠CDE=∠E=30°，
∴∠DBE=∠E=30°，∴BD=DE(等角对等边).
例2 (1)解: ∵∠ACB =90°,∠BAC =60°，
∴∠ABC=30°.
∴ AB =2AC=2×2 =4 .
∵AD⊥AB,∠CAB =60°，∴∠DAH =30°.
AH=AC=, ∴ AD=2DH.
在Rt△AHD中,由勾股定理,得AD=2.
∴BD= =2 .
(2)证明: ∵AE是∠BAC的平分线，
∴∠HAE =30°，∴∠DAH=∠ADE =30°.
又∵∠AHD=∠DEA =90°, ∴AD=DA，
∴△ADH≌△DAE( AAS).
∴DH =AE,∠ADH=∠DAE.
∵FD=FA, ∴∠FDA =∠FAD.
∴∠FDH=∠FAE.
在 DEF和 AEF中,
FD=FA,∠FDH=∠FAE,DH =AE,
∴△DHF≌△AEF(SAS).
∴HF = EF.
变式训练
证明:(1)∵△ACB和△ECD都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ECD=90°，
∴AC=BC,EC=DC, ∴∠ACB-∠ACD=∠ECD-∠ACD,即∠BCD=∠ACE.
∴△ACE≌△BCD(SAS).
(2)∵△ACE≌△BCD,
∴∠EAC=∠B=45°,BD=AE.
∴∠DAE=∠EAC+∠CAB=90°.
在Rt△ADE中,AE +AD =DE (勾股定理)，
∴AD +BD =DE
在Rt△DCE中,CE +CD =DE =2CD ,
∴2CD =AD +DB
例3 证明:在Rt△CDE和Rt△FDB中,
∵DE =DB,CE =FB,
∴ Rt△CDE≌Rt△FDB( HL).
∴DC = DF.
又∵ DC⊥AC,DF⊥AB,
∴点D在∠CAB的角平分线上。
变式训练
证明: ∵∠BAC =90°,AD⊥BC,
∴∠C+∠ABC=90°,∠C+∠DAC=90°,∠ABC+∠BAD =90°.
∴∠ABC=∠DAC,∠BAD=∠C.
∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABG=∠EBC.
∴∠AGE=∠GAB+∠ABG,∠AEG=∠C+∠EBC,
∴∠AGE=∠AEG. ∴AG =AE.
∵AF是∠DAC的平分线，
∴AO⊥GE,GO=EO.
在△ABO与△FBO中,
∵∠ABO=∠FBO,BO=BO,∠AOB=∠FOB=90°,
∴△ABO≌△FBO( ASA).
∴AO =FO.
∴ BO是AF的垂直平分线.
∴GA =GF.
∴∠AGO=∠FGO.
∴∠FGO=∠AEO.
∴ GF//AC.

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