资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
反比例函数复习
【学习目标】
理解反比例函数的概念；能依据已知条件确定反比例函数表达式.
2.会画出反例函数的图象；能根据图象和表达式探索并理解反比例函数的性质.
3.利用反比例函数的比例系数的几何意义解决有关问题.
4.经历分析实际问题中变量之间的关系、建立反比例函数模型，进而解决问题的过程。
5.体会数学与现实生活的紧密联系，增强应用意识，提高运用代数方法解决问题的能力。
【考点梳理】
1.反比例函数定义：一般地，如果两个变量x、y之间的关系可以表示成
(k为常数，k≠0）的形式（或y=kx-1，k≠0），那么称y是x的反比例函数．
2.反比例函数的概念需注意以下几点：
(1)k为常数，k≠0；
(2）中分母x的指数为 ；例如y= 就不是反比例函数；
(3)自变量x的取值范围是 的一切实数；
(4)因变量y的取值范围是 的一切实数．
3.反比例函数的图象和性质．利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函数y=具有如下的性质（见下表）
①当k＞0时，函数的图象在 象限，在每个象限内，曲线从左到右下降，也就是在每个象限内，y随x的增加而 ；
②当k＜0时，函数的图象在 象限，在每个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y随x的增加而 ．
k的符号 k＞0 k＜0
图像的大致位置
经过象限 第 象限 第 象限
性质 在每一象限内,y随x的增大而 在每一象限内,y随x的增大而
4.画反比例函数的图象时要注意的问题：
（1）画反比例函数图象的方法是 ；
（2）画反比例函数图象要注意自变量取值范围是 ，因此，不能把两个分支连接起来；
(3)由于在反比例函数中，x和y的值都不能为0，所以，画出的双曲线的两个分支要分别体现出无限的 坐标轴，但永远不能达到x轴和y轴的变化趋势．
5.反比例函数y= (k≠0)中比例系数k的几何意义,即过双曲线y=(k≠0)上任意一点引x轴、y轴垂线,所得矩形面积为 ，围成的三角形面积为 .
6.用待定系数法求反比例函数解析式时，可设解析式为
【课堂练习】
知识点一反比例函数定义及性质
典例1.已知是反比例函数
(1)求它的解析式.
(2)求自变量x的取值范围？
(3)它的图象位于哪个象限，在每个象限内，随的增大而怎样变化？
跟踪训练2.已知反比例函数的图象在第二、四象限，求m值，并指出在每个象限内y随x的变化情况？
知识点二反比例函数表达式及其交点
典例3.已知一次函数y=与反比例函数y＝(x＞0，k是常数)的图象都经过点A （m，1），求:
(1)反比例函数的解析式；
(2)正比例函数与反比例函数的图象的另一个交点的坐标．
跟踪训练4.已知一次函数y＝x-2与反比例函数y＝的图象相交于A，B(－2，m)两点，则反比例函数的表达式为 ，A点的坐标为 ．
知识点三|k|的几何意义
典例5.如图,已知反比例函数y=(k为常数,k≠0)的图象经过点A，过A点作AB⊥x轴，垂足为B.若△AOB的面积为1，则k=_____.
跟踪训练6.如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x轴、y轴的垂线与反比例函数y＝的图象交于A，B两点，则四边形MAOB的面积为 ．
知识点四反比例函数性质
典例7.如图，过原点O的直线与反比例函数y1，y2的图象在第一象限内分别交于点A、B，且A为OB的中点，若函数y1＝，则y2与x的函数表达式是 ．
跟踪训练8，已知在Rt△OAC中，O为坐标原点，直角顶点C在x轴的正半轴上，反比例函数y＝(k≠0)在第一象限的图象经过OA的中点B，交AC于点D，连接OD.若△OCD∽△ACO，则直线OA的解析式为 ．
知识点五反比例函数的实际应用
(1)反比例函数的实际应用
典例9.有一水池装水12m3 ，如果从水管中1h流出x m3的水，则经过yh可以把水放完，写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围．
跟踪训练10.某蔬菜生产基地的气温较低时，用装有恒温系统的大棚栽培一种新品种蔬菜．如图是试验阶段的某天恒温系统从开启到关闭后，大棚内的温度y（℃）与时间x（h）之间的函数关系，其中线段AB、BC表示恒温系统开启阶段，双曲线的一部分CD表示恒温系统关闭阶段．请根据图中信息解答下列问题：
（1）求这天的温度y与时间x（0≤x≤24）的函数关系式；
（2）求恒温系统设定的恒定温度；
（3）若大棚内的温度低于10℃时，蔬菜会受到伤害．问这天内，恒温系统最多可以关闭多少小时，才能使蔬菜避免受到伤害？
(2)反比例函数几何问题
典例11.如图在直角坐标系xOy中，直线y＝mx与双曲线y＝相交于A(－1，a)，B两点，
BC⊥x轴，垂足为C，△AOC的面积是1.
(1)求m，n的值；
(2)求直线AC的解析式．
跟踪训练12.如图，已知反比例函数y＝(x＞0，k是常数)的图象经过点A(1，4)，点 B(m，n)，其中m＞1，AM⊥x轴，垂足为M，BN⊥y轴，垂足为N，AM与BN的交点为C.
(1)写出反比例函数解析式；
(2)求证：△ACB∽△NOM；
(3)若△ACB与△NOM的相似比为2，
求出B点的坐标及AB所在直线的解析式．
【当堂达标】
1.下列函数中，反比例函数是( )
A.y=2x+1 B.y=5x C.x:y=8 D.xy=-1
2.已知反比例函数y＝的图象过点P(1，-3)，则反比例函数图象位于（ ）
A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限
3.已知反比例函数y＝的图象经过点（a，b），则它的图象也一定经过（　 ）
A.(－a，－b） B.(a，－b） C.(－a，b） D.(0，0）
4.若反比例函数y=的图象经过点（2，﹣6），则k的值为（　　）
A.-12 B.12 C.-3 D.3
5.反比例函数y1=(x＞0）的图象与一次函数y2=﹣x+b的图象交于A，B两点，其中
A（1，2），当y2＞y1时，x的取值范围是（　　）
A.x＜1 B.1＜x＜2 C.x＞2 D.x＜1或x＞2
6.已知反比例函数y＝的图象经过点（m，3m），则此反比例函数的图象（ ）
A.第一、二象限 B.第一、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限
7.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABOC的两边在坐标轴上，OB=1，点A在函数y=﹣(x＜0）的图象上，将此矩形向右平移3个单位长度到A1B1O1C1的位置，此时点A1在函数y=(x＞0）的图象上，C1O1与此图象交于点P，则点P的纵坐标是（　　）
A. B. C. D.
8.一次函数y=kx﹣k2﹣1与反比例函数y=在同一直角坐标系内的图象大致位置是（　　）
9. 购买只茶杯需15元，则购买一只茶杯的单价与的关系式为（ ）
A. （取实数） B. （取整数）
C. （取自然数） D. （取正整数）
10.如图，矩形OABC上，点A、C分别在x、y轴上，点B在反比例y= 位于第二象限的图象上，矩形面积为6，则k的值是（ ）
A.3 B.6 C.﹣6 D.﹣3
11.如图，点A的坐标是(2，0)，△ABO是等边三角形，点B在第一象限，若反比例函数
y＝的图象经过点B，则k的值是(　　)
A.1 B.2 C. D.2
12.如图O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB=，反比例函数在第一象限内的图象过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于（ ）
A.30 B.40 C.60 D.80
二.填空题
13.如图，M为双曲线y=上的一点，过点m作x轴、y轴的垂线，分别交直线y=-x+m于D、C两点，若直线y=-x+m与y轴交于点A，与x轴相交于点B．则AD·BC的值为________
14.已知一次函数y=3x+m与反比例函数y=的图象有两个交点，当m=________时，有一个交点的纵坐标为6．
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的边AB：BC=3：2，点A（3，0），B（0，6）分别在x轴，y轴上，反比例函数y=(x＞0）的图象经过点D，且与边BC交于点E，则点E的坐标为________．
16.如图已知直线y=k1x+b与x轴y轴相交于P、Q两点，与y=的图象相交于A （﹣2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB，给出下列结论①k1k2＜0②m+n=0③S△AOP=S△BOQ；④不等式k1x+b k2x 的解集是x＜﹣2或0＜x＜1，其中正确的结论的序号是________．
17.小伟欲用撬棍撬动一块大石头，已知阻力和阻力臂分别为1200N和0.5m，当撬动石头的动力F至少需要400N时，则动力臂l的最大值为________m．
18.如图，一次函数y=x﹣1的图象与反比例函数y= 的图象在第一象限相交于点A，与x轴相交于点B，点C在y轴上，若AC=BC，则点C的坐标为________．
三.解答题
19.如图一次函数y1=ax+b（a≠0）的图象与反比例函数y2=（k为常数，k≠0）的图象交于A、B两点，过点A作AC⊥x轴于C，连接OA，已知OC=2，tan∠AOC=，B（m，﹣2）．
（1）求一次函数和反比例函数的解析式．
（2）结合图象直接写出：当y1＞y2时，x的取值范围．
20.如图，直线y1=﹣x+4，y2=x+b都与双曲线y=交于点A（1，m），这两条直线分别与x轴交于B，C两点．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）直接写出当x＞0时，不等式x+b＞的解集；
（3）若点P在x轴上，连接AP把△ABC的面积分成
1：3两部分，求此时点P的坐标．
21.如图，函数y=x的图象与函数y=（x＞0）的图象相交于点P（2，m）．
（1）求m，k的值；
（2）直线y=4与函数y=x的图象相交于点A，
与函数y=（x＞0）的图象相交于点B，求线段AB长．
22.如图，在平面直角坐标系中，直线y1=2x﹣2与双曲线y2=交于A、C两点，AB⊥OA交x轴于点B，且OA=AB．
（1）求双曲线的解析式；
（2）求点C的坐标，并直接写出y1＜y2时x的取值范围．
23.如图，已知反比例函数y=（m≠0）的图象经过点（1，4），一次函数y=﹣x+b的图象经过反比例函数图象上的点Q（﹣4，n）．
（1）求反比例函数与一次函数的表达式；
（2）一次函数的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，
与反比例函数图象的另一个交点为P点，连结OP、OQ，
求△OPQ的面积．
24.一次函数y=kx+b的图象经过点A（﹣2，12），B（8，﹣3）．
（1）求该一次函数的解析式；
（2）如图，该一次函数的图象与反比例函数y=（m＞0）
的图象相交于点C（x1，y1），D（x2，y2），与y轴交于点E，且CD=CE，求m的值．
25. 如图,反比例函数y=（m≠0）的图象与一次函数y=kx+b（k≠0）的图象交于A,B两点,点A的坐标为(2,6),点B的坐标为(n,1).
(1)求反比例函数与一次函数的表达式；
(2)点E为y轴上一个动点,若S△AEB=5，求点E的坐标.
反比例函数复习
【课堂练习】
1.解:(1)由题意得，，解析式为
（2）自变量的取值范围是.
（3）由于，它的图象位于二、四象限；在每个象限内，随的增大而增大
2.是反比例函数 ∴m2－3＝－1，且m－1≠0
又∵图象在第二、四象限 ∴m－1＜0,解得且m＜1 则
3.因为正比例函数的图象经过点A（m，1）， 所以将A（m，1）代入中，得m=3.故点A坐标为（3，1）. 将A（3，1）代入y= (k≠0)，得k=3，所以反比例函数的解析式为. 另外一交点（-3，-1）
4.y＝ A(4，2) 5.-2 6.10 7. y2＝ 8. y＝2x 9.由题意，得：y=（x＞0）．
10.解：（1）设线段AB解析式为y=k1x+b（k≠0）
∵线段AB过点（0，10），（2，14）代入得AB解析式为：y=2x+10（0≤x＜5）
∵B在线段AB上当x=5时，y=20 ∴B坐标为（5，20）
∴线段BC的解析式为：y=20（5≤x＜10）
设双曲线CD解析式为：y=（k2≠0）∵C（10，20）∴k2=200
∴双曲线CD解析式为：y=（10≤x≤24）∴y关于x的函数解析式为：
y=
（2）由（1）恒温系统设定恒温为20°C
（3）把y=10代入y=中，解得，x=20 ∴20﹣10=10
答：恒温系统最多关闭10小时，蔬菜才能避免受到伤害．
11.解：(1)∵直线y＝mx与双曲线y＝相交于A(－2，a)，B两点，∴B点横坐标为2，即C(2，0)，∵△AOC的面积为2，∴A(－2，2)，将A(－2，2)代入y＝mx，y＝，
得m＝－1，n＝－4
(2)设直线AC的解析式为y＝kx＋b，∵y＝kx＋b经过点A(－2，2)，C(2，0)∴解得
k＝－，b＝1，∴直线AC的解析式为y＝－x＋1
12.解：(1)∵y＝过(1，4)点，∴k＝4，即反比例函数的解析式为y＝　
(2)∵B(m，n)，A(1，4)在y＝的图象上，∴AC＝4－n，BC＝m－1，ON＝n，OM＝1，∴＝＝－1，而B(m，n)在y＝上，∴＝m，∴＝m－1，而＝，∴＝. 又∵∠ACB＝∠NOM＝90°，∴△ACB∽△NOM
(3)∵△ACB与△NOM的相似比为2，∴m－1＝2，∴m＝3，∴B点坐标为(3，)．设AB所在直线的解析式为y＝kx＋b，∴∴k＝－，b＝，
∴所求解析式为y＝－x＋
【当堂达标】1-5.DCAAB 6-10.BCCDC 11-12.CB
13.6 14. 5 15.(2，7） 16.②③④ 17. 1.5 18.（0，2）
19.解：（1）∵OC=2，tan∠AOC=，∴AC=3，∴A（2，3），把A（2，3）代入y2=可得，k=6，∴反比例函数的解析式为y=，把B（m，﹣2）代入反比例函数，可得m=﹣3，
∴B（﹣3，﹣2），把A（2，3），B（﹣3，﹣2）代入一次函数y1=ax+b，可得
，解得，∴一次函数的解析式为y=x+1．
（2）由图可得，当y1＞y2时，x的取值范围为﹣3＜x＜0或x＞2．
20.解：（1）把A（1，m）代入y1=﹣x+4，可得m=﹣1+4=3，∴A（1，3），
把A（1，3）代入双曲线y=，可得k=1×3=3，∴y与x之间的函数关系式为：y=；
（2）∵A（1，3），∴当x＞0时，不等式x+b＞的解集为：x＞1；
（3）y1=﹣x+4，令y=0，则x=4，∴点B的坐标为（4，0），
把A（1，3）代入y2=x+b，可得3=+b，∴b=，∴y2=x+，令y=0，则x=﹣3，即C（﹣3，0），∴BC=7，∵AP把△ABC的面积分成1：3两部分，∴CP=BC=，或BP=BC=，∴OP=3﹣=，或OP=4﹣=，∴P（﹣，0）或（，0）．
21.解：（1）∵函数y=x的图象过点P（2，m），∴m=2，∴P（2，2），
∵函数y=（x＞0）的图象过点P，∴k=2×2=4；
（2）将y=4代入y=x，得x=4，∴点A（4，4）．将y=4代入y=，得x=1，
∴点B（1，4）．∴AB=4﹣1=3．
22.解：（1）∵点A在直线y1=2x﹣2上，∴设A（x，2x﹣2），过A作AC⊥OB于C，
∵AB⊥OA，且OA=AB，∴OC=BC，∴AC=OB=OC，∴x=2x﹣2，x=2，∴A（2，2），
∴k=2×2=4，∴；
（2）∵，解得：，，∴C（﹣1，﹣4），
由图象得：y1＜y2时x的取值范围是x＜﹣1或0＜x＜2．
23.解：（1）反比例函数y=（ m≠0）的图象经过点（1，4），
∴，解得m=4，故反比例函数的表达式为，
一次函数y=﹣x+b的图象与反比例函数的图象相交于点Q（﹣4，n），
∴，解得，
∴一次函数的表达式y=﹣x﹣5；
（2）由，解得或，∴点P（﹣1，﹣4），
在一次函数y=﹣x﹣5中，令y=0，得﹣x﹣5=0，解得x=﹣5，故点A（﹣5，0），
S△OPQ=S△OPA﹣S△OAQ==7.5．
24. 解：（1）把点A（﹣2，12），B（8，﹣3）代入y=kx+b
得：解得：
∴一次函数解析式为：y=﹣
（2）分别过点C、D做CA⊥y轴于点A，DB⊥y轴于点B
设点C坐标为（a，b），由已知ab=m
由（1）点E坐标为（0，9），则AE=9﹣b
∵AC∥BD，CD=CE ∴BD=2a，EB=2（9﹣b）
∴OB=9﹣2（9﹣b）=2b﹣9 ∴点D坐标为（2a，2b﹣9）
∴2a （2b﹣9）=m 整理得m=6a
∵ab=m ∴b=6 则点D坐标化为（2a，3）
∵点D在y=﹣图象上∴a=2 ∴m=ab=12
25.解（1）把点A(2,6)代入y=，得m=12，则y=把点B(n,1)代入y=，得n=12，
则点B的坐标为(12,1).由直线y=kx+b过点A(2,6),点B(12,1)得
2k+b=6 12k+b=1，解得k= b=7,
则所求一次函数的表达式为y= x+7.
(2)如图,直线AB与y轴的交点为P,设点E的坐标为(0,m)，连接AE，BE，
则点P的坐标为(0,7).
∴PE=|m 7|.
∵S△AEB=S△BEP S△AEP=5，
∴×|m 7|×(12 2)=5.
∴|m 7|=1.
∴m1=6,m2=8.
∴点E的坐标为(0,6)或(0,8).
o
y
x
y
x
o
5题图
6题图
7题图
8题图
10题图
11题图
12题图
A
B
C
D
7题图
11题图
12题图
10题图
13题图
15题图
16题图
18题图
19题图
20题图
21题图
22题图
23题图
24题图
25题图
23题图
24题图
25题图
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑