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实验六　验证机械能守恒定律
实验目的
验证机械能守恒定律．
实验原理
1．在只有重力做功的自由落体运动中，物体 ( http: / / www.21cnjy.com )的重力势能和动能互相转化，但总的机械能保持不变．若物体某时刻瞬时速度为v，下落高度为h，则重力势能的减少量为mgh，动能的增加量为mv2，看它们在实验误差允许的范围内是否相等，若相等则验证了机械能守恒定律．
2．速度的测量：做匀变速运动的纸带上某点的 ( http: / / www.21cnjy.com )瞬时速度等于相邻两点间的平均速度vt＝2t.计算打第n个点瞬时速度的方法是：测出第n个点的相邻前后两段相等时间T内下落的距离xn和xn＋1，由公式vn＝或vn＝算出，如图5－6－1所示．
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图5－6－1
实验器材
铁架台(含铁夹)，打点计时器，学生电源，纸带，复写纸，导线，毫米刻度尺，重物(带纸带夹)．
注意事项
1．打点计时器要稳定地固定在铁架台上，打点计时器平面与纸带限位孔调整在竖直方向，以减小摩擦阻力．
2．应选用质量和密度较大的重物，增大重力可使阻力的影响相对减小，增大密度可以减小体积，可使空气阻力减小．
3．实验中，需保持提纸带的手不动，且保证纸带竖直，待接通电源，打点计时器工作稳定后，再松开纸带．
4．测下落高度时，要从第一个打点测起，并且各点对应的下落高度要一次测量完．
5．如果不测出物体质量时，只需验证v＝ghn也可以验证机械能守恒定律．
6．速度不能用vn＝gtn或vn＝计算，因为只要认为加速度为g，机械能当然守恒，即相当于用机械能守恒定律验证机械能守恒定律，况且用vn＝gtn计算出的速度比实际值大，会得出机械能增加的结论，而因为摩擦阻力的影响，机械能应该减小，所以速度应从纸带上直接测量计算．同样的道理，重物下落的高度h，也只能用刻度尺直接测量，而不能用hn＝gt或hn＝计算得到．
实验步骤
1．仪器安装
按图5－6－2所示将检查、调整好的打点计时器竖直固定在铁架台上，接好电路．
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图5－6－2
2．打纸带
将纸带的一端用夹子固定在重物上，另一端穿过 ( http: / / www.21cnjy.com )打点计时器的限位孔用手提着纸带使重物静止在靠近打点计时器的地方．先接通电源，后松开纸带，让重物带着纸带自由下落．更换纸带重复做3～5次实验．
3．选纸带
分两种情况说明
(1)如果根据mv2＝mgh验证时，应选点迹清晰，打点成一条直线，且1、2两点间距离小于或接近2 mm的纸带．若1、2两点间的距离大于2 mm，这是由于先释放纸带，后接通电源造成的．这样，第1个点就不是运动的起始点了，这样的纸带不能选．
(2)如果根据mv－mv＝mgΔh验证时，由于重力势能的变化是绝对的，处理纸带时，选择适当的点为基准
点，这样纸带上打出的第1、2两点间的距离是否为2 mm就无关紧要了，所以只要后面的点迹清晰就可选用．
4．数据处理
方法一：利用起始点和第n点计算．代入mghn和mv，如果在实验误差允许的条件下，mghn和mv相等，则验证了机械能守恒定律．
方法二：任取两点计算
(1)任取两点A、B测出hAB，算出mghAB.
(2)算出mv－mv的值．
(3)在实验误差允许的条件下，若mghAB＝mv－mv成立，则验证了机械能守恒定律．
方法三：图象法．从纸带上选取多个点，测量从第一点到其余各点的下落高度h，并计算各点速度的平方v2，然后以v2为纵轴，以h为横轴，根据实验数据绘出v2－h图线．若在误差允许的范围内图线是一条过原点且斜率为g的直线，则验证机械能守恒定律．
误差分析
1．系统误差：本实验中因重物和纸带在下 ( http: / / www.21cnjy.com )落过程中要克服阻力做功，故动能的增加量一定略小于重力势能的减少量，这是不可避免的，属于系统误差，改进的方法是调整器材的安装，尽可能地减小阻力．
2．偶然误差：本实验的另一误差来源 ( http: / / www.21cnjy.com )于长度的测量，属于偶然误差．减小误差的方法是测量物体的下落距离时，所选的距离尽可能大一些，或者多次测量取平均值．
实验数据的处理及误差分析
　(2014·黄冈模拟)某实验小组利用图5－6－3甲装置做“验证机械能守恒定律”实验，图乙是她们选择的一条较理想的纸带，O点是打点计时器打出的第一个点，计数点A、B、C、D、E、F是纸带上相邻的点．她们测出了各点与O点的距离h后做出了必要的计算，测量和计算的记录见下表(计数点的速度用v表示)
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甲　　　　　　　　　　　　乙
图5－6－3
计数点 A B C D E F
h(cm) 6.93 9.47 12.4 15.71 19.41 23.49
v(m/s) 1.16 1.37 1.56 1.75 1.95 2.14
v2(m2/s2) 1.35 1.88 2.43 3.06 4.05 4.58
(1)测量某点与O点距离h的记录中不合理的一组是________(填写计数点名称)
(2)计数点D、E、F与O点之间的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离分别用hD、hE、hF表示，打点计时器的打点周期用T表示，则打下计数点E时纸带的速度vE＝________(用符号表示)，重物运动的加速度a＝________(用符号表示)
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图5－6－4
(3)该小组的同学在坐标纸上建立如图5－6－ ( http: / / www.21cnjy.com )4所示坐标系，标出了各组测量数据的坐标点，并在坐标系中画出v2－h图线．由图线可以判断计数点________的测量误差较大(填写计数点名称)，据图线得到重力加速度g测________m/s2(保留三位有效数字)
(4)(多选)下列判断中正确的是(　　)
A．在误差允许的范围内，该实验小组达到了实验目的
B．该地的重力加速度比g测偏大
C．她们实验操作过程中是先释放纸带然后再闭合打点计时器开关
D．实验过程中阻力引起的误差属于系统误差
【解析】　(1)计数点C( ( http: / / www.21cnjy.com )12.4)数据记录有误，没有估读．(2)因匀变速直线运动中某段时间的平均速度等于中间时刻的瞬时速度；故vE＝＝，据Δx＝aT2用逐差法可求解加速度．a＝＝＝.(3)偏离直线较远的点E误差较大；
由mgh＝mv2可知g＝，即图线的斜率的一半表示重力加速度g＝·＝ m/s2＝9.74 m/s2.(4)应该先接通打点计时器电源再释放纸带，C错．由于v2－h图线是过原点的一条直线，说明mgh＝mv2成立．即达到了实验目的，A对．
因有阻力存在，则g测偏小，B对．阻力不可避免，带来的误差属于系统误差，D对．
【答案】　(1)C　(2)，
(3)E点　9.70～9.78 m/s2　(4)ABD
与机械能守恒有关的创新设计
　(2014·西安模拟)某同学想测出济南当地的重力加速度g，并验证机械能守恒定律．为了减小误差，他设计了一个实验如下：将一根长直铝棒用细线悬挂在空中(如图5－6－5甲所示)，在靠近铝棒下端的一侧固定电动机M，使电动机转轴处于竖直方向，在转轴上水平固定一支特制笔N，借助转动时的现象，将墨汁甩出形成一条细线．调整笔的位置，使墨汁在棒上能清晰地留下墨线．
启动电动机待转速稳定后，用火烧断悬线，让铝棒自由下落，笔在铝棒上相应位置留下墨线．
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　甲　　　　　　乙　　　　　　　丙
图5－6－5
图乙是实验时在铝棒上所留下的墨线，将某条合适的墨线A作为起始线，此后每隔4条墨线取一条计数墨线，分别记作B、C、D、E.将最小刻度为毫米的刻度尺的零刻度线对准A，此时B、C、D、E对应的刻度依次为14.68 cm,39.15 cm,73.41 cm,117.46 cm.
已知电动机的转速为3 000 r/min.求：
(1)相邻的两条计数墨线对应的时间间隔为________s.
(2)由实验测得济南当地的重力加速度为________m/s2.(结果保留三位有效数字)
(3)该同学计算出划各条墨线时的速度v ( http: / / www.21cnjy.com )，以为纵轴，以各条墨线到墨线A的距离h为横轴，描点连线，得出了如图丙所示的图象，据此图象________(填“能”或“不能”)验证机械能守恒定律，图线不过原点的原因是____________________．
【解析】　(1)由于电动机的转速为3 ( http: / / www.21cnjy.com )000 r/min，则其频率为50 Hz，故每隔0.02 s特制笔N便在铝棒上画一条墨线，又每隔4条墨线取一条计数墨线，故相邻计数墨线间的时间是0.1 s.
(2)应用匀变速直线运动的推论Δx＝aT2结合逐差法可得加速度为9.79 m/s2.
(3)铝棒下落过程中，只有重力做功 ( http: / / www.21cnjy.com )，重力势能的减小等于动能的增加，即mgh＝mv2，故图丙能验证机械能守恒定律；图线不过原点是因为起始计数墨线A对应的速度不为0.
【答案】　(1)0.1　(2)9.79　(3)能　A对应的速度不为零
A组　双基题组
1．(2014·兰州一中模拟)在“验证机 ( http: / / www.21cnjy.com )械能守恒定律”的实验中，已知电磁打点计时器所用的电源的频率为50 Hz，查得当地的重力加速度g＝9.80 m/s2，测得所用的重物质量为1.00 kg.
实验中得到一条点迹清晰的纸带(如图5 ( http: / / www.21cnjy.com )－6－6所示)，把第一个点记为O，另选连续的四个点A、B、C、D作为测量的点，经测量知道A、B、C、D各点到O点的距离分别为62.99 cm、70.18 cm、77.76 cm、85.73 cm.
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图5－6－6
(1)根据以上数据，可知重物由O点运动 ( http: / / www.21cnjy.com )到C点，重力势能的减少量等于________J，动能的增加量等于________J(取三位有效数字)．
(2)根据以上数据，可知重物下落时的实际加速度a＝________m/s2，a________g(填“大于”或“小于”)，原因是__________________________________．
【解析】　(1)由题意知重物由 ( http: / / www.21cnjy.com )O点运动至C点，下落的高度为hC＝77.76 cm＝0.777 6 m，m＝1.00 kg，g＝9.80 m/s2，所以重力势能的减少量为ΔEp＝mghC＝1.00×9.80×0.777 6 J＝7.62 J.
重物经过C点时的速度vC＝＝
又因为T＝0.02 s、OD＝85.73 cm＝0.857 3 m、
OB＝70.18 cm＝0.701 8 m
所以vC＝ m/s＝3.89 m/s
故重物动能的增加量ΔEk为
ΔEk＝mv＝×1.00×3.892 J＝7.57 J.
(2)根据CD－AB＝2aT2，CD＝OD－OC，AB＝OB－OA，代入数据得a＝9.75 m/s2＜g.
实验中重物受空气阻力，纸带受限位孔或打点计时器振针的阻力作用，导致a＜g.
【答案】　(1)7.62　7.57　(2)9.75　小于　重物受空气阻力，纸带受限位孔或打点计时器振针的阻力
2.在用如图5－6－7所示的装置“验证 ( http: / / www.21cnjy.com )机械能守恒定律”的实验中，打点计时器在频率为f的交流电源上，从实验中打出的几条纸带中选出一条理想纸带，如图5－6－8所示，选取纸带上打出的连续4个点A、B、C、D，各点距起始点O的距离分别为S0、S1、S2、S3，已知重锤的质量为m，当地的重力加速度为g，则：
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图5－6－7
(1)从打下起始点O到打下C点的过程中，重锤重力势能的减少量为Ep减＝________，重锤动能的增加量为Ek增＝________.
(2)若f＝50 Hz，且测出s0＝1.9 ( http: / / www.21cnjy.com ) mm，s1＝7.6 mm，s2＝17.1 mm，s3＝30.4 mm，可求出当地的重力加速度g＝________m/s2.
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图5－6－8
【解析】　(1)重锤重力势能的减少量ΔEp＝mgs2.打C点时重锤的速度vC＝，T＝，重锤动能的增加量为ΔEk＝mv＝.
(2)由已知数据，结合Δx＝aT2即可求解加速度．a＝＝9.5 m/s2.
【答案】　(1)mgs2　　(2)9.5 m/s2
3．(2014·珠海模拟)在 ( http: / / www.21cnjy.com )用打点计时器验证机械能守恒定律的实验中，使质量为m＝1.00 kg的重物自由下落，打点计时器在纸带上打出一系列的点，选取一条符合实验要求的纸带如图5－6－9所示．O为第一个点，A、B、C为从合适位置开始选取连续点中的三个点．已知打点计时器每隔0.02 s打一个点，当地的重力加速度为g＝9.80 m/s2，那么：
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图5－6－9
(1)根据图上所得的数据，应取图中O点到________点来验证机械能守恒定律；
(2)从O点到(1)问中所取的点，重物重力势能的减少量ΔEp＝________J，动能增加量ΔEk＝________J(结果取三位有效数字)；
(3)若测出纸带上所有各点到O点之间的 ( http: / / www.21cnjy.com )距离，根据纸带算出各点的速度v及物体下落的高度h，则以为纵轴，以h为横轴画出的图象是图中的________．
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【解析】　(1)因只能计算出B点的速度，故应取图中O点到B点来验证机械能守恒．
(2)ΔEp＝mg·hOB＝1.00×9.80×0.1920 J＝1.88 J
vB＝＝1.92 m/s
故ΔEk＝mv＝×1.00×(1.92)2 J＝1.84 J.
(3)由机械能守恒定律可知，mgh＝mv2，故有＝gh，选项A正确．
【答案】　(1)B　(2)1.88　1.84　(3)A
B组　高考题组
4. (2013·新课标全国卷Ⅱ)某同 ( http: / / www.21cnjy.com )学利用下述装置对轻质弹簧的弹性势能进行探究：一轻质弹簧放置在光滑水平桌面上，弹簧左端固定，右端与一小球接触而不固连；弹簧处于原长时，小球恰好在桌面边缘，如图5－6－10所示．
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图5－6－10
向左推小球，使弹簧压缩一段距离后由静止释放；小球离开桌面后落到水平地面．通过测量和计算，可求得弹簧被压缩后的弹性势能．
回答下列问题：
(1)(多选)本实验中可认为，弹簧被压缩 ( http: / / www.21cnjy.com )后的弹性势能Ep与小球抛出时的动能Ek相等．已知重力加速度大小为g.为求得Ek，至少需要测量下列物理量中的________(填正确答案标号)．
A．小球的质量m
B．小球抛出点到落地点的水平距离s
C．桌面到地面的高度h
D．弹簧的压缩量Δx
E．弹簧原长l0
(2)用所选取的测量量和已知量表示Ek＝________.
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图5－6－11
(3)图5－6－11中的直线是实验测量得到的s－Δx图线．从理论上可推出，如果h不变，m增加，s－Δx图线的斜率会________(填“增大”、“减小”或“不变”)；如果m不变，h增加，s－Δx图线的斜率会________(填“增大”、“减小”或“不变”)．由图(b)中给出的直线关系和Ek的表达式可知，Ep与Δx的________次方成正比．
【解析】　(1)小球抛出时的动能Ek＝mv，要求得v0需利用平抛知识，s＝v0t，h＝gt2.根据s、h、g，求得v0＝s，因此，需测量小球质量m、桌面高度h及落地水平距离s.
(2)小球抛出时的动能Ek＝mv＝.
(3)弹簧的弹性势能Ep＝Ek＝mv＝
即s＝2，根据题给的直线关系可知， ( http: / / www.21cnjy.com )s与Δx成正比，而Ep与s2成正比，故Ep应与Δx的2次方成正比，则s∝2Δx，s－Δx图线的斜率正比于，如果h不变，m增加，s－Δx图线的斜率将会减小；如果m不变，h增加，则s－Δx图线的斜率会增大．
【答案】　(1)ABC　(2)　(3)减小　增大　2
5. (2012·海南高考)一水平放置的轻弹簧，一端固定，另一端与一小滑块接触，但不粘连；初始时滑块静止于水平气垫导轨上的O点，如图5－6－12所示．现利用此装置探究弹簧的弹性势能Ep与其被压缩时长度的改变量x的关系．先推动小滑块压缩弹簧，用米尺测出x的数值；
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图5－6－12
然后将小滑块从静止释放．用计时器测出小 ( http: / / www.21cnjy.com )滑块从O点运动至气垫导轨上另一固定点A所用的时间t.多次改变x，测得的x值及其对应的t值如下表所示．(表中的1/t值是根据t值计算得出的)
x(cm) 1.00 1.50 2.00 2.50 3.00
t(s) 3.33 2.20 1.60 1.32 1.08
1/t(s－1) 0.300 0.455 0.625 0.758 0.926
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图5－6－13
(1)根据表中数据，在图5－6－13中的方格纸上作－x图线．
(2)回答下列问题：(不要求写出计算或推导过程)
①已知点(0,0)在－x图线上，从－x图线看，与x是什么关系？
②从理论上分析，小滑块刚脱离弹簧时的动能Ek与是什么关系(不考虑摩擦力)
③当弹簧长度改变量为x时，弹性势能Ep与相应的Ek是什么关系？
④综合考虑以上分析，Ep与x是什么关系？
【解析】　设OA间的距离为L，则滑块离开 ( http: / / www.21cnjy.com )弹簧后的速度为v＝，作图可知，＝bx(b为斜率)，所以有v＝bLx，动能Ek＝mv2＝mb2L2x2，根据机械能守恒定律得Ep＝Ek＝mb2L2x2，即Ep与x2成正比．
【答案】　(1)－x图线如图所示
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(2)①与x成正比
②Ek与()2成正比
③Ep＝Ek
④Ep与x2成正比
(将“正比”写为“线性关系”的，同样正确)
6. (2008·江苏高考)某同学利用如图5－6－14所示的实验装置验证机械能守恒定律．弧形轨道末端水平，离地面的高度为H.将钢球从轨道的不同高度h处静止释放，钢球的落点距轨道末端的水平距离为s.
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图5－6－14
(1)若轨道完全光滑，s2与h的理论关系应满足s2＝________(用H、h表示)．
(2)该同学经实验测量得到一组数据，如表所示：
h/×10－1 m 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
s2/×10－1 m2 2.62 3.89 5.20 6.53 7.78
请在坐标纸上作出s2－h关系图．
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图5－6－15
(3)对比实验结果与理论计算得到的 ( http: / / www.21cnjy.com )s2－h关系图线(图5－6－15中已画出)，自同一高度静止释放的钢球，水平抛出的速率________(选填“小于”或“大于”)理论值．
(4)从s2－h关系图线中分析得出钢球水平抛出的速率与理论值偏差十分显著，你认为造成上述偏差的可能原因是__.
【解析】　(1)由机械能守恒有：
mgh＝mv2
由平抛运动规律s＝vt、H＝gt2
得：s2＝4Hh.
(2)根据表中数据描出s2－h关系如图所示．
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(3)由图看出在相同h下，水平位移s值比理论值要小，由s＝vt＝v，说明水平抛出的速率比理论值小．
(4)水平抛出的速率偏小，说明有机械能损失，可能因为摩擦或在下落过程中钢球发生转动．
【答案】　(1)4Hh　(2)见解析图　(3)小于　(4)摩擦或转动(回答一个即可)

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