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人教版物理必修二
第八章 机械能守恒定律
第一节 功与功率(3)
1.一台起重机甲在 1min 内把1吨的货物匀速提到预定的高度。另一台起重机乙在 30s 内把1吨的货物匀速提到相同的高度。
做功相同，时间越短，做功越快
讨论交流：哪一个做功快呢？
1min
M
F
M
F
30s
2.一台起重机甲在 30s 内把1吨的货物匀速提高了10m。另一台起重机乙在 30s 内把1吨的货物匀速提高了5m。
M
F
30s
5m
M
F
30s
10m
时间相同，做的功越多，做功越快
若时间不相同，做的功也不相同，怎样比较做功的快慢？
一、功率
物理学是用单位时间内做功的多少来量度做功的快慢
1.定义：功跟完成这个功所用时间的比值，叫做功率。
2.定义式：
比值定义法：单位时间做功的多少
3.国际单位：瓦特或瓦，符号：W，1W＝1J/s=1N m/S.
常用单位：千瓦（kW），1kW=103W； 1马力=735瓦
4.物理意义：描述物体做功快慢的物理量。
5.功率是标量。表示做功过程中能量转化的快慢。
长时间运动马的功率为数百瓦
长时间运动时人的功率为数10W，
小汽车的功率为数十千瓦至两百千瓦
高速列车的功率可达数万kW
万吨豪华游轮的功率可达1万kW以上
优秀运动员可达1kW
常见物体的功率
二、功率与速度的关系
1.若力与位移的方向在同一直线：
W＝Fl
P＝Fv
2.若力与位移的方向成某一角度 θ 时：
v
F
θ
对公式：P＝Fvcos θ的理解
v1
v2
v
F
θ
P＝Fvcos θ
F2
F1
P＝vFcos θ
“vcosθ”整体可称为力方向上的速度
“Fcos θ”整体可称为速度方向上的力
各量的含义：
Ｆ为对物体做功的力，若为发动机，则F指牵引力。
v为物体的运动速度，可以是瞬时速度,也可以是平均速度大小。
θ为F与v的夹角，当 θ=0°时，P=FV
三、平均功率和瞬时功率
1.平均功率：描述在一段时间内做功的平均快慢(对应一段
时间或一个过程)
2.瞬时功率：表示在某一时刻做功的快慢(对应一个时刻或
一个位置)
平均功率：
比较常用
F为恒力（合力、平均力）
v为t时间内的平均速度
瞬时功率：
v是瞬时速度
当F、v方向一致时，对 P=Fv 的讨论
1.当速度v一定时 ，F与P成正比，即做功的力越大，
它的功率越大
v一定：F∝P
2当力F一定时，P与v成正比，即速度越大，功率越大。
F一定：P∝v
3.当功率P一定时，F与v成反比，即做功的力越大，其速度就越小
P一定：
v
F
四、额定功率和实际功率
1、额定功率：指机器长时间正常工作（即额定转速下）时的最大输出功率，也就是机器铭牌上的标称值。
额定功率是动力机器重要的性能指标,一个动力机器的额定功率是一定的只有一个值
2、实际功率：是指机器在工作中实际输出的功率。
3、机器不一定在额定功率下工作，机器正常工作时实际功率总是小于或等于额定功率，机器只能在短暂时间内实际功率略大于额定功率，但不允许长时间超过额定功率。
4、说明：
（1）实际功率大于额定功率：超负荷，会损坏机器，只能较短时间工作。
实际功率等于额定功率：满负荷
（2）机车发动机的功率指牵引力的功率而不是合外力或阻力的功率 。起重机吊起货物的功率指钢绳拉力的功率。
解：
由P =Fv 得
匀速行使时, 汽车的牵引力F =F阻= 1800N
例题1.某型号汽车发动机的额定功率为60kW,在水平路面上行使时受到的阻力是1800N,求发动机在额定功率下汽车匀速行使的速度.在同样的阻力下,如果匀速行使速度只有54km/h,发动机输出的实际功率是多少
F
P
v =
1800
60000
= m/s=33.3m/s=120km/h
v’=54km/h=15m/s
以较低的速度行使时,
实际功率P’ =Fv’ =1800×15W=27kW
注意：汽车的功率就是汽车牵引力的功率
解:对物体受力分析，如图所示由牛顿第二定律得
例题2.质量2kg的物体，受到24N竖直向上的拉力，由静止开始运动，求5s内拉力对物体所做的功是多少？5s内拉力的平均功率及5s末拉力的瞬时功率各是多少？（g取10 m/s2）
5s内物体的位移:x=1/2at2=1/2×2×52 m=25 m,
5 s末物体的速度v=at=2×5 m/s=10 m/s,
5 s内拉力的功为W=Fx=24×25 J=600 J,
5 s内拉力的平均功率为P =W/t=600/5W =120 W.
5 s末拉力的瞬时功率为P =Fv =24×10W =240 W.
例3.质量为m的物体静止在光滑水平面上，从t＝0时刻开始受到水平力的作用。力的大小F与时间t的关系如图所示，力的方向保持不变，则 (　　)
A．3t0时刻的瞬时功率为B．3t0时刻的瞬时功率为
C．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为D．在t＝0到3t0这段时间内，水平力的平均功率为
BD
解析：2t0时刻速度大小v2＝a1·2t0＝ 。3t0时刻的速度大小为v3＝v2＋a2t0＝ ，3t0时刻力F＝3F0，所以瞬时功率P＝3F0·v3＝ ，B对，A错。0～3t0时间段，水平力对物体做功W＝F0l1＋3F0l2＝ ，平均功率 ，D对，C错。答案为B、D。
练习.对公式P＝Fv的理解，下列说法中正确的是(　　)
A．F一定是物体所受的合力
B．P一定是合力的功率
C．此公式中F与v必须共线
D．此公式中F与v可以成任意夹角
解析：公式P＝Fv中的F可以是物体的合力，也可以是物体所受的某个力，但F、v必须共线，故C正确。
答案：C
C
当F=F阻时，
a＝0 ，v达到最大
保持vm匀速
瞬时速度v
牵引力F＝
v
P
a＝
m
F－F阻
↑
↓
↑
↓
↓
vm＝
F阻
P
加速度逐渐减小的变加速直线运动
匀速直线运动
1.以额定功率 P额 启动
结论：在额定功率下，当汽车做匀速运动时，速度最大.
五、机车启动的两种方式
v
t
O
vm
匀速
变加速
P
t
O
Pm
F
t
O
t
f阻
a
t
O
t
v
t
O
变加速
t
匀速
vm
以额定功率 P额 启动时P、F、a、v随t变化的图像
牵引力F牵一定
2.以恒定牵引力启动
v = at
加速度恒定
P=Fv
P < P额，继续匀加速
匀加速直线运动
达到 P额 时速度
F > f阻
保持 P额 继续加速
v F
a
达到最大速度 vm
变加速直线运动
先匀加速再变加速最后匀速，当 F = f阻 时速度最大
速度 v
功率 P
以恒定牵引力启动时P、F、a、v随t变化的图像
P
t
O
t1
Pm
F
t
O
t1
a
t
O
t1
t2
v
t
O
变加速
t2
vm
匀加速
t1
v1
匀速
f阻
t2
特别提醒:
(1)机车以恒定加速度启动时，匀加速结束时的速度，并未达到整个过程的最大速度vm。
(2)P＝Fv中因为P为机车牵引力的功率，所以对应的F是牵引力并非合力，这一点在计算时极易出错。
(3)机车达到最大速度时a＝0，F＝Ff，P＝Fvm＝Ffvm,
(4)机车保持以加速度a做匀加速直线运动的时间为t，则Fv＝P (Ff＋ma)at＝P，那么t＝P/a(Ff＋ma)，此时速度v＝at＝P/(Ff＋ma)。
例4. 汽车发动机的额定功率为60 kW,其质量为 5×103 kg,在水平路面上行驶时受阻力恒定为5.0×103 N。试求:
(1)汽车所能达到的最大速度。
(2)若汽车以0.5 m/s2的加速度由静止开始做匀加速运动,则汽车受到的牵引力是多大 汽车匀加速运动的时间是多长
解析：(1)当汽车以最大速度行驶时F1=F阻=5.0×103 N由P=F1v 得：
(2)由牛顿第二定律得 F2-F阻=ma代入数据得F2=7 500 N汽车做匀加速运动到最大速度时,达到额定功率,此时速度
v'=
代入数据得v'=8 m/s 则：
例5.某型号汽车发动机的额定功率为60kW,在水平路面上行使时受到的阻力是1800N,求发动机在额定功率下汽车匀速行使的速度.在同样的阻力下,如果行使速度只有54km/h,发动机输出的实际功率是多少
解：匀速行使时, 汽车的牵引力F =F阻= 1800N
由P =Fv 得
F
P
v =
1800
60000
= m/s=33.3m/s=120km/h
以较低的速度行使时,
v’=54km/h=15m/s
∴ P’=Fv’=1800×15W=27kW
注意：汽车的功率就是汽车牵引力的功率
例6.质量为m＝5×103 kg的汽车在水平公路上行驶时，阻力是车重的0.1倍。让车保持额定功率为60 kW，从静止开始行驶。(g取10 m/s2)
(1)若以额定功率启动，求汽车达到的最大速度vm及汽车车速v1＝2 m/s时的加速度；
(2)若汽车以v1＝6 m/s的速度匀速行驶，求汽车的实际功率。
解:(1)由P＝Fv＝F阻vm得：
由P＝Fv得F＝P/v，当v1＝2 m/s时，
F1＝P/v1＝(60×103)/2 N＝3×104 N，
由牛顿第二定律得F1－F阻＝ma，所以
(2)由P＝Fv得：P＝F阻v＝μmgv＝0.1×5×103×10×6 W＝3×104 W＝30 kW。
借题发挥　
(1)机车以额定功率启动时，其运动可分为两个过程：第一个过程是加速度逐渐减小的变加速直线运动，第二个过程就是匀速直线运动。
(2)F＝F阻时速度最大，匀速行驶时F＝F阻。
在上例中，若汽车从静止开始以2.0 m/s2的加速度匀加速运动，当其功率增至额定功率后，功率保持不变。求：
(1)匀加速运动的时间及匀加速过程中的最大速率；
(2)匀加速过程中汽车的平均功率。
解析：(1)在匀加速过程中牵引力恒定：F牵－μmg＝ma匀加速的末时刻，汽车的功率达到额定值，则P＝F牵v
由两式联立可得:
(2)该过程中的平均速度
平均功率为
　例7.某汽车发动机的额定功率为60 kW，该车的质量为5 t，在运动中所受阻力的大小恒为车重的0.1倍．取g＝10 m/s2．则：
　　(1)若汽车以额定功率启动，汽车所能达到的最大速度是多少？当汽车速度为5 m/s时的加速度是多大？
　　(2)若汽车以恒定加速度0.5 m/s2启动，则这一过程能维持多长时间？这一过程中，发动机的牵引力做了多少功？
解(1)汽车以额定功率启动当a＝0时，汽车速度达到最大值．
由P＝Fv＝fvm，得：vm＝ ＝12 m/s
当v＝5 m/s时，有：
汽车的牵引力F＝ ＝1.2×104 N
汽车的加速度a＝ ＝1.4 m/s2．
(2)汽车以0.5 m/s2的加速度运动时，所能达到的最大速度为：
vm′＝ ＝8 m/s
这一过程能维持的时间t＝ s＝16 s
这一过程中牵引力为恒力，做的功为：
W＝Fl＝(f＋ma)· at2＝4.8×105 J．
汽车启动问题常讨论的两种情况：以恒定功率启动(P一定)和以恒定的加速启动(F一定)．
对于汽车以恒定功率启动类问题，要掌握两种计算的方法．
①由加速度求速度的问题，先由牛顿第二定律求牵引力，再由P＝Fv求对应的速度．
②由速度求加速度的问题，先由P＝Fv求牵引力，再由牛顿第二定律求对应的加速度．
对于汽车以恒定的加速启动类问题，要注意其匀加速的末状态．当汽车功率达到额定功率时，汽车的速度并不是它所能达到的最大速度，其后还有一个加速度减小的加速过程，这个过程结束时，其速度才达到最大速度．

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