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2022 学年第二学期温州新力量联盟期中联考
高一年级数学学科参考答案
一、单项选择题（本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求）
1 2 3 4 5 6 7 8
D B C A B D C C
二、多项选择题（本小题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对 5 分，有选错的得 0 分，部分选对的得 2 分）
9 10 11 12
BCD ABD ABC BD
三、填空题（本大题共 4小题，每题 5分，共 20 分）
13．3 14 3 3． 15．68 16 4 3．
2 2
四、解答题

17.(1)因为 a ( 3,1),b (1, 2)，

所以m a kb ( 3 k ,1 2k), 2a b ( 7, 4)， .............................2分

又m与2a b垂直，

所以m (2a b) ( 3 k) ( 7) (1 2k) 4 0， .............................4分
5
即 25 15k 0，解得 k ，
3
5
所以 k . .............................5分
3

（2）因为 c (1, 1)， a ( 3,1),b (1, 2)，

因为 kb c (k 1, 2k 1),m ( 3 k ,1 2k)， .............................6分

又m与向量 kb c平行，
所以 ( 3 k) ( 2k 1) (k 1) (1 2k) 0， .............................8分
即6k 2 0，解得 k
1
，
3
所以 k
1
. .............................10分
3
答案第 1页，共 5页
18.（1）在△ABD中，由余弦定理得 BD2 AB2 AD2 2AB AD cos A，
BD2 25 9 15 49， BD 7， .............................2分
由 AD2 AB2 BD2 2AB BD cos ABD， .............................3分
9 25 49 70cos ABD，
得 cos ABD
13
.............................6分（用正弦定理作答也相应给分）
14
13
（2） AB BC， sin DBC cos ABD ， .............................8分
14
在△BCD
BD CD
中，由正弦定理得 ， .............................10分
sinC sin DBC
13 2
得CD .............................12分
2
19．（1）由 x2 2x 2 x 1 2 1 0 2，即 x 1 1， .............................2分
可得 x 1 i，解得 x 1 i，
即 z 1 i .............................5分
（2）由（1）知， z 1 i，
因为虚部大于零，所以 z 1 i， z 1 i， .............................6分
a a a 1 i
所以 z 1 i= 2 1 i=1
a a
1

i， .............................8分z 1 i 1 i 2 2
a
1 b 2
所以 ，解得 a 4，b = -1， .............................10分
1 a 1
2
所以 a bi 4 i = 42+ 1 2 = 17 . .............................12分

20．（1）解： 1 由 2bcos A 3c及正弦定理可得： 2sinBcos A 3sinC，..............1分
6 6
又 A B C ，
2sinB cosAcos

sinAsin 3sin A B ， 整理可得： 6 6
3cosAsinB sinAsinB 3sin A B ，.............................2分
可得： 3cosAsinB sinAsinB 3sinAcosB 3cosAsinB ，
可得： sinAsinB 3sinAcosB，
sinA 0，
答案第 2页，共 5页
tanB 3，.............................3分
B 0, ，
B .............................4分
3
2 若b 6，根据余弦定理得： a2 c2 2ac cos 6，
3
化简 a2 c2 ac 6，.............................5分
又 a2 c2 ac 2ac ac ac，
ac 6，即：当且仅当 a c时，ac有最大值 6，.............................6分
ABC S 1 ac sinB 3 ac 3 6 3 3的面积
2 4 4 2
3 3当且仅当 a c时， ABC面积有最大值，最大值等于 ． .............................8分
2
b
（3）由正弦定理 2R，则 ，则 2 ，
sinB b 2 3 ac b 12
由 a2 c2 b2 ac，可得a2 c2 24，则 a c 2 3，..........................9分
则三角形 ABC为等边三角形，取 AB中点M ，如图所示：

则 PA PB PM MA PM MB ..........................10分
2
PM PM MA MB MA MB
2 2 2
PM MA PM 3，

由OP 2,OM 1，则 PM 1,3 ，则 PA PB 2,6 ．..........................12分
21．（1）过点A作 AE BD，垂足为 E
答案第 3页，共 5页
由已知条件得：四边形 ACDE为矩形 DE BE AC 6， AE CD 8
cos PBD sin ABE 8 4 PB
BD 12
15
PB AB
10 5 cos PBD
4
5
道路 PB的长为15（百米） .............................5分
（2）不能，理由如下：
①若 P在D处，由（1）可得 E在圆上
则线段 BE上的点（除 B,E）到点O的距离均小于圆O的半径
P选在D处不满足规划要求
②若Q在D处，连接 AD
2 2 2
由（1）知： AD AE 2 2
AD AB BD 7
ED 10 cos BAD 02AD AB 25
BAD为锐角 线段 AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径
Q选在D处也不满足规划要求
综上所述： P和Q均不能选在D处 .............................12分
22．（1）法一：由等腰梯形的性质可知 BAD 60 ，

即 AB AD= AB AD cos∠BAD=1，又DF AF AD xAB AD，

AE AB BE AB yBC AB y AB AD
1
AB 1
y
AB yAD ..........................2分
2 2
y
则 AE DF xAB AD y 1 AB yAD xy 4x 1 ..........................4分
2 2
由 F，F分别为线段 AB， BC上动点，故 x 0,1 ， y 0,1 . .............................5分
答案第 4页，共 5页
1 3 3 3
法二：以 A为坐标原点建立平面直角坐标系，易得 A 0,0 ， B 2,0 ，D , ，C2 2 ,2 2 ，
1 3 y 3 DF xAB AD 2x , 2 2
， AE AB yBC 2 , y2 2
............2分


AE DF 2x 1 则 2
y

3
y xy 4x
y
1 ........................4分
2 2 4 2
由 E，F分别为线段 AB， BC上动点，故 x 0,1 ， y 0,1 ..................5分
y y 2
（2）由 AE DF可得 AE DF xy 4x 1 0，则 x 2 2 4 y ，
0 y 1
又 解得 x
1
,
1
， y 0,1 .......................7分
0 x 1 4 2
y 2y 4 y y 12
故 ，令 y 2 t，则 y t 2，即 f t 2 t 8

，t 2,3 .......................10分x y 2 x t
1 y
显然函数 f t 在 2,3 上单调递增，故当 t 3即 x 且 y 1时， 取得最大值为 2. ...............12分
2 x
答案第 5页，共 5页绝密★考试结束前
2022 学年第二学期温州新力量联盟期中联考
高一年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷共 4页满分 150分，考试时间 120分钟。
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场号、座位号及准考证号并填涂相应数字。
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效。
4．考试结束后，只需上交答题纸。
选择题部分
一、单项选择题（本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求）
1．在如图所示的平面直角坐标系中，向量 AB的坐标是（ ）
A． (2,2) B． ( 2, 2) C． (1,1) D． ( 1, 1)
2．已知 , 是两个不同的平面，直线 l ，且 ⊥ ，那么“ l// ”是“ l ⊥ ”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．已知不共线平面向量a，b 在非零向量c上的投影向量互为相反向量，则（ ）
A． (a +b) / /c B． (a b) ⊥ c C． (a +b) ⊥ c D． (a b) / /c
4．如果一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是如图所示的直角梯形，
其中O A = 2， B A O = 45 , B C / /O A .则原平面图形的面积为（ ）
3 3
A．3 2 B． 6 2 C． 2 D．
2 4
5．已知 ABC的三边分别为 a ， b ， ，且a2 +b2 = c2c ，则 ABC是（ ）
A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
6．中国古代数学著作《九章算术》中，记载了一种称为“曲池”的几何体，
该几何体的上下底面平行，且均为扇环形（扇环是指圆环被扇形截得的部
分），现有一个如图所示的曲池，它的高为2, AA1, BB1，CC1, DD1均与曲池
的底面垂直，底面扇环对应的两个圆的半径分别为 1和 2，对应的圆心角为
180 ，则该几何体的表面积为（ ）
15π 15π
A． + 2 B． + 4 C．7π+2 D．9π+4
2 2
7．下面能得出 ABC为锐角三角形的条件是（ ）
1
A．sin A+ cos A = B． AB BC 0
5
高一数学学科 试题 第1页(共 4 页)
C． tan A+ tan B+ tanC 0 D．b = 3,c = 3 3, B = 30
8.如图为某水晶工艺品示意图，该工艺品由一个半径为 R 的大球放置在底面半
径和高均为 R 的圆柱内，球与圆柱下底面相切为增加观赏效果，设计师想在圆
柱与球的空隙处放入若干大小相等的实心小球，且满足小球恰好与圆柱底面、
圆柱侧面及大球都相切，则该工艺品最多可放入（ ）个小球.
A．13 B．14 C．15 D．16
二、多项选择题（本小题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符
合题目要求．全部选对 5分，有选错的得 0分，部分选对的得 2分）
9．下列说法正确的有（ ）
A．a a a =| a |3
B． 、 为非零实数，若 a = b ，则a与b 共线
C．两个向量不能比较大小，但它们的模能比较大小
D．若平面内有四个点 A、B、C、D，则必有 AC +BD = BC + AD
10．已知复数z = a + bi(a,b R 且 z 0)，下列命题一定正确的是（ ）
1
A． z z =| z |2 B．若 R ，则 z R
z
(a,b)
C．与 z 对应向量共线的单位向量为 D．若 | z i |=1，则 z = 2
a2 + b2
max
2π 2π
11．已知 O为坐标原点，点 A(cos ,sin )，B cos + ,sin + ，
3 3
4π 4π
C cos + ,sin + ，则（ ）
3 3
A． AB = BC B．OA+OB =CO C.OA OB<0 D．OA (OB +OC ) 0
12．在 ABC中，内角 A，B，C对应的边分别为 a，b，c，若a :b :c = 2:3: 4，则下列结论正确的是
（ ）
A． A: B :C = 2:3:4 B．sin A+sinC = 2sin B
1
C．cosC = D．sin A+sin2C =0
4
高一数学学科 试题 第2页(共 4 页)
非选择题部分
三、填空题（本大题共 4小题，每题 5分，共 20分）
13．若复数m 3+ (m2 9) i 0 ，则实数m的值为________.
14．半径为 3的半圆形纸片卷成一个无盖圆锥筒，则圆锥筒的高为______．
15．如图，温州世纪广场的标志性建筑---“世纪之光”玻璃塔，用三片巨大的钢片表示三千年瓯越
文明史，造型摄取瓯江双塔、海上风帆、纪功柱于一体，象征着一座灯塔、一座丰碑、一盏明灯、
一支火箭，浓缩了瓯越文明的过去、今天和未来。为了测量塔高 AB，测量者选取了与塔底 B在同一
水平面内的两个测量基点 C 与 D，并测得CD=34 2m， BDC =135 ， BCD =15 ，在点 C测得
塔顶 A的仰角为 45°，则塔高 AB = ___________m .
16．根据毕达哥拉斯定理，以直角三角形的三条边为边长作正方形，从斜边上作出的正方形的面积
正好等于在两直角边作出的正方形面积之和.现在对直角三角形CDE按上述操作作图后，得如图所
示的图形.若 AF = xAB + yAD，则 x+ y =__________.
四、解答题（本小题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（本小题满分 10分）已知向量a = ( 3,1),b = (1, 2),m = a + kb(k R) ．
(1)若向量m 与2a b垂直，求实数 k 的值；
(2)若向量 c = (1, 1)，且m 与向量 kb+ c平行，求实数 k 的值．
18.（本小题满分 12分）如图，四边形 ABCD中，已知 A =120 ，AB⊥ BC ，
AD = 3， AB =5，C = 45 ．
(1)求cos ABD；
(2)求 CD的长．
高一数学学科 试题 第3页(共 4 页)
19．（本小题满分 12分）已知复数 z 是方程 x2 + 2x + 2 = 0 的解，
(1)求 z ；
a
(2)若复数 z 的虚部大于零，且 z = b i（a,b R ， i 为虚数单位），求 a+bi ．
z

20．（本小题满分 12分）已知a,b,c分别是 ABC三个内角 A, B,C 的对边,且2bcos A = 3c
6
（1）求角 B 的大小；
（2）若b = 6 ,求 ABC面积的最大值；
（3）若b2 = ac，且外接圆半径为 2，圆心为O, P 为 O 上的一动点，试求PA PB 的取值范围.
21．（本小题满分 12分）如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路 l，湖
上有桥 AB （ AB 是圆O的直径）.规划在公路 l上选两个点P,Q ，并修建两段直线型道路PB,QA.规
划要求：线段PB,QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径.已知点 A, B到直线 l的距离分别
为 AC 和 BD（C , D 为垂足），测得 AB =10， AC = 6，BD =12（单位：百米）.
（1）若道路 PB与桥 AB 垂直，求道路 PB的长；
（2）在规划要求下， P 和Q中能否有一个点选在D 处？并说明理由.
22．（本小题满分 12分）如图所示，等腰梯形 ABCD中，AB = 2，BC =CD=1，已知 E，F分别为
线段BC， AB 上的动点（E，F可与线段的端点重合），且满足 AF = xAB，BE = yBC .
(1)求 AE DF 关于 x, y 的关系式并确定 x, y 的取值范围；
y
(2)若 AE ⊥ DF ，判断是否存在恰当的 x和y使得 x 取得最大值 若
存在，求出该最大值及对应的 x和y；若不存在，请说明理由.
高一数学学科 试题 第4页(共 4 页)

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