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第一单元第1讲集合
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：集合的含义与表示
题型二：集合的基本关系
题型三：集合的运算
题型四：利用集合的运算求参数
题型五：Venn图及其应用
题型六：集合的新定义问题
测
测基础 测能力
单选3题 单选3题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和 表示．
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A B或(B A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB或BA
集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B
3.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA＝{x|x∈U且x A}
【讲方法】
1.与集合中的元素有关的问题的求解思路
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．
(2)看清元素的限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．
2.判断两集合关系的方法
(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．
(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．
3.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
4.空集是任何集合的子集，当题目条件中有B A时，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论．
5.集合运算三步骤
6.集合运算的常用方法
(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．
(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
7.利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
(2)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到.
二、【练】
【练题型】
【题型一】集合的含义与表示
【典例1】(多选)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(　　)
A．－1 A B．－11 A
C．3k2－1∈A D．－34∈A
【典例2】设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 023＋b2 024＝________.
【典例3】已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中的元素的个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【题型二】集合的基本关系
【典例1】(多选)已知集合A＝{1,2}，B＝{x|mx＝1，m∈R}，若B A，则实数m可能的取值为(　　)
【典例2】已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝，则集合A，B，C的关系为(　　)
A.B A B.A＝B
C.C B D.A C
【典例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________.
【题型三】集合的运算
【典例1】(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2<2x≤8}，则下列判断正确的是(　　)
A．A∪B＝B
B．( RB)∪A＝R
C．A∩B＝{x|1D．( RB)∪( RA)＝{x|x≤1或x>2}
【典例2】设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝}，则A∩( RB)＝(　　)
A.{x|－1＜x＜2} B.{x|0＜x＜1}
C. D.{x|0＜x＜2}
【典例3】集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩( UN)＝ ，则a的取值范围是(　　)
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
【题型四】利用集合的运算求参数
【典例1】已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5＜0}，B＝{x|4x＞2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是(　　)
A.[3，6) B.[1，2) C.[2，4) D.(2，4]
【典例2】已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)
C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
【典例3】已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<－2 B．a≤－2
C．a>－4 D．a≤－4
【题型五】Venn图及其应用
【典例1】若全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|0＜x≤8}，则图中阴影部分所表示的集合为________.
【典例2】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A.62% B.56% C.46% D.42%
【典例3】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人.
【题型六】集合的新定义问题
【典例1】已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为(　　)
A．15 B．16 C．20 D．21
【典例2】若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________．
【典例3】定义一种新的集合运算※：A※B＝{x|x∈A且x B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算※，B※A等于(　　)
A．{x|3C．{x|3【练真题】
【真题1】（2022-新高考Ⅰ）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（　　）
A．{x|0≤x＜2} B．{x|≤x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|≤x＜16}
【真题2】（2022-乙卷）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则（　　）
A．2∈M B．3∈M C．4 M D．5 M
【真题3】（2022-新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}
【真题4】（2022-甲卷）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|x2﹣4x+3＝0}，则 U（A∪B）＝（　　）
A．{1，3} B．{0，3} C．{﹣2，1} D．{﹣2，0}
【真题5】（2022-北京）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，则 UA＝（　　）
A．（﹣2，1] B．（﹣3，﹣2）∪[1，3）
C．[﹣2，1） D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）
【真题6】（2021-全国乙卷）已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【真题7】（2021-全国甲卷）设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【真题8】（2020-课标III）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【真题9】（2020-课标II）已知集合U={ 2， 1，0，1，2，3}，A={ 1，0，1}，B={1，2}，则（ ）
A. { 2，3} B. { 2，2，3}
C. { 2， 1，0，3} D. { 2， 1，0，2，3}
【真题10】（2020-课标Ⅰ）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A. –4 B. –2 C. 2 D. 4
【真题11】（2019-课标III）已知集合，则
A. B.
C. D.
【真题12】（2019-课标 II）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A. (-∞，1) B. (-2，1)
C. (-3，-1) D. (3，+∞)
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　　)
A．{0}　　　　　　　　　 B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
2. 已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则 RA＝(　　)
A．{x|－1C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
3. 已知集合A＝{x|x2－3x－10<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则A∩( RB)＝(　　)
A．(2,5)　　　　　　　 B．[2,5)
C．(－2,2] D．(－2,2)
4. 已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|(x－4)(x＋2)≥0}，则 R(A∪B)＝(　　)
A．{x|－2≤x≤1} B．{x|1≤x≤4}
C．{x|－2【多选题】
5. 若集合A＝{x|x(x－2)≤0}，且A∪B＝A，则集合B可能是(　　)
A．{－1} B．{0}
C．{1} D．{2}
6. 已知集合A＝{x|－1A．A∩B＝
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪ RB＝{x|x≤－1或x>2}
D．A∩ RB＝{x|2【填空题】
7. 已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B A，则m＝________．　
8. 已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，A∪B＝________．
9. 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A∪B)＝________．
10. 已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，则A∪B＝________.
11. 已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠ ，则a的取值范围为________．
【测能力】
【单选题】
1. 已知实数集R，集合A＝{x|－1A．{x|0C．{x|－12. 某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为(　　)
A．17 B．18
C．19 D．20
3. 定义集合M与N的新运算：M N＝{x|x∈M或x∈N且x M∩N}，则(M N) N＝(　　)
A．M∩N B．M∪N
C．M D．N
4. 若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为(　　)
A．15 B．16
C．32 D．256
【多选题】
5. 设集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈N*}，若x1∈A，x2∈A，x1?x2∈A，则运算?可能是(　　)
A．加法 B．减法
C．乘法 D．除法
6. 设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题正确的是(　　)
A．自然数集N为封闭集
B．整数集Z为封闭集
C．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
D．若S为封闭集，且1∈S，则S一定为无限集
【填空题】
7. 设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
8. 如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．
9. 已知集合A＝{x|810. ．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝________________.
11. 设[x]表示不大于x的最大整数，集合A＝{x|x2－2[x]＝3}，B＝，则A∩B＝________.
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第一单元第1讲集合
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：集合的含义与表示
题型二：集合的基本关系
题型三：集合的运算
题型四：利用集合的运算求参数
题型五：Venn图及其应用
题型六：集合的新定义问题
测
测基础 测能力
单选3题 单选3题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．集合与元素
(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．
(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈和 表示．
(3)集合的三种表示方法：列举法、描述法、Venn图法．
(4)常见数集的记法
集合 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集
符号 N N*(或N＋) Z Q R
2.集合间的基本关系
关系 自然语言 符号语言 Venn图
子集 集合A中所有元素都在集合B中(即若x∈A，则x∈B) A B或(B A)
真子集 集合A是集合B的子集，且集合B中至少有一个元素不在集合A中 AB或BA
集合相等 集合A，B中的元素相同或集合A，B互为子集 A＝B
3.集合的基本运算
运算 自然语言 符号语言 Venn图
交集 由属于集合A且属于集合B的所有元素组成的集合 A∩B＝{x|x∈A且x∈B}
并集 由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合 A∪B＝{x|x∈A或x∈B}
补集 由全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合 UA＝{x|x∈U且x A}
【讲方法】
1.与集合中的元素有关的问题的求解思路
(1)确定集合的元素是什么，即集合是数集还是点集．
(2)看清元素的限制条件．
(3)根据限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数．
2.判断两集合关系的方法
(1)列举法：用列举法表示集合，再从元素中寻求关系．
(2)化简集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表达式比较复杂，往往需化简表达式，再寻求两个集合的关系．
3.已知两个集合间的关系求参数时，关键是将条件转化为元素或区间端点间的关系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、Venn图等来直观解决这类问题．
4.空集是任何集合的子集，当题目条件中有B A时，应分B＝ 和B≠ 两种情况讨论．
5.集合运算三步骤
6.集合运算的常用方法
(1)若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解．
(2)若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况．
7.利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法
(1)若集合中的元素能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程(组)求解．
(2)与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到.
二、【练】
【练题型】
【题型一】集合的含义与表示
【典例1】(多选)已知集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，则下列表示正确的是(　　)
A．－1 A B．－11 A
C．3k2－1∈A D．－34∈A
【解析】当k＝0时，x＝－1，所以－1∈A，所以A错误；
令－11＝3k－1，得k＝－ Z，所以－11 A，所以B正确；
因为k∈Z，所以k2∈Z，则3k2－1∈A，所以C正确；
令－34＝3k－1，得k＝－11，所以－34∈A，所以D正确．
故选BCD.
【典例2】设a，b∈R，集合{1，a＋b，a}＝，则a2 023＋b2 024＝________.
【解析】由题意知a≠0，
因为{1，a＋b，a}＝.
所以a＋b＝0，则＝－1，
所以a＝－1，b＝1.
故a2 023＋b2 024＝－1＋1＝0.
【典例3】已知集合U＝{(x，y)|x2＋y2≤1，x∈Z，y∈Z}，则集合U中的元素的个数为(　　)
A．3 B．4 C．5 D．6
【解析】当x＝－1时，y＝0；
当x＝0时，y＝－1,0,1；
当x＝1时，y＝0.
所以U＝{(－1,0)，(0，－1)，(0,0)，(0,1)，(1,0)}，共有5个元素．
故选C.
【题型二】集合的基本关系
【典例1】(多选)已知集合A＝{1,2}，B＝{x|mx＝1，m∈R}，若B A，则实数m可能的取值为(　　)
【解析】当m＝0时，B＝ A成立；
当m≠0时，则B＝{x|mx＝1，m∈R}＝，
∵B A，∴＝1或＝2，
解得m＝1或m＝.
综上所述，实数m可能的取值为0,1，.
故选ABC.
【典例2】已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，集合B＝{x||x－1|≤3}，集合C＝，则集合A，B，C的关系为(　　)
A.B A B.A＝B
C.C B D.A C
【解析】因为x2－2x－3≤0，即(x－3)·(x＋1)≤0，所以－1≤x≤3，则A＝[－1，3]；
又|x－1|≤3，即－3≤x－1≤3，
所以－2≤x≤4，则B＝[－2，4]；
因为≤0，所以－5＜x≤4，则C＝(－5，4]，所以A B，A C，B C.故选D.
故选D.
【典例3】已知集合A＝{x|－2≤x≤5}，B＝{x|m＋1≤x≤2m－1}，若B A，则实数m的取值范围为________.
【解析】∵B A，
∴若B＝ ，则2m－1＜m＋1，解得m＜2；
若B≠ ，则解得2≤m≤3.
故实数m的取值范围为(－∞，3].
【题型三】集合的运算
【典例1】(多选)已知集合A＝{x|x2－3x＋2≤0}，B＝{x|2<2x≤8}，则下列判断正确的是(　　)
A．A∪B＝B
B．( RB)∪A＝R
C．A∩B＝{x|1D．( RB)∪( RA)＝{x|x≤1或x>2}
【解析】因为x2－3x＋2≤0，所以1≤x≤2，
所以A＝{x|1≤x≤2}；
因为2<2x≤8，所以1所以A∪B＝{x|1≤x≤3}，A∩B＝{x|1( RB)∪A＝{x|x≤2或x>3}，( RB)∪( RA)＝{x|x≤1或x>2}．
故选CD.
【典例2】设全集为R，集合A＝{y|y＝2x，x＜1}，B＝{x|y＝}，则A∩( RB)＝(　　)
A.{x|－1＜x＜2} B.{x|0＜x＜1}
C. D.{x|0＜x＜2}
【解析】由题意知A＝{y|0＜y＜2}，B＝{x|x≤－1或x≥1}，所以 RB＝{x|－1＜x＜1}，所以A∩( RB)＝{x|0＜x＜1}，故选B.
【典例3】集合M＝{x|2x2－x－1＜0}，N＝{x|2x＋a＞0}，U＝R.若M∩( UN)＝ ，则a的取值范围是(　　)
A.(1，＋∞) B.[1，＋∞)
C.(－∞，1) D.(－∞，1]
【解析】易得M＝{x|2x2－x－1＜0}＝.
∵N＝{x|2x＋a＞0}＝，
∴ UN＝.
由M∩( UN)＝ ，则－≤－，得a≥1.
故选B.
【题型四】利用集合的运算求参数
【典例1】已知集合A＝{x∈Z|x2－4x－5＜0}，B＝{x|4x＞2m}，若A∩B中有三个元素，则实数m的取值范围是(　　)
A.[3，6) B.[1，2) C.[2，4) D.(2，4]
【解析】集合A＝{x∈Z|x2－4x－5＜0}＝{0，1，2，3，4}，B＝{x|4x＞2m}＝，
∵A∩B中有三个元素，∴1≤＜2，
解得2≤m＜4.
故选C.
【典例2】已知集合A＝{x|x2－3x<0}，B＝{1，a}，且A∩B有4个子集，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0,3) B．(0,1)∪(1,3)
C．(0,1) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
【解析】因为A∩B有4个子集，所以A∩B中有2个不同的元素，所以a∈A，所以a2－3a<0，解得0【典例3】已知集合A＝{x|x2－4≤0}，B＝{x|2x＋a≤0}，若A∪B＝B，则实数a的取值范围是(　　)
A．a<－2 B．a≤－2
C．a>－4 D．a≤－4
【解析】集合A＝{x|－2≤x≤2}，B＝，
由A∪B＝B可得A B，作出数轴如图．
可知－≥2，即a≤－4.
故选D.
【题型五】Venn图及其应用
【典例1】若全集U＝R，A＝{x|－1≤x≤6}，B＝{x|0＜x≤8}，则图中阴影部分所表示的集合为________.
【解析】由题图知阴影部分所表示的集合为
A∩B＝{x|0＜x≤6}.
【典例2】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(　　)
A.62% B.56% C.46% D.42%
【解析】用Venn图表示该中学喜欢足球和游泳的学生所占比例之间的关系如图，设既喜欢足球又喜欢游泳的学生占该中学学生总数的比例为x，则(60%－x)＋(82%－x)＋x＝96%，解得x＝46%.故选C.
【典例3】某班有36名同学参加数学、物理、化学课外探究小组，每名同学至多参加两个小组，已知参加数学、物理、化学小组的人数分别为26，15，13，同时参加数学和物理小组的有6人，同时参加物理和化学小组的有4人，则同时参加数学和化学小组的有________人.
【解析】设参加数学、物理、化学小组的人构成的集合分别为A，B，C，同时参加数学和化学小组的有x人，由题意可得如图所示的Venn图.
由全班共36名同学可得(26－6－x)＋6＋(15－4－6)＋4＋(13－4－x)＋x＝36，
解得x＝8，即同时参加数学和化学小组的有8人.
【题型六】集合的新定义问题
【典例1】已知集合A＝{x∈N|x2－2x－3≤0}，B＝{1,3}，定义集合A，B之间的运算“*”：A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，则A*B中的所有元素数字之和为(　　)
A．15 B．16 C．20 D．21
【解析】由x2－2x－3≤0，得(x＋1)(x－3)≤0，得A＝{0,1,2,3}．因为A*B＝{x|x＝x1＋x2，x1∈A，x2∈B}，所以A*B中的元素有：0＋1＝1,0＋3＝3,1＋1＝2,1＋3＝4,2＋1＝3(舍去)，2＋3＝5,3＋1＝4(舍去)，3＋3＝6，所以A*B＝{1,2,3,4,5,6}，所以A*B中的所有元素数字之和为21.
故选D.
【典例2】若集合A1，A2满足A1∪A2＝A，则称(A1，A2)为集合A的一种分拆，并规定：当且仅当A1＝A2时，(A1，A2)与(A2，A1)是集合A的同一种分拆．若集合A有三个元素，则集合A的不同分拆种数是________．
【解析】不妨令A＝{1,2,3}，∵A1∪A2＝A，
当A1＝ 时，A2＝{1,2,3}，
当A1＝{1}时，A2可为{2,3}，{1,2,3}共2种，
同理A1＝{2}，{3}时，A2各有两种，
当A1＝{1,2}时，A2可为{3}，{1,3}，{2,3}，{1,2,3}共4种，
同理A1＝{1,3}，{2,3}时，A2各有4种，
当A1＝{1,2,3}时，A2可为A1的子集，共8种，
故共有1＋2×3＋4×3＋8＝27种不同的分拆．
【典例3】定义一种新的集合运算※：A※B＝{x|x∈A且x B}．若集合A＝{x|x2－4x＋3<0}，B＝{x|2≤x≤4}，则按运算※，B※A等于(　　)
A．{x|3C．{x|3【解析】由题意知，A＝{x|1【练真题】
【真题1】（2022-新高考Ⅰ）若集合M＝{x|＜4}，N＝{x|3x≥1}，则M∩N＝（　　）
A．{x|0≤x＜2} B．{x|≤x＜2} C．{x|3≤x＜16} D．{x|≤x＜16}
【解析】由＜4，得0≤x＜16，∴M＝{x|＜4}＝{x|0≤x＜16}，
由3x≥1，得x≥，∴N＝{x|3x≥1}＝{x|x x≥}，
∴M∩N＝{x|0≤x＜16}∩{x|x x≥}＝{x|≤x＜16}．
故选：D．
【真题2】（2022-乙卷）设全集U＝{1，2，3，4，5}，集合M满足 UM＝{1，3}，则（　　）
A．2∈M B．3∈M C．4 M D．5 M
【解析】因为全集U＝{1，2，3，4，5}， UM＝{1，3}，
所以M＝{2，4，5}，
所以2∈M，3 M，4∈M，5∈M．
故选：A．
【真题3】（2022-新高考Ⅱ）已知集合A＝{﹣1，1，2，4}，B＝{x||x﹣1|≤1}，则A∩B＝（　　）
A．{﹣1，2} B．{1，2} C．{1，4} D．{﹣1，4}
【解析】|x﹣1|≤1，解得：0≤x≤2，
∴集合B＝{x|0≤x≤2}
∴A∩B＝{1，2}．
故选：B．
【真题4】（2022-甲卷）设全集U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，集合A＝{﹣1，2}，B＝{x|x2﹣4x+3＝0}，则 U（A∪B）＝（　　）
A．{1，3} B．{0，3} C．{﹣2，1} D．{﹣2，0}
【解析】∵B＝{x|x2﹣4x+3＝0}＝{1，3}，A＝{﹣1，2}，
∴A∪B＝{﹣1，1，2，3}，
又U＝{﹣2，﹣1，0，1，2，3}，
∴ U（A∪B）＝{﹣2，0}．
故选：D．
【真题5】（2022-北京）已知全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，则 UA＝（　　）
A．（﹣2，1] B．（﹣3，﹣2）∪[1，3）
C．[﹣2，1） D．（﹣3，﹣2]∪（1，3）
【解析】因为全集U＝{x|﹣3＜x＜3}，集合A＝{x|﹣2＜x≤1}，
所以 UA＝{x|﹣3＜x≤﹣2或1＜x＜3}＝（﹣3，﹣2]∪（1，3）．
故选：D．
【真题6】（2021-全国乙卷）已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】任取，则，其中，所以，，故，
因此，.
故选：C.
【真题7】（2021-全国甲卷）设集合，则（ ）
A. B.
C. D.
【解析】因为，所以,
故选：B.
【真题8】（2020-课标III）已知集合，，则中元素的个数为（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 6
【解析】由题意，中的元素满足，且，
由，得，
所以满足的有，
故中元素的个数为4.
故选：C.
【真题9】（2020-课标II）已知集合U={ 2， 1，0，1，2，3}，A={ 1，0，1}，B={1，2}，则（ ）
A. { 2，3} B. { 2，2，3}
C. { 2， 1，0，3} D. { 2， 1，0，2，3}
【解析】由题意可得：，则.
故选：A.
【真题10】（2020-课标Ⅰ）设集合A={x|x2–4≤0}，B={x|2x+a≤0}，且A∩B={x|–2≤x≤1}，则a=（ ）
A. –4 B. –2 C. 2 D. 4
【解析】求解二次不等式可得：，
求解一次不等式可得：.
由于，故：，解得：.
故选：B.
【真题11】（2019-课标III）已知集合，则
A. B.
C. D.
【解析】，
∴，则，
故选A．
【真题12】（2019-课标 II）设集合A={x|x2-5x+6>0}，B={ x|x-1<0}，则A∩B=
A. (-∞，1) B. (-2，1)
C. (-3，-1) D. (3，+∞)
【解析】由题意得，，则．故选A．
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知集合A＝{x|x－1≥0}，B＝{0,1,2}，则A∩B＝(　　)
A．{0}　　　　　　　　　 B．{1}
C．{1,2} D．{0,1,2}
【解析】∵A＝{x|x－1≥0}＝{x|x≥1}，B＝{0,1,2}，∴A∩B＝{1,2}．
故选C.
2. 已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则 RA＝(　　)
A．{x|－1C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}
【解析】∵x2－x－2>0，∴(x－2)(x＋1)>0，∴x>2或x<－1，即A＝{x|x>2或x<－1}．则 RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.
3. 已知集合A＝{x|x2－3x－10<0}，B＝{x|y＝ln(x－2)}，则A∩( RB)＝(　　)
A．(2,5)　　　　　　　 B．[2,5)
C．(－2,2] D．(－2,2)
【解析】解一元二次不等式x2－3x－10<0，得－20，即x>2，∴B＝{x|x>2}，因此 RB＝{x|x≤2}，则A∩( RB)＝(－2,2]．故选C.
4. 已知集合A＝{x|x≥1}，B＝{x|(x－4)(x＋2)≥0}，则 R(A∪B)＝(　　)
A．{x|－2≤x≤1} B．{x|1≤x≤4}
C．{x|－2【解析】方法一：因为B＝{x|x≤－2或x≥4}，所以A∪B＝{x|x≤－2或x≥1}，故 R(A∪B)＝{x|－2方法二：－2∈B，故－2 R(A∪B)，排除A，D；2∈A，故2 R(A∪B)，排除B.故选C.
【多选题】
5. 若集合A＝{x|x(x－2)≤0}，且A∪B＝A，则集合B可能是(　　)
A．{－1} B．{0}
C．{1} D．{2}
【解析】因为A＝{x|x(x－2)≤0}，所以A＝[0，2]．因为A∪B＝A，所以B A.故选BCD.
6. 已知集合A＝{x|－1A．A∩B＝
B．A∪B＝{x|－2≤x≤3}
C．A∪ RB＝{x|x≤－1或x>2}
D．A∩ RB＝{x|2【解析】因为A＝{x|－1所以A∩B＝{x|－1＝{x|－1A∪B＝{x|－1＝{x|－2≤x≤3}，B正确；
因为 RB＝{x|x<－2或x>2}，
所以A∪ RB＝{x|－12}＝{x|x<－2或x>－1}，C不正确；
A∩ RB＝{x|－12}＝{x|2故选BD.
【填空题】
7. 已知集合A＝{1，3，}，B＝{1，m}，若B A，则m＝________．　
【解析】因为B A，所以m＝3或m＝.即m＝3或m＝0或m＝1，根据集合元素的互异性可知m≠1，所以m＝0或3.
8. 已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0}，B＝{x|y＝ln(2－x)}，则A∩B＝________，A∪B＝________．
【解析】A＝{x|x2－2x－3≤0}＝{x|(x＋1)(x－3)≤0}＝{x|－1≤x≤3}，B＝{x|y＝ln(2－x)}＝{x|2－x＞0}＝{x|x＜2}，则A∩B＝[－1，2)，A∪B＝(－∞，3]．
9. 已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，则集合 U(A∪B)＝________．
【解析】由于A∪B＝{x|x≤0或x≥1}，结合数轴， U(A∪B)＝{x|010. 已知集合A＝{m2，－2}，B＝{m，m－3}，若A∩B＝{－2}，则A∪B＝________.
【解析】∵A∩B＝{－2}，∴－2∈B，
若m＝－2，则A＝{4，－2}，B＝{－2，－5}，
∴A∩B＝{－2}，A∪B＝{－5，－2,4}；
若m－3＝－2，则m＝1，
∴A＝{1，－2}，B＝{1，－2}，
∴A∩B＝{1，－2}(舍去)，
综上，有A∪B＝{－5，－2,4}．
11. 已知集合A＝{x|x－a≤0}，B＝{1，2，3}，若A∩B≠ ，则a的取值范围为________．
【解析】集合A＝{x|x≤a}，集合B＝{1，2，3}，若A∩B≠ ，则1，2，3这三个元素至少有一个在集合A中，若2或3在集合A中，则1一定在集合A中，因此只要保证1∈A即可，所以a≥1.
【测能力】
【单选题】
1. 已知实数集R，集合A＝{x|－1A．{x|0C．{x|－1【解析】因为B＝＝{x|2x－1>0}＝{x|x>0}，所以 RB＝{x|x≤0}．因为A＝{x|－12. 某班共40人，其中24人喜欢篮球运动，16人喜欢乒乓球运动，6人这两项运动都不喜欢，则喜欢篮球运动但不喜欢乒乓球运动的人数为(　　)
A．17 B．18
C．19 D．20
【解析】记全集U为该班全体同学，喜欢篮球运动的记作集合A，喜欢乒乓球运动的记作集合B，则喜欢篮球但不喜欢乒乓球运动的记作A∩ UB(如图)，故有18人．
3. 定义集合M与N的新运算：M N＝{x|x∈M或x∈N且x M∩N}，则(M N) N＝(　　)
A．M∩N B．M∪N
C．M D．N
【解析】按定义，M N表示图中的阴影部分，两圆内部的公共部分表示M∩N.(M N) N应表示x∈M N或x∈N且x (M N)∩N的所有x的集合，(M N)∩N表示N上的阴影部分，因此(M N) N＝M.故选C.
4. 若x∈A，则∈A，就称A是“伙伴关系”集合，集合M＝的所有非空子集中，具有“伙伴关系”的集合的个数为(　　)
A．15 B．16
C．32 D．256
【解析】由题意知，满足“伙伴关系”的集合由以下元素构成：－1,1，，2，，3，其中和2，和3必须同时出现，所有满足条件的集合个数为24－1＝15.
故选A.
【多选题】
5. 设集合A＝{x|x＝m＋n，m，n∈N*}，若x1∈A，x2∈A，x1?x2∈A，则运算?可能是(　　)
A．加法 B．减法
C．乘法 D．除法
【解析】由题意可设x1＝m1＋n1，
x2＝m2＋n2，
其中m1，m2，n1，n2∈N*，
则x1＋x2＝(m1＋m2)＋(n1＋n2)，
x1＋x2∈A，
所以加法满足条件，A正确；
x1－x2＝(m1－m2)＋(n1－n2)，
当n1＝n2时，x1－x2 A，
所以减法不满足条件，B错误；
x1x2＝m1m2＋3n1n2＋(m1n2＋m2n1)，
x1x2∈A，
所以乘法满足条件，C正确；
＝，当＝＝λ(λ>0)时， A，
所以除法不满足条件，D错误．
故选AC.
6. 设S为实数集R的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x＋y，x－y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题正确的是(　　)
A．自然数集N为封闭集
B．整数集Z为封闭集
C．集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集
D．若S为封闭集，且1∈S，则S一定为无限集
【解析】对于A项，自然数集N不是封闭集，如2，3∈N，但2－3＝－1 N，故A项错误；对于B项，因为任意两个整数的和、差、积仍然是整数，所以整数集是封闭集，故B项正确；对于C项，设x＝a1＋b1，y＝a2＋b2，a1，a2，b1，b2∈Z，则x＋y＝a1＋a2＋(b1＋b2)∈S，x－y＝a1－a2＋(b1－b2)∈S，xy＝(a1＋b1)·(a2＋b2)＝(a1a2＋2b1b2)＋(a1b2＋a2b1)∈S，所以集合S＝{a＋b|a，b为整数}为封闭集，故C项正确；对于D项，若S为封闭集，且1∈S，则1＋1＝2∈S，1－1＝0∈S，因此0－1＝－1∈S，以此类推，所有整数都属于S.而整数有无数个，所以S一定为无限集，故D项正确．
故选BCD.
【填空题】
7. 设常数a∈R，集合A＝{x|(x－1)(x－a)≥0}，B＝{x|x≥a－1}，若A∪B＝R，则a的取值范围为________．
【解析】当a>1时，A＝(－∞，1]∪[a，＋∞)，B＝[a－1，＋∞)，当且仅当a－1≤1时，A∪B＝R，故18. 如果集合A满足若x∈A，则－x∈A，那么就称集合A为“对称集合”．已知集合A＝{2x，0，x2＋x}，且A是对称集合，集合B是自然数集，则A∩B＝________．
【解析】由题意可知－2x＝x2＋x，
所以x＝0或x＝－3.
而当x＝0时不符合元素的互异性，所以舍去．
当x＝－3时，A＝{－6，0，6}，
所以A∩B＝{0，6}．
9. 已知集合A＝{x|8【解析】当B＝ 时，2a－1≤a，
解得a≤1，此时 UB＝U，
( UB)∩A＝U∩A＝{x|8当B≠ 时，2a－1>a，解得a>1，
因为集合U＝{x|0B＝{x|a所以 UB＝{x|0因为( UB)∩A＝{x|8所以2a－1≤8，解得a≤，
所以B≠ 时，1综上所述，实数a的取值范围是.
10. ．对于任意两集合A，B，定义A－B＝{x|x∈A且x B}，A*B＝(A－B)∪(B－A)，记A＝{y|y≥0}，B＝{x|－3≤x≤3}，则A*B＝________________.
【解析】由题意知A－B＝{x|x>3}，B－A＝{x|－3≤x<0}，所以A*B＝[－3,0)∪(3，＋∞)．
11. 设[x]表示不大于x的最大整数，集合A＝{x|x2－2[x]＝3}，B＝，则A∩B＝________.
【解析】因为不等式<2x<8的解为－321世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

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