资源简介

中小学教育资源及组卷应用平台
第一单元第 2讲常用逻辑用语
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：充分、必要条件的判定
题型二：由充分条件、必要条件求参数的范围
题型三：充要条件的探求与证明
题型四：全称量词与存在量词
题型五：命题中参数的取值范围
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，乛p(x) x∈M，乛p(x)
【讲方法】
1.充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
2.求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
3.含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题．
二、【练】
【练题型】
【题型一】充分、必要条件的判定
【典例1】(多选)下列说法正确的是(　　)
A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件
B．“>”是“aC．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B
D．“a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
【解析】A项，ac＝bc不能推出a＝b，比如a＝1，b＝2，c＝0，而a＝b可以推出ac＝bc，所以“ac＝bc”是“a＝b”的必要不充分条件，故错误；
B项，>不能推出a－，但是2>－3；a，比如－2<3，－<，所以“>”是“aC项，因为“x∈A”是“x∈B”的充分条件，所以x∈A可以推出x∈B，即A B，故正确；
D项，an>bn(n∈N，n≥2)不能推出a>b>0，比如a＝1，b＝0,1n>0n(n∈N，n≥2)满足，但是a>b>0不满足，所以必要性不满足，故错误．
故选BC.
【典例2】已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】当a＝b＝c＝d＝0时，ad＝bc，但a，b，c，d不成等比数列，
当a，b，c，d成等比数列时，ad＝bc，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件．
故选B.
【典例3】设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】若直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行，
则2λ(1－λ)－6(λ－1)＝0，
解得λ＝1或λ＝－3，
经检验λ＝1或λ＝－3时两直线平行，故选A.
【题型二】由充分条件、必要条件求参数的范围
【典例1】已知p：实数m满足3a0)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________．
【解析】由2－m>m－1>0，得1即q：1因为p是q的充分条件，所以
解得≤a≤.
【典例2】已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若 p是 q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
【解析】方法一　命题p为，
命题q为{x|a≤x≤a＋1}．
p对应的集合A＝，
q对应的集合B＝{x|x>a＋1或x∵ p是 q的必要不充分条件，
∴或∴0≤a≤.
方法二　命题p为A＝，
命题q为B＝{x|a≤x≤a＋1}．
∵ p是 q的必要不充分条件，∴p是q的充分不必要条件，即A?B.
∴或
∴0≤a≤.
【典例3】已知集合A＝，B＝{x|－1【解析】因为A＝＝{x|－13，即m>2.
【题型三】充要条件的探求与证明
【典例1】数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)是数列{an}是等差数列的什么条件？
【解析】当n＞1时，an＝Sn－Sn－1＝2An＋B－A；
当n＝1时，a1＝S1＝A＋B，适合an＝2An＋B－A.
所以an＝2An＋B－A，显然{an}是等差数列，故充分性成立．
反之，若{an}是等差数列，则有Sn＝na1＋d(d为公差)，即Sn＝n2＋n.
设A＝，B＝a1－，即得Sn＝An2＋Bn，
因此，必要性成立．
所以Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)是数列{an}是等差数列的充要条件．
【典例2】已知m∈Z，关于x的一元二次方程
x2－4x＋4m＝0， ①
x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，②
求方程①②的根都是整数的充要条件．
【解析】方程①有实数根 Δ＝16－16m≥0，即m≤1，
方程②有实数根 Δ＝16m＋20≥0，即m≥－，
∴方程①②都有实数根 －≤m≤1.
∵m∈Z，∴m＝－1，0，1.
当m＝－1时，方程①可化为x2－4x－4＝0，无整数解；
当m＝0时，方程②可化为x2－5＝0，无整数解；
当m＝1时，方程①②都有整数解．
综上所述，方程①②的根都是整数的充要条件是m＝1.
题型四】全称量词与存在量词
【典例1】已知命题p： m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为　(　　)
A． m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
B m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
C． m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
D． m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
【解析】由特称命题的否定可得﹁p为“ m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数”．故选D.
【典例2】命题“ x＞0，＞0”的否定是(　　)
A． x＜0，≤0 B． x＞0，0≤x≤1
C． x＞0，≤0 D． x＜0，0≤x≤1
【解析】因为＞0，所以x＜0或x＞1，所以＞0的否定是0≤x≤1，所以命题的否定是 x＞0，0≤x≤1，故选B．
【典例3】下列命题中的假命题是(　　)
A． x∈R，ex＞0 B． x∈N，x2＞0
C． x0∈R，ln x0＜1 D． x0∈N*，sin x0＝1
【解析】对于B．当x＝0时，x2＝0，因此B中命题是假命题．故选B.
【题型五】命题中参数的取值范围
【典例1】若命题“ t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是______．
【解析】因为命题“ t∈R，t2－2t－a<0”为假命题，所以命题“ t∈R，t2－2t－a≥0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4×1×(－a)＝4a＋4≤0，即a≤－1.
【典例2】已知命题p： x∈R，x2－a≥0；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为__________．
【解析】由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
【典例3】若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)， x1∈[－1,2]， x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．
【解析】由于函数g(x)在定义域[－1,2]内是任意取值的，且必存在x0∈[－1,2]，使得g(x1)＝f(x0)，因此问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．函数f(x)的值域是[－1,3]，因为a>0，所以函数g(x)的值域是[2－a,2＋2a]，则有2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤.故a的取值范围是.
【练真题】
【真题1】（2022-浙江）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】∵sin2x+cos2x＝1，
①当sinx＝1时，则cosx＝0，∴充分性成立，
②当cosx＝0时，则sinx＝±1，∴必要性不成立，
∴sinx＝1是cosx＝0的充分不必要条件，
故选：A．
【真题2】（2022-北京）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】因为数列{an}是公差不为0的无穷等差数列，当{an}为递增数列时，公差d＞0，
令an＝a1+（n﹣1）d＞0，解得n＞1﹣，[1﹣]表示取整函数，
所以存在正整数N0＝1+[1﹣]，当n＞N0时，an＞0，充分性成立；
当n＞N0时，an＞0，an﹣1＜0，则d＝an﹣an﹣1＞0，必要性成立；
是充分必要条件．
故选：C．
【真题3】（2021-全国甲卷）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【解析】由题，当数列为时，满足，
但是不是递增数列，所以甲不是乙的充分条件．
若是递增数列，则必有成立，若不成立，则会出现一正一负的情况，是矛盾的，则成立，所以甲是乙的必要条件．
故选：B．
【真题4】（2016-浙江）命题“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，使得 D．，使得
【解析】的否定是，的否定是，的否定是．故选D．
【真题5】（2016-山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【解析】“直线 和直线 相交” “平面 和平面 相交”, 但 “平面 和平面 相交” “直线 和直线 相交”, 所以 “直线 和直线 相交” 是 “平面 和平面 相交” 的充分不必要条件, 故选 .
【真题6】（2016-天津）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n 1+a2n<0”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【解析】由题意得，，故是必要不充分条件，故选C.
【真题7】（2015-重庆）“”是“”的（　　 ）
A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
【解析】，因此选B.
【真题8】（2015-天津）设 ，则“ ”是“ ”的( )
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【解析】,或，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选A.
【真题9】（2015-湖北）设，. 若p：成等比数列；
q：，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【解析】对命题p：成等比数列，则公比且；
对命题，①当时，成立；
②当时，根据柯西不等式，等式成立，
则，所以成等比数列，所以是的充分条件，但不是的必要条件.故选A.
【真题10】（2015-四川）设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的 （ ）
充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【解析】若 , 则 , 从而有 , 故为充分条件. 若 不一定有 , 比如. , 从而 不成立.故选 B.
【真题11】（2015-安徽）设，则是成立的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【解析】由，解得，易知，能推出，但不能推出，故是成立的充分不必要条件，选A.
【真题12】（2015-湖南）设，是两个集合，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
【解析】由题意得，，反之，，故为充要条件，选C.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知m，n是平面α内的两条相交直线，且直线l⊥n，则“l⊥m”是“l⊥α”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】当l⊥m时，m，n是平面α内的两条相交直线，又l⊥n，根据线面垂直的判定定理，可得l⊥α.当l⊥α时，因为m α，所以l⊥m.综上，“l⊥m”是“l⊥α”的充要条件.
故选A.
2. 若关于x的不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1] B.(－∞，1)
C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)
【解析】|x－1|＜a 1－a＜x＜1＋a，∵不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，∴(0，4) (1－a，1＋a)，∴解得a≥3.
故选D.
3. 已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且非q的一个充分不必要条件是非p，则a的取值范围是(　　)
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
【解析】由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由非q的一个充分不必要条件是非p，可知綈p是非q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件.故a≥1.
故选A.
4. 设函数f(x)的定义域为[0，1]，则“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【解析】前推后，一定成立；后推前，不一定成立.如函数f(x)＝在[0，1]上的最大值为f(1)，但f(x)在上单调递减，在上单调递增，故选A.
【多选题】
5. 下列命题中是真命题的有(　　)
A. x∈R，log2x＝0
B. x∈R，cos x＝1
C. x∈R，x2＞0
D. x∈R，2x＞0
【解析】因为log21＝0，cos 0＝1，所以A，B均为真命题；02＝0，C为假命题；2x＞0，D为真命题.
故选ABD.
6. 下列四个命题中，为假命题的是(　　)
A. x∈(0，1)，2x＝
B.“ x∈R，x2＋x－1＞0”的否定是“ x∈R，x2＋x－1＜0”
C.“函数f(x)在(a，b)内f′(x)＞0”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充要条件
D.已知f(x)在x0处存在导数，则“f′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)的极值点”的必要不充分条件
【解析】对于A，由图象可知A正确(图略)，A正确；
对于B，“ x∈R，x2＋x－1＞0”的否定是“ x∈R，x2＋x－1≤0”，B错误；
对于C，“函数f(x)在(a，b)内f′(x)＞0”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充分不必要条件，C错误；
对于D，因为f(x)在x0处存在导数，根据极值点的定义可知，“x0是函数f(x)的极值点”可以推出“f′(x0)＝0”，但是“f′(x0)＝0”不一定可以推出“x0是函数f(x)的极值点”，比如函数f(x)＝x3在x＝0处有f′(0)＝0，但是x＝0不是函数f(x)的极值点，D正确.
【填空题】
7. 命题“ x∈(1，＋∞)，x2＋x≤2”的否定为__________________________.
【解析】 x∈(1，＋∞)，x2＋x＞2
8. 设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________条件(填“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分也不必要”).
【解析】由x2－5x＋4≥0得x≤1或x≥4，可知{x|x>4}是{x|x≤1或x≥4}的真子集，∴p是q的充分不必要条件.
9. 直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
【解析】直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点等价于＜，解得－1＜k＜3.
10. 已知命题p： x∈R，x2－a≥0；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________.
【解析】由命题p为真，得a≤0；由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.
11. 已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.
【解析】∵|x－1|≤2，∴－1≤x≤3，
即p：－1≤x≤3.
∵x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，
∴x≤1－a或x≥1＋a，
∴非q：1－a＜x＜1＋a，∵p是非q的必要不充分条件，
∴解得0＜a≤2，
∴实数a的取值范围是(0，2].
【测能力】
【单选题】
1. 在△ABC中，“A>B”是“cos AA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【解析】因为A，B是△ABC的内角，且A>B，
所以0因为y＝cos x在(0，π)上单调递减，
所以cos A反之，y＝cos x在(0，π)上单调递减，
0若cos AB，故必要性成立，所以在△ABC中，“A>B”是“cos A故选C.
2. 已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为(　　)
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
【解析】对于命题①，设球的半径为R，则π3＝·πR3，故体积缩小到原来的，命题正确；
对于命题②，若两组数据的平均数相同，则它们的标准差不一定相同，例如数据：1,3,5和3,3,3的平均数相同，但标准差不同，命题不正确；
对于命题③，圆x2＋y2＝的圆心(0,0)到直线x＋y＋1＝0的距离d＝＝，等于圆的半径，所以直线与圆相切，命题正确．
故选C.
3. 定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【解析】∵f(x)为奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．∴[f(－x)]′＝[－f(x)]′＝－f′(x)，∴f′(－x)＝f′(x)，
即f′(x)为偶函数；反之，若f′(x)为偶函数，如f′(x)＝3x2，f(x)＝x3＋1满足条件，但f(x)不是奇函数，所以“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的必要不充分条件．故选B.
4. 已知：p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
【解析】由q：(x＋1)(2－x)<0，得x<－1或x>2，又p是q的充分不必要条件，所以k>2，即实数k的取值范围是(2，＋∞)，故选B.
【多选题】
5. 已知a，b，c是实数，下列结论中正确的是(　　)
A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件
B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件
C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件
D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件
【解析】对于A，当a＝－5，b＝1时，满足a2>b2，但是ab，但是a2bc2得c≠0，则有a>b成立，即充分性成立，故正确；对于D，当a＝－5，b＝1时，|a|>|b|成立，但是ab，但是|a|<|b|，所以必要性也不成立，故“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件．故选CD．
6. 下列命题说法错误的是(　　)
A． x0∈R，ex0≤0
B． x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1
【解析】根据指数函数的性质可得ex>0，故A错误；x＝2时，2x>x2不成立，故B错误；当a＝b＝0时，没有意义，故C错误； 因为“x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1”的逆否命题为“x，y都小于等于1，则x＋y≤2”，是真命题，所以原命题为真命题，故选ABC．
【填空题】
7. 已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“ x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.
【解析】“ x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”的否定是 x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0，依题意得，命题 x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)＝0为真命题，故函数y＝f(x)，x∈(a，b)为奇函数，
∴a＋b＝0，∴f(a＋b)＝f(0)＝0.
8. 已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥2}，p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________________．
【解析】由y＝x2－x＋1＝2＋，0≤x≤2，
得≤y≤2，∴A＝.
又由题意知A B，
∴2－m2≤，∴m2≥.
∴m≥或m≤－.
9. 已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是【解析】解不等式|x－m|<1，得m－110. 已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<”是“sin(α＋β)<”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
【解析】因为sin(α＋β)＝sin αcos β＋cos αsin β11. 若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出适合的条件，用序号填空．
(1)“a，b都为0”的必要条件是________；
(2)“a，b都不为0”的充分条件是________；
(3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是________．
【解析】①ab＝0 a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0；
②a＋b＝0 a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负；
③a(a2＋b2)＝0 a＝0或
④ab>0 或则a，b都不为0.
答案：(1)①②③　(2)④　(3)①
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
第一单元第 2讲常用逻辑用语
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：充分、必要条件的判定
题型二：由充分条件、必要条件求参数的范围
题型三：充要条件的探求与证明
题型四：全称量词与存在量词
题型五：命题中参数的取值范围
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．充分条件、必要条件与充要条件的概念
若p q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件
p是q的充分不必要条件 p q且q p
p是q的必要不充分条件 p q且q p
p是q的充要条件 p q
p是q的既不充分也不必要条件 p q且q p
2.全称量词与存在量词
(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“ ”表示．
(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“ ”表示．
3．全称量词命题和存在量词命题
名称 全称量词命题 存在量词命题
结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立
简记 x∈M，p(x) x∈M，p(x)
否定 x∈M，乛p(x) x∈M，乛p(x)
【讲方法】
1.充分条件、必要条件的两种判定方法
(1)定义法：根据p q，q p进行判断，适用于定义、定理判断性问题．
(2)集合法：根据p，q对应的集合之间的包含关系进行判断，多适用于条件中涉及参数范围的推断问题．
2.求参数问题的解题策略
(1)把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．
(2)要注意区间端点值的检验．
3.含量词命题的解题策略
(1)判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；要判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判断其否定的真假．
(2)由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题．
二、【练】
【练题型】
【题型一】充分、必要条件的判定
【典例1】(多选)下列说法正确的是(　　)
A．“ac＝bc”是“a＝b”的充分不必要条件
B．“>”是“aC．若“x∈A”是“x∈B”的充分条件，则A B
D．“a>b>0”是“an>bn(n∈N，n≥2)”的充要条件
【典例2】已知a，b，c，d是实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【典例3】设λ∈R，则“λ＝－3”是“直线2λx＋(λ－1)y＝1与直线6x＋(1－λ)y＝4平行”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【题型二】由充分条件、必要条件求参数的范围
【典例1】已知p：实数m满足3a0)，q：方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，若p是q的充分条件，则a的取值范围是________．
【典例2】已知条件p：2x2－3x＋1≤0，条件q：x2－(2a＋1)x＋a(a＋1)≤0.若 p是 q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________．
【典例3】已知集合A＝，B＝{x|－1【题型三】充要条件的探求与证明
【典例1】数列{an}的前n项和Sn＝An2＋Bn(A，B是常数)是数列{an}是等差数列的什么条件？
【典例2】已知m∈Z，关于x的一元二次方程
x2－4x＋4m＝0， ①
x2－4mx＋4m2－4m－5＝0，②
求方程①②的根都是整数的充要条件．
题型四】全称量词与存在量词
【典例1】已知命题p： m∈R，f(x)＝2x－mx是增函数，则﹁p为　(　　)
A． m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
B m∈R，f(x)＝2x－mx是减函数
C． m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
D． m∈R，f(x)＝2x－mx不是增函数
【典例2】命题“ x＞0，＞0”的否定是(　　)
A． x＜0，≤0 B． x＞0，0≤x≤1
C． x＞0，≤0 D． x＜0，0≤x≤1
【典例3】下列命题中的假命题是(　　)
A． x∈R，ex＞0 B． x∈N，x2＞0
C． x0∈R，ln x0＜1 D． x0∈N*，sin x0＝1
【题型五】命题中参数的取值范围
【典例1】若命题“ t∈R，t2－2t－a<0”是假命题，则实数a的取值范围是______．
【典例2】已知命题p： x∈R，x2－a≥0；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为__________．
【典例3】若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)， x1∈[－1,2]， x0∈[－1,2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是________．
【练真题】
【真题1】（2022-浙江）设x∈R，则“sinx＝1”是“cosx＝0”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【真题2】（2022-北京）设{an}是公差不为0的无穷等差数列，则“{an}为递增数列”是“存在正整数N0，当n＞N0时，an＞0”的（　　）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【真题3】（2021-全国甲卷）等比数列的公比为q，前n项和为，设甲：，乙：是递增数列，则（ ）
A. 甲是乙的充分条件但不是必要条件
B. 甲是乙的必要条件但不是充分条件
C. 甲是乙的充要条件
D. 甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
【真题4】（2016-浙江）命题“，使得”的否定形式是（ ）
A．，使得 B．，使得
C．，使得 D．，使得
【真题5】（2016-山东）已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内.则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【真题6】（2016-天津）设{an}是首项为正数的等比数列，公比为q，则“q<0”是“对任意的正整数n，a2n 1+a2n<0”的（ ）
（A）充要条件 （B）充分而不必要条件
（C）必要而不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【真题7】（2015-重庆）“”是“”的（　　 ）
A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
【真题8】（2015-天津）设 ，则“ ”是“ ”的( )
（A）充分而不必要条件 （B）必要而不充分条件
（C）充要条件 （D）既不充分也不必要条件
【真题9】（2015-湖北）设，. 若p：成等比数列；
q：，则（ ）
A．p是q的充分条件，但不是q的必要条件
B．p是q的必要条件，但不是q的充分条件
C．p是q的充分必要条件
D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
【真题10】（2015-四川）设a，b都是不等于1的正数，则“”是“”的 （ ）
充要条件 （B）充分不必要条件
（C）必要不充分条件 （D）既不充分也不必要条件
【真题11】（2015-安徽）设，则是成立的（ ）
（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件
（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件
【真题12】（2015-湖南）设，是两个集合，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 已知m，n是平面α内的两条相交直线，且直线l⊥n，则“l⊥m”是“l⊥α”的(　　)
A.充要条件
B.充分不必要条件
C.必要不充分条件
D.既不充分也不必要条件
2. 若关于x的不等式|x－1|＜a成立的充分条件是0＜x＜4，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－∞，1] B.(－∞，1)
C.(3，＋∞) D.[3，＋∞)
3. 已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且非q的一个充分不必要条件是非p，则a的取值范围是(　　)
A.[1，＋∞) B.(－∞，1]
C.[－1，＋∞) D.(－∞，－3]
4. 设函数f(x)的定义域为[0，1]，则“函数f(x)在[0，1]上单调递增”是“函数f(x)在[0，1]上的最大值为f(1)”的(　　)
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【多选题】
5. 下列命题中是真命题的有(　　)
A. x∈R，log2x＝0
B. x∈R，cos x＝1
C. x∈R，x2＞0
D. x∈R，2x＞0
6. 下列四个命题中，为假命题的是(　　)
A. x∈(0，1)，2x＝
B.“ x∈R，x2＋x－1＞0”的否定是“ x∈R，x2＋x－1＜0”
C.“函数f(x)在(a，b)内f′(x)＞0”是“f(x)在(a，b)内单调递增”的充要条件
D.已知f(x)在x0处存在导数，则“f′(x0)＝0”是“x0是函数f(x)的极值点”的必要不充分条件
【填空题】
7. 命题“ x∈(1，＋∞)，x2＋x≤2”的否定为__________________________.
8. 设命题p：x>4；命题q：x2－5x＋4≥0，那么p是q的________________条件(填“充分不必要”“必要不充分” “充要”“既不充分也不必要”).
9. 直线x－y－k＝0与圆(x－1)2＋y2＝2有两个不同交点的充要条件是________.
10. 已知命题p： x∈R，x2－a≥0；命题q： x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为________.
11. 已知p：|x－1|≤2，q：x2－2x＋1－a2≥0(a＞0)，若p是非q的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________.
【测能力】
【单选题】
1. 在△ABC中，“A>B”是“cos AA．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
2. 已知下列三个命题：
①若一个球的半径缩小到原来的，则其体积缩小到原来的；
②若两组数据的平均数相等，则它们的标准差也相等；
③直线x＋y＋1＝0与圆x2＋y2＝相切．
其中真命题的序号为(　　)
A．①②③ B．①②
C．①③ D．②③
3. 定义在R上的可导函数f(x)，其导函数为f′(x)，则“f′(x)为偶函数”是“f(x)为奇函数”的(　　)
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4. 已知：p：x≥k，q：(x＋1)(2－x)<0，如果p是q的充分不必要条件，则实数k的取值范围是(　　)
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)
C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]
【多选题】
5. 已知a，b，c是实数，下列结论中正确的是(　　)
A．“a2>b2”是“a>b”的充分条件
B．“a2>b2”是“a>b”的必要条件
C．“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件
D．“|a|>|b|”是“a>b”的既不充分也不必要条件
6. 下列命题说法错误的是(　　)
A． x0∈R，ex0≤0
B． x∈R，2x>x2
C．a＋b＝0的充要条件是＝－1
D．若x，y∈R，且x＋y>2，则x，y中至少有一个大于1
【填空题】
7. 已知函数f(x)的定义域为(a，b)，若“ x∈(a，b)，f(x)＋f(－x)≠0”是假命题，则f(a＋b)＝________.
8. 已知集合A＝，B＝{x|x＋m2≥2}，p：x∈A，q：x∈B，p是q的充分条件，则实数m的取值范围是________________．
9. 已知不等式|x－m|<1成立的充分不必要条件是10. 已知α，β∈(0，π)，则“sin α＋sin β<”是“sin(α＋β)<”的______________条件．(选填“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”)
11. 若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a(a2＋b2)＝0；④ab＞0中选出适合的条件，用序号填空．
(1)“a，b都为0”的必要条件是________；
(2)“a，b都不为0”的充分条件是________；
(3)“a，b至少有一个为0”的充要条件是________．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
21世纪教育网(www.21cnjy.com)

展开更多......

收起↑