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8.6.3 平面与平面垂直
【学习目标】
1.从相关定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中平面与平面的垂直关系．
2．了解二面角的相关概念、平面与平面垂直的定义．
3．归纳出平面与平面垂直的判定定理和性质定理。
【自主学习】
1．二面角
(1)定义：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角，这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面．
(2)图形和记法
图形：
记作：二面角α AB β或二面角α l β或二面角P AB Q或二面角P l Q．
2．二面角的平面角
(1)定义：在二面角α l β的棱l上任取一点O，以点O为垂足，在半平面α和β内分别作垂直于棱l的射线OA和OB，则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角．
(2)图形、符号及范围
①图形：
②符号： ∠AOB是二面角的平面角．
③范围：0°≤∠AOB≤180°．
(3)规定：二面角的大小可以用它的平面角来度量，二面角的平面角是多少度，就说这个二面角是多少度．平面角是直角的二面角叫做直二面角．
3．平面与平面垂直
(1)定义：一般地，两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面α与β垂直，记作α⊥β．
(2)判定定理
①文字语言: 如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直;
②符号语言: α⊥β
③图形语言:
平面与平面垂直的性质定理
文字语言: 两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直;
符号语言: a⊥β
图形语言:
【教学过程】
例1. 如图8.6-27所示，在正方体中，求证：平面平面.
例2. 如图8.6-32，已知平面平面，直线，，判断a与的位置关系.
例3. 如图8.6-33，已知平面，平面平面，求证：平面.
例4. (1)如图，在正方体ABCD A′B′C′D′中，求二面角D′ AB D的大小．
(2)如图所示，α∩β＝CD，P为二面角内部一点．PA⊥α，PB⊥β，垂足分别为A，B.若△PAB为等边三角形，求二面角α CD β的大小．
例5. 如图，△ABC为正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，且CE＝CA＝2BD，M是EA的中点．求证：
(1)DE＝DA；
(2)平面BDM⊥平面ECA；
(3)平面DEA⊥平面ECA.
【当堂检测】
1. 已知直线与平面，能使的充分条件是（ ）
A. B.
C. D.
2．判断下列命题是否正确，正确的在括号内写正确，错误的写错误．
（1）. 如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面．（ ）
（2）. 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面．（ ）
（3）. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面．（ ）
3. 若平面平面，且，则下列命题中正确的个数是（ ）
（1）平面内的直线必垂直于平面内的任意一条直线；
（2）平面内的已知直线必垂直于平面内的无数条直线；
（3）平面内的任一条直线必垂直于平面；
（4）过平面内任意一点作交线的垂线，则此垂线必垂直于平面.
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
4. 已知α，β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“⊥”是“⊥”的 （ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 已知平面，直线a，且，，，，判断直线a与平面的位置关系，并说明理由.
6. 如图，平面，，你能发现哪些平面互相垂直，为什么？
7. 如图，在正三棱柱中，D为棱的中点，求证：平面平面.
8. 如图，在直三棱柱中，，P为的中点，Q为棱的中点，求证：
（1）；
（2）；
（3）.
9. 如图，在三棱锥P-ABC中，，垂足为D，底面ABC，垂足为O,且O在CD上，求证：.
10. 如图，在三V-ABC中，，作出二面角V-AB-C的平面角，并求出它的余弦值.
11. 如图，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，AE⊥PB于点E，AF⊥PC于点F．
（1）求证：PC⊥平面AEF；
（2）设平面AEF交PD于点G，求证：AG⊥PD．

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