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第一单元第3讲 不等式的性质与解不等式
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：比较两个数(式)的大小
题型二：不等式的性质
题型三：不等式性质的综合应用
题型四：不含参的一元二次不等式
题型五：含参的一元二次不等式
题型六：一元二次不等式在R上恒成立
题型七：一元二次不等式在给定区间上恒成立
题型八：一元二次不等式给定参数范围的恒成立
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b b性质2　传递性：a>b，b>c a>c；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5　同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
4．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x15.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
6．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
【讲方法】
1.比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
2.判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
3.求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．
4.对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
5.恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
二、【练】
【练题型】
【题型一】比较两个数(式)的大小
【典例1】(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　)
A． B.>
C.> D．ac3【典例2】若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A.aC.c【典例3】已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________.
【题型二】不等式的性质
【典例1】(多选)若＜＜0，则下列不等式中正确的是(　　)
A.＜ B.|a|＋b＞0
C.a－＞b－ D.ln a2＞ln b2
【典例2】(多选)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是(　　)
A.xy＞yz B.xy＞xz
C.xz＞yz D.x|y|＞|y|z
【典例3】(多选)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　)
A.a＜b B.－c＞－c
C.＞ D.ac2＜bc2
【题型三】不等式性质的综合应用
【典例1】已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是________.
【典例2】已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则的取值范围是________.
【典例3】已知－1【题型四】不含参的一元二次不等式
【典例1】不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为(　　)
A.
B.
C.(－∞，－1)∪
D.∪(1，＋∞)
【典例2】不等式≥0的解集为(　　)
A.[－2，1]
B.(－2，1]
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)
【典例3】不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________.
【题型五】含参的一元二次不等式
【典例1】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).
【典例2】解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R).
【题型六】一元二次不等式在R上恒成立
【典例1】若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－2，2)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－2，2]
D.(－∞，2]
【典例2】若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
【题型七】一元二次不等式在给定区间上恒成立
【典例1】设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.
【典例2】若对任意的t∈[1，2]，函数f(x)＝t2x2－(t＋1)x＋a总有零点，则实数a的取值范围是________.
【题型八】一元二次不等式给定参数范围的恒成立
【典例1】已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　)
A.(－∞，2)∪(3，＋∞)
B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1)∪(3，＋∞)
【典例2】已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1).
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围；
(3)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围.
【练真题】
【真题1】（2022-上海）不等式＜0的解集为 　　．
【真题2】（2015-山东）不等式的解集是（ ）
（A）（-，4） （B）（-，1） （C）（1，4） （D）（1，5）
【真题3】（2014-广东）不等式的解集为 .
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 不等式－x2＋3x＋10>0的解集为(　　)
A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞)
C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞)
2. 若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是(　　)
A．f(x)＝g(x)　　　　　　 B．f(x)>g(x)
C．f(x)3. 若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为{x|x<－，或x>}，则＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
4. 若不等式x2＋x＋m2<0的解集不是空集，则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【多选题】
5. 下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若aab>b2
C．若a>b>0且c<0，则>
D．若a>b且>，则ab<0
6. 若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是(　　)
A．b<0且c>0
B．a－b＋c>0
C．a＋b＋c>0
D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)
【填空题】
7. 已知18. 不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
9. 若00的解集是________
10. 若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．
11. 一元二次方程kx2－kx＋1＝0有一正一负根，则实数k的取值范围是________．
【测能力】
【单选题】
1. 已知2①1A．①③④ B．②④
C．①② D．①③
2. 设0A.aln b>bln a B.aln bC.aeb3. 设a<0，(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则b－a的最大值为(　　)
A. B. C. D.
4. 设a，b∈R，定义运算“?”和“?”如下：a?b＝a?b＝若m?n≥2，p?q≤2，则(　　)
A．mn≥4且p＋q≤4
B．m＋n≥4且pq≤4
C．mn≤4且p＋q≥4
D．m＋n≤4且pq≤4
【多选题】
5. 已知函数f(x)＝4ax2＋4x－1， x∈(－1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值可能是(　　)
A．0 B．－1 C．－2 D．－3
6. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，这种符号逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)
A．若ab≠0且a
B．若0C．若a>b>0，则>
D．若c【填空题】
7. 函数y＝lg(c＋2x－x2)的定义域是(m，m＋4)，则实数c的值为________．
8. 若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．
9. 若不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解，则a的取值范围是________．
10. 若集合A＝{x∈Z|x2－(a＋2)x＋2－a<0}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是________．
11. 给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③>－.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是________．(答案不唯一，写出一个即可)
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第一单元第3讲 不等式的性质与解不等式
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：比较两个数(式)的大小
题型二：不等式的性质
题型三：不等式性质的综合应用
题型四：不含参的一元二次不等式
题型五：含参的一元二次不等式
题型六：一元二次不等式在R上恒成立
题型七：一元二次不等式在给定区间上恒成立
题型八：一元二次不等式给定参数范围的恒成立
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．两个实数比较大小的方法
作差法 (a，b∈R)
2．等式的性质
性质1　对称性：如果a＝b，那么b＝a；
性质2　传递性：如果a＝b，b＝c，那么a＝c；
性质3　可加(减)性：如果a＝b，那么a±c＝b±c；
性质4　可乘性：如果a＝b，那么ac＝bc；
性质5　可除性：如果a＝b，c≠0，那么＝.
3．不等式的性质
性质1　对称性：a>b b性质2　传递性：a>b，b>c a>c；
性质3　可加性：a>b a＋c>b＋c；
性质4　可乘性：a>b，c>0 ac>bc；a>b，c<0 ac性质5　同向可加性：a>b，c>d a＋c>b＋d；
性质6　同向同正可乘性：a>b>0，c>d>0 ac>bd；
性质7　同正可乘方性：a>b>0 an>bn(n∈N，n≥2)．
4．二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系
判别式 Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0
二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象
方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|xx2} R
ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x15.分式不等式与整式不等式
(1)>0(<0) f(x)g(x)>0(<0)；
(2)≥0(≤0) f(x)g(x)≥0(≤0)且g(x)≠0.
6．简单的绝对值不等式
|x|>a(a>0)的解集为(－∞，－a)∪(a，＋∞)，|x|0)的解集为(－a，a)．
【讲方法】
1.比较大小的常用方法
(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．
(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．
(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．
2.判断不等式的常用方法
(1)利用不等式的性质逐个验证．
(2)利用特殊值法排除错误选项．
(3)作差法．
(4)构造函数，利用函数的单调性．
3.求代数式的取值范围，一般是利用整体思想，通过“一次性”不等关系的运算求得整体范围．
4.对含参的不等式，应对参数进行分类讨论，常见的分类有
(1)根据二次项系数为正、负及零进行分类．
(2)根据判别式Δ与0的关系判断根的个数．
(3)有两个根时，有时还需根据两根的大小进行讨论．
5.恒成立问题求参数的范围的解题策略
(1)弄清楚自变量、参数．一般情况下，求谁的范围，谁就是参数．
(2)一元二次不等式在R上恒成立，可用判别式Δ，一元二次不等式在给定区间上恒成立，不能用判别式Δ，一般分离参数求最值或分类讨论．
二、【练】
【练题型】
【题型一】比较两个数(式)的大小
【典例1】(多选)设b>a>0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　)
A． B.>
C.> D．ac3【解析】因为y＝在(0，＋∞)上单调递增，
所以，A正确；
因为y＝在(0，＋∞)上单调递减，
所以>，B正确；
因为－＝>0，所以>，C正确；
当c＝0时，ac3＝bc3，所以D不正确．
故选ABC.
【典例2】若a＝，b＝，c＝，则(　　)
A.aC.c【解析】法一　易知a，b，c都是正数，＝＝log8164<1，所以a>b；＝＝log6251 024>1，所以b>c.即c法二　构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，
由f′(x)>0，得0由f′(x)<0，得x>e.
∴f(x)在(0，e)为增函数，在(e，＋∞)为减函数.
∴f(3)>f(4)>f(5)，即a>b>c.
故选B.
【典例3】已知等比数列{an}中，a1>0，q>0，前n项和为Sn，则与的大小关系为________.
【解析】当q＝1时，＝3，＝5，
所以<；
当q>0且q≠1时，
－＝－
＝＝<0，
所以<.综上可知<.
【题型二】不等式的性质
【典例1】(多选)若＜＜0，则下列不等式中正确的是(　　)
A.＜ B.|a|＋b＞0
C.a－＞b－ D.ln a2＞ln b2
【解析】由＜＜0，可知b＜a＜0.A中，因为a＋b＜0，ab＞0，所以＜0，＞0.故有＜，即A正确；
B中，因为b＜a＜0，所以－b＞－a＞0.
故－b＞|a|，即|a|＋b＜0，故B错误；
C中，因为b＜a＜0，又＜＜0，则－＞－＞0，所以a－＞b－，故C正确；
D中，因为b＜a＜0，根据y＝x2在(－∞，0)上为减函数，可得b2＞a2＞0，而y＝ln x在定义域(0，＋∞)上为增函数，所以ln b2＞ln a2，故D错误.由以上分析，知A，C正确.
故选AC.
【典例2】(多选)已知x＞y＞z，x＋y＋z＝0，则下列不等式不成立的是(　　)
A.xy＞yz B.xy＞xz
C.xz＞yz D.x|y|＞|y|z
【解析】因为x＞y＞z，x＋y＋z＝0，
所以x＞0，z＜0，y的符号无法确定.
对于A，由题意得x＞z，若y＜0，则xy＜0＜yz，故A错误；
对于B，因为y＞z，x＞0，所以xy＞xz，故B正确；
对于C，因为x＞y，z＜0，所以xz＜yz，故C错误；
对于D，当|y|＝0时，x|y|＝|y|z，故D错误.
故选ACD.
【典例3】(多选)设b＞a＞0，c∈R，则下列不等式中正确的是(　　)
A.a＜b B.－c＞－c
C.＞ D.ac2＜bc2
【解析】∵y＝x在(0，＋∞)上是增函数，
∴a＜b.
∵y＝－c在(0，＋∞)上是减函数，
∴－c＞－c.
∵－＝＞0，∴＞.
当c＝0时，ac2＝bc2，∴D不成立.故选ABC.
【题型三】不等式性质的综合应用
【典例1】已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是________.
【解析】因为a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，
所以a＞0，c＜0，b＝－2a－c.
因为a＞b＞c，所以－2a－c＜a，
即3a＞－c，解得＞－3，
将b＝－2a－c代入b＞c中，得－2a－c＞c，
即c＜－a，得＜－1，所以－3＜＜－1.
【典例2】已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则的取值范围是________.
【解析】∵a∈(－3，－2)，∴∈，
故＜－＜，又∵2＜b＜4，
∴＜－＜2，则－2＜＜－.
【典例3】已知－1【解析】因为－1所以－3<－y<－2，所以－4由－1所以1<3x＋2y<18.
【题型四】不含参的一元二次不等式
【典例1】不等式－2x2＋x＋3＜0的解集为(　　)
A.
B.
C.(－∞，－1)∪
D.∪(1，＋∞)
【解析】－2x2＋x＋3＜0可化为2x2－x－3＞0，即(x＋1)(2x－3)＞0，
∴x＜－1或x＞.
故选C.
【典例2】不等式≥0的解集为(　　)
A.[－2，1]
B.(－2，1]
C.(－∞，－2)∪(1，＋∞)
D.(－∞，－2]∪(1，＋∞)
【解析】原不等式化为
即解得－2＜x≤1.
故选B.
【典例3】不等式0＜x2－x－2≤4的解集为________.
【解析】由题意得
故
即－2≤x＜－1或2＜x≤3.
故不等式的解集为[－2，－1)∪(2，3].
【题型五】含参的一元二次不等式
【典例1】解关于x的不等式ax2－(a＋1)x＋1＜0(a∈R).
【解析】原不等式变为(ax－1)(x－1)＜0，
当a＞0时，所以(x－1)＜0，
所以当a＞1时，解得＜x＜1；
当a＝1时，解集为 ；
当0＜a＜1时，解得1＜x＜.
当a＝0时，原不等式等价于－x＋1＜0，
即x＞1.
当a＜0时，＜1，原不等式可化为
(x－1)＞0，
解得x＞1或x＜.
综上，当0＜a＜1时，不等式的解集为
，
当a＝1时，不等式的解集为 ，
当a＞1时，不等式的解集为，
当a＝0时，不等式的解集为{x|x＞1}，
当a＜0时，不等式的解集为
.
【典例2】解关于x的不等式：x2－(a＋a2)x＋a3＞0(a∈R).
【解析】将不等式x2－(a＋a2)x＋a3＞0变形为
(x－a)(x－a2)＞0.
当a＜0时，a＜a2，∴原不等式的解集为
{x|x＜a或x＞a2}；
当a＝0时，a＝a2＝0，∴原不等式的解集为{x|x≠0}；
当0＜a＜1时，a＞a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝1时，a＝a2＝1，∴原不等式的解集为{x|x≠1}；
当a＞1时，a＜a2，∴原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}.
综上所述，当a＜0或a＞1时，原不等式的解集为{x|x＜a或x＞a2}；
当a＝0时，原不等式的解集为{x|x≠0}；
当0＜a＜1时，原不等式的解集为{x|x＜a2或x＞a}；
当a＝1时，原不等式的解集为{x|x≠1}.
【题型六】一元二次不等式在R上恒成立
【典例1】若关于x的不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4＜0对一切实数x恒成立，则实数a的取值范围是(　　)
A.(－2，2)
B.(－∞，－2)∪(2，＋∞)
C.(－2，2]
D.(－∞，2]
【解析】当a－2＝0，即a＝2时，不等式恒成立，符合题意.
当a－2≠0，即a≠2时，要使不等式恒成立，
需满足解得－2＜a＜2.
综上可知，a的取值范围为(－2，2].
故选C.
【典例2】若不等式(a－2)x2＋2(a－2)x－4<0对一切x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】当a－2＝0，即a＝2时，不等式为－4<0，
对一切x∈R恒成立．
当a≠2时，则
即解得－2所以实数a的取值范围是(－2，2]．
【题型七】一元二次不等式在给定区间上恒成立
【典例1】设函数f(x)＝mx2－mx－1(m≠0)，若对于x∈[1，3]，f(x)＜－m＋5恒成立，则m的取值范围是________.
【解析】要使f(x)＜－m＋5在[1，3]上恒成立，故mx2－mx＋m－6＜0，
则m＋m－6＜0在x∈[1，3]上恒成立.
法一　令g(x)＝m＋m－6，
x∈[1，3].
当m＞0时，g(x)在[1，3]上是增函数，
所以g(x)max＝g(3)＝7m－6＜0，
所以m＜，则0＜m＜.
当m＜0时，g(x)在[1，3]上是减函数，
所以g(x)max＝g(1)＝m－6＜0，
所以m＜6，所以m＜0.
综上所述，m的取值范围是
.
法二　因为x2－x＋1＝＋＞0，
又因为m(x2－x＋1)－6＜0，所以m＜.
因为函数y＝＝在[1，3]上的最小值为，所以只需m＜即可.
因为m≠0，所以m的取值范围是
.
【典例2】若对任意的t∈[1，2]，函数f(x)＝t2x2－(t＋1)x＋a总有零点，则实数a的取值范围是________.
【解析】函数f(x)＝t2x2－(t＋1)x＋a总有零点等价于方程t2x2－(t＋1)x＋a＝0的根的判别式Δ＝(t＋1)2－4at2≥0对任意的t∈[1，2]恒成立，
所以a≤对任意的t∈[1，2]恒成立.
令g(t)＝＝，t∈[1，2].
因为t∈[1，2]，所以∈，
所以g(t)∈，
即的最小值为.
故实数a的取值范围是.
【题型八】一元二次不等式给定参数范围的恒成立
【典例1】已知a∈[－1，1]时，不等式x2＋(a－4)x＋4－2a＞0恒成立，则x的取值范围为(　　)
A.(－∞，2)∪(3，＋∞)
B.(－∞，1)∪(2，＋∞)
C.(－∞，1)∪(3，＋∞)
【解析】把不等式的左端看成关于a的函数，记f(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，
则由f(a)＞0对于任意的a∈[－1，1]恒成立，
得f(－1)＝x2－5x＋6＞0，
且f(1)＝x2－3x＋2＞0即可，
解不等式组得x＜1或x＞3.
故选C.
【典例2】已知关于x的不等式2x－1＞m(x2－1).
(1)是否存在实数m，使不等式对任意x∈R恒成立，并说明理由；
(2)若不等式对于m∈[－2，2]恒成立，求实数x的取值范围；
(3)若不等式对于x∈(1，＋∞)恒成立，求m的取值范围.
【解析】(1)原不等式等价于mx2－2x＋(1－m)＜0，
当m＝0时，－2x＋1＜0不恒成立；
当m≠0时，若不等式对于任意实数x恒成立，
则需m＜0且Δ＝4－4m(1－m)＜0，无解，
所以不存在实数m，使不等式恒成立.
(2)设f(m)＝(x2－1)m－(2x－1)，
当m∈[－2，2]时，f(m)＜0恒成立.
当且仅当
由①，得＜x＜.
由②，得x＜或x＞.
取交集，得＜x＜.
所以x的取值范围是
.
(3)因为x＞1，所以m＜.
设2x－1＝t(t＞1)，x2－1＝，
所以m＜＝.
设g(t)＝t－＋2，t∈(1，＋∞)，
显然g(t)在(1，＋∞)上为增函数.
当t→＋∞时，t－＋2→＋∞，→0，
所以m≤0.
【练真题】
【真题1】（2022-上海）不等式＜0的解集为 　　．
【解析】由题意得x（x﹣1）＜0，
解得0＜x＜1，
故不等式的解集（0，1）．
【真题2】（2015-山东）不等式的解集是（ ）
（A）（-，4） （B）（-，1） （C）（1，4） （D）（1，5）
【解析】原不等式同解于如下三个不等式解集的并集;
解 (I) 得: ,解 (II) 得: ,解 (III) 得: ,
所以，原不等式的解集为 . 故选 A.
【真题3】（2014-广东）不等式的解集为 .
【解析】令，则，
(1)当 时, 由 得 , 解得 , 此时有 ;
(2)当 时, , 此时不等式无解;
(3) 当 时, 由 得 , 解得 , 此时有 ;
综上所述, 不等式 的解集为 .
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 不等式－x2＋3x＋10>0的解集为(　　)
A．(－2，5) B．(－∞，－2)∪(5，＋∞)
C．(－5，2) D．(－∞，－5)∪(2，＋∞)
【解析】由x2－3x－10<0，解得－2故选A.
2. 若f(x)＝3x2－x＋1，g(x)＝2x2＋x－1，则f(x)，g(x)的大小关系是(　　)
A．f(x)＝g(x)　　　　　　 B．f(x)>g(x)
C．f(x)【解析】f(x)－g(x)＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1>0 f(x)>g(x)．
故选B.
3. 若不等式ax2＋bx＋2<0的解集为{x|x<－，或x>}，则＝(　　)
A． B．
C．－ D．－
【解析】由题意得方程ax2＋bx＋2＝0的两根为－与，所以－＝－＋＝－，则＝1－＝1－＝.
故选A
4. 若不等式x2＋x＋m2<0的解集不是空集，则实数m的取值范围为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】因为不等式x2＋x＋m2<0的解集不是空集，所以Δ>0，即1－4m2>0，所以－【多选题】
5. 下列命题为真命题的是(　　)
A．若a>b>0，则ac2>bc2
B．若aab>b2
C．若a>b>0且c<0，则>
D．若a>b且>，则ab<0
【解析】当c＝0时，不等式不成立，所以A命题是假命题； a2>ab， ab>b2，所以a2>ab>b2，所以B命题是真命题；a>b>0 a2>b2>0 0<<，因为c<0，所以>，所以C命题是真命题；> －>0 >0，因为a>b，所以b－a<0，ab<0，所以D命题是真命题，故选BCD.
6. 若不等式ax2－bx＋c>0的解集是(－1，2)，则下列选项正确的是(　　)
A．b<0且c>0
B．a－b＋c>0
C．a＋b＋c>0
D．不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)
【解析】对于A，a<0，－1，2是方程ax2－bx＋c＝0的两个根，所以－1＋2＝1＝，－1×2＝，所以b＝a，c＝－2a，所以b<0，c>0，所以A正确；令f(x)＝ax2－bx＋c，对于B，由题意可知f(1)＝a－b＋c>0，所以B正确；对于C，f(－1)＝a＋b＋c＝0，所以C错误；对于D，因为对于方程ax2＋bx＋c＝0，设其两根为x1，x2，所以x1＋x2＝－＝－1，x1x2＝＝－2，所以两根分别为－2和1.所以不等式ax2＋bx＋c>0的解集是(－2，1)，所以D正确．
故选ABD.
【填空题】
7. 已知1【解析】因为1又因为<<，
所以<<＝2，即<<2.
8. 不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集是________．
【解析】不等式|x(x－2)|>x(x－2)的解集即x(x－2)<0的解集，解得09. 若00的解集是________
【解析】原不等式可化为(x－a)<0，由010. 若函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x 的最大值为2，则常数φ的一个取值为________．
【解析】易知当y＝sin(x＋φ)，y＝cos x同时取得最大值1时，函数f(x)＝sin(x＋φ)＋cos x取得最大值2，故sin(x＋φ)＝cos x，则φ＝＋2kπ，k∈Z，故常数φ的一个取值为.
(答案不唯一)
11. 一元二次方程kx2－kx＋1＝0有一正一负根，则实数k的取值范围是________．
【解析】kx2－kx＋1＝0有一正一负根，
∴解得k<0.
【测能力】
【单选题】
1. 已知2①1A．①③④ B．②④
C．①② D．①③
【解析】因为a＝(a＋b)＋(a－b)，且22. 设0A.aln b>bln a B.aln bC.aeb【解析】观察A，B两项，实际上是在比较和的大小，引入函数y＝，0bea，故选B.
3. 设a<0，(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，则b－a的最大值为(　　)
A. B. C. D.
【解析】当a所以(4x2＋a)(2x＋b)≥0在(a，b)上恒成立，
可转化为 x∈(a，b)，a≤－4x2，
所以a≤－4a2，
所以－≤a<0，
所以0当a<0当x＝0时，(4x2＋a)(2x＋b)＝ab<0，不符合题意；
当a<0＝b时，由题意知x∈(a,0)，(4x2＋a)2x≥0恒成立，
所以4x2＋a≤0，
所以－≤a<0，
所以b－a≤.
综上所述，b－a的最大值为.
故选C.
4. 设a，b∈R，定义运算“?”和“?”如下：a?b＝a?b＝若m?n≥2，p?q≤2，则(　　)
A．mn≥4且p＋q≤4
B．m＋n≥4且pq≤4
C．mn≤4且p＋q≥4
D．m＋n≤4且pq≤4
【解析】结合定义及m?n≥2可得或即n≥m≥2或m>n≥2，所以mn≥4；结合定义及p?q≤2，可得或即q【多选题】
5. 已知函数f(x)＝4ax2＋4x－1， x∈(－1,1)，f(x)<0恒成立，则实数a的取值可能是(　　)
A．0 B．－1 C．－2 D．－3
【解析】因为f(x)＝4ax2＋4x－1，
所以f(0)＝－1<0成立．
当x∈(－1,0)∪(0,1)时，由f(x)<0可得4ax2<－4x＋1，
所以4a当x∈(－1,0)∪(0,1)时，
∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，
所以－＝2－4≥－4，
当且仅当x＝时，等号成立，
所以4a<－4，解得a<－1.
6. 十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“<”和“>”符号，这种符号逐渐被数学界接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．若a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　)
A．若ab≠0且a
B．若0C．若a>b>0，则>
D．若c【解析】对于A项，取a＝－2，b＝1，则>不成立，故A项错误．对于B项，若0b>0，则a(b＋1)－b(a＋1)＝a－b>0，所以a(b＋1)>b(a＋1)，所以>，故C项正确．对于D项，若c0，c<0.而b可能为0，因此cb2【填空题】
7. 函数y＝lg(c＋2x－x2)的定义域是(m，m＋4)，则实数c的值为________．
【解析】依题意得，一元二次不等式－x2＋2x＋c>0，即x2－2x－c<0的解集为(m，m＋4)，所以m，m＋4是方程x2－2x－c＝0的两个根，所以解得m＝－1，c＝3.
8. 若不等式x2－(a＋1)x＋a≤0的解集是[－4,3]的子集，则a的取值范围是________．
【解析】原不等式为(x－a)(x－1)≤0，当a<1时，不等式的解集为[a,1]，此时只要a≥－4即可，即－4≤a<1；当a＝1时，不等式的解为x＝1，此时符合要求；当a>1时，不等式的解集为[1，a]，此时只要a≤3即可，即19. 若不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解，则a的取值范围是________．
【解析】对于方程x2＋ax－2＝0，
∵Δ＝a2＋8>0，
∴方程x2＋ax－2＝0有两个不相等的实数根，
又∵两根之积为负，
∴必有一正根一负根，
设f(x)＝x2＋ax－2，
于是不等式x2＋ax－2>0在[1,5]上有解的充要条件是f(5)>0，
即5a＋23>0，
解得a>－.
故a的取值范围是.
10. 若集合A＝{x∈Z|x2－(a＋2)x＋2－a<0}中有且只有一个元素，则正实数a的取值范围是________．
【解析】f(x)＝x2－(a＋2)x＋2－a<0，
即x2－2x＋1分别令y1＝x2－2x＋1，
y2＝a(x＋1)－1，易知y2过定点(－1，－1)，
在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图所示，
若集合A＝{x∈Z|f(x)<0}中有且只有一个元素，结合图象可得，即点(0，1)和点(2，1)在直线上或者在直线上方，点(1，0)在直线下方，
所以解得11. 给出三个不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③>－.能够使以上三个不等式同时成立的一个条件是________．(答案不唯一，写出一个即可)
【解析】使三个不等式同时成立的一个条件是a>b>0，当a>b>0时，①②显然成立，对于③，()2－(－)2＝2－2b＝2(－)，
因为a>b>0，所以2(－)>0，
所以()2－(－)2>0，即>－.
a>b>0(答案不唯一)
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