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第一单元第4讲 基本不等式
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：配凑法求最值
题型二：常数代换法求最值
题型三：消元法求最值
题型四：与其他知识交汇的最值问题
题型五：求参数值或取值范围
题型六：基本不等式的实际应用
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
【讲方法】
1.前提：“一正”“二定”“三相等”．
2.要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
3.条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
4.基本不等式的常见变形
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0)．
5.利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
二、【练】
【练题型】
【题型一】配凑法求最值
【典例1】已知函数f(x)＝(x<－1)，则(　　)
A.f(x)有最小值4 B.f(x)有最小值－4
C.f(x)有最大值4 D.f(x)有最大值－4
【解析】f(x)＝＝
＝－＝－
＝－(x＋1)＋＋2.
因为x<－1，所以x＋1<0，－(x＋1)>0，
所以f(x)≥2＋2＝4，
当且仅当－(x＋1)＝，即x＝－2时，等号成立.
故f(x)有最小值4.
故选A.
【典例2】已知x＞，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________.
【解析】∵x＞，∴4x－5＞0，
∴f(x)＝4x－2＋＝4x－5＋＋3≥2＋3＝5，
当且仅当4x－5＝，即x＝时取等号.
【典例3】已知0＜x＜，则x的最大值为________.
【解析】∵0＜x＜，∴1－2x2＞0，
x＝·x≤
·＝.
当且仅当2x2＝1－2x2，即x＝时等号成立.
【题型二】常数代换法求最值
【典例1】若直线2mx－ny－2＝0(m＞0，n＞0)过点(1，－2)，则＋的最小值为(　　)
A.2 B.6
C.12 D.3＋2
【解析】因为直线2mx－ny－2＝0(m＞0，n＞0)过点(1，－2)，
所以2m＋2n－2＝0，即m＋n＝1，
所以＋＝(m＋n)＝3＋＋≥3＋2，
当且仅当＝，即n＝m时取等号，
所以＋的最小值为3＋2.
故选D.
【典例2】若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　)
A．3＋2 B．3＋
C．2＋2 D．3
【解析】因为2m＋n＝1，
则＋＝·(2m＋n)＝3＋＋
≥3＋2＝3＋2，
当且仅当n＝m，即m＝，n＝－1时等号成立，
所以＋的最小值为3＋2，故选A.
【典例3】已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．
【解析】＝＝·
＝5＋2≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号．
【题型三】消元法求最值
【典例1】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
【解析】法一(换元消元法)
由已知得x＋3y＝9－xy，
∵x>0，y>0，
∴x＋3y≥2，
∴3xy≤，
当且仅当x＝3y，即x＝3，y＝1时取等号，
∴x＋3y＋≥9，
即(x＋3y)2＋12(x＋3y)－108≥0，
令x＋3y＝t，则t>0且t2＋12t－108≥0，
解得t≥6，即x＋3y的最小值为6.
法二(代入消元法)
由x＋3y＋xy＝9，得x＝，
∴x＋3y＝＋3y＝
＝＝
＝3(1＋y)＋－6≥2－6＝12－6＝6，
当且仅当3(1＋y)＝，即x＝3，y＝1时等号成立，
∴x＋3y的最小值为6.
【典例2】若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)
A． B．
C． D．
【解析】因为正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，所以y＝.由即解得0【题型四】与其他知识交汇的最值问题
【典例1】设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
【解析】an＝a1＋(n－1)d＝n，Sn＝，
所以＝＝
≥＝，
当且仅当n＝，即n＝4时取等号，
所以的最小值是.
【典例2】已知D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足＝α＋β，则＋的最小值为________.
【解析】由于M是线段DE上的一动点(不包含D，E两点)，D，E分别是AB，AC的中点，则＝α＋β＝2α＋2β，
所以α，β＞0且2α＋2β＝1.
＋＝(2α＋2β)＝6＋＋≥6＋4，当且仅当α＝，β＝时取等号，
故＋的最小值为6＋4.
【典例3】若△ABC的内角满足3sin A＝sin B＋sin C，则cos A的最小值是(　　)
A. B. C. D.
【解析】由题意结合正弦定理有3a＝b＋c，结合余弦定理可得：
cos A＝＝
＝＝－
≥－＝.
当且仅当b＝c时等号成立．
综上可得，cos A的最小值是.
故选B.
【题型五】求参数值或取值范围
【典例1】对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　)
A. B．2 C．4 D.
【解析】∵对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，
∴m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立，
∵＋≥2＝2，当且仅当＝，即m＝n时取等号，∴a≤2，故实数a的最大值为2，故选B.
【典例2】已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)的最小值大于或等于9，
∵(x＋y)＝1＋a＋＋≥a＋2＋1，
当且仅当y＝x时，等号成立，
∴a＋2＋1≥9，
∴≥2或≤－4(舍去)，∴a≥4，
即正实数a的最小值为4，故选B.
【典例3】对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　)
A. B.2 C.4 D.
【解析】∵对任意m，n∈(0，＋∞)，
都有m2－amn＋2n2≥0，
∴m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立，
∵＋≥2＝2，
当且仅当＝，即m＝n时取等号，
∴a≤2，故实数a的最大值为2，故选B.
【题型六】基本不等式的实际应用
【典例1】要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)
A.80元 B.120元 C.160元 D.240元
【解析】由题意知，体积V＝4 m3，高h＝1 m，所以底面积S＝4 m2，设底面矩形的一条边长是x m，则另一条边长是 m，又设总造价是y元，则y＝20×4＋10×(2x＋)≥80＋20＝160，当且仅当2x＝，即x＝2时取得等号.
故选C.
【典例2】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.
【解析】由题意得，一年购买次，则总运费与总存储费用之和为×6＋4x＝4≥8＝240(万元)，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时，x的值是30.
【典例3】小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
【解析】(1)设大货车运输到第x年年底，
该车运输累计收入与总支出的差为y万元，
则y＝25x－[6x＋x(x－1)]－50＝－x2＋20x－50(0由－x2＋20x－50>0，
可得10－5因为2<10－5<3，
所以大货车运输到第3年年底该车运输累计收入超过总支出．
(2)因为利润＝累计收入＋销售收入－总支出，
所以二手车出售后，
小王的年平均利润为＝19－≤19－2＝9，
当且仅当x＝，即x＝5时，等号成立，
所以小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．
【练真题】
【真题1】（2022-上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）
（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；
（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
【解析】（1）作DH⊥EF，垂足为H，
则EF＝EH+HF＝15tan20°+15tan50°≈23.3m；
（2）设∠ADE＝θ，则AE＝15tanθ，FH＝15tan（90°﹣2θ），
S四边形ADEF＝2S△ADE+S△DFH＝2××15×15tanθ+，
＝（30tanθ+15cot2θ）＝（30tanθ+15×）＝，
当且仅当3tanθ＝，即时取等号，此时AE＝15tanθ＝5，最大面积为450﹣≈255.14m2．
【真题2】（2020-新高考全国Ⅰ）(多选) 已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A．a2＋b2≥ B．2a-b>
C．log2a＋log2b≥－2 D.＋≤
【解析】因为a>0，b>0，a＋b＝1，
所以a＋b≥2，
当且仅当a＝b＝时，等号成立，即有ab≤.
对于A，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×＝，故A正确；
对于B,2a－b＝22a－1＝×22a，
因为a>0，所以22a>1，即2a－b>，故B正确；
对于C，log2a＋log2b＝log2ab≤log2＝－2，故C错误；
对于D，由(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤2，
得＋≤，故D正确．
故选ABD.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 下列等式中最小值为4的是(　　)
A.y＝x＋ B.y＝2t＋
C.y＝4t＋(t＞0) D.y＝t＋
【解析】运用基本不等式的条件是“一正、二定、三相等”，A，B，D均不满足“一正”条件，故选C.
2. 已知a＞0，且b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　)
A. B.4 C. D.2
【解析】4＝2a＋b≥2，
即2≥，两边平方得4≥2ab，
∴ab≤2，当且仅当a＝1，b＝2时，等号成立，
∴ab的最大值为2.
故选D.
3. 若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)
A.8 B.6 C.4 D.2
【解析】依题意ab＝a＋b，
∴a＋b＝ab≤，即a＋b≤，
∴a＋b≥4，当且仅当a＝b时取等号，
∴a＋b的最小值为4.
故选C.
4. 设x＞0，则3－3x－的最大值是(　　)
A.3 B.3－2
C.－1 D.3－2
【解析】∵x＞0，∴3x＋≥2＝2，当且仅当x＝时，等号成立，
∴－≤－2，
则3－3x－≤3－2.
故选D.
【多选题】
5. 下列四个函数中，最小值为2的是(　　)
A.y＝sin x＋
B.y＝ln x＋(x＞0，x≠1)
C.y＝
D.y＝4x＋4－x
【解析】对于A，因为0＜x≤，所以0＜sin x≤1，则y＝sin x＋≥2，当且仅当sin x＝，即sin x＝1时取等号，符合题意；
对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时y＝ln x＋为负值，最小值不是2，不符合题意；
对于C，y＝＝＋，设t＝，则t≥，则y≥＋＝，其最小值不是2，不符合题意；
对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，符合题意.故选AD.
6. 设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a＋b＋≥2 B.≥
C.≥a＋b D．(a＋b)≥4
【解析】∵a>0，b>0，
∴a＋b＋≥2＋≥2，
当且仅当a＝b且2＝，即a＝b＝时取等号，
故A一定成立；
∵a＋b≥2>0，
∴≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
∴≥不一定成立，故B不一定成立；
∵≤＝，当且仅当a＝b时取等号，
＝＝a＋b－≥2－＝，
当且仅当a＝b时取等号，
∴≥，∴≥a＋b，故C一定成立；
∵(a＋b)＝2＋＋≥4，
当且仅当a＝b时取等号，故D一定成立．
故选ACD.
【填空题】
7. 已知a>0，b>0，2a＋b＝4，则的最小值为________．
【解析】因为2a＋b＝4，a>0，b>0，所以＝≥＝＝，当且仅当2a＝b＝2，即a＝1，b＝2时取“＝”，所以的最小值为.
8. 函数y＝(x>1)的最小值为________．
【解析】因为x>1，所以x－1>0，
所以y＝＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．
9. 已知实数a，b满足|ln a|＝|ln b|，a≠b，则＋的最小值为________．
【解析】因为|ln a|＝|ln b|且a≠b，
所以ln a＝－ln b，
即ln a＋ln b＝0，
所以ln(ab)＝0，
所以ab＝1，a>0，b>0，
所以＋≥2＝4，当且仅当a＝，b＝2时，等号成立．
10. 若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值为________．
【解析】(a＋1)(b＋1)≤2＝，
当且仅当a＋1＝b＋1，即a＝b＝时取等号，
故(a＋1)(b＋1)的最大值为.
11. 命题“ x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
【解析】依题意 x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2>0恒成立，
即a(x－1)∵＝
＝
＝(x－1)＋＋2≥2＋2.
当且仅当x－1＝，即x＝＋1时，等号成立．
∴a<2＋2.
【测能力】
【单选题】
1. 若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)
A．8 B．6
C．4 D．2
【解析】由lg a＋lg b＝lg(a＋b)，得lg(ab)＝lg(a＋b)，即ab＝a＋b，则有＋＝1，所以a＋b＝(a＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，所以a＋b的最小值为4，故选C.
2. 已知点A(1，2)在直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)上，若存在满足该条件的a，b，使得不等式＋≤m2＋8m成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]∪[9，＋∞) B．(－∞，－9]∪[1，＋∞)
C．[－1，9] D．[－9，1]
【解析】点A(1，2)在直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)上，可得a＋2b＝1，＋＝(a＋2b)＝5＋＋≥5＋2＝9，
当且仅当a＝b＝时取得等号，即＋的最小值为9，则9≤m2＋8m，解得m≥1或m≤－9.故选B.
3. 已知P是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△PAB，△PAC和△PBC的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是(　　)
A. B.
C. D．3
【解析】因为x＋y＋z＝1，04. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据．根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E.设|AC|＝a，|BC|＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　)
A.≤(a>0，b>0)
B.<(a>0，b>0，a≠b)
C.≤(a>0，b>0)
D.<<(a>0，b>0，a≠b)
【解析】由|AC|＝a，|BC|＝b，且a≠b，可得半圆O的半径|DO|＝，易得|DC|＝＝，|DE|＝＝.因为|DE|<|DC|<|DO|，所以<<(a>0，b>0，a≠b)．故选D.
【多选题】
5. 若a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　)
A.＋≥2
B．ab≤
C.≥2
D.≤
【解析】当<0时，A不成立；
当ab<0时，D不成立．
故选BC.
6. 已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式成立的有(　　)
A．2a＋2b≥2 B．a2＋b2<1
C.＋<4 D．a＋<2
【解析】∵2a＋2b≥2＝2＝2，当且仅当a＝b时取等号，∴A正确；
∵a2＋b2∴B正确；
∵＋＝(a＋b)＝2＋＋
≥2＋2＝4，
当且仅当a＝b时取等号，∴C错误；
∵a>0，b>0，a＋b＝1，∴0∵a＋≥2＝2，当且仅当a＝1时取等号，
∴a＋>2，D错误．
故选AB.
【填空题】
7. 已知正实数x，y满足x＋y＝1，①则x2＋y2的最小值为________；②若＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】因为x＋y＝1，所以xy≤＝，所以x2＋y2＝(x＋y)2－2xy≥1－×2＝，所以x2＋y2的最小值为.
若a≤＋恒成立，则a小于等于的最小值，因为＋＝(x＋y)＝5＋＋≥5＋2＝9，所以＋的最小值为9，所以a≤9，故实数a的取值范围是(－∞，9]．
8. 已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．
【解析】因为＋＝1，所以2x＋y＝xy，所以xy＋x＋y＝3x＋2y，因为3x＋2y＝(3x＋2y)·(＋)＝7＋＋，且x>0，y>0，所以3x＋2y≥7＋4，所以xy＋x＋y的最小值为7＋4.
9. 正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为________．
【解析】∵1－xy＝4x2＋y2≥4xy，
∴5xy≤1，∴xy≤，当且仅当y＝2x时取等号，
∵4x2＋y2＋xy＝1，
∴(2x＋y)2－3xy＝1，
∴(2x＋y)2－1＝3xy＝·2x·y≤2，
即(2x＋y)2－1≤(2x＋y)2，
∴(2x＋y)2≤，∴2x＋y≤，
当且仅当2x＝y时，取等号．
10. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元.
【解析】每台机器运转x年的年平均利润为＝万元，由于x＞0，故≤18－2＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时每台机器为该公司创造的年平均利润最大，最大为8万元.
11. 已知△ABC的面积为1，内切圆的半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为________
【解析】因为△ABC的面积为1，内切圆的半径也为1，
所以(a＋b＋c)×1＝1，所以a＋b＋c＝2，
所以＋＝＋＝2＋＋≥2＋2，
当且仅当＝且a＋b＋c＝2，即c＝2－2时，等号成立，
所以＋的最小值为2＋2.
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第一单元第4讲 基本不等式
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：配凑法求最值
题型二：常数代换法求最值
题型三：消元法求最值
题型四：与其他知识交汇的最值问题
题型五：求参数值或取值范围
题型六：基本不等式的实际应用
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．基本不等式：≤
(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.
(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立．
(3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数．
2．几个重要的不等式
(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)．
(2)＋≥2(a，b同号)．
(3)ab≤2 (a，b∈R)．
(4)≥2 (a，b∈R)．
以上不等式等号成立的条件均为a＝b.
3．利用基本不等式求最值
(1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2.
(2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2.
注意：利用不等式求最值应满足三个条件“一正、二定、三相等”．
【讲方法】
1.前提：“一正”“二定”“三相等”．
2.要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式．
3.条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法．
4.基本不等式的常见变形
(1)ab≤2≤.
(2)≤≤≤(a>0，b>0)．
5.利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题，设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值．
二、【练】
【练题型】
【题型一】配凑法求最值
【典例1】已知函数f(x)＝(x<－1)，则(　　)
A.f(x)有最小值4 B.f(x)有最小值－4
C.f(x)有最大值4 D.f(x)有最大值－4
【典例2】已知x＞，则f(x)＝4x－2＋的最小值为________.
【典例3】已知0＜x＜，则x的最大值为________.
【题型二】常数代换法求最值
【典例1】若直线2mx－ny－2＝0(m＞0，n＞0)过点(1，－2)，则＋的最小值为(　　)
A.2 B.6
C.12 D.3＋2
【典例2】若正数m，n满足2m＋n＝1，则＋的最小值为(　　)
A．3＋2 B．3＋
C．2＋2 D．3
【典例3】已知a>0，b>0，a＋b＝1，则的最小值为________．
【题型三】消元法求最值
【典例1】已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________.
【典例2】若正数x，y满足x2＋6xy－1＝0，则x＋2y的最小值是(　　)
A． B．
C． D．
【题型四】与其他知识交汇的最值问题
【典例1】设等差数列{an}的公差为d，其前n项和是Sn，若a1＝d＝1，则的最小值是________．
【典例2】已知D，E分别是△ABC的边AB，AC的中点，M是线段DE上的一动点(不包含D，E两点)，且满足＝α＋β，则＋的最小值为________.
【典例3】若△ABC的内角满足3sin A＝sin B＋sin C，则cos A的最小值是(　　)
A. B. C. D.
【题型五】求参数值或取值范围
【典例1】对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　)
A. B．2 C．4 D.
【典例2】已知不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
【典例3】对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　)
A. B.2 C.4 D.
【题型六】基本不等式的实际应用
【典例1】要制作一个容积为4 m3，高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底面造价是每平方米20元，侧面造价是每平方米10元，则该容器的最低总造价是(　　)
A.80元 B.120元 C.160元 D.240元
【典例2】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是________.
【典例3】小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x年年底出售，其销售价格为(25－x)万元(国家规定大货车的报废年限为10年)．
(1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？
(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)
【练真题】
【真题1】（2022-上海）为有效塑造城市景观、提升城市环境品质，上海市正在努力推进新一轮架空线入地工程的建设．如图是一处要架空线入地的矩形地块ABCD，AB＝30m，AD＝15m．为保护D处的一棵古树，有关部门划定了以D为圆心、DA为半径的四分之一圆的地块为历史古迹封闭区．若空线入线口为AB边上的点E，出线口为CD边上的点F，施工要求EF与封闭区边界相切，EF右侧的四边形地块BCFE将作为绿地保护生态区．（计算长度精确到0.1m，计算面积精确到0.01m2）
（1）若∠ADE＝20°，求EF的长；
（2）当入线口E在AB上的什么位置时，生态区的面积最大？最大面积是多少？
【真题2】（2020-新高考全国Ⅰ）(多选) 已知a>0，b>0，且a＋b＝1，则(　　)
A．a2＋b2≥ B．2a-b>
C．log2a＋log2b≥－2 D.＋≤
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 下列等式中最小值为4的是(　　)
A.y＝x＋ B.y＝2t＋
C.y＝4t＋(t＞0) D.y＝t＋
2. 已知a＞0，且b＞0，若2a＋b＝4，则ab的最大值为(　　)
A. B.4 C. D.2
3. 若a＞0，b＞0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)
A.8 B.6 C.4 D.2
4. 设x＞0，则3－3x－的最大值是(　　)
A.3 B.3－2
C.－1 D.3－2
【多选题】
5. 下列四个函数中，最小值为2的是(　　)
A.y＝sin x＋
B.y＝ln x＋(x＞0，x≠1)
C.y＝
D.y＝4x＋4－x
6. 设a>0，b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)
A．a＋b＋≥2 B.≥
C.≥a＋b D．(a＋b)≥4
【填空题】
7. 已知a>0，b>0，2a＋b＝4，则的最小值为________．
8. 函数y＝(x>1)的最小值为________．
9. 已知实数a，b满足|ln a|＝|ln b|，a≠b，则＋的最小值为________．
10. 若a，b都是正数，且a＋b＝1，则(a＋1)(b＋1)的最大值为________．
11. 命题“ x∈(1，＋∞)，x2－ax＋a＋2>0”为真命题，则实数a的取值范围是________．
【测能力】
【单选题】
1. 若a>0，b>0，lg a＋lg b＝lg(a＋b)，则a＋b的最小值为(　　)
A．8 B．6
C．4 D．2
2. 已知点A(1，2)在直线ax＋by－1＝0(a>0，b>0)上，若存在满足该条件的a，b，使得不等式＋≤m2＋8m成立，则实数m的取值范围是(　　)
A．(－∞，－1]∪[9，＋∞) B．(－∞，－9]∪[1，＋∞)
C．[－1，9] D．[－9，1]
3. 已知P是面积为1的△ABC内的一点(不含边界)，若△PAB，△PAC和△PBC的面积分别为x，y，z，则＋的最小值是(　　)
A. B.
C. D．3
4. 《几何原本》中的几何代数法(用几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据．根据这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，并称之为“无字证明”．如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点(不同于A，B，O)，点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E.设|AC|＝a，|BC|＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为(　　)
A.≤(a>0，b>0)
B.<(a>0，b>0，a≠b)
C.≤(a>0，b>0)
D.<<(a>0，b>0，a≠b)
【多选题】
5. 若a，b∈R，则下列不等式成立的是(　　)
A.＋≥2
B．ab≤
C.≥2
D.≤
6. 已知正实数a，b满足a>0，b>0，且a＋b＝1，则下列不等式成立的有(　　)
A．2a＋2b≥2 B．a2＋b2<1
C.＋<4 D．a＋<2
【填空题】
7. 已知正实数x，y满足x＋y＝1，①则x2＋y2的最小值为________；②若＋≥a恒成立，则实数a的取值范围是________．
8. 已知x>0，y>0，且＋＝1，则xy＋x＋y的最小值为________．
9. 正实数x，y满足4x2＋y2＋xy＝1，则xy的最大值为________；2x＋y的最大值为________．
10. 某公司购买一批机器投入生产，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系式为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则每台机器为该公司创造的最大年平均利润是________万元.
11. 已知△ABC的面积为1，内切圆的半径也为1，若△ABC的三边长分别为a，b，c，则＋的最小值为________
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