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数学知识归纳整理
（一）数与代数
一、数的认识
（一）整数
1、整数的意义、读法、写法、改写、比较。
正整数、0和负整数都是整数。
2、自然数。
我们在数物体的时候，用来表示物体个数的1，2，3……叫作自然数。一个物体也没有，用0表示，0也是自然数。
3、计数单位。
一（个)、十、百、千、万、十万、百万、千万、亿……都是计数单位，每相邻两个计数单位之间的进率都是10，这样的计数法叫作十进制计数法。
4、数位。
（1）意义：各个计数单位所占的位置叫做数位。
（2）数位顺序表
数位顺序表
整数部分 小数点 小数部分
亿级 万级 个级 十分位 百分位 千分位 万分位 ……
数位 …… 千亿位 百亿位 十亿位 亿位 千万位 百万位 十万位 万位 千位 百位 十位 个位 ·
计数单位 …… 千亿 百亿 十亿 亿 千万 百万 十万 万 千 百 十 个 （一） 十分之一 百分之一 千分之一 万分之一 ……
数位顺序表中，以小数点为分界点，往左是整数，位数逐渐变大，往右是小数，位数逐渐变小。小数的数位顺序表，首先要找到小数点的位置，然后，以此类推，分别是十分位、百分位、千分位、万分位···…它们的计数单位分别是0.1、0.01、0.001、0.0001····…
5、数的整除。
（1）倍数与因数。
①整数a除以整数b（b≠0），除得的商是整数而没有余数，我们就说a能被b整除，或者说b能整除a。
②如果数a能被数b(b≠0)整除，a就叫作b的倍数，b就叫作a的因数（或a的约数）。倍数和因数是相互依存的。
例如：因为35能被7整除，所以35是7的倍数，7是35的因数。
③一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。例如：10的因数有1、2、5、10，其中最小的因数是1，最大的因数是10。
④一个数的倍数的个数是无限的，其中最小的倍数是它本身。
例如：3的倍数有：3、6、9、12··其中最小的倍数是3，没有最大的倍数。
（2）2、5、3的倍数的特征。
①个位上是0、2、4、6、8的数，都是2的倍数（能被2整除）。
例如：202、480、304，是2的倍数，都能被2整除。
②个位上是0或5的数，都是5的倍数（能被5整除）。
例如：5、30、405 都能被5整除。
③一个数的各个数位上的数字之和是3的倍数，这个数就是3的倍数（能被3整除）。例如：12、108、204都是3的倍数，能被3整除。
④一个数各个数位上的数字之和是9的倍数，这个数就是9的倍数（能被9整除）。
注意：能被3整除的数不一定能被9整除，但是能被9整除的数一定能被3整除。
⑤个位上是0的数，这个数就是2和5的倍数。
⑥个位上是5，且各个数位上的数字之和是3的倍数的数，这个数就是3和5的倍数。
⑦个位上是0、2、4、6、8，且各个数位上的数字之和是3的倍数的数，这个数就是2和3的倍数。
引申：一个数的末两位数能被4（或25）整除，这个数就能被4（或25）整除。
（3）奇数与偶数。
是2的倍数的数叫偶数：不是2的倍数的数叫奇数。（能被2整除的数叫作偶数。不能被2整除的数叫作奇数。）0也是偶数。自然数按能否被2整除的特征可分为奇数和偶数。
（4）质数、合数、分解质因数。
①一个数只有1和它本身两个因数，这个数叫作质数（或素数），100以内的质数有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
②一个数除了1和它本身以外还有别的因数，这个数叫作合数。
例如：4、6、8、9、12都是合数。
③1既不是质数，也不是合数。自然数除了0、1外，不是质数就是合数。如果把非零自然数按其因数个数的不同分类，可分为质数、合数和1。
（把一个合数用质因数相乘的形式表示出来，叫作分解质因数。（见课本P40知道吗）
例如，把28分解质因数：28=2×2×7。）
（5）最大公因数、最小公倍数。
1> 几个数公有的因数，叫作这几个数的公因数。其中最大的一个，叫作这几个数的最大公因数。
①例如：12的因数有1、2、3、4、6、12；（列举法）
18的因数有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公因数，6是它们的最大公因数。（可以用短除法找）
②公因数只有1的两个数，叫作互质数。成互质关系的两个数，有下列几种情况：
A、1和任何自然数成互质数。
B、相邻的两个自然数成互质数。
C、两个不同的质数成互质数。
D、一个质数和不是它倍数的合数成互质数。
E、两个合数的公因数只有1时，这两个合数互质。
③如果几个数中任意两个都互质，就说这几个数两两互质。（两数的特殊关系：互质或成倍数关系）
如果较小数是较大数的因数，那么较小数就是这两个数的最大公因数。（成倍数关系）
B、如果两个数是互质数，它们的最大公因数就是1。（成互质关系）
2> 几个数公有的倍数，叫作这几个数的公倍数。其中最小的一个，叫作这几个数的最小公倍数。
①例如：2的倍数有2、4、6、8、10、12、14、16、18……（列举法）
3的倍数有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍数，其中最小的6是它们的最小公倍数。（可以用短除法找）
②如果两个数中较大数是较小数的倍数，那么较大数就是这两个数的最小公倍数。
（成倍数关系）
③如果两个数是互质数，那么这两个数的积就是它们的最小公倍数。（成互质关系）
3> 几个数的公因数的个数是有限的，而几个数的公倍数的个数是无限的。
6、万以上数的认识、改写。
（1）读数：从高位读起，一级一级往下读，读亿级或万级的数按照个级的读法读，再在后面加上一个“亿”字或“万”字。数中间有一个0或连续有几个0，都只读一个零，每级末尾的零都不读。
（2）写数：先写亿级，再写万级，最后写个级，哪一位上一个单位也没有，就写0占位。
（3）数的改写：把一个数改写成用“万”或“亿”作单位的数：
①整万的数要省略万后面的四个零，后面加一个万字；
②整亿的数要省略亿后面的八个零，后面加一个亿字。
（4）大小比较。
①位数不同，位数多的数就大；
②位数相同，比较最高位，最高位的数大的那个数就大，如果最高位上的数相同，就比较下一位上的数……
7、正数与负数。
（1）定义。
（2）0既不是正数也不是负数。
（3）负数的大小比较。
8、十进制计数法。
（二）分数、小数、百分数的产生及其意义
1、分数、小数、百分数的产生。
当用一个单位长度进行度量时，出现量不尽的情形，这时可以将1个单位再平均分成几份，由此产生了分数。如果平均分成10份、100份····就产生了小数。表示一个数是另一个数的百分之几时用百分数。小数、百分数是特殊的分数。小数（有限小数、无限循环小数）实际是十进制分数。
2、分数的意义。
（1）一个物体、一个计量单位、一些物体组成的整体称为单位“1”。
（2）分数：把单位“1”平均分成若干份，表示其中的一份或者几份的数叫做分数。
（3）把单位“1”平均分成若干份，表示其中一份的数是这个分数的分数单位。
（4）分数分为：
①真分数——分子比分母小（小于1）；
②假分数——分子比分母大或等于分母（大于1或等于1）。（带分数是假分数的另一种表示形式）
③假分数与带分数的互化。
注意：整数（零除外）表示的是分子是分母的倍数的分数。
3、小数的意义。
（1）意义：把单位“1”平均分成10份、100份、1000份……用来表示十分之几、百分之几、千分之几……的数，叫作小数。
（2）小数是分母是10、100、1000……的分数的另一种表示形式。十分之一、百分之一、千分之一……是小数的计数单位。
（3）小数的分类
①根据小数部分的位数多少可把小数分为有限小数、无限小数。
②小数部分的位数是有限的叫做有限小数，小数部分的位数是无限的叫作无限小数。无限小数又分为无限循环小数和无限不循环小数。
③一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现，这样的小数叫作循环小数。
4、百分数的意义。
（1）表示一个数是另一个数的百分之几的数叫作百分数。百分数又叫百分率或百分比。
（2）分数与百分数的异同
分数 百分数
意义 既可以表示具体数量，又可以表示两个数量的倍比关系 只表示两个数量的倍比关系，不表示具体数量
分数后面可以有计量单位，可以没有计量单位。 百分数后面不写计量单位
写法 分数的一般写法 整数、小数+%
一般要求化简 不化简
分子不是小数 分子可以是小数
（3）小数、分数和百分数之间可以互化。互化方法为：
（二）数的运算
一、运算的意义
（一）四则运算及其意义
1、整数四则运算的意义：
加法:把两个数合并成一个数的运算叫作加法。
减法:已知两个数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算叫作减法。
乘法:求几个相同加数的和的简便运算叫作乘法。
除法:已知两个乘数的积与其中的一个乘数，求另一个乘数的运算叫作除法。
2、整数、小数、分数的加法、减法、除法的意义完全相同，只是小数、分数乘法的意义与整数乘法的意义略有不同。
3、小数乘法的意义：小数乘整数与整数乘法的意义相同，而一个数乘小数就是求这个数的十分之几、百分之几、千分之几……是多少。
4、分数乘法的意义：分数乘整数与整数乘法的意义相同。而一个数乘分数就是求这个数的几分之几是多少。
（二）四则运算的实际应用
1、乘法的运用： (1)求几个几是多少； (2)求一个数的几倍是多少；(3)求长方形面积；
(4)求一个数的几分之几或百分之几是多少。
2、除法的运用： (1)把一个数平均分成若干份，求一份； (2)求一个数里有几个另一个数；(3)已知一个数的几分之几或百分之几是多少，求这个数； (4)两个量的比或乘法逆运算等的模型。
3、加法的运用：(1)合并、移入增加、继续往前数等的模型；(2)减法逆运算。
4、减法的运用：(1)求剩余；(2)比较；(3)加法逆运算。
（三）加减法、乘除法之间的关系
1、加减法之间的关系:互逆运算；
2、乘除法之间的关系:互逆运算。
（四）四则运算各部分之间的关系:
（1）加数十加数=和 一个加数=和－另一个加数
（2）被减数－减数=差 减数=被减数－差 被减数=差十减数
（3）乘数×乘数=积 一个乘数=积÷另一个乘数
（4）被除数÷除数=商 除数=被除数÷商 被除数=除数×商
（五）乘除法中特殊的规律
1、在乘法算式中，一个因数扩大或缩小几倍，另一个因数不变，积也随着扩大或缩小几倍。
2、在除法算式中:①被除数不变，除数扩大（缩小）几倍，商就缩小（扩大）几倍；除数不变，被除数扩大（缩小)几倍，商就扩大(缩小)几倍。
二、计算与应用
（一） 四则运算的计算法则
1、加法和减法的计算法则。
2、乘法的计算法则:
⑴整数乘法的计算法则：从第二个乘数的末位算起，用第二个乘数的每一位去乘第一个乘数，用第二个乘数的哪一位去乘，得数的末位就和这位数对齐。
⑵ 小数乘法的计算法则：
①先按整数乘法的计算法则算出积，再看两个乘数中共有几位小数，就从积的右边起向左数出几位，点上小数点。
②如果小数的位数不够，就在前面用“0”补足。
⑶分数乘法的计算法则：用分子相乘的积作分子，用分母相乘的积作分母。
⑷除法的计算法则:
① 整数除法的计算法则：从被除数的高位除起，除到被除数的哪一位，就把商写在那一位的上面，每次除后所得的余数必须比除数小。
② 小数除法的计算法则：
除数是整数时，按整数除法的运算法则计算，商的小数点要和被除数的小数点对齐。
除数是小数时，先移动除数的小数点，使它变成整数，除数的小数点向右移动几位，被除数的小数点也向右移动几位(位数不够，用0补足)，然后按照除数是整数的小数除法法则进行计算。
③分数除法的计算法则：甲数除以乙数(0除外)等于甲数乘乙数的倒数。
注意: 小数的乘、除法要确定好小数点的位置。
（二）四则混合运算的顺序
1、在四则混合运算中，加、减法叫作第一级运算，乘、除法叫作第二级运算。
2、没有括号的：同一级运算，从左往右依次计算；含有两级运算的，先算第二级，再算第一级。
3、有括号的：先算小括号里面的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。
（三） 运算的应用
1、分数、百分数的应用题的基本类型及解题方法：
⑴简单应用题：
①一个数是另一个数的几(百)分之几。一个数是比较量，另一个数是标准量。
一个数÷另一个数=几(百)分之几
②求一个数的几(百)分之几是多少。这里的一个数是标准量，求比较量。
一个数×几(百)分之几=比较量
③已知一个数的几(百)分之几是多少，求这个数。已知比较量，求标准量。
标准量=比较量÷几(百)分之几
2、复杂应用题：
(1)已知甲、乙两数，求甲数比乙数多几(百)分之几，即求甲数比乙数多的占乙数的几(百)分之几。 (甲数一乙数)÷乙数=几(百)分之几
(2)已知甲、乙两数，求乙数比甲数少几(百)分之几，即求乙数比甲数少的占甲数的几(百)分之几。 (甲数一乙数)÷甲数=几(百)分之几
3、比的应用：
⑴已知总量及两个(几个)部分量间的比，求各部分量的具体数量。
方法一：先求按一定的比将总量共分成了几份，然后用总量乘部分量占总量的几分之几即可求出部分的具体数量。
方法二：先求按一定的比将总量共分成了几份，用总量除以份数，求出一份的具体数量，再用具体量所占的份数乘一份的具体量即可求出部分的具体数量。
4、解决应用问题的步骤：
(1)要认真审题，读懂题目要求。
(2)分析题目中的数量关系。(可以找等量关系、画线段图、示意图、列表等)
(3)选择正确的解决问题的方法，列式计算。
(4)检验。(一要检验计算正确与否，二要检验结果是否符合题意和实际情况)
三、估算
（一）估算的常用方法
1、凑整的方法：如凑成一个整千、整百、整十的数。
2、取一个中间数；如53、57、51和59这四个数求和，这些数都很接近55，有的比55多一点，有的比55少一点，就取一个中间数55，直接用55×4，就大约地计算出了这几个数相加的结果。
3、用特殊的数据特点进行估数:如 126×8，就可以想到125×8，125的8倍，就得到1000。
4、寻找区间，也就是说叫寻找它的范围，也叫作去尾进一：以278为例，去尾就是只看首位，那么只看首位的时候，估得的结果就是它至少是200；进一就是首位加一，这样就是它最多可能是300，这样得到一个范围，就可寻找出它的区间范围。
5、大小协调：两个数，一个数往大了估，一个数往小了估，或者一个数估，另一个数不估。
6、先估后调。
7、利用乘法口诀凑数：这种方法一般用于除法的估算，一般用除数乘一个整十数、整百数或整百整十数，如果乘积最接近被除数，则这个数就是除法估算的商。如358÷6，用除数6乘整十数60，其积360最接近被除数358，那么整十数60即是所求的商。
8、去尾法。
“去尾法”解实际问题 :估算时，除了四舍五入法取近似值外，有时要用到“去尾法”，“去尾法”通常适用于做物品(衣服、蝴蝶结、跳绳……)时，料有剩余，但还不够做成一件完整的物品，就要采用“去尾法”。
9、进一法。
“进一法”解实际问题 :“进一法”通常适用于需要几个桶装水(油)，例如需要6桶还剩一点就要用7桶；或者是需要多少铁皮；运东西需要几趟……等情况下，剩余的也要进上1。
10、四舍五入法。
（二）估算的计算
1、算式的估算可以分为加法的估算、减法的估算、乘法的估算和除法的估算，一般把算式中的一个或几个数看成整十整百的数再计算，求出近似数，注意估算时运用“≈”。
2、 举例说明
(1)加法的估算:486+302≈486+300=786
(2)乘法的估算:956×5≈1000×5=5000
(3)除法的估算:1416÷7≈1400÷7=200
(4)减法的估算:808-95≈800-100=700
注意:估算无定法，必须符合实际，不能机械地采用四舍五入法取近似数。
四、运算律
（一）运算定律
1、加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，它们的和不变，即a+b=b+a。
2、加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，再加上第三个数；或者先把后两个数相加，再和第一个数相加，它们的和不变，即(a+b)+c=a+(b+c)。
3、乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置它们的积不变，即a×b=b×a。
4、乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，再乘第三个数；或者先把后两个数相乘，再和第一个数相乘，它们的积不变，即(aXb)×c=a×(bXc)。
5、乘法分配律：两个数的和与一个数相乘，可以把两个加数分别与这个数相乘，再把两个积相加，即(a+b)×c=a×c+b×c。
（二）运算性质
6、减法的性质：从一个数里连续减去几个数，可以从这个数里减去所有减数的和，差不变，即a-b-c=a-(b+c)。
7、除法的性质:一个数连续除以几个数，可以用这个数除以几个除数的乘积，商不变，
即a÷b÷c=a÷(b×c)。
（三）式与方程
一、式与方程
（一）用字母表示数
1、用字母表示数的意义
2、用字母表示运算定律
3、用字母表示周长、面积、体积公式
（二）方程
1、方程的意义:含有未知数的等式叫作方程。
⑴等式与方程的联系和区别：方程一定是等式，但等式不一定是方程。
⑵方程具备的两个条件：①含有未知数；②是等式。
2、解方程的理论根据: ⑴等式的性质； ⑵加、减、乘、除各部分之间的关系。
3、解方程与方程的解
⑴求方程的解的过程叫作解方程。
⑵使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解。
4、列方程解决问题
(1)列方程解应用题的一般步骤：
①弄清题意，找出已知数和未知数的关系；
②用字母x表示未知数；
③找出已知数和未知数的等量关系，列出方程；
④解方程，求出x的值；
⑤检验，写出答案。
(2)列方程的主要思路：
①根据几何形体的计算公式列方程；
②根据比例的意义和正、反比例的意义列方程；
③根据比例尺的意义列方程；
④根据常见的数量关系列方程；
⑤根据分数乘法的意义，即“求一个数的几分之几是多少”列方程，解决“已知一个数的几分之几是多少，求这个数”的问题。
（四）正比例与反比例
一、比
1、意义:两数相除又叫作两个数的比。
2、比的基本性质:
3、比、分数与除法的联系与区别
4、求比值和化简比（见表244）
5、比的应用一般是指按比例分配，其解题方法是：
⑴一般方法：把比转化为分数，用分数方法解答。即先求总份数，然后求出各部分量占总量的几分之几，最后按照求一个数的几分之几是多少的解题方法，分别求出各部分的量是多少。
⑵归一法：把比看作分得的份数，先求出总份数，然后用总量÷总份数=平均每份的量(归一)，再用1份的量×各部分量所对应的份数求出各部分的量。
⑶用比例知识解答：首先设未知量为x，然后根据题中“已知比等于相对应的量的比”作为等量关系式列出含有x的比例式，再解比例求出x。
二、比例的意义和性质
1、比例的意义
2、比例的基本性质
3、比和比例区别
三、解比例
1、解比例的意义
2、解比例与解方程
3、解比例（根据:比例的基本性质）
四、比例尺
1、比例尺的意义
图上距离:实际距离＝比例尺 ；图上距离÷比例尺＝实际距离；
实际距离×比例尺＝图上距离。
2、举例说一说比例尺的具体意义，例如:1:300000
⑴表示图上距离与实际距离的比是1:300000；
⑵表示图上距离是实际距离的三十万分之一；
⑶表示实际距离是图上距离的300000倍；
⑷表示图上1厘米的距离表示实际3千米的距离。
3、比例尺的分类 ⑴数值比例尺； ⑵线段比例尺； ⑶文字比例尺。
4、数值比例尺与线段比例尺的改写
五、正比例和反比例
1、意义
⑴正比例的意义：两种相关联的量，一种量随另一种量的变化而变化，如果这两种量相对应的数的比值一定，那么这两种量就成正比例。
⑵反比例的意义:两种相关联的量，一种量随另一种量的变化而变化，如果这两种量相对应的数的乘积一定，那么这两种量就成反比例。
2、判断方法
一找：哪两种相关联的量。
二想：两种相关联的量的变化情况，写出关系式。
三判断：联系关系式，看商一定还是积一定，判断成什么比例。
正、反比例的区别（列表）
4、表示两种量之间变化关系的方式
两种量之间的变化关系可以有三种表示方法：列表、画图、用式子表示。
（五）常见的量
一、计量单位的意义
1、用来作为计量标准的量叫做计量单位。
2、名数、单名声、复名数
①既有数值又有单位名称的数叫做名数。
②只带有一个单位名称的名数叫做单名数。
③带有两个或两个以上单位名称的名数叫做复名数。
3、高级单位与低级单位是相对的。
二、计量单位和进率
㈠货币单位：
1、常用单位 ：元、 角 、 分
2、单位换算 ：1元=10角 1角=10分 1元=100分
㈡质量单位：
1、常用单位 ：吨（t）、 千克（kg）、 克 （g）
2、常用换算： 1吨=1000千克 1千克=1000克
㈢时间单位
1、常用单位：世纪、年 、 月 、 日、 时 、 分、 秒
2、单位换算
⑴1世纪=100年（公元1901年—2000年是第二十世纪） 1年＝12个月
⑵一、三、五、七、八、十、腊（十二月）是大月，大月有31天 ； 四、六、九、冬（十一月）是小月，小月有30天；
⑶ 平年365天，闰年366天。 平年2月有28天，闰年2月有29天 闰年年份是4的倍数， 整百整千年份须是400的倍数
⑷1天= 24小时 1小时=60分 1分=60秒
3、24时计时法与12时计时法的转化
4、经过时间的计算
㈣长度单位
1、常用单位： 公里(km) 、 米(m) 、分米(dm) 、厘米(cm)、毫米(mm) 、微米(um)
2、单位之间的换算
1毫米 ＝1000微米、 1厘米＝10 毫米 、 1分米＝10 厘米、
1米 ＝1000 毫米、 1千米＝1000 米
㈤面积单位
1、常用单位 平方毫米 、平方厘米 、平方分米 、平方米 、平方千米
2、面积单位的换算
1平方厘米 ＝100 平方毫米 1平方分米=100平方厘米
1平方米 ＝100 平方分米 1公倾 ＝10000 平方米
1平方千米（公里） ＝100 公顷
㈥体积和容积单位
1、概念： ① 体积，就是物体所占空间的大小。 ② 容积，箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积，通常叫做它们的容积。 ③体积＞容积。
2、常用单位
① 体积单位： 立方米 、立方分米 、 立方厘米
② 容积单位： 升 、毫升
3、单位换算
① 体积单位 ：1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米
② 容积单位 ：1升=1000毫升 1升=1立方米 1毫升=1立方厘米
三、单位间的换算
㈠高级单位与低级单位的改写
㈡单名数与复名数的改写
1、单名数改写复名数
2、复名数改写单名数
㈢归纳概括：把高级单位的名数改写成低级单位的名数时，要乘进率；把低级单位的名数改写成高级单位的名数时，要除以进率。
（六）探索规律
一、探索数字规律、 数字排列中的规律的主要类型：
1、一列数中，相邻的两项的差是一个固定的数值。例如：1、3、5、7、9…这个数列就是后一项总比前一项多2；或者例如：19、16、13、10、7…这个数列就是前一项总比后一项多3。
2、一列数中，相邻的两项，后一项总是前一项的n倍。例如：2，4，8，16，32……这个数列就是相邻两项中后一项是前一项的2倍；或者后一项总是前一项的，例如：100，50，25，12.5,6.25……这个数列就是后一项总是前一项的。
3、一列数中，奇数位上的数相邻的两项的差是一个固定的数值或者偶数位上的数相邻的两项的差是一个固定的数值。例如：1，10，3，13，5，16，7，19……这个数列中，奇数位上的数是后一项总比前一项多2，偶数位上的数是后一项总比前一项多3。
4、一列数中，奇数位上的数是相同的倍数关系或者偶数位上的数也是相同的倍数关系。例如：2，5，6，10，18，20，54，40···…这个数列中，奇数位上的数中后一项总是它前一项的3倍，偶数位上的数后一项总是它前一项的2倍。
5、一列数中，前n项之和等于后一项，例如：0，1，2，3，6，11， 20……这个数列就属于某项的数等于它前面3项之和的类型。
6、一列数中，每个数位上的数分别是它所在位置序号的平方或立方。例如：1，4，9，16，25……或者是1，8，27，64，125…··
归纳总结: 探索数字之间的规律时，要先观察给出的数字的特点，从和、差、积、商及倍数关系等方面寻找出数字间的规律。
二、探索图形规律
三、探索生活中的数字规律（日历）
2、 图形与几何
（一）图形的认识
一、图形的认识
㈠图形的分类
㈡线与角
1、线段、射线、直线
⑴意义
⑵线段、射线、直线的联系与区别
名称 图形 联系 区别
端点个数 延伸方式 能否度量
线段 是直线的 一部分 2 不能向两端无限延伸 能度量
射线 是直线的 一部分 1 可以向一端无限延伸 不能度量
直线 没有 可以向两端无限延伸 不能度量
⑶过定点的直线:过一点可以画无数条直线，而过两点 只能画一条直线。用插标杆测定直线的方法，就是应用了过两点只能画一条直线的道理。
2、垂线和平行线
⑴垂线和平行线的概念
平行线:在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线。
垂直线:两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线是另一条直线的垂线。这两条直线的交点叫垂足。
①点到直线的距离 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。
⑵画垂线和平行线
★过直线外一点，画这条直线的平行线的方法是：
(1)用直角三角板的一条直角边与已知直线重合。
(2)用一把直尺紧紧地靠在三角板的另一条直角边上。
(3)按紧直尺，按一定的方向平移三角板，使直角边通过直线外的点。
(4)沿另一条直角边画出已知直线的平行线。
★过直线外一点画这条直线的垂线的方法是：
(1)使直角三角板的一条直角边与这条直线重合。
(2)平移直角三角板，使另一条直角边通过已知直线外的点A。
(3)沿过点A的这条直角边画出这条直线的垂线。
(4)标画出垂直符号。
3、角
⑴角的概念:从一点引出的两条射线，组成的图形叫作角。
⑵角的大小:与两条边叉开的程度有关，与边的长短无关。
⑶角的单位:度（°）
⑷角的分类:
锐角:小于90°的角叫作锐角；
直角:等于90°的角叫作直角；
钝角:大于90°而小于180°的角叫作钝角；
平角:角的两边在一条直线上的角叫作平角，1平角=180°；
周角:一条射线绕端点旋转一周的度数是一周角，1周角=360°。
（锐角＜直角＜钝角＜平角＜周角）
⑸画角和量角
二、平面图形的认识
㈠四边行的分类
㈡三角形的分类
1、三角形的概念:由三条线段首尾相连围成的图形叫作三角形。
2、三角形的分类
⑴按角分:锐角三角形、直角三角形、钝角三角形
⑵按边分:等腰三角形（等边三角形）；其它三角形
3、三角形的内角和:180°
4、三角形三边的关系:任意两边之和大于第三边。
㈢圆
1、圆的概念
2、圆的周长
3、圆的面积
三、立体图形的认识
㈠立体图形的分类
㈡立体图形的特点
1、长方体
⑴长方体和正方体的特点
⑵棱长之和=(长+宽+高)×4
⑶表面积
⑷体积
2、正方体
⑴棱长之和=棱长×12
⑵表面积
⑶体积
⑷长方体和正方体的展开图
3、圆柱体
⑴圆柱的特点：圆柱有三个面，上下两个平面叫作圆柱的底面，它们是两个完全相同的圆，有一个曲面叫作圆柱的侧面，它的侧面展开图是一个长方形。圆柱两底面之间的距离叫作圆柱的高，圆柱有无数条高。
⑵表面积
⑶体积
4、圆锥体
⑴圆锥的特点：圆锥有两个面，它的底面是一个圆，它的侧面是一个曲面，侧面展开图是一个扇形。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，圆锥只有一条高。
⑵体积
四、观察物体
（二）图形与测量
一、图形与测量
1、长度、面积和体积的认识
2、测量单位及进率
3、单位的大小
4、平面图形的周长：是围成平面图形一周线的长度 。
5、平面图形的面积：物体的表面或封闭图形的大小。
6、立体图形的表面积:物体所有面的面积和。
7、立体图形的体积:物体所占空间的大小。
二、几何图形的周长、面积和体积的计算公式：
1、长方形的周长=(长+宽)×2 → C=(a+b)×2
2、正方形的周长=边长×4 → C=4a
3、长方形的面积=长×宽 → S=ab
4、正方形的面积=边长×边长 → S=a·a=a
5、三角形的面积=底×高÷2 → S=ah÷2 或 S=ah
6、平行四边形的面积=底×高 → S=ah
7、梯形的面积=(上底十下底)×高÷2 → S=(a+b)h÷2 或 S=(a+b)h
8、直径=半径×2 → d=2r
9、半径=直径÷2 → r= d÷2 或r= d
10、圆的周长=圆周率×直径=圆周率×半径×2 → C=πd=2πr
11、圆的面积=圆周率×半径×半径 → S=πr
12、长方体的体积=长×宽×高 → V=abh
13、正方体的表面积=棱长×棱长×6 → S=6a
14、长方体的表面积=（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 → S=（ab+ac+bc）×2
15、正方体的体积=棱长×棱长×棱长 → V=a·a·a= a
16、圆柱的侧面积=底面圆的周长×高 → S=Ch=2πrh
17、圆柱的表面积=上下底面面积+侧面积 → S=2πr+2πrh
18、圆柱的体积=底面积×高 → V=Sh=πr h
19、圆锥的体积=×底面积×高 → V=Sh
20、长方体(正方体、圆柱)的体积=底面积×高 → V=Sh
（三）图形的运动
一、图形的运动
1、轴对称
2、平移
3、旋转
4、图形的放大与缩小
（四）图形与位置
一、图形与位置
1、基本方向：东、南、西、北、 东南、西南、东北、西北
2、用方向、角度、距离确定位置
3、确定位置：竖排叫作列，横排叫作行
4、数对的写法：第一个数表示第几列，第二个数表示第几行，两个数用逗号隔开，外面加上小括号。
3、统计与概率
一、统计
㈠统计表
1、概念：把收集到的数据进行整理后制成表格，用来分析情况、反映问题，这种表格叫作统计表。
2、分类：
⑴单式统计表(只有一个统计项目的统计表)
⑵ 复式统计表(有两个或两个以上统计项目的统计表)
3. 制作步骤： (1)收集整理数据； (2)设计表格； (3)填写数据。
㈡统计图
1、概念：用点、线、面等来表示相关联的量之间的数量关系的图形，叫作统计图。
计图。
2、分类:常用的统计图有条形统计图、折线统计图和扇形统计图。
3、三种统计图的比较
★统计图中要弄清一个单位长度表示的数量是多少，在根据数据解决问题。
㈢平均数
二、可能性
1、可能性是指事物发生的概率。包含在事物之中并预示着事物发展趋势的量化指标，其是客观论证，而非主观验证。
2、事件的发生有确定性和不确定性，确定的事件用“一定”或“不可能”来描述，不确定的事件用“可能”来描述。
3、可能性的大小与数量的多少有关，相同条件下，在总数中所占数量越多，可能性越大；所占数量越少，可能性越小。
4、解决问题的策略
一、画图法
二、列表法
三、猜想与尝试
1、鸡兔同笼问题
2、圆柱体积的计算
四、从特例开始寻找规律
5、常用的数量关系式
1、每份数×份数＝总数 总数÷每份数＝份数 总数÷份数＝每份数
2、1倍数×倍数＝几倍数 几倍数÷1倍数＝倍数 几倍数÷倍数＝1倍数
3、速度×时间＝路程 路程÷速度＝时间 路程÷时间＝速度
4、单价×数量＝总价 总价÷单价＝数量 总价÷数量＝单价
5、工作效率×工作时间＝工作总量
工作总量÷工作效率＝工作时间
工作总量÷工作时间＝工作效率

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