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第二单元第1讲 函数的概念及其表示
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：函数的概念
题型二：求函数的定义域
题型三：求函数的解析式
题型四：分段函数求值
题型五：分段函数与方程、不等式问题
题型六：函数的值域
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
【讲方法】
1.几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)指数函数的底数大于0且不等于1.
(6)正切函数y＝tan x的定义域为.
2.求复合函数的定义域
①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
函数解析式的求法
(1)配凑法；
(2)待定系数法；
(3)换元法；
(4)解方程组法．
3.分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
4.求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
二、【练】
【练题型】
【题型一】函数的概念
【典例1】(多选)下列各组函数是同一函数的为(　　)
A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B.f(x)＝x－1，g(x)＝
C.f(x)＝，g(x)＝
D.f(x)＝，g(x)＝x
【解析】同一函数满足①定义域相同；②对应关系相同，只有A、C满足.
故选AC.
【典例2】下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　)
【解析】根据函数意义：对任意x值，y都有唯一值与之对应，只有C不满足.故选C.
【典例3】已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________.(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；
③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
【解析】③中，f：x→y＝x，x∈[0，4]时，y＝x∈?Q,故不满足函数的定义.
【题型二】求函数的定义域
【典例1】函数f(x)＝ln(4x－x2)＋的定义域为(　　)
A．(0,4) B．[0,2)∪(2,4]
C．(0,2)∪(2,4) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
【解析】要使函数有意义，
则
解得0故选C.
【典例2】函数y＝的定义域为(　　)
A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]
C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]
【解析】要使函数有意义，x需满足
解得－1所以函数的定义域为(－1,0)∪(0,3]．
故选B.
【典例3】若函数f(x)的定义域为[0,8]，则函数g(x)＝的定义域为________．
【解析】依题意有
解得0≤x<3，
∴g(x)的定义域为[0,3)．
【题型三】求函数的解析式
【典例1】(1)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为________．
(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)的解析式为________．
【解析】(1)(换元法)令＋1＝t，
得x＝，因为x＞0，所以t＞1，
所以f(t)＝lg，
即f(x)的解析式是f(x)＝lg(x>1)．
(2)(待定系数法)设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
又f(0)＝c＝3.
所以f(x)＝ax2＋bx＋3，
所以f(x＋2)－f(x)＝a(x＋2)2＋b(x＋2)＋3－(ax2＋bx＋3)＝4ax＋4a＋2b＝4x＋2.
所以
所以
所以所求函数的解析式为f(x)＝x2－x＋3.
(3)(解方程组法)因为2f(x)＋f(－x)＝2x，①
将x换成－x得2f(－x)＋f(x)＝－2x，②
由①②消去f(－x)，得3f(x)＝6x，
所以f(x)＝2x.
【典例2】定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．
【解析】因为－1≤x≤0，所以0≤x＋1≤1，所以f(x)＝f(x＋1)＝(x＋1)[1－(x＋1)]＝－x(x＋1)．故当－1≤x≤0时，f(x)＝－x(x＋1)．
【题型四】分段函数求值
【典例1】已知函数f(x)＝则f(2 021)＝(　　)
A. B.2e C. D.2e2
【解析】由f(x)＝f(x－3)得f(x＋3)＝f(x)，
因而f(2 021)＝f(3×673＋2)＝f(2)＝f(2－3)
＝f(－1)＝e－1＋ln 2＝.
故选A.
【典例2】已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
【解析】由f(x)的定义域，知a>0.
当0即2a＝，
解得a＝，则f＝f(4)＝8；
当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，
得2a＝2(a－1)，无解.
综上可知，f＝8.
故选D.
【典例3】已知函数f(x)＝则f(f(2 022))等于(　　)
A．－ B. C. D.
【解析】f(2 022)＝sin＝sin ＝，
∴f(f(2 022))＝f ＝＝.
故选B.
【题型五】分段函数与方程、不等式问题
【典例1】已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【解析】当a>0时，不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为a2＋a－3a>0，解得a>2.当a<0时．不等式a[f(a)－f(－a)]>0可化为－a2－2a<0，解得a<－2.综上所述，a的取值范围为(－∞，－2)∪(2，＋∞)．
故选D.
【典例2】已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝________．
【解析】由题意得a>0.
当0解得a＝，则f＝f(4)＝8，
当a≥1时，由f(a)＝f(a－1)，得2a＝2(a－1)，无解．
【典例3】已知函数f(x)＝则f(x)【解析】当x≤0时，x＋1≤1，f(x)等价于x2－1<(x＋1)2－1，解得－当01，
此时f(x)＝x2－1≤0，
f(x＋1)＝log2(x＋1)>0，
∴0当x>1时，f(x) log2x综上知，不等式f(x)【题型六】函数的值域
【典例1】求下列函数的值域：
(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(2)y＝；
(3)y＝2x－；
(4)y＝＋.
【解析】(1)(配方法)y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，
由x∈[0,3)，
再结合函数的图象(如图①所示)，可得函数的值域为[2,6)．
(2)(分离常数法)y＝＝＝2＋，
显然≠0，∴y≠2.
故函数的值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
(3)(换元法)设t＝，则x＝t2＋1，且t≥0，
∴y＝2(t2＋1)－t＝22＋，
由t≥0，再结合函数的图象(如图②所示)，可得函数的值域为.
(4)函数的定义域为[1，＋∞)，
∵y＝与y＝在[1，＋∞)上均为增函数，
∴y＝＋在[1，＋∞)上为单调递增函数，
∴当x＝1时，ymin＝，即函数的值域为[，＋∞)．
【典例2】求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝＋，x∈[1,2)；
(3)y＝(x>1)．
【解析】(1)方法一　y＝＝1－，
∵2x>0，∴2x＋1>1，
∴0<<2，∴－1<1－<1，
∴函数的值域为(－1,1)．
方法二　由y＝得2x＝，
又∵2x>0，
∴>0，即(y＋1)(y－1)<0，
即－1∴函数的值域为(－1,1)．
(2)函数y＝＋在[1,2)上单调递减，
当x＝1时，y＝，当x＝2时，y＝－1＋＝－，
∴－∴函数的值域为.
(3)令t＝x－1，∴t>0，x＝t＋1，
∴y＝＝＝t＋＋1
≥2＋1，
当且仅当t＝即t＝时取等号，
∴函数的值域为[2＋1，＋∞)．
【练真题】
【真题1】（2022-上海）下列函数定义域为R的是（　　）
A．y＝ B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝
【解析】，定义域为{x|x＞0}，
，定义域为{x|x≠0}，
，定义域为R，
，定义域为{x|x≥0}．
∴定义域为R的是y＝．
故选：C．
【真题2】（2022-北京）设函数若f（x）存在最小值，则a的一个取值为 　　；a的最大值为 　 　．
【解析】当a＜0时，函数f（x）图像如图所示，不满足题意，
当a＝0时，函数f（x）图像如图所示，满足题意；
当0＜a＜2时，函数f（x）图像如图所示，要使得函数有最小值，需满足﹣a2+1≥0，解得：0＜a≤1；
当a＝2时，函数f（x）图像如图所示，不满足题意，
当a＞2时，函数f（x）图像如图所示，要使得函数f（x）有最小值，需（a﹣2）2≤﹣a2+1，无解，故不满足题意；
综上所述：a的取值范围是[0，1]，
故答案为：0，1．
【真题3】（2022-北京）函数的定义域是 　 　．
【解析】要使函数f（x）＝+有意义，
则，解得x≤1且x≠0，
所以函数的定义域为（﹣∞，0）∪（0，1]．
故答案为：（﹣∞，0）∪（0，1]．
【真题4】（2022-浙江）已知函数则f（f（））＝　　；若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是 　 　．
【解析】∵函数，∴f（）＝﹣+2＝，
∴f（f（））＝f（）＝+﹣1＝；
作出函数f（x）的图象如图：
由图可知，若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是．
故答案为：；3+
【真题5】（2017-课标III）设函数，则满足的x的取值范围是_________.
【解析】令，
当时，；
当时，；
当时，，
写成分段函数的形式：，
函数在区间三段区间内均单调递增，
且，可知x的取值范围是.
【真题6】（2016-江苏）函数y=的定义域是 .
【解析】要使函数有意义，必须，即，．故答案应填：
【真题7】（2016-北京）设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【解析】如图作出函数 与直线 的图象, 它们的交点是 , , 由 , 知 是函数 的极大值点,
(1) 当 时, , 因此 的最大值是 ;
(2) 由图象知当 时, 有最大值是 ; 只有当 时, 由 , 因此 无最大值, 所求 的范围是 , 故填： .
【真题8】（2015-新课标2）设函数, ( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【解析】由已知得，又，所以，故，故选C．
【真题9】（2015-福建）若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．
【解析】当 , 故 , 要使得函数 的值域为 , 只需 的值域包含于 , 故 , 所以 , 所以 , 解得 , 所以实数 的取值范围是 .
【真题10】（2015-山东）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .
【解析】若 ，则 在上为增函数,所以 ，此方程组无解；
若 ，则在上为减函数,所以 ，解得 ，所以.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 函数y＝的定义域为(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(1，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪[3，＋∞)
【解析】由ln(x－1)≠0，得x－1>0且x－1≠1.由此解得x>1且x≠2，即函数y＝的定义域是(1，2)∪(2，＋∞)．
故选C.
2. 已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)
A．－ B．
C． D．－
【解析】令t＝x－1，则x＝2t＋2，
所以f(t)＝2(2t＋2)－5＝4t－1，
所以f(a)＝4a－1＝6，即a＝.
故选B.
3. 已知f(x)＝则f＋f的值等于(　　)
A．－2 B．4
C．2 D．－4
【解析】由题意得f＝2×＝.
f＝f＝f＝2×＝.
所以f＋f＝4.
故选B.
4. 已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[0，1]，则函数的定义域是(　　)
A．[1，2] B．(－1，1]
C． D．(－1，0)
【解析】由f(2x－1)的定义域是[0，1]，
得0≤x≤1，故－1≤2x－1≤1，
所以函数f(x)的定义域是[－1，1]，
所以要使函数有意义，
需满足解得－1故选D.
【多选题】
5. 下列所给图象可以是函数图象的是(　　)
【解析】图象A关于x轴对称，x>0时，每一个x对应2个y，图象B中x0对应2个y，所以A，B均不是函数图象；图象C，D可以是函数图象.故选CD.
6. 设函数f(x)＝若f(1)＝2f(0)，则实数a可以为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
【解析】若a<0，
则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；
若0≤a<1，
则f(0)＝1，f(1)＝2，f(1)＝2f(0)成立；
若a≥1，
则f(0)＝1，f(1)＝0，f(1)＝2f(0)不成立．
综上所述，实数a的取值范围是(－∞，1)．
故选AB.
【填空题】
7. 若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．
【解析】由题图可知，当－1≤x<0时，f(x)＝x＋1；当0≤x≤2时，f(x)＝－x，
所以f(x)＝
8. 已知函数f(x)＝，若f(a－1)＝，则实数a＝________．
【解析】当a－1≤0，即a≤1时，log2(4－a)＝，4－a＝2，故a＝4－2，不满足a≤1，舍去；
当a－1>0，即a>1时，2a－1－1＝，2a－1＝，解得a＝log23，满足a>1.
综上可得a＝log23.
9. 设函数f(x)＝则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________．
【解析】因为f(2)＝，
所以f(f(2))＝f＝－－2＝－.
当x>1时，f(x)∈(0，1)，
当x≤1时，f(x)∈[－3，＋∞)，
所以f(x)∈[－3，＋∞)．
10. 设函数f(x)＝则f(f(0))＝________，若f(m)>1，则实数m的取值范围是________．
【解析】f(f(0))＝f(1)＝ln 1＝0；如图所示，可得f(x)＝的图象与直线y＝1的交点分别为(0，1)，(e，1)．若f(m)>1，则实数m的取值范围是(－∞，0)∪(e，＋∞)．
11. 函数y＝的定义域为R，则k的取值范围是________．
【解析】依题意kx2－kx＋3≠0恒成立，
①当k＝0时3≠0恒成立，∴k＝0满足条件，
②当k≠0时Δ<0即k2－12k<0，∴0综上有0≤k<12.
【测能力】
【单选题】
1. 设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
【解析】当x≤0时，函数f(x)＝2－x是减函数，则f(x)≥f(0)＝1.
作出f(x)的大致图象如图所示，结合图象知，要使f(x＋1)＜f(2x)，当且仅当或
解得x<－1或－1≤x<0，即x<0.
故选D.
2. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　)
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
【解析】f(x)＝＝＝1＋，
∵2x>0，∴1＋2x>1,0<<1，
则0<<2,1<1＋<3，即1当1当2≤f(x)<3时，[ f(x)]＝2.
综上，函数y＝[ f(x)]的值域为{1,2}．
故选D.
3. 下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中定义域与值域相同的函数的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【解析】①y＝3－x的定义域与值域均为R，②y＝2x－1(x>0)的定义域为(0，＋∞)，值域为，③y＝x2＋2x－10的定义域为R，值域为[－11，＋∞)，④y＝的定义域和值域均为R.所以定义域与值域相同的函数是①④，共有2个，故选B．
4. 设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[1,4]
C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知，若f(x)在(a，a＋1)上单调递增，
需满足a≥4或a＋1≤2，
即a≤1或a≥4，故选D.
【多选题】
5. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是(　　)
A.y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
B.y＝x＋
C.y＝－log3x
D.y＝
【解析】根据题意，“同值函数”需满足：对于同一函数值，有不同的自变量与其对应.
因此，能够被用来构造“同值函数”的函数必须满足在其定义域内不单调.
对于A，y＝[x]，定义域为R，在定义域内不是单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故A可以构造“同值函数”；
对于B，y＝x＋，为定义在[－1，＋∞)上的单调增函数，故B不可以构造“同值函数”；
对于C，y＝－log3x，为定义在(0，＋∞)上的单调减函数，故C不可以构造“同值函数”；
对于D，y＝，不是定义域上的单调函数，有不同的自变量对应同一函数值，故D可以构造“同值函数”.
所以能够被用来构造“同值函数”的是A，D.
故选AD.
6. 具有性质：f ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是(　　)
A．f(x)＝x－ B．f(x)＝ln
C．f(x)＝ D．f(x)＝
【解析】对于A，f(x)＝x－，
f ＝－x＝－f(x)，满足题意；
对于B，f(x)＝ln ，
则f ＝ln ≠－f(x)，不满足；
对于C，f ＝＝ex－1，
－f(x)＝≠f ，不满足；
对于D，f ＝
即f ＝
则f ＝－f(x)满足“倒负”变换，故选AD.
【填空题】
7. 设函数f(x)＝若对任意的a∈R都有f(f(a))＝2f(a)成立，则λ的取值范围是______．
【解析】当a≥1时，2a≥2.
∴f(f(a))＝f(2a)＝＝2f(a)恒成立．
当a<1时，
f(f(a))＝f(－a＋λ)＝2f(a)＝2λ－a，
∴λ－a≥1，即λ≥a＋1恒成立，
由题意λ≥(a＋1)max，∴λ≥2，
综上，λ的取值范围是[2，＋∞)．
8. 已知函数f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为________．
【解析】f(x)的定义域为[1,9]，
∴即1≤x≤3，
故y＝[f(x)]2＋f(x2)的定义域为[1,3]，
∵y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(2＋log3x)2＋2＋log3x2＝(log3x)2＋6log3x＋6，
令t＝log3x，t∈[0,1]，
∴y＝t2＋6t＋6＝(t＋3)2－3，t∈[0,1]，
t＝0时，y＝6，t＝1时，y＝13，
故6≤y≤13.
9. 已知函数f(x)＝则f(x＋1)－9≤0的解集为________．
【解析】因为f(x)＝
所以当x＋1≤0时，
解得－4≤x≤－1；
当x＋1>0时，
解得x>－1.
综上，x≥－4，即f(x＋1)－9≤0的解集为[－4，＋∞)．
10. 设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝；
③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x－1.
其中是“美丽函数”的序号有________．
【解析】由已知，在函数定义域内，对任意的x都存在着y，使x所对应的函数值f(x)与y所对应的函数值f(y)互为相反数，即f(y)＝－f(x)．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足“美丽函数”的条件．
①中函数的值域为[0，＋∞)，值域不关于原点对称，故①不符合题意；
②中函数的值域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域关于原点对称，故②符合题意；
③中函数的值域为(－∞，＋∞)，值域关于原点对称，故③符合题意；
④中函数f(x)＝2sin x－1的值域为[－3，1]，不关于原点对称，故④不符合题意．故本题正确答案为②③.
11. 已知函数f(x)＝log2x，g(x)＝2x＋a，若存在x1，x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，则a的取值范围是________．
【解析】依题意f(x)的值域与g(x)的值域有交集，
x∈时，f(x)∈[－1,1]，
x∈时，g(x)∈[a＋1，a＋4]，
故或
解得－5≤a≤0.
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第二单元第1讲 函数的概念及其表示
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：函数的概念
题型二：求函数的定义域
题型三：求函数的解析式
题型四：分段函数求值
题型五：分段函数与方程、不等式问题
题型六：函数的值域
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空2题 填空2题
解答3题 解答3题
一、【讲】
【讲知识】
1．函数的概念
一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x，按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数，记作y＝f(x)，x∈A.
2．函数的三要素
(1)函数的三要素：定义域、对应关系、值域．
(2)如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，则这两个函数为同一个函数．
3．函数的表示法
表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法．
4．分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．
【讲方法】
1.几种常见函数的定义域
(1)f(x)为分式型函数时，定义域为使分母不为零的实数集合．
(2)f(x)为偶次根式型函数时，定义域为使被开方式非负的实数的集合．
(3)f(x)为对数式时，函数的定义域是真数为正数、底数为正且不为1的实数集合．
(4)若f(x)＝x0，则定义域为{x|x≠0}．
(5)指数函数的底数大于0且不等于1.
(6)正切函数y＝tan x的定义域为.
2.求复合函数的定义域
①若f(x)的定义域为[m，n]，则在f(g(x))中，由m≤g(x)≤n解得x的范围即为f(g(x))的定义域．
②若f(g(x))的定义域为[m，n]，则由m≤x≤n得到g(x)的范围，即为f(x)的定义域．
函数解析式的求法
(1)配凑法；
(2)待定系数法；
(3)换元法；
(4)解方程组法．
3.分段函数求值问题的解题思路
(1)求函数值：当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)求自变量的值：先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验．
4.求函数值域的一般方法
(1)分离常数法；
(2)反解法；
(3)配方法；
(4)不等式法；
(5)单调性法；
(6)换元法；
(7)数形结合法；
(8)导数法.
二、【练】
【练题型】
【题型一】函数的概念
【典例1】(多选)下列各组函数是同一函数的为(　　)
A.f(x)＝x2－2x－1，g(s)＝s2－2s－1
B.f(x)＝x－1，g(x)＝
C.f(x)＝，g(x)＝
D.f(x)＝，g(x)＝x
【典例2】下列各曲线表示的y与x之间的关系中，y不是x的函数的是(　　)
【典例3】已知集合P＝{x|0≤x≤4}，Q＝{y|0≤y≤2}，下列从P到Q的各对应关系f不是函数的是________.(填序号)
①f：x→y＝x；②f：x→y＝x；
③f：x→y＝x；④f：x→y＝.
【题型二】求函数的定义域
【典例1】函数f(x)＝ln(4x－x2)＋的定义域为(　　)
A．(0,4) B．[0,2)∪(2,4]
C．(0,2)∪(2,4) D．(－∞，0)∪(4，＋∞)
【典例2】函数y＝的定义域为(　　)
A．(－1,3] B．(－1,0)∪(0,3]
C．[－1,3] D．[－1,0)∪(0,3]
【典例3】若函数f(x)的定义域为[0,8]，则函数g(x)＝的定义域为________．
【题型三】求函数的解析式
【典例1】(1)已知f＝lg x，则f(x)的解析式为________．
(2)若f(x)为二次函数且f(0)＝3，f(x＋2)－f(x)＝4x＋2，则f(x)的解析式为________．
(3)已知函数f(x)满足f(－x)＋2f(x)＝2x，则f(x)的解析式为________．
【典例2】定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝2f(x)．若当0≤x≤1时，f(x)＝x(1－x)，则当－1≤x≤0时，f(x)＝________．
【题型四】分段函数求值
【典例1】已知函数f(x)＝则f(2 021)＝(　　)
A. B.2e C. D.2e2
【典例2】已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝(　　)
A.2 B.4 C.6 D.8
【典例3】已知函数f(x)＝则f(f(2 022))等于(　　)
A．－ B. C. D.
【题型五】分段函数与方程、不等式问题
【典例1】已知函数f(x)＝若a[f(a)－f(－a)]>0，则实数a的取值范围为(　　)
A．(1，＋∞)
B．(2，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
D．(－∞，－2)∪(2，＋∞)
【典例2】已知函数f(x)＝若实数a满足f(a)＝f(a－1)，则f＝________．
【典例3】已知函数f(x)＝则f(x)【题型六】函数的值域
【典例1】求下列函数的值域：
(1)y＝x2－2x＋3，x∈[0,3)；
(2)y＝；
(3)y＝2x－；
(4)y＝＋.
【典例2】求下列函数的值域：
(1)y＝；
(2)y＝＋，x∈[1,2)；
(3)y＝(x>1)．
【练真题】
【真题1】（2022-上海）下列函数定义域为R的是（　　）
A．y＝ B．y＝x﹣1 C．y＝ D．y＝
【真题2】（2022-北京）设函数若f（x）存在最小值，则a的一个取值为 　　；a的最大值为 　 　．
【真题3】（2022-北京）函数的定义域是 　 　．
【真题4】（2022-浙江）已知函数则f（f（））＝　　；若当x∈[a，b]时，1≤f（x）≤3，则b﹣a的最大值是 　 　．
【真题5】（2017-课标III）设函数，则满足的x的取值范围是_________.
【真题6】（2016-江苏）函数y=的定义域是 .
【真题7】（2016-北京）设函数.
①若，则的最大值为______________；
②若无最大值，则实数的取值范围是________.
【真题8】（2015-新课标2）设函数, ( )
A．3 B．6 C．9 D．12
【真题9】（2015-福建）若函数 （ 且 ）的值域是 ，则实数 的取值范围是 ．
【真题10】（2015-山东）已知函数 的定义域和值域都是 ，则 .
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 函数y＝的定义域为(　　)
A．(1，＋∞) B．[1，＋∞)
C．(1，2)∪(2，＋∞) D．(1，2)∪[3，＋∞)
2. 已知f＝2x－5，且f(a)＝6，则a等于(　　)
A．－ B．
C． D．－
3. 已知f(x)＝则f＋f的值等于(　　)
A．－2 B．4
C．2 D．－4
4. 已知函数y＝f(2x－1)的定义域是[0，1]，则函数的定义域是(　　)
A．[1，2] B．(－1，1]
C． D．(－1，0)
【多选题】
5. 下列所给图象可以是函数图象的是(　　)
6. 设函数f(x)＝若f(1)＝2f(0)，则实数a可以为(　　)
A．－1 B．0 C．1 D．2
【填空题】
7. 若函数f(x)在闭区间[－1，2]上的图象如图所示，则此函数的解析式为________．
8. 已知函数f(x)＝，若f(a－1)＝，则实数a＝________．
9. 设函数f(x)＝则f(f(2))＝________，函数f(x)的值域是________．
10. 设函数f(x)＝则f(f(0))＝________，若f(m)>1，则实数m的取值范围是________．
11. 函数y＝的定义域为R，则k的取值范围是________．
【测能力】
【单选题】
1. 设函数f(x)＝则满足f(x＋1)A．(－∞，－1] B．(0，＋∞)
C．(－1,0) D．(－∞，0)
2. 高斯是德国著名的数学家，是近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f(x)＝，则函数y＝[f(x)]的值域为(　　)
A．{0,1,2,3} B．{0,1,2}
C．{1,2,3} D．{1,2}
3. 下列四个函数：①y＝3－x；②y＝2x－1(x>0)；③y＝x2＋2x－10；④y＝其中定义域与值域相同的函数的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
4. 设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，1] B．[1,4]
C．[4，＋∞) D．(－∞，1]∪[4，＋∞)
【多选题】
5. 若一系列函数的解析式和值域相同，但定义域不相同，则称这些函数为“同值函数”，例如函数y＝x2，x∈[1，2]与函数y＝x2，x∈[－2，－1]即为“同值函数”，给出下面四个函数，其中能够被用来构造“同值函数”的是(　　)
A.y＝[x]([x]表示不超过x的最大整数，例如[0.1]＝0)
B.y＝x＋
C.y＝－log3x
D.y＝
6. 具有性质：f ＝－f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数满足“倒负”变换的函数的是(　　)
A．f(x)＝x－ B．f(x)＝ln
C．f(x)＝ D．f(x)＝
【填空题】
7. 设函数f(x)＝若对任意的a∈R都有f(f(a))＝2f(a)成立，则λ的取值范围是______．
8. 已知函数f(x)＝2＋log3x，x∈[1,9]，则函数y＝[f(x)]2＋f(x2)的值域为________．
9. 已知函数f(x)＝则f(x＋1)－9≤0的解集为________．
10. 设函数f(x)的定义域为D，若对任意的x∈D，都存在y∈D，使得f(y)＝－f(x)成立，则称函数f(x)为“美丽函数”，下列所给出的几个函数：
①f(x)＝x2；②f(x)＝；
③f(x)＝ln(2x＋3)；④f(x)＝2sin x－1.
其中是“美丽函数”的序号有________．
11. 已知函数f(x)＝log2x，g(x)＝2x＋a，若存在x1，x2∈，使得f(x1)＝g(x2)，则a的取值范围是________．
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