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第二单元第2讲 函数的单调性与最大(小)值
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：求具体函数的单调区间
题型二：判断或证明函数的单调性
题型三：比较函数值的大小
题型四：求函数的最值
题型五：利用函数单调性解不等式
题型六：求参数的取值范围
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I， 都有f(x)≤M； (2) x0∈I， 使得f(x0)＝M (1) x∈I， 都有f(x)≥M； (2) x0∈I， 使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
【讲方法】
1. x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在区间D上单调递增(减)．
2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4.复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
5.常见误区
(1)求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误．
(2)有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
6.确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；
(2)导数法；
(3)图象法；
(4)性质法．
7.比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
8.求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
9.利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
二、【练】
【练题型】
【题型一】求具体函数的单调区间
【典例1】(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　)
A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a>0时，f(x)的值域为R
【解析】当a>0时，f(x)＝x－，
定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．
∵f(x)在(－∞，0)，(0，＋∞)上单调递增，
故A错误；
又x→－∞时，f(x)→－∞，
x→0－时，f(x)→＋∞，
∴f(x)的值域为R，故D正确；
当a＝－4时，f(x)＝x＋，
由其图象(图略)可知，B，C正确．
故选BCD.
【典例2】函数的单调递增区间为(　　)
A. B.
C．(－2,3) D.
【解析】由－x2＋x＋6>0，得－2【典例3】设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．
【解析】由题意知g(x)＝该函数图象如图所示，其单调递减区间是[0,1)．
【题型二】判断或证明函数的单调性
【典例1】试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
【解析】　法一：设－1f(x)＝a＝a，
f(x1)－f(x2)＝a－a
＝，由于－1所以x2－x1>0，x1－1<0，x2－1<0，
故当a>0时，f(x1)－f(x2)>0，即f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f(x1)－f(x2)<0，即f(x1)法二：f′(x)＝
＝＝－.
当a>0时，f′(x)<0，函数f(x)在(－1，1)上单调递减；
当a<0时，f′(x)>0，函数f(x)在(－1，1)上单调递增．
【典例2】已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
【解析】方法一　(定义法)设x1>x2>0，
f(x1)－f(x2)＝x1＋－x2－
＝(x1－x2)＋
＝，
∵x1>x2>0，∴x1－x2>0，x1x2>0，
当x1，x2∈(0，]时，0∴x1x2－a<0，
∴f(x1)－f(x2)<0，f(x1)∴f(x)在(0，]上单调递减，
当x1，x2∈[，＋∞)时，x1x2>a，
∴x1x2－a>0，∴f(x1)－f(x2)>0，
∴f(x1)>f(x2)，
∴f(x)在[，＋∞)上单调递增．
方法二　(导数法)
f′(x)＝1－＝(x>0)，
令f′(x)>0 x2－a>0 x>，
令f′(x)<0 x2－a<0 0∴f(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
【题型三】比较函数值的大小
【典例1】设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则(　　)
A．
B．
C．
D．
【解析】f(x)为偶函数且在(0，＋∞)上单调递减，
f ＝f(－log34)＝f(log34)，
又log34>1,，
∴，
即.
故选C.
【典例2】已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
【解析】因为f(x)的图象关于直线x＝1对称．由此可得f＝f.当x2>x1>1时，
[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，
知f(x)在(1，＋∞)上单调递减．
因为1<2<f>f(e)，
所以b>a>c.
故选D.
【题型四】求函数的最值
【典例1】对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是______．
【解析】方法一　在同一坐标系中，作函数f(x)，g(x)的图象，
依题意，h(x)的图象为如图所示的实线部分．
易知点A(2,1)为图象的最高点，
因此h(x)的最大值为h(2)＝1.
方法二　依题意，h(x)＝
当0当x>2时，h(x)＝3－x单调递减，
因此h(x)在x＝2时取得最大值h(2)＝1.
【典例2】函数y＝的最大值为________．
【解析】令＝t，则t≥2，
∴x2＝t2－4，
∴y＝＝，
设h(t)＝t＋，则h(t)在[2，＋∞)上为增函数，
∴h(t)min＝h(2)＝，
∴y≤＝(x＝0时取等号)．
即y的最大值为.
【题型五】利用函数单调性解不等式
【典例1】已知函数f(x)＝x－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________．
【解析】由f(x)＝x－log2(x＋2)知，
f(x)在定义域(－2，＋∞)上是减函数，且f(－1)＝3，
由f(a－2)>3，得f(a－2)>f(－1)，
即－2【典例2】已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．
【解析】根据函数f(x)的图象(图略)可知，f(x)是定义在R上的增函数．∴2－x2>x，∴－2【典例3】已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1，1)，则不等式f(1－m)【解析】由已知得f(x)＝
则f(x)在(－1，1)上单调递减，
所以解得0所以所求解集为(0，1)．
【题型六】求参数的取值范围
【典例1】已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．　
【解析】设11.
因为函数f(x)在(1，＋∞)上是增函数，
所以f(x1)－f(x2)＝x1－＋－＝(x1－x2)<0.
因为x1－x2<0，所以1＋>0，即a>－x1x2.
因为11，所以－x1x2<－1，所以a≥－1.
所以a的取值范围是[－1，＋∞)．
【典例2】设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
【解析】作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
【典例3】已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．
C． D．
【解析】由f(x)是减函数，得
解得≤a<，所以实数a的取值范围是.
故选C.
【练真题】
【真题1】（2022-甲卷）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（　　）
A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
【解析】∵9m＝10，∴m＝log910，
∵
∴，
构造函数f（x）＝xm﹣x﹣1（x＞1），
f′（x）＝mxm﹣1﹣1，
令f′（x）＞0，解得：
由上述有∴，可得0＜x＜1，
故f（x）在（1，+∞）单调递增，
故f（10）＞f（8），又因为，
故a＞0＞b，
故选：A．
【真题2】（2020-课标III）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A. a【解析】由题意可知
、、，，；
由，得，由，得，，可得；
由，得，由，得，，可得.
综上所述，.
故选：A.
【真题3】（2020-全国Ⅰ）若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a【解析】由指数和对数的运算性质可得
2a＋log2a＝4b＋2log4b＝22b＋log2b.
令f(x)＝2x＋log2x，
则f(x)在(0，＋∞)上单调递增，
又∵22b＋log2b<22b＋log2b＋1＝22b＋log22b，
∴2a＋log2a<22b＋log22b，
即f(a)故选B.
【真题4】（2020-课标II）若，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】由得：，
令，
为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，
，
，，，则A正确，B错误；
与的大小不确定，故CD无法确定.
故选：A.
【真题5】（2019-课标 II）若a>b，则
A. ln(a b)>0 B. 3a<3b
C. a3 b3>0 D. │a│>│b│
【解析】取，满足a>b，，知A错，排除A；因为，知B错，排除B；取，满足a>b，，知D错，排除D，因为幂函数是增函数，a>b，所以，故选C．
【真题6】（2019-课标Ⅰ）已知，则
A. B. C. D.
【解析】则
．故选B．
【真题7】（2018-课标III）设，，则
A. B.
C. D.
【解析】
,即
又
即
故选B.
【真题8】（2016-北京）已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
【解析】A: 由 , 得 , 即 不正确;
B: 由 及正弦函数 的单调性, 可知 不一定成立;
: 由 , 得 ，故 , C 正确;
: 由 , 得 , 不一定大于 1 , 故 不一定成立, 故选 .
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－
C．y＝x D．y＝x＋
【解析】函数y＝ln(x＋2)的增区间为(－2，＋∞)，所以在(0，＋∞)上一定是增函数．故选A.
2. 函数y＝的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
【解析】由－x2＋x＋6>0，得－2利用二次函数的性质可得t＝－x2＋x＋6在定义域(－2，3)上的单调递减区间为，故选A.
3. 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)【解析】因为f(x)是偶函数，
所以f(－3)＝f(3)，f(－2)＝f(2)．
又因为函数f(x)在[0，＋∞)上是增函数，
所以f(π)>f(3)>f(2)，
即f(π)>f(－3)>f(－2)．
故选A.
4. 已知函数f(x)＝当x1≠x2时，<0，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【解析】当x1≠x2时，<0，
∴f(x)是R上的减函数．
∵f(x)＝　∴
∴0故选A.
【多选题】
5. 下列函数中，满足“ x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0”的是(　　)
A．y＝－ B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝|x－1|
【解析】由(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0可知，f(x)在 (0，＋∞)上是增函数．对于A项，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，所以A项符合题意；对于B项，y＝x在(0，＋∞)上单调递增，所以B项符合题意；对于C项，y＝x2在(0，＋∞)上单调递增，所以C项符合题意；对于D项，y＝|x－1|在(0，＋∞)上不单调，故选ABC.
6. 已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是(　　)
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)　
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0
【解析】根据题意，依次分析选项：对于选项A，对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)，不满足函数单调性的定义，不符合题意；对于选项B，当f(x)为常数函数时，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，都有f(x1)＝f(x2)，不是增函数，不符合题意；对于选项C，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0，符合题意；对于选项D，对任意x1，x2∈[0，＋∞)，设x1>x2，若>0，必有f(x1)－f(x2)>0，则函数在[0，＋∞)上为增函数，符合题意．
故选CD.
【填空题】
7. 函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是________．
【解析】由于f(x)＝|x－2|x＝结合图象可知函数的单调减区间是[1，2]．
8. 函数y＝2＋的最大值是________，单调递增区间是________．
【解析】函数y＝2＋＝2＋，可得当x＝2时，函数y取得最大值2＋2＝4；由4x－x2≥0，可得0≤x≤4，令t＝－x2＋4x，则t在[0，2]上为增函数，y－2＋在[0，＋∞)上为增函数，可得函数y＝2＋的单调递增区间为[0，2]．
9. 已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式－3【解析】由函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3，1)是其图象上的两点，知不等式－310. 函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．
【解析】由于y＝
即y＝
画出函数图象如图所示，
单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为(－1,0)和(1，＋∞)．
11. 设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝________.
【解析】f(x)＝＝＝2＋在[3,4]上是减函数，
∴f(x)min＝f(4)＝4，f(x)max＝f(3)＝6，
∴M＝6，m＝4，∴＝＝.
【测能力】
【单选题】
1. 定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x,2x－3,6－x}，则M的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
【解析】画出函数M＝max{2x,2x－3,6－x}的图象(如图)，由图可知，
函数M在A(2,4)处取得最小值22＝6－2＝4，
故M的最小值为4.故选C.
2. 已知函数f(x)＝当x∈[m，m＋1]时，不等式f(2m－x)A．(－∞，－4) B．(－∞，－2)
C．(－2,2) D．(－∞，0)
【解析】易知函数f(x)＝在x∈R上单调递减，
又f(2m－x)所以2m－x>x＋m，
即2x所以2(m＋1)解得m<－2.
故选B.
3. 已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝f(x)＋x是增函数
B．y＝f(x)＋x是减函数
C．y＝f(x)是增函数
D．y＝f(x)是减函数
【解析】不妨令x1∵>－1 f(x1)－f(x2)<－(x1－x2) f(x1)＋x1令g(x)＝f(x)＋x，∴g(x1)又x1故选A.
4. 已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则(　　)
A．sgn[g(x)]＝sgn x
B．sgn[g(x)]＝－sgn x
C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]
D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
【解析】因为f(x)是R上的增函数，且a>1，所以当x>0时，f(x)f(ax)，即g(x)>0.由符号函数sgn x＝知，sgn [g(x)]＝＝－sgn x.
故选B.
【多选题】
5. 若函数f(x)满足条件：
①对于定义域内任意不相等的实数a，b恒有>0；
②对于定义域内任意x1，x2都有f≥成立．
则称其为G函数．下列函数为G函数的是(　　)
A．f(x)＝3x＋1
B．f(x)＝－2x－1
C．f(x)＝x2－2x＋3
D．f(x)＝－x2＋4x－3，x∈(－∞，1)
【解析】①对于定义域内任意不相等的实数a，b恒有>0，则函数f(x)在定义域为增函数；②对于定义域内任意x1，x2都有f≥成立，则函数f(x)为“凸函数”．
其中A．f(x)＝3x＋1在R上为增函数，且f＝，故满足条件①②；
B．f(x)＝－2x－1在R上为减函数，不满足条件①；
C．f(x)＝x2－2x＋3在(－∞，1)上为减函数，在(1，＋∞)为增函数，不满足条件①；
D．f(x)＝－x2＋4x－3的对称轴为x＝2，故函数f(x)＝－x2＋4x－3在(－∞，1)上为增函数，且为“凸函数”，故满足条件①②.
综上，故选AD．
6. 对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列命题中正确的是(　　)
A．f(－3.9)＝f(4.1)
B．函数f(x)的最大值为1
C．函数f(x)的最小值为0
D．方程f(x)－＝0有无数个根
【解析】根据符号[x]的意义，讨论当自变量x取不同范围时函数f(x)＝x－[x]的解析式：当－1≤x<0时，[x]＝－1，则f(x)＝x－[x]＝x＋1；当0≤x<1时，[x]＝0，则f(x)＝x－[x]＝x；当1≤x<2时，[x]＝1，则f(x)＝x－[x]＝x－1；当2≤x<3时，[x]＝2，则f(x)＝x－[x]＝x－2.画函数f(x)＝x－[x]的图象如图所示：
根据定义可知，f(－3.9)＝－3.9－(－4)＝0.1，f(4.1)＝4.1－4＝0.1，即f(－3.9)＝f(4.1)，所以A正确；从图象可知，函数f(x)＝x－[x]最高点处取不到，所以B错误；函数图象最低点处函数值为0，所以C正确；从图象可知y＝f(x)与y＝的图象有无数个交点，即f(x)＝有无数个根，所以D正确．故选ACD.
【填空题】
7. 已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
【解析】二次函数y1＝x2－4x＋3的对称轴是x＝2，
∴该函数在(－∞，0]上单调递减，
∴x2－4x＋3≥3，同样可知函数y2＝－x2－2x＋3在(0，＋∞)上单调递减，
∴－x2－2x＋3<3，
∴f(x)在R上单调递减，
∴由f(x＋a)>f(2a－x)得到x＋a<2a－x，
即2x∴2(a＋1)∴a<－2，
∴实数a的取值范围是(－∞，－2)．
8. 设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为________．
【解析】因为当x≤0时，f(x)＝(x－a)2，f(0)是f(x)的最小值，所以a≥0.当x＞0时，f(x)＝x＋＋a≥2＋a，当且仅当x＝1时取“＝”．要满足f(0)是f(x)的最小值，需2＋a≥f(0)＝a2，即a2－a－2≤0，解得－1≤a≤2，
所以a的取值范围是0≤a≤2.
9. 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为________．
【解析】因为函数f(x)＝x2－x＋的对称轴为x＝1，所以函数y＝f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，又当x≥1时，＝x－1＋，令g(x)＝x－1＋(x≥1)，则g′(x)＝－＝，
由g′(x)≤0得1≤x≤，即函数＝x－1＋在区间[1， ]上单调递减，故“缓增区间”I为[1， ]．
10. 函数f(x)＝ex＋x－e，若实数a(a>0且a≠1)满足f <1，则a的取值范围为________．
【解析】f(x)＝ex＋x－e，∴f(x)在R上为增函数且f(1)＝1，
∴f <1，可化为f ∴loga<1，
当0当a>1时，符合题意．
∴a的取值范围是∪(1，＋∞)．
11. 设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．
【解析】函数f(x)的图象如图所示，
由图象可知f(x)在(a，a＋1)上单调递增，需满足a≥4或a＋1≤2，即a≤1或a≥4.
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第二单元第2讲 函数的单调性与最大(小)值
讲
讲知识 讲方法
练
练题型 练真题
题型一：求具体函数的单调区间
题型二：判断或证明函数的单调性
题型三：比较函数值的大小
题型四：求函数的最值
题型五：利用函数单调性解不等式
题型六：求参数的取值范围
测
测基础 测能力
单选4题 单选4题
多选2题 多选2题
填空5题 填空5题
一、【讲】
【讲知识】
1．函数的单调性
(1)单调函数的定义
增函数 减函数
定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I，区间D I，如果 x1，x2∈D
当x1f(x2)，那么就称函数f(x)在区间D上单调递减
图象描述 自左向右看图象是上升的 自左向右看图象是下降的
(2)单调区间的定义
如果函数y＝f(x)在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做y＝f(x)的单调区间．
2．函数的最值
前提 设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足
条件 (1) x∈I， 都有f(x)≤M； (2) x0∈I， 使得f(x0)＝M (1) x∈I， 都有f(x)≥M； (2) x0∈I， 使得f(x0)＝M
结论 M为最大值 M为最小值
【讲方法】
1. x1，x2∈D且x1≠x2，有>0(<0)或(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0(<0) f(x)在区间D上单调递增(减)．
2.在公共定义域内，增函数＋增函数＝增函数，减函数＋减函数＝减函数．
3.函数y＝f(x)(f(x)>0或f(x)<0)在公共定义域内与y＝－f(x)，y＝的单调性相反．
4.复合函数的单调性：函数y＝f(u)，u＝φ(x)在函数y＝f(φ(x))的定义域上，如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相同，那么y＝f(φ(x))单调递增；如果y＝f(u)与u＝φ(x)的单调性相反，那么y＝f(φ(x))单调递减．
5.常见误区
(1)求函数的单调区间，应先确定函数的定义域，忽略定义域研究函数的单调性是常见的错误．
(2)有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．
6.确定函数单调性的四种方法
(1)定义法；
(2)导数法；
(3)图象法；
(4)性质法．
7.比较函数值的大小时，转化到同一个单调区间内，然后利用函数的单调性解决．
8.求解函数不等式，由条件脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，应注意函数的定义域．
9.利用单调性求参数的取值(范围)．根据其单调性直接构建参数满足的方程(组)(不等式(组))或先得到其图象的升降，再结合图象求解．对于分段函数，要注意衔接点的取值．
二、【练】
【练题型】
【题型一】求具体函数的单调区间
【典例1】(多选)已知函数f(x)＝x－(a≠0)，下列说法正确的是(　　)
A．当a>0时，f(x)在定义域上单调递增
B．当a＝－4时，f(x)的单调递增区间为(－∞，－2)，(2，＋∞)
C．当a＝－4时，f(x)的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)
D．当a>0时，f(x)的值域为R
【典例2】函数的单调递增区间为(　　)
A. B.
C．(－2,3) D.
【典例3】设函数f(x)＝g(x)＝x2f(x－1)，则函数g(x)的单调递减区间是__________．
【题型二】判断或证明函数的单调性
【典例1】试讨论函数f(x)＝(a≠0)在(－1，1)上的单调性．
【典例2】已知a>0，函数f(x)＝x＋(x>0)，证明：函数f(x)在(0，]上单调递减，在[，＋∞)上单调递增．
【题型三】比较函数值的大小
【典例1】设f(x)是定义域为R的偶函数，且在(0，＋∞)上单调递减，则(　　)
A．
B．
C．
D．
【典例2】已知函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，当x2>x1>1时，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0恒成立，设a＝f，b＝f(2)，c＝f(e)，则a，b，c的大小关系为(　　)
A．c>a>b B．c>b>a
C．a>c>b D．b>a>c
【题型四】求函数的最值
【典例1】对于任意实数a，b，定义min{a，b}＝设函数f(x)＝－x＋3，g(x)＝log2x，则函数h(x)＝min{f(x)，g(x)}的最大值是______．
【典例2】函数y＝的最大值为________．
【题型五】利用函数单调性解不等式
【典例1】已知函数f(x)＝x－log2(x＋2)，若f(a－2)>3，则a的取值范围是________．
【典例2】已知函数f(x)＝若f(2－x2)>f(x)，则实数x的取值范围是________．
【典例3】已知函数f(x)＝－x|x|，x∈(－1，1)，则不等式f(1－m)【题型六】求参数的取值范围
【典例1】已知函数f(x)＝x－＋在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是________．　
【典例2】设函数f(x)＝若函数y＝f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是________．
【典例3】已知f(x)＝是(－∞，＋∞)上的减函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(0，1) B．
C． D．
【练真题】
【真题1】（2022-甲卷）已知9m＝10，a＝10m﹣11，b＝8m﹣9，则（　　）
A．a＞0＞b B．a＞b＞0 C．b＞a＞0 D．b＞0＞a
【真题2】（2020-课标III）已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A. a【真题3】（2020-全国Ⅰ）若2a＋log2a＝4b＋2log4b，则(　　)
A．a>2b B．a<2b
C．a>b2 D．a【真题4】（2020-课标II）若，则（ ）
A. B. C. D.
【真题5】（2019-课标 II）若a>b，则
A. ln(a b)>0 B. 3a<3b
C. a3 b3>0 D. │a│>│b│
【真题6】（2019-课标Ⅰ）已知，则
A. B. C. D.
【真题7】（2018-课标III）设，，则
A. B.
C. D.
【真题8】（2016-北京）已知，，且，则（ ）
A. B. C. D.
三、【测】
【测基础】
【单选题】
1. 下列函数中，在区间(0，＋∞)上为增函数的是(　　)
A．y＝ln(x＋2) B．y＝－
C．y＝x D．y＝x＋
2. 函数y＝的单调递增区间为(　　)
A. B.
C. D.
3. 设偶函数f(x)的定义域为R，当x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函数，则f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是(　　)
A．f(π)>f(－3)>f(－2) B．f(π)>f(－2)>f(－3)
C．f(π)4. 已知函数f(x)＝当x1≠x2时，<0，则a的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
【多选题】
5. 下列函数中，满足“ x1，x2∈(0，＋∞)且x1≠x2，(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]>0”的是(　　)
A．y＝－ B．y＝x
C．y＝x2 D．y＝|x－1|
6. 已知f(x)是定义在[0，＋∞)上的函数，根据下列条件，可以断定f(x)是增函数的是(　　)
A．对任意x≥0，都有f(x＋1)>f(x)
B．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≥x2，都有f(x1)≥f(x2)　
C．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1－x2<0，都有f(x1)－f(x2)<0
D．对任意x1，x2∈[0，＋∞)，且x1≠x2，都有>0
【填空题】
7. 函数f(x)＝|x－2|x的单调减区间是________．
8. 函数y＝2＋的最大值是________，单调递增区间是________．
9. 已知函数f(x)是R上的增函数，A(0，－3)，B(3，1)是其图象上的两点，那么不等式－310. 函数y＝－x2＋2|x|＋1的单调递增区间为__________，单调递减区间为________．
11. 设函数f(x)＝在区间[3,4]上的最大值和最小值分别为M，m，则＝________.
【测能力】
【单选题】
1. 定义max{a，b，c}为a，b，c中的最大值，设M＝max{2x,2x－3,6－x}，则M的最小值是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．6
2. 已知函数f(x)＝当x∈[m，m＋1]时，不等式f(2m－x)A．(－∞，－4) B．(－∞，－2)
C．(－2,2) D．(－∞，0)
3. 已知函数y＝f(x)的定义域为R，对任意x1，x2且x1≠x2，都有>－1，则下列说法正确的是(　　)
A．y＝f(x)＋x是增函数
B．y＝f(x)＋x是减函数
C．y＝f(x)是增函数
D．y＝f(x)是减函数
4. 已知符号函数sgn x＝f(x)是R上的增函数，g(x)＝f(x)－f(ax)(a＞1)，则(　　)
A．sgn[g(x)]＝sgn x
B．sgn[g(x)]＝－sgn x
C．sgn[g(x)]＝sgn[f(x)]
D．sgn[g(x)]＝－sgn[f(x)]
【多选题】
5. 若函数f(x)满足条件：
①对于定义域内任意不相等的实数a，b恒有>0；
②对于定义域内任意x1，x2都有f≥成立．
则称其为G函数．下列函数为G函数的是(　　)
A．f(x)＝3x＋1
B．f(x)＝－2x－1
C．f(x)＝x2－2x＋3
D．f(x)＝－x2＋4x－3，x∈(－∞，1)
6. 对于实数x，符号[x]表示不超过x的最大整数，例如[π]＝3，[－1.08]＝－2，定义函数f(x)＝x－[x]，则下列命题中正确的是(　　)
A．f(－3.9)＝f(4.1)
B．函数f(x)的最大值为1
C．函数f(x)的最小值为0
D．方程f(x)－＝0有无数个根
【填空题】
7. 已知f(x)＝不等式f(x＋a)>f(2a－x)在[a，a＋1]上恒成立，则实数a的取值范围是________．
8. 设f(x)＝若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围为________．
9. 如果函数y＝f(x)在区间I上是增函数，且函数y＝在区间I上是减函数，那么称函数y＝f(x)是区间I上的“缓增函数”，区间I叫做“缓增区间”．若函数f(x)＝x2－x＋是区间I上的“缓增函数”，则“缓增区间”I为________．
10. 函数f(x)＝ex＋x－e，若实数a(a>0且a≠1)满足f <1，则a的取值范围为________．
11. 设函数f(x)＝若函数f(x)在区间(a，a＋1)上单调递增，则实数a的取值范围是__________________．
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