资源简介

(
选
择性必修二学案
9
) (
2021
级高二数学
) (
：
) (
姓名
：
) (
班
级
：
) (
学
号
：
)行动是成功的阶梯，行动越多，登得越高
导学案 9 5.3.2 函数的极值
一、学习目标
1.借助函数的图象，了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件.
2.能利用导数求某些函数的极大值、极小值.
二、预习自学 (自主学习课本 90--92 页，了解本节知识体系！)
(1) 极小值点与极小值
如图，函数y＝f(x)在点 x＝a 的函数值f(a)比它在点 x ＝a 附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且 在点 x ＝a 附近的左侧 ，右侧 ，则把 叫做函数y＝f(x)的极小值点， 叫做 函数y＝f(x)的极小值.
(2) 极大值点与极大值
如图，函数y＝f(x)在点 x＝b 的函数值f(b)比它在点 x＝b 附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且 在点 x＝b 的左侧 ，右侧 ，则把 叫做函数y＝f(x)的极大值点， 叫做函数y ＝f(x)的极大值. 、 统称为极值点， 和 统称为极值.
(3) 求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0 ，当f′(x0)＝0 时：
( 1)如果在 x0 附近的左侧f′(x)＞0 ，右侧f′ (x)＜0 ，那么f(x0)是 ；
(2)如果在 x0 附近的左侧f′(x)＜0 ，右侧f′ (x)＞0 ，那么f(x0)是 .
[判断]
1.导数为 0 的点一定是极值点. ( )
2. 函数的极大值一定大于极小值. ( )
3. 函数y＝f(x)一定有极大值和极小值. ( )
三、典型例题
例 1. 求函数f(x) = x3 一 4x+ 4 的极值
例 2. 已知函数f(x)＝x－aln x(a ∈R).
( 1)当 a＝2 时，求曲线y＝f(x)在点 A( 1，f(1))处的切线方程；
(2)求函数f(x)的极值.
例 3. 已知函数f(x)＝ax3＋bx2 ＋cx(a≠0)在 x＝± 1 处取得极值，且f(1) ＝－1.
( 1)求常数 a ，b ，c 的值；
(2)判断 x＝± 1 是函数的极大值点还是极小值点，试说明理由，并求出极大值和极小值.
(
选
择性必修二学案
9
) (
聊
城
一中
2021
级高二数学
) (
制
作
：
) (
高尚凯
) (
姓名
：
) (
班
级
：
) (
学
号
：
)行动是成功的阶梯，行动越多，登得越高。
课时作业 9
一、选择题
1.(多选题)定义在 R 上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示， 以下结论正确的是( )
A.－3 是f(x)的一个极小值点 B.－2 和－1 都是f(x)的极大值点
C.f(x)的单调递增区间是(－3 ，＋∞) D.f(x)的单调递减区间是(－∞ ，－3)
2. 函数f(x) ＝ln x－x 在区间(0 ，e)上的极大值为( )
A. －e B. 1 －e C.－1 D.0
3.若函数f(x)＝x3－3bx＋3 在(－1 ，2)内有极值，则实数 b 的取值范围是( )
A.(0 ，4) B.[0 ，4) C.[ 1 ，4) D.( 1 ，4)
4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为 R 且导函数为f′ (x) ，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正 确的是( )
A. 函数f(x)的增区间是(－2 ，0) ，(2 ，＋∞)
B. 函数f(x)的增区间是(－∞ ，－2) ，(2 ，＋∞)
C.x＝－2 是函数的极小值点
D.x＝2 是函数的极小值点
5.若函数f(x)＝ex －ax－b 在 R 上有小于 0 的极值点，则实数 a 的取值范围是( )
A.(－1 ，0) B.(0 ，1) C.(－∞ ，－1) D.( 1 ，＋∞)
二、填空题
6. 函数f(x)＝ax3＋bx 在 x＝1 处有极值－2 ，则 a ，b 的值分别为 a ＝________ ，b ＝________.
7. 函数f(x)＝x3＋3ax2＋3(a＋2)x＋3 既有极大值又有极小值，则实数 a 的取值范围是________.
8. 函数f(x)＝ax－1－ln x(a≤0)在定义域内的极值点的个数为________.
三、解答题
9.求函数f(x) ＝－2 的极值.
10.设 x＝1 与 x＝2 是函数f(x)＝aln x＋bx2 ＋x 的两个极值点.
( 1)试确定常数 a 和 b 的值；
(2)判断 x＝1 ，x＝2 是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.
【选做】11. 函数f(x)＝ex(x －aex)恰有两个极值点 x1 ，x2(x1(
x
)
学案 9 答案
(
.
)【例 2】 解：函数f(x)的定义域为(0 ，＋∞)，f′(x)＝1－a
( 1)当 a＝2 时，f(x)＝x－2ln x，f′ (x)＝1－(x>0), ∴f(1)＝1，f′( 1) ＝－1, ∴y＝f(x)在点 A( 1，f(1))处的切线方程为y－1＝－(x－1), 即 x＋y－2＝0.
(2)由f′ (x)＝1－＝ ，x>0.
①当 a≤0 时，f′(x)>0 ，函数f(x)为(0 ，＋∞)上的增函数，函数f(x)无极值；
②当 a>0 时， 由f′(x)＝0 ，解得 x＝a;
∵x ∈(0 ，a)时，f′(x)<0 ，x ∈(a ，＋∞)时，f′(x)>0，
∴f(x)在 x＝a 处取得极小值，且极小值为f(a)＝a－aln a ，无极大值.
综上，当 a≤0 时，函数f(x)无极值；当 a>0 时，函数f(x)在 x＝a 处取得极小值 a －aln a ，无极大值.
【例 3】解：( 1)f′(x)＝3ax2＋2bx ＋c.
∵x＝± 1 是函数f(x)的极值点，
∴x＝± 1 是方程f′(x)＝3ax2＋2bx ＋c＝0 的两根，
(
①
)－ ＝0，
(
＝－
1
3
a
) (
②
③
)由根与系数的关系，得 c
又f(1) ＝－1 ， ∴a＋b＋c＝－1.
(
2
2
.
)由①②③解得 a ＝1 ，b＝0 ，c ＝－3
(2)f(x) ＝x3 －x ， ∴f′(x) ＝x2 －＝(x－1)(x＋1)，
当 x<－1 或 x> 1 时，f′(x)>0 ，当－1∴函数f(x)在(－∞ ，－1)和(1 ，＋∞)上是增函数，在(－1 ，1)上是减函数，
∴当 x＝－1 时，函数取得极大值f(－1)＝1 ，当 x＝1 时，函数取得极小值f(1) ＝－1.
课时作业 9
1.解析 当 x<－3 时，f′ (x)<0 ，x ∈(－3 ，＋∞)时f′(x)≥0 ， ∴－3 是极小值点，无极大值点，增区间 是(－3 ，＋∞) ，减区间是(－∞ ，－3).
答案 ACD
2.解析 f(x)的定义域为(0 ，＋∞)，f′(x) ＝－1.
令f′ (x)＝0 ，得 x＝1. 当 x ∈(0 ，1)时，f′(x)>0 ，当 x ∈(1 ，e)时，f′ (x)<0，
故f(x)在 x＝1 处取得极大值f(1) ＝ln 1－1＝0－1＝－1.
答案 C
3.解析 f′(x)＝3x2－3b＝0 ，即 x2 ＝b.又∵f(x)在(－1 ，2)内有极值， ∴f′(x)在(－1 ，2)内有变号零点， ∴0≤b<4. 当 b＝0 时，f(x)＝x3＋3 在 R 上单调递增，没有极值.
答案 A
4.解析 由题意，当 02，f′(x)>0；当－20； 即函数f(x)在(－∞ ，－2)和(2 ，＋∞)上单调递增，在(－2 ，2)上单调递减，因此函数f(x)在 x＝2 时取 得极小值，在 x＝－2 时取得极大值；
答案 BD
5.解析 由题意知f′(x)＝ex －a. 当 a≤0 时，f′(x)>0 恒成立，则f(x)在 R 上单调递增，不符合题意. 当 a>0 时，令f′(x)＝0 ，解得 x＝ln a，
∴当 x ∈(－∞ ，ln a)时，f′(x)<0；当 x ∈(ln a ，＋∞)时，f′(x)>0.
可知 x＝ln a 为f(x)的极值点， ∴ln a<0 ， ∴a ∈(0 ，1).
答案 B
6.解析 ∵f′ (x)＝3ax2＋b ，又当 x＝1 时有极值－2 ， ∵f′( 1)＝3a＋b＝0 ，①
(
a
＋
b
＝－
2
，
②
联立
①②
，解得
答案
1
－
3
)a＝1，
b ＝－3，
7.解析 f′(x)＝3x2＋6ax＋3(a＋2)，令f′ (x)＝0，即 x2＋2ax＋a＋2＝0，∵函数f(x)有极大值和极小值， ∴方程 x2＋2ax＋a＋2＝0 有两个不相等的实数根，即Δ＝4a2－4a－8＞0 ，解得 a＞2 或 a ＜－1. 答案 (－∞ ，－1)∪(2 ，＋∞)
8.解析 因为 x>0，f′(x)＝a－＝ ，所以当 a≤0 时，f′(x)<0 在(0 ，＋∞)上恒成立，函数f(x)在(0，
＋∞)上是减少的，所以f(x)在(0 ，＋∞)上没有极值点. 答案 0
9.解析 函数的定义域为 R.
(
(
x
2
＋
1
)
2
(
x
2
＋
1
)
2
.
)f′(x) ＝2 (x2＋1) －4x2 ＝－2 (x－1) (x＋1) 令f′(x)＝0 ，得 x＝－1 ，或 x＝1.
当 x 变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x (－∞ ，－1) －1 (－1 ，1) 1 ( 1 ，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 递减 －3 递增 －1 递减
由上表可以看出：
当 x＝－1 时，函数有极小值，且极小值为f(－1) ＝－3；
当 x＝1 时，函数有极大值，且极大值为f(1) ＝－1.
10.解析 ( 1)∵f(x)＝aln x＋bx2 ＋x ， ∴f′ (x) ＝＋2bx＋1. 由极值点的必要条件可知：
(
2
3 6
.
)f′( 1)＝f′(2)＝0 ， ∴a＋2b＋1＝0 且a＋4b＋1＝0 ，解得，a ＝－2 ，b ＝－1
(2)由(1)可知f(x) ＝－ln x －x2 ＋x ，且其定义域是(0 ，＋∞)，
(
3 3
3
x
.
)f′(x) ＝－2x－1－1x＋1＝－ (x－1) (x－2)
当 x ∈(0 ，1)∪(2 ，＋∞)时，f′(x)<0；当 x ∈(1 ，2)时，f′(x)>0；
所以，x＝1 是函数f(x)的极小值点，x＝2 是函数f(x)的极大值点.
11.解析 ∵函数f(x)＝ex(x －aex) ， ∴f′(x) ＝(x＋1－2aex)ex .
∵函数f(x)恰有两个极值点 x1 ，x2 ， ∴x1 ，x2 是方程f′(x)＝0 的两个不相等的实数根.
令 x＋1－2aex＝0 ，可知 a≠0 ， ∴＝ex .
设y1 ＝(a≠0)，y2＝ex ，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示.
(
0
，
1
) (
所
以实数
a
的取值范围为
2 .
)要使这两个函数有两个不同的交点，应满足> 1 ，解得 0

展开更多......

收起↑