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安徽省亳州市2023年中考二模数学试题
一、单选题
1．（2023·亳州模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
2．（2023·亳州模拟）2月5日，合肥市统计局发布2022年全市经济运行情况．根据地区生产总值统一核算结果，2022年合肥全市生产总值（）为12013.1亿元，连续七年每年跨越一个千亿台阶．数据12013.1亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023·亳州模拟）如图所示的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023·亳州模拟）下列各式中，计算结果是的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2023·亳州模拟）如图，已知，晓玉把三角板的直角顶点放在直线b上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．（2023·亳州模拟）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值不可能是（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
7．（2023·亳州模拟）已知，，，那么x，y，z满足的等量关系是（　　）
A． B． C． D．
8．（2023·亳州模拟）如图，在中，直径于点H．若，，则的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（2023·亳州模拟）九（2）班进行演讲比赛，题目有“我的祖国”“我的梦想”“美丽的家乡”“我的同桌”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个题目）．比赛时，将A，B，C，D这四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小进先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由晓晨从中随机抽取一张卡片，则小进和晓晨抽中不同题目的概率为（　　）．
A． B． C． D．
10．（2023·亳州模拟）如图，抛物线的对称轴是直线，图象与x轴交于A，B两点．若，则下列结论中错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．若为任意实数，则
二、填空题
11．（2023·亳州模拟）因式分解：　 　．
12．（2023·亳州模拟）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　 ．
13．（2023·亳州模拟）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，交反比例函数的图象于点B．若的面积为2，则m的值为　 　．
14．（2023·亳州模拟）如图，在中，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N．
（1）的度数是　 　；
（2）若，，连接，当线段有最小值时，线段的长为　 　．
三、解答题
15．（2023·亳州模拟）计算：．
16．（2023·亳州模拟）解分式方程：．
17．（2023·亳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
⑴将先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到，画出；
⑵将绕点A按顺时针方向旋转得到，画出．
18．（2023·亳州模拟）如图，下列图案都是由同样大小的基本图形按一定规律所组成的，其中：
第1个图案中基本图形的个数：，
第2个图案中基本图形的个数：，
第3个图案中基本图形的个数：，
第4个图案中基本图形的个数：，
…
按此规律排列，解决下列问题：
（1）写出第5个图案中基本图形的个数：　 　＝　 　；
（2）如果第n个图案中有2024个基本图形，求n的值．
19．（2023·亳州模拟）消防车是灭火救灾的主要装备．如图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图．当云梯升起时，与底盘的夹角为α，液压杆与底盘的夹角为β．已知液压杆m，当，时，求的长．（结果精确到m，参考数据：，，）
20．（2023·亳州模拟）如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点E，的弦与相交于点F．
（1）求证：；
（2）若，且B为的中点，求的半径长．
21．（2023·亳州模拟）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某校开展了“国家安全法”知识竞赛，现从七、八年级学生中各抽取50名学生的竞赛成绩进行统计分析，相关数据整理如下．
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
七年级 80.8 a 70
八年级 b 80 c
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　，　 　；
（2）估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数；
（3）请你对两个年级学生的“国家安全法”知识竞赛成绩作出评价（从“平均数”“中位数”或“众数”中的一个方面评价即可）．
22．（2023·亳州模拟）如图1，在和中，，．
（1）①求证：；
②若，试判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，旋转，使点D落在边BC上，若，．求证：．
23．（2023·亳州模拟）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离为d m．当m，m，m时，解答下列问题：
（1）①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求出点B的坐标；
（2）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是，
故答案为：C．
【分析】只有符号不同的两数互为相反数，0的相反数是0，根据相反数的定义求解即可。
2．【答案】D
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】12013.1亿．
故答案为：D．
【分析】 把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数)，这种计数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，得到的图形是
故答案为：C
【分析】结合所给的几何体，再根据俯视图的定义求解即可。
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用同类项，同底数幂的乘除法则，幂的乘方法则计算求解即可。
5．【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
又∵，
∴，故A符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据题意求出，即可作答。
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意且，
解得且．
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式计算求解即可。
7．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
8．【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
9．【答案】D
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】根据题意可列表如下：
晓晨 小进 A B C D
A
B
C
D
由上表知，所有等可能的结果数有16种，其中两人抽中不同题目的结果数有12种，
∴小进和晓晨抽中不同题目的概率为．
故答案为：D．
【分析】先列表求出所有等可能的结果数有16种，其中两人抽中不同题目的结果数有12种，再求概率即可。
10．【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向上，
．
抛物线对称轴为直线，
．
抛物线与y轴的交点在x轴下方，
，
，A符合题意．
抛物线的对称轴为，且，
点B的坐标为，
当时，，
，B不符合题意．
，，
∴，C符合题意．
当时，y取最小值，
，
即，D符合题意．
故答案为：B
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
11．【答案】
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：
；
故答案为：
【分析】利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可。
12．【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∴直角三角形两直角边的长为2和4，
∴斜边的长为，
故答案为：．
【分析】先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
13．【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，延长交x轴于点C，
轴，
轴，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：2.
【分析】利用三角形的面积公式先求出，，再求出，最后计算求解即可。
14．【答案】（1）90°
（2）
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）∵，，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
故答案为：．
（2）连接．
∵，，，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
当时，线段的值最小，即线段有最小值，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）先求出，再求出四边形是矩形，最后作答即可；
（2）利用勾股定理和相似三角形的判定与性质计算求解即可。
15．【答案】解：原式
．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用负整数指数幂，二次根式的性质，加减法则，特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
16．【答案】解：方程两边都乘，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
检验：当时，，
∴是该分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用解分式方程的方法解方程即可。
17．【答案】解：解：⑴如图所示，即为所求．
⑵如图所示，即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作三角形即可；
（2）根据旋转的性质作三角形即可。
18．【答案】（1）5+2×6；17
（2）解：由（1）可知，第n个图案中基本图形的个数为，
∴，
∴
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】（1）∵第1个图案中基本图形的个数：，
第2个图案中基本图形的个数：，
第3个图案中基本图形的个数：，
第4个图案中基本图形的个数：，
∴第5个图案中基本图形的个数：，
故答案为：5+2×6，17；
【分析】（1）根据所给的图案，求出第5个图案中基本图形的个数：，即可作答；
（2）先找出规律，求出 第n个图案中基本图形的个数为， 再求解即可。
19．【答案】解：在中，，m．
，
，
∴，∴m．
，
，m．
在中，
，
，
m．
∴m．
答：的长约为m．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】结合题意，利用锐角三角函数计算求解即可。
20．【答案】（1）证明：连接OC．
∵是的切线，
∴，
∴，即．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：设的半径为r，则．
∵，B为的中点，
∴，
∴．
在中，，
∴，
解得或（舍去）．
∴的半径长为6．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，最后证明即可；
（2）根据题意先求出 ，再求出 ，最后解方程即可。
21．【答案】（1）70；80；80
（2）解：由题意知，抽取的七年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人）；
抽取的八年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人），
∴七、八年级共600名学生竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人）．
答：该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为210人．
（3）解：从平均数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的平均数分别为分，80分，说明七年级学生竞赛成绩的平均数大于八年级学生竞赛成绩的平均数，故七年级学生的竞赛成绩较好．
从中位数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的中位数分别为70分，80分，说明八年级学生竞赛成绩的中位数大于七年级学生竞赛成绩的中位数，故八年级学生的竞赛成绩较好．
从众数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的众数分别为70分，80分，说明七年级学生竞赛成绩中70分最多，八年级学生竞赛成绩中80分最多，故八年级学生的竞赛成绩较好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】（1）解：七年级的中位数为（分）；
八年级的平均数为（分），众数为80分．
故答案为：70，80，80；
【分析】（1）根据中位数和平均数的定义，结合统计图中的数据计算求解即可；
（2）先求出 抽取的七年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为 20人，再求解即可；
（3）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可。
22．【答案】（1）解：①证明：∵，，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，即．
∴
②解：是等腰三角形．
理由：由①知．
∵，
∴，即是等腰三角形．
（2）证明：∵，，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
②根据题意先求出 ， 再求解即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
23．【答案】（1）解：①由题意，得是上边缘抛物线的顶点，设．
∵上边缘抛物线过点，
∴，解得，
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，解得，（舍去），
∴点C的坐标为，
∴喷出水的最大射程OC为6 m；
②由①知，上边缘抛物线的对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的．
又∵点C的坐标为，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵，
∴点F的纵坐标为，
∴，
解得．
∵，
∴．
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，则．
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为．
由下边缘抛物线可知，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴d的最小值为2．
综上所述，d的取值范围是．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）①利用待定系数法求出 上边缘抛物线的函数解析式为，再求解即可；
②先求出 点的对称点为， 再根据 点C的坐标为， 求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再分类讨论求解即可。
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安徽省亳州市2023年中考二模数学试题
一、单选题
1．（2023·亳州模拟）的相反数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解： 的相反数是，
故答案为：C．
【分析】只有符号不同的两数互为相反数，0的相反数是0，根据相反数的定义求解即可。
2．（2023·亳州模拟）2月5日，合肥市统计局发布2022年全市经济运行情况．根据地区生产总值统一核算结果，2022年合肥全市生产总值（）为12013.1亿元，连续七年每年跨越一个千亿台阶．数据12013.1亿用科学记数法表示为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】科学记数法—表示绝对值较大的数
【解析】【解答】12013.1亿．
故答案为：D．
【分析】 把一个大于10的数表示成a×10n的形式(其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数)，这种计数法叫做科学记数法。根据科学记数法的定义计算求解即可。
3．（2023·亳州模拟）如图所示的几何体，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单组合体的三视图
【解析】【解答】解：从上面看，得到的图形是
故答案为：C
【分析】结合所给的几何体，再根据俯视图的定义求解即可。
4．（2023·亳州模拟）下列各式中，计算结果是的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方
【解析】【解答】解：A、与不是同类项，不能合并，故不符合题意；
B、，故不符合题意；
C、，故不符合题意；
D、，故符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用同类项，同底数幂的乘除法则，幂的乘方法则计算求解即可。
5．（2023·亳州模拟）如图，已知，晓玉把三角板的直角顶点放在直线b上．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
又∵，
∴，故A符合题意．
故答案为：A．
【分析】根据题意求出，即可作答。
6．（2023·亳州模拟）关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的值不可能是（　　）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【答案】C
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：由题意且，
解得且．
故答案为：C
【分析】根据一元二次方程有两个不相等的实数根，利用根的判别式计算求解即可。
7．（2023·亳州模拟）已知，，，那么x，y，z满足的等量关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：C
【分析】根据题意先求出，再求出，最后计算求解即可。
8．（2023·亳州模拟）如图，在中，直径于点H．若，，则的长为（　　）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】D
【知识点】垂径定理
【解析】【解答】连接，
∵，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：D．
【分析】根据题意先求出，，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
9．（2023·亳州模拟）九（2）班进行演讲比赛，题目有“我的祖国”“我的梦想”“美丽的家乡”“我的同桌”（分别用字母A，B，C，D依次表示这四个题目）．比赛时，将A，B，C，D这四个字母分别写在4张无差别不透明的卡片的正面上，洗匀后正面向下放在桌面上，小进先从中随机抽取一张卡片，放回后洗匀，再由晓晨从中随机抽取一张卡片，则小进和晓晨抽中不同题目的概率为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】列表法与树状图法
【解析】【解答】根据题意可列表如下：
晓晨 小进 A B C D
A
B
C
D
由上表知，所有等可能的结果数有16种，其中两人抽中不同题目的结果数有12种，
∴小进和晓晨抽中不同题目的概率为．
故答案为：D．
【分析】先列表求出所有等可能的结果数有16种，其中两人抽中不同题目的结果数有12种，再求概率即可。
10．（2023·亳州模拟）如图，抛物线的对称轴是直线，图象与x轴交于A，B两点．若，则下列结论中错误的是（　　）
A．
B．
C．
D．若为任意实数，则
【答案】B
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：抛物线开口向上，
．
抛物线对称轴为直线，
．
抛物线与y轴的交点在x轴下方，
，
，A符合题意．
抛物线的对称轴为，且，
点B的坐标为，
当时，，
，B不符合题意．
，，
∴，C符合题意．
当时，y取最小值，
，
即，D符合题意．
故答案为：B
【分析】利用二次函数的图象与性质对每个选项一一判断即可。
二、填空题
11．（2023·亳州模拟）因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】提公因式法与公式法的综合运用
【解析】【解答】解：
；
故答案为：
【分析】利用提公因式法和完全平方公式分解因式即可。
12．（2023·亳州模拟）若一个直角三角形两条直角边的长分别是一元二次方程的两个实数根，则这个直角三角形斜边的长是　 　 ．
【答案】
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴或，
解得，
∴直角三角形两直角边的长为2和4，
∴斜边的长为，
故答案为：．
【分析】先求出，再求出，最后利用勾股定理计算求解即可。
13．（2023·亳州模拟）如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A作轴，交反比例函数的图象于点B．若的面积为2，则m的值为　 　．
【答案】2
【知识点】反比例函数系数k的几何意义
【解析】【解答】解：如图，延长交x轴于点C，
轴，
轴，
，
，
，
，
解得：，
故答案为：2.
【分析】利用三角形的面积公式先求出，，再求出，最后计算求解即可。
14．（2023·亳州模拟）如图，在中，，点D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点M，于点N．
（1）的度数是　 　；
（2）若，，连接，当线段有最小值时，线段的长为　 　．
【答案】（1）90°
（2）
【知识点】矩形的判定与性质；相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】（1）∵，，
∴．
∵，
∴四边形是矩形，
∴．
故答案为：．
（2）连接．
∵，，，
∴．
∵四边形是矩形，
∴．
当时，线段的值最小，即线段有最小值，
∵，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】（1）先求出，再求出四边形是矩形，最后作答即可；
（2）利用勾股定理和相似三角形的判定与性质计算求解即可。
三、解答题
15．（2023·亳州模拟）计算：．
【答案】解：原式
．
【知识点】特殊角的三角函数值
【解析】【分析】利用负整数指数幂，二次根式的性质，加减法则，特殊角的锐角三角函数值计算求解即可。
16．（2023·亳州模拟）解分式方程：．
【答案】解：方程两边都乘，得 ，
去括号，得 ，
移项、合并同类项，得 ，
系数化为1，得 ，
检验：当时，，
∴是该分式方程的解．
【知识点】解分式方程
【解析】【分析】利用解分式方程的方法解方程即可。
17．（2023·亳州模拟）如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点的坐标分别为，，．
⑴将先向下平移2个单位长度，再向右平移5个单位长度得到，画出；
⑵将绕点A按顺时针方向旋转得到，画出．
【答案】解：解：⑴如图所示，即为所求．
⑵如图所示，即为所求．
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【分析】（1）根据平移的性质作三角形即可；
（2）根据旋转的性质作三角形即可。
18．（2023·亳州模拟）如图，下列图案都是由同样大小的基本图形按一定规律所组成的，其中：
第1个图案中基本图形的个数：，
第2个图案中基本图形的个数：，
第3个图案中基本图形的个数：，
第4个图案中基本图形的个数：，
…
按此规律排列，解决下列问题：
（1）写出第5个图案中基本图形的个数：　 　＝　 　；
（2）如果第n个图案中有2024个基本图形，求n的值．
【答案】（1）5+2×6；17
（2）解：由（1）可知，第n个图案中基本图形的个数为，
∴，
∴
【知识点】探索图形规律
【解析】【解答】（1）∵第1个图案中基本图形的个数：，
第2个图案中基本图形的个数：，
第3个图案中基本图形的个数：，
第4个图案中基本图形的个数：，
∴第5个图案中基本图形的个数：，
故答案为：5+2×6，17；
【分析】（1）根据所给的图案，求出第5个图案中基本图形的个数：，即可作答；
（2）先找出规律，求出 第n个图案中基本图形的个数为， 再求解即可。
19．（2023·亳州模拟）消防车是灭火救灾的主要装备．如图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图．当云梯升起时，与底盘的夹角为α，液压杆与底盘的夹角为β．已知液压杆m，当，时，求的长．（结果精确到m，参考数据：，，）
【答案】解：在中，，m．
，
，
∴，∴m．
，
，m．
在中，
，
，
m．
∴m．
答：的长约为m．
【知识点】解直角三角形的应用
【解析】【分析】结合题意，利用锐角三角函数计算求解即可。
20．（2023·亳州模拟）如图，为的直径，半径，的切线交的延长线于点E，的弦与相交于点F．
（1）求证：；
（2）若，且B为的中点，求的半径长．
【答案】（1）证明：连接OC．
∵是的切线，
∴，
∴，即．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
∴．
又∵，
∴，
∴．
（2）解：设的半径为r，则．
∵，B为的中点，
∴，
∴．
在中，，
∴，
解得或（舍去）．
∴的半径长为6．
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，最后证明即可；
（2）根据题意先求出 ，再求出 ，最后解方程即可。
21．（2023·亳州模拟）每年的4月15日是我国全民国家安全教育日．某校开展了“国家安全法”知识竞赛，现从七、八年级学生中各抽取50名学生的竞赛成绩进行统计分析，相关数据整理如下．
平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
七年级 80.8 a 70
八年级 b 80 c
请根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　，　 　；
（2）估计该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数；
（3）请你对两个年级学生的“国家安全法”知识竞赛成绩作出评价（从“平均数”“中位数”或“众数”中的一个方面评价即可）．
【答案】（1）70；80；80
（2）解：由题意知，抽取的七年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人）；
抽取的八年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人），
∴七、八年级共600名学生竞赛成绩达到90分及以上的人数为（人）．
答：该校七、八年级共600名学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为210人．
（3）解：从平均数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的平均数分别为分，80分，说明七年级学生竞赛成绩的平均数大于八年级学生竞赛成绩的平均数，故七年级学生的竞赛成绩较好．
从中位数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的中位数分别为70分，80分，说明八年级学生竞赛成绩的中位数大于七年级学生竞赛成绩的中位数，故八年级学生的竞赛成绩较好．
从众数来看：七年级、八年级学生竞赛成绩的众数分别为70分，80分，说明七年级学生竞赛成绩中70分最多，八年级学生竞赛成绩中80分最多，故八年级学生的竞赛成绩较好．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；分析数据的集中趋势
【解析】【解答】（1）解：七年级的中位数为（分）；
八年级的平均数为（分），众数为80分．
故答案为：70，80，80；
【分析】（1）根据中位数和平均数的定义，结合统计图中的数据计算求解即可；
（2）先求出 抽取的七年级学生中竞赛成绩达到90分及以上的人数为 20人，再求解即可；
（3）根据平均数，中位数和众数的定义求解即可。
22．（2023·亳州模拟）如图1，在和中，，．
（1）①求证：；
②若，试判断的形状，并说明理由；
（2）如图2，旋转，使点D落在边BC上，若，．求证：．
【答案】（1）解：①证明：∵，，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，即．
∴
②解：是等腰三角形．
理由：由①知．
∵，
∴，即是等腰三角形．
（2）证明：∵，，
∴，
∴，即．
又∵，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等腰三角形的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）①利用相似三角形的判定与性质证明求解即可；
②根据题意先求出 ， 再求解即可；
（2）利用相似三角形的判定与性质证明求解即可。
23．（2023·亳州模拟）如图1，灌溉车沿着平行于绿化带底部边线的方向行驶，为绿化带浇水．喷水口H离地竖直高度为hm，如图2，可以把灌溉车喷出水的上、下边缘抽象为平面直角坐标系中两条抛物线的部分图象，把绿化带横截面抽象为矩形．下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移得到的，上边缘抛物线最高点A离喷水口的水平距离为2m，高出喷水口0.5m，灌溉车到绿化带的距离为d m．当m，m，m时，解答下列问题：
（1）①求上边缘抛物线的函数解析式，并求喷出水的最大射程；
②求出点B的坐标；
（2）要使灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，试求出d的取值范围．
【答案】（1）解：①由题意，得是上边缘抛物线的顶点，设．
∵上边缘抛物线过点，
∴，解得，
∴上边缘抛物线的函数解析式为．
当时，，解得，（舍去），
∴点C的坐标为，
∴喷出水的最大射程OC为6 m；
②由①知，上边缘抛物线的对称轴为直线，
∴点的对称点为，
∴下边缘抛物线是由上边缘抛物线向左平移4 m得到的．
又∵点C的坐标为，
∴点B的坐标为；
（2）解：∵，
∴点F的纵坐标为，
∴，
解得．
∵，
∴．
当时，y随x的增大而减小，
∴当时，要使，则．
∵当时，y随x的增大而增大，且时，，
∴当时，要使，则．
∵，灌溉车行驶时喷出的水能浇灌到整个绿化带，
∴d的最大值为．
由下边缘抛物线可知，喷出的水能浇灌到绿化带底部的条件是，
∴d的最小值为2．
综上所述，d的取值范围是．
【知识点】二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）①利用待定系数法求出 上边缘抛物线的函数解析式为，再求解即可；
②先求出 点的对称点为， 再根据 点C的坐标为， 求解即可；
（2）根据题意先求出 ，再分类讨论求解即可。
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