资源简介

内蒙古呼和浩特2023年九年级中考一模数学试题
一、单选题
1．（2023·呼和浩特模拟）下列图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023·呼和浩特模拟）如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（　　）
A．-3 B．3 C． D．
3．（2023·呼和浩特模拟）用代入法解一元二次方程过程中，下列变形错误的是（　　）
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得
4．（2023·呼和浩特模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．（2023·呼和浩特模拟）如图是某企业2020年5~10月份月利润变化情况的折线统计图，下列说法与图中反映的信息相符的是（　　）
A．5~6月份月利润增长量大于9~10月份月利润增长量
B．5~10月份月利润的中位数是700万元
C．5~10月份月利润的平均数是760万元
D．5~10月份月利润的众数是1000万元
6．（2023·呼和浩特模拟）下列命题：（1）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍（2）相等的圆心角所对的弦相等（3）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中真命题的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
7．（2023·呼和浩特模拟）如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至的位置时，点恰好落在边的中点处，则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
8．（2023·呼和浩特模拟）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型．已知每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元，且同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．设“天宫”模型进价为每个元，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（2023·呼和浩特模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
10．（2023·呼和浩特模拟）如图，在中，，于点．点是上两点，且，，若，．则的值为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题
11．（2023·呼和浩特模拟）因式分解：=　 　．
12．（2023·呼和浩特模拟）如图是某立体图形的三视图，该立体图形的名称是　 　，若主视图和左视图均为边长为的等边三角形，则该立体图形的表面积为　 　．
13．（2023·呼和浩特模拟）盒子里装有若干个彩色球，它们除颜色外完全相同，其中有6个黄球，从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是，则盒子里共有　 　个彩色球．
14．（2023·呼和浩特模拟）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为　 　．
15．（2023·呼和浩特模拟）如图在菱形中，为对角线与的交点，点为边上的任一点（不与、重合），过点分别作，，、为垂足，则可以判断四边形的形状为　 　．若菱形的边长为，，则的最小值为　 　．（用含的式子表示）
16．（2023·呼和浩特模拟）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，则点的限变点是　 　．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是　 　．
三、解答题
17．（2023·呼和浩特模拟）计算求解
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
18．（2023·呼和浩特模拟）如图，过的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
19．（2023·呼和浩特模拟）某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每位学生只能参加一个项目）：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．参与数学游戏；E．挑战数学竞赛．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 ▲ 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明名数）；
③扇形统计图中圆心角 ▲ 度；
（2）若该年级有1100名学生，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名；
（3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请直接写出恰好抽到2名男生的概率．
20．（2023·呼和浩特模拟）如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即）的坡面走了200米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号）
21．（2023·呼和浩特模拟）如图，点，是反比例函数图像上的两点，过点，分别作轴于点，轴于点，连接，已知点，，，
（1）求点坐标及反比例函数解析式；
（2）若所在直线的解析式为，根据图像，请直接写出不等式的解集．
22．（2023·呼和浩特模拟）某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为40元/件，售价为60元/件，下面是他们在活动结束后的对话：
小丽：我发现此商品如果按60元/件销售，每星期可卖出件．
小强：我发现在售价60元/件的基础上调整价格，每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件．
小红：我发现在售价60元/件的基础上调整价格，每降价元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件．
（1）若设每件涨价元，则每星期实际可卖出　 　件，每星期售出商品的利润（元）与的关系式为　 　，的取值范围是　 　．
（2）若设每件降价元，则每星期售出商品的利润（元）与的关系式为　 　．
（3）在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？
23．（2023·呼和浩特模拟）如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）连接，取的中点，连接．若，，求的长．
24．（2023·呼和浩特模拟）已知，二次函数与轴的一个交点为，且过和点．
（1）求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标；
（2）将二次函数向右平移个单位，得到的新抛物线，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式；
（3）已知M、P、Q是抛物线上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是，，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故答案为：B．
【分析】 如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形 。根据中心对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：点表示的数为-3，
-3的相反数为3，
故答案为：B．
【分析】先求出点表示的数为-3，再求相反数即可。
3．【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
，C选项变形符合题意
故答案为：C
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
4．【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；分母有理化；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A． ，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C． ，故本选项符合题意；
D． 与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质，同底数幂的乘法法则，同类项计算求解即可。
5．【答案】B
【知识点】折线统计图；利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：由折线统计图知这组数据为500、600、700、700、900，1000、
A.5～6月份利润增长了，9～10月份利润，增长了，故A说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；
B.5～10月份利润的中位数为700万元，故B说法与图中反映的信息相符，故本选项符合题意．
C.5～10月份利润的平均数为（万元），故C说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；
D.700出现了2次，是出现次数最多的，5~10月份月利润的众数700万元，故D说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据折线统计图中的数据对每个选项一一判断求解即可。
6．【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解∶一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的81倍，故（1）是假命题；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故（2）是假命题；
对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故（3）是假命题；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故（4）是真命题；共有1个真命题，
故答案为：∶ D．
【分析】根据命题的定义对每个命题一一判断求解即可。
7．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，，将其进行顺时针旋转，落在的中点处，
∴是由旋转得到，
∴，
∵，点恰好落在边的中点处，
∴，
根据勾股定理：，
又∵，且，
∴为等边三角形，
∴旋转角，
∴，且，
∴也是等边三角形，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出，再求出旋转角，最后求解即可。
8．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，设“天宫”模型进价为每个元，则“神舟”模型的价格为元，
∴花费100元购进“天宫”模型的数量是，购进“神舟”模型的数量是，
∵“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出花费100元购进“天宫”模型的数量是，购进“神舟”模型的数量是，再列方程求解即可。
9．【答案】A
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点
在中，
令，解得：，
即的坐标是．
令，解得：，
即的坐标是．
则，．
∵，
∴，
又∵直角中，，
∴，
在和中，
，
∴（），
同理，，
∴，，
故的坐标是，的坐标是．
代入得：，
则函数的解析式是：．
∴，
则的纵坐标是，
把代入得：．即的坐标是，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先求出，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
10．【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，，，
∴是等腰直角三角形，且，，
∴在中，，，
∴，，
∴，
已知，是的外角，是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∴代入得，，解得，，（舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】利用相似三角形的判定方法先求出，再求出，最后计算求解即可。
11．【答案】x(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= =x(x+1)(x-1)，
故答案为：x(x+1)(x-1)．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
12．【答案】圆锥；3π
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：主视图、俯视图都是等边三角形，俯视图是圆形，
∴该立体图形是圆锥，
∵主视图和左视图均为边长为的等边三角形，
∴底面圆的直径是，半径是，
∴底面圆的周长为，底面圆的面积为，
∴侧面展开图的扇形的弧长为，半径为，
∴扇形所在的圆的周长为，则扇形的圆心角，
∴扇形的面积为，
∴圆锥的表面积为，
故答案为：圆锥，3π．
【分析】先求出底面圆的直径是，半径是，再求出侧面展开图的扇形的弧长为，半径为，最后利用扇形面积公式计算求解即可。
13．【答案】54
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解∶根据题意知， 盒子里的球共有 (个) ；
故答案为：54．
【分析】根据其中有6个黄球，从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是 ，计算求解即可。
14．【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接．∵是弦的中点，且经过圆心，
∴，且．
在中，令的半径为，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，CM=2，再根据列方程求解即可。
15．【答案】矩形；
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，连接
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
∵菱形的边长为，，
∴，，
∴是等边三角形．
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴当时，取得最小值，也取得最小值，此时，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：矩形，．
【分析】先求出是等边三角形，再利用勾股定理求出AO的值，最后利用矩形的性质和三角形的面积公式计算求解即可。
16．【答案】；
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵， ，
∴，
∴点的限变点是，
∵点在二次函数的图象上，
∴
当时，，
∴，
当时，，
∴当时，，
综上，当时，其限变点的纵坐标n'的取值范围是，
故答案为：，．
【分析】根据题意先求出点的限变点是，再求出，最后分类讨论求解即可。
17．【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减乘除法则，特殊角的锐角三角函数值，负整数指数幂，计算求解即可；
（2）先化简分式，再将x的值代入计算求解即可。
18．【答案】解：四边形EFGH的形状是菱形，理由如下：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
在和中， ，
∴(ASA)
∴OE=OG．
同理可证OF=OH．
∵，
∴四边形为菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】先求出 ， 再求出 OE=OG，最后利用菱形的判定方法证明即可。
19．【答案】（1）解：①400；
②A阅读数学名著（名），
∴C制作数学模型（名），
补全统计图如下：
；
③54
（2）解：D项目的学生：（名）
（3）解：
男1 男2 男3 女1 女2
男1 　 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） 　 （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2）
男3 （男3，男1） （男3，男2） 　 （男3，女1） （男3，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） 　 （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1） 　
共有20种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况数为6种，
∴.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】（1）解：①（名），
故答案为：400；
③，
故答案为：54；
【分析】（1）①根据统计图中的数据求解即可；
②先求出 C制作数学模型 有40名，再补全统计图即可；
③根据题意求出即可作答；
（2）根据 该年级有1100名学生， 求解即可；
（3）先列表，再求出 共有20种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况数为6种， 最后求概率即可。
20．【答案】解：作于．
∵，米，
（米，
，
四边形是矩形，
（米，
，，
，
，，
，
，，
，
（米，
在中，，
（米，
（米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先求出 四边形是矩形， 再利用锐角三角函数计算求解即可。
21．【答案】（1）解：点，是反比例函数图像上，轴于点，轴于点，点，
∴点，
∵，
∴，即点，
∵，
∴，即，解得，，
∴反比例函数解析式为，
∴，，
∴点的坐标为，反比例函数解析式为．
（2）解：当时或当时，．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：(2)已知点，，
∴由图象可知，当时，，即；
当时，，即；
综上所述，当时或当时，．
【分析】（1）利用三角形的面积公式先求出CD=2，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）结合函数图象，分类讨论求解即可。
22．【答案】（1）（300-10x）；；0≤x≤30且x为整数
（2）
（3）解：由（1）可知，，（为整数），
∴，
∴当时，商品的利润最大，最大利润，
∴商品的定价为65元时，销售利润最大，最大为6250元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：进价为40元/件，按60元/件销售，每星期可卖出300件，每涨价1元，每星期比销售量300件要少卖出10件，设每件涨价元，
∴现在每件的销售价格为：元，销售量为：件，每件的利润为元，
∴，即，
∵，则，
∴，且为整数，
故答案为：，，，且为整数．
（2）解：进价为40元/件，按60元/件销售，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期比销售量300件要多卖出20件，设每件降价元，
∴现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元，
∴，即，
故答案为：．
【分析】（1）利用利润公式，结合题意求解即可；
（2）根据题意先求出现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元，再求函数解析式即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求解即可。
23．【答案】（1）证明：如图1，连接，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的直径，是的中点，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
∴为的切线．
（2）解：如图，连接，过作，垂足为．
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，解得，
设的半径为，则．
解之得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵为中点，
∴．
∴，．
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质求出 ，， 最后利用勾股定理计算求解即可。
24．【答案】（1）解：∵二次函数与轴的一个交点为，且过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为，
∴二次函数化为顶点式为，
∴二次函数顶点为
（2）解：如图∶
将二次函数，的图象向右平移个单位得的图象，
∴新图象的对称轴为直线，
∵当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，且抛物线开口向下，
∴，
解得，
∵是整数，
∴，或或，
∴或或，
∴符合条件的新函数的解析式为或或；
（3）解：当在左侧时，过作于，如图，
∵点、的横坐标分别是、，
∴，，
∴，，
∵点与点关于该抛物线的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线，
∴，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
当在右侧时，如图，
同理可得是等腰直角三角形，，
∴，
综上所述，的度数是或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）先求出 二次函数的表达式为， 再求顶点坐标即可；
（2）根据题意先求出 ，或或， 再求函数解析式即可；
（3）分类讨论，结合函数图象判断求解即可。
1 / 1内蒙古呼和浩特2023年九年级中考一模数学试题
一、单选题
1．（2023·呼和浩特模拟）下列图标中是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：选项A、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项B能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故答案为：B．
【分析】 如果一个图形绕某一个点旋转180°后能与它自身重合，我们就把这个图形叫做中心对称图形 。根据中心对称图形的定义对每个选项一一判断即可。
2．（2023·呼和浩特模拟）如图，数轴上点A所表示的数的相反数为（　　）
A．-3 B．3 C． D．
【答案】B
【知识点】数轴及有理数在数轴上的表示；相反数及有理数的相反数
【解析】【解答】解：点表示的数为-3，
-3的相反数为3，
故答案为：B．
【分析】先求出点表示的数为-3，再求相反数即可。
3．（2023·呼和浩特模拟）用代入法解一元二次方程过程中，下列变形错误的是（　　）
A．由①得 B．由①得
C．由②得 D．由②得
【答案】C
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【解答】解：
，C选项变形符合题意
故答案为：C
【分析】根据题意先求出，再求解即可。
4．（2023·呼和浩特模拟）下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】单项式乘单项式；分母有理化；二次根式的加减法；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】A． ，故本选项不符合题意；
B．，故本选项不符合题意；
C． ，故本选项符合题意；
D． 与不是同类项，不能合并，故本选项不符合题意；
故答案为：C．
【分析】利用二次根式的性质，同底数幂的乘法法则，同类项计算求解即可。
5．（2023·呼和浩特模拟）如图是某企业2020年5~10月份月利润变化情况的折线统计图，下列说法与图中反映的信息相符的是（　　）
A．5~6月份月利润增长量大于9~10月份月利润增长量
B．5~10月份月利润的中位数是700万元
C．5~10月份月利润的平均数是760万元
D．5~10月份月利润的众数是1000万元
【答案】B
【知识点】折线统计图；利用统计图表分析实际问题
【解析】【解答】解：由折线统计图知这组数据为500、600、700、700、900，1000、
A.5～6月份利润增长了，9～10月份利润，增长了，故A说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；
B.5～10月份利润的中位数为700万元，故B说法与图中反映的信息相符，故本选项符合题意．
C.5～10月份利润的平均数为（万元），故C说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；
D.700出现了2次，是出现次数最多的，5~10月份月利润的众数700万元，故D说法与图中反映的信息不相符，故本选项不符合题意；
故答案为：B．
【分析】根据折线统计图中的数据对每个选项一一判断求解即可。
6．（2023·呼和浩特模拟）下列命题：（1）一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的9倍（2）相等的圆心角所对的弦相等（3）对角线相等且互相垂直的四边形是正方形（4）经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，其中真命题的个数有（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
【答案】D
【知识点】真命题与假命题
【解析】【解答】解∶一个三角形的各边长扩大为原来的9倍，这个三角形的面积也扩大为原来的81倍，故（1）是假命题；
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，故（2）是假命题；
对角线相等且互相垂直平分的四边形是正方形，故（3）是假命题；
经过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，故（4）是真命题；共有1个真命题，
故答案为：∶ D．
【分析】根据命题的定义对每个命题一一判断求解即可。
7．（2023·呼和浩特模拟）如图，在中，，．将绕点按顺时针方向旋转至的位置时，点恰好落在边的中点处，则的长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】解：∵在中，，，将其进行顺时针旋转，落在的中点处，
∴是由旋转得到，
∴，
∵，点恰好落在边的中点处，
∴，
根据勾股定理：，
又∵，且，
∴为等边三角形，
∴旋转角，
∴，且，
∴也是等边三角形，
∴，
故答案为：B．
【分析】根据题意先求出，再求出旋转角，最后求解即可。
8．（2023·呼和浩特模拟）2022年4月16日，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆，三名航天员平安归来，神舟十三号任务取得圆满成功．某航模店购进了“神舟”和“天宫”两款航空模型．已知每个“神舟”模型比“天宫”模型的进价多10元，且同样花费100元，购进“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个．设“天宫”模型进价为每个元，则下列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：根据题意，设“天宫”模型进价为每个元，则“神舟”模型的价格为元，
∴花费100元购进“天宫”模型的数量是，购进“神舟”模型的数量是，
∵“天宫”模型的数量比“神舟”模型多5个
∴，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出花费100元购进“天宫”模型的数量是，购进“神舟”模型的数量是，再列方程求解即可。
9．（2023·呼和浩特模拟）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点，以为边在第一象限作正方形，其中顶点恰好落在双曲线上，现将正方形沿轴向下平移个单位，可以使得顶点落在双曲线上，则的值为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】A
【知识点】正方形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征；三角形全等的判定（AAS）
【解析】【解答】解：作轴于点，作轴于点，作轴于点，交双曲线于点
在中，
令，解得：，
即的坐标是．
令，解得：，
即的坐标是．
则，．
∵，
∴，
又∵直角中，，
∴，
在和中，
，
∴（），
同理，，
∴，，
故的坐标是，的坐标是．
代入得：，
则函数的解析式是：．
∴，
则的纵坐标是，
把代入得：．即的坐标是，
∴，
∴．
故答案为：A．
【分析】先求出，再利用全等三角形的判定与性质求解即可。
10．（2023·呼和浩特模拟）如图，在中，，于点．点是上两点，且，，若，．则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】相似三角形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，
∵，，，
∴是等腰直角三角形，且，，
∴在中，，，
∴，，
∴，
已知，是的外角，是的外角，
∴，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∴代入得，，解得，，（舍去），
∴，
故答案为：．
【分析】利用相似三角形的判定方法先求出，再求出，最后计算求解即可。
二、填空题
11．（2023·呼和浩特模拟）因式分解：=　 　．
【答案】x(x+1)(x-1)
【知识点】因式分解﹣综合运用提公因式与公式法
【解析】【解答】解：原式= =x(x+1)(x-1)，
故答案为：x(x+1)(x-1)．
【分析】利用提公因式法和平方差公式分解因式即可。
12．（2023·呼和浩特模拟）如图是某立体图形的三视图，该立体图形的名称是　 　，若主视图和左视图均为边长为的等边三角形，则该立体图形的表面积为　 　．
【答案】圆锥；3π
【知识点】圆锥的计算；由三视图判断几何体
【解析】【解答】解：主视图、俯视图都是等边三角形，俯视图是圆形，
∴该立体图形是圆锥，
∵主视图和左视图均为边长为的等边三角形，
∴底面圆的直径是，半径是，
∴底面圆的周长为，底面圆的面积为，
∴侧面展开图的扇形的弧长为，半径为，
∴扇形所在的圆的周长为，则扇形的圆心角，
∴扇形的面积为，
∴圆锥的表面积为，
故答案为：圆锥，3π．
【分析】先求出底面圆的直径是，半径是，再求出侧面展开图的扇形的弧长为，半径为，最后利用扇形面积公式计算求解即可。
13．（2023·呼和浩特模拟）盒子里装有若干个彩色球，它们除颜色外完全相同，其中有6个黄球，从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是，则盒子里共有　 　个彩色球．
【答案】54
【知识点】概率的简单应用
【解析】【解答】解∶根据题意知， 盒子里的球共有 (个) ；
故答案为：54．
【分析】根据其中有6个黄球，从盒子中任意摸出一个球，摸到黄球的概率是 ，计算求解即可。
14．（2023·呼和浩特模拟）如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点为圆心的圆的一部分．如果是中弦的中点，经过圆心交于点，并且，．则的半径为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；垂径定理
【解析】【解答】解：连接．∵是弦的中点，且经过圆心，
∴，且．
在中，令的半径为，
∵，
∴，
解得：，
故答案为：．
【分析】根据题意先求出，CM=2，再根据列方程求解即可。
15．（2023·呼和浩特模拟）如图在菱形中，为对角线与的交点，点为边上的任一点（不与、重合），过点分别作，，、为垂足，则可以判断四边形的形状为　 　．若菱形的边长为，，则的最小值为　 　．（用含的式子表示）
【答案】矩形；
【知识点】菱形的性质；矩形的判定；四边形的综合
【解析】【解答】解：如图，连接
∵四边形是菱形，
∴，
∵，，
∴，
∴四边形是矩形；
∵菱形的边长为，，
∴，，
∴是等边三角形．
∴，
∴，
∴，
∵四边形是矩形，
∴，
∴当时，取得最小值，也取得最小值，此时，
∴，
∴的最小值为，
故答案为：矩形，．
【分析】先求出是等边三角形，再利用勾股定理求出AO的值，最后利用矩形的性质和三角形的面积公式计算求解即可。
16．（2023·呼和浩特模拟）新定义：在平面直角坐标系中，对于点和点，若满足时，；时，，则称点是点的限变点．例如：点的限变点是，则点的限变点是　 　．若点在二次函数的图象上，则当时，其限变点的纵坐标的取值范围是　 　．
【答案】；
【知识点】定义新运算；二次函数y=ax^2+bx+c的性质
【解析】【解答】解：∵， ，
∴，
∴点的限变点是，
∵点在二次函数的图象上，
∴
当时，，
∴，
当时，，
∴当时，，
综上，当时，其限变点的纵坐标n'的取值范围是，
故答案为：，．
【分析】根据题意先求出点的限变点是，再求出，最后分类讨论求解即可。
三、解答题
17．（2023·呼和浩特模拟）计算求解
（1）计算：；
（2）先化简，再求值：，其中．
【答案】（1）解：
；
（2）解：
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值；特殊角的三角函数值
【解析】【分析】（1）利用二次根式的加减乘除法则，特殊角的锐角三角函数值，负整数指数幂，计算求解即可；
（2）先化简分式，再将x的值代入计算求解即可。
18．（2023·呼和浩特模拟）如图，过的对角线AC的中点O作两条互相垂直的直线，分别交AB，BC，CD，DA于E，F，G，H四点，连接EF，FG，GH，HE．试判断四边形EFGH的形状，并说明理由．
【答案】解：四边形EFGH的形状是菱形，理由如下：
∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
在和中， ，
∴(ASA)
∴OE=OG．
同理可证OF=OH．
∵，
∴四边形为菱形．
【知识点】平行四边形的性质；菱形的判定
【解析】【分析】先求出 ， 再求出 OE=OG，最后利用菱形的判定方法证明即可。
19．（2023·呼和浩特模拟）某校为落实“双减”政策，增强课后服务的丰富性，充分用好课后服务时间，3月份学校开展数学学科活动，其中七年级开展了五个项目（每位学生只能参加一个项目）：A．阅读数学名著；B．讲述数学故事；C．制作数学模型；D．参与数学游戏；E．挑战数学竞赛．为了解学生对以上活动的参与情况，随机抽取部分学生进行了调查统计，并根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
根据图中信息，解答下列问题：
（1）①此次调查一共随机抽取了 ▲ 名学生；
②补全条形统计图（要求在条形图上方注明名数）；
③扇形统计图中圆心角 ▲ 度；
（2）若该年级有1100名学生，请你估计该年级参加D项目的学生大约有多少名；
（3）在C项目展示活动中，某班获得一等奖的学生有3名男生，2名女生，则从这5名学生中随机抽取2名学生代表本班参加学校制作数学模型活动，请直接写出恰好抽到2名男生的概率．
【答案】（1）解：①400；
②A阅读数学名著（名），
∴C制作数学模型（名），
补全统计图如下：
；
③54
（2）解：D项目的学生：（名）
（3）解：
男1 男2 男3 女1 女2
男1 　 （男1，男2） （男1，男3） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） 　 （男2，男3） （男2，女1） （男2，女2）
男3 （男3，男1） （男3，男2） 　 （男3，女1） （男3，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，男3） 　 （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，男3） （女2，女1） 　
共有20种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况数为6种，
∴.
【知识点】用样本估计总体；扇形统计图；条形统计图；列表法与树状图法
【解析】【解答】（1）解：①（名），
故答案为：400；
③，
故答案为：54；
【分析】（1）①根据统计图中的数据求解即可；
②先求出 C制作数学模型 有40名，再补全统计图即可；
③根据题意求出即可作答；
（2）根据 该年级有1100名学生， 求解即可；
（3）先列表，再求出 共有20种等可能的情况，其中抽到2名男生的情况数为6种， 最后求概率即可。
20．（2023·呼和浩特模拟）如图，某测量小组为了测量山的高度，在地面处测得山顶的仰角，然后沿着坡角为（即）的坡面走了200米到达处，此时在处测得山顶的仰角为，求山高（结果保留根号）
【答案】解：作于．
∵，米，
（米，
，
四边形是矩形，
（米，
，，
，
，，
，
，，
，
（米，
在中，，
（米，
（米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】先求出 四边形是矩形， 再利用锐角三角函数计算求解即可。
21．（2023·呼和浩特模拟）如图，点，是反比例函数图像上的两点，过点，分别作轴于点，轴于点，连接，已知点，，，
（1）求点坐标及反比例函数解析式；
（2）若所在直线的解析式为，根据图像，请直接写出不等式的解集．
【答案】（1）解：点，是反比例函数图像上，轴于点，轴于点，点，
∴点，
∵，
∴，即点，
∵，
∴，即，解得，，
∴反比例函数解析式为，
∴，，
∴点的坐标为，反比例函数解析式为．
（2）解：当时或当时，．
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：(2)已知点，，
∴由图象可知，当时，，即；
当时，，即；
综上所述，当时或当时，．
【分析】（1）利用三角形的面积公式先求出CD=2，再利用待定系数法求函数解析式即可；
（2）结合函数图象，分类讨论求解即可。
22．（2023·呼和浩特模拟）某校九年级学生小丽、小强和小红到某商场参加了社会实践活动，在活动中他们参与了某商品的销售工作，已知该商品的进价为40元/件，售价为60元/件，下面是他们在活动结束后的对话：
小丽：我发现此商品如果按60元/件销售，每星期可卖出件．
小强：我发现在售价60元/件的基础上调整价格，每涨价元，每星期比小丽所调查的销售量300件要少卖出10件．
小红：我发现在售价60元/件的基础上调整价格，每降价元，每星期比小丽所调查的销售量300件要多卖出20件．
（1）若设每件涨价元，则每星期实际可卖出　 　件，每星期售出商品的利润（元）与的关系式为　 　，的取值范围是　 　．
（2）若设每件降价元，则每星期售出商品的利润（元）与的关系式为　 　．
（3）在涨价情况下，如何定价才能使每星期售出商品的利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）（300-10x）；；0≤x≤30且x为整数
（2）
（3）解：由（1）可知，，（为整数），
∴，
∴当时，商品的利润最大，最大利润，
∴商品的定价为65元时，销售利润最大，最大为6250元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】（1）解：进价为40元/件，按60元/件销售，每星期可卖出300件，每涨价1元，每星期比销售量300件要少卖出10件，设每件涨价元，
∴现在每件的销售价格为：元，销售量为：件，每件的利润为元，
∴，即，
∵，则，
∴，且为整数，
故答案为：，，，且为整数．
（2）解：进价为40元/件，按60元/件销售，每星期可卖出300件，每降价1元，每星期比销售量300件要多卖出20件，设每件降价元，
∴现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元，
∴，即，
故答案为：．
【分析】（1）利用利润公式，结合题意求解即可；
（2）根据题意先求出现在销售价为：，销售量为：件，每件的利润为：元，再求函数解析式即可；
（3）根据题意先求出 ， 再求解即可。
23．（2023·呼和浩特模拟）如图，是的直径，是弦，是的中点，与交于点，是延长线上的一点，且．
（1）求证：为的切线；
（2）连接，取的中点，连接．若，，求的长．
【答案】（1）证明：如图1，连接，．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴．
∵是的直径，是的中点，
∴．
∴．
∴，即．
∴．
∴为的切线．
（2）解：如图，连接，过作，垂足为．
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，解得，
设的半径为，则．
解之得．
∵，
∴．
∵，
∴．
∴．
∴．
∵为中点，
∴．
∴，．
∴．
∴．
【知识点】勾股定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质
【解析】【分析】（1）先求出 ，再求出 ，最后证明求解即可；
（2）根据题意先求出 ， 再利用相似三角形的判定与性质求出 ，， 最后利用勾股定理计算求解即可。
24．（2023·呼和浩特模拟）已知，二次函数与轴的一个交点为，且过和点．
（1）求a、b、c的值，并写出该抛物线的顶点坐标；
（2）将二次函数向右平移个单位，得到的新抛物线，当时，y随x增大而增大，当时，y随x增大而减小，若m是整数，请求出所有符合条件的新抛物线的解析式；
（3）已知M、P、Q是抛物线上互不重合的三点，已知P、Q的横坐标分别是，，点M与点P关于该抛物线的对称轴对称，求．
【答案】（1）解：∵二次函数与轴的一个交点为，且过和，
∴，
解得，
∴二次函数的表达式为，
∴二次函数化为顶点式为，
∴二次函数顶点为
（2）解：如图∶
将二次函数，的图象向右平移个单位得的图象，
∴新图象的对称轴为直线，
∵当时，随增大而增大，当时，随增大而减小，且抛物线开口向下，
∴，
解得，
∵是整数，
∴，或或，
∴或或，
∴符合条件的新函数的解析式为或或；
（3）解：当在左侧时，过作于，如图，
∵点、的横坐标分别是、，
∴，，
∴，，
∵点与点关于该抛物线的对称轴对称，而抛物线对称轴为直线，
∴，
，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，即，
当在右侧时，如图，
同理可得是等腰直角三角形，，
∴，
综上所述，的度数是或．
【知识点】二次函数图象的几何变换；待定系数法求二次函数解析式；二次函数-动态几何问题；二次函数y=ax^2+bx+c与二次函数y=a（x-h）^2+k的转化
【解析】【分析】（1）先求出 二次函数的表达式为， 再求顶点坐标即可；
（2）根据题意先求出 ，或或， 再求函数解析式即可；
（3）分类讨论，结合函数图象判断求解即可。
1 / 1

展开更多......

收起↑