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“高考研究 831重点课题项目”陕西省联盟学校 2023 年第三次联考试卷
数学（文科）试题参考答案与评分细则
一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 D C C D C B A A B B C B
1.【参考答案】D
【解析】 x
2 2x 8 0，解得： 2 x 4
N x 2 x 4，即 ，
M x 3 x 4 M N ， x 3 x 4 M N x 2 x 4， .
2.【参考答案】C
z a bi a 0,b 0 2z a bi z z z z 2 4i【解析】设 ，则 ，因为 ，
2 a bi a bi a bi a bi 2 4i
所以 ，
a2 b2 2 a 1 b 1

所以4bi a
2 b2 2 4i，所以 4b 4 ，解得 b 1 或 a 1（舍去），
所以 z 1 i.
3.【参考答案】C
0.2 0.1 2 0.6
【解析】由频率分布直方图可知，“优质苗”的占比为 ，
因此，所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为100 0.6 60.
4.【参考答案】D
a1 a2 a1 1 q 24
2
【解析】因为a a 6 q 1
a a a
2 4 1
q 1 q 6
2 4 ，所以 ，由题知： ，
1 7
4 1 1 1 1q a a 24 a8 16 q 1 q
所以
1 1
，解得 2 ，所以 2 ，即a1 16，所以 2 8 .
5.【参考答案】C
f (x) ln x2 1 x , x R
【解析】令 ,结合该函数的奇偶性，单调性判断不等式是否成立.
f (x) ln x2 1 x , x R
令 ， f (0) 0，
f (x) f ( x) ln x2 1 x ln x2 1 x ln1 0
且 ，
f (x) ln x2 1 x
故 为奇函数，
2 f (x) ln x2 1 x
x 0时， x 1 x

递增，则 也递增，
又 f (x)为奇函数，则 f (x)在R 上递增， p q，若 x y 0，则 x y，
2 2
f x f则 y
ln x 1 x ln y 1 y
，即
数学（文科）试题参考答案与评分细则 第 1页（共 10页）
ln x2 1 x ln y2 1 y 0 ln x2 1 x ln y2 1 y 0
即 ； p q

，若 ，
ln x2 1 x ln y2 1 y f x f y则等价于 ，即 ，
由 f (x)在R 上递增，则 x y， 即 x y 0，故 p是 q的充要条件，
6.【参考答案】B
π
f (x) 2sin( x )( 0)
【解析】函数 3 的图象向左平移 3 个单位得到函数 y g(x)的图
π π
g x 2sin x 2sin x
象，则 3 3 ，
π π π π π π
[ , ]
又因为 y g(x)在 6 4 上为增函数，所以 6 2 ，且 4 2 ，
解得： 2，故 的最大值为 2.
7.【参考答案】A
1 1
y f x sin x sin 2x sin3x
【解析】对于 A，函数 2 3 ，
1 1
f x sin x sin 2x sin3x f x
因为 2 3 ，所以函数为奇函数，
π 2 1 2 1 2 2
f 0
又 4 2 2 6 2 3 ，故 A符合图象；
1 1
y f x sin x sin 2x sin3x
对于 B，函数 2 3 ，
1 1
f x sin x sin 2x sin3x f x
因为 2 3 ，所以函数为奇函数，
π 2 1 2 2 1 1.5 1
f 0
又 4 2 2 6 3 2 3 2 ，故 B不符题意；
1 1
y f x sin x cos2x cos3x
对于 C，函数 2 3 ，
5
f 0
因为 6，故 C不符题意；
1 1 11
y cos x cos2x cos3x
对于 D，当 x 0时， 2 3 6 ，故 D不符题意.
8.【参考答案】A
m
【解析】①因为 l ， / / ，所以 l ，由 可知 l m，故正确，② ，
l ， l可能在 内或与 平行，推不出 l / /m，故错误，③ l / /m， l 可推出m ,
m
又 ，所以 ，故正确, ④若 ， 相交交线为 m,则 l m，推不出 / / ，故错
误.
9. 【参考答案】B
数学（文科）试题参考答案与评分细则 第 2页（共 10页）
b
l : y x
【解析】设 a ，则点M 位于第四象限，
MF MF 2 MF MF MF 2a MF 4a
由双曲线定义知： 1 2 2 2 2 ， 1 ；
b a a
tan cos
2 2
设过点F2 且与 l平行的直线的倾斜角为 ，则 a ， a b c ，
a
cos F1F2M
c ；
2 2 2
F1F2 MF2 MF1
cos F1F2M
△F 2 F F MF在 1F2M 中，由余弦定理得： 1 2 2 ，
a 4c2 4a2 16a2 c
2
e 5
即 c 8ac
2
，整理可得：c 5a
2
， a
2
.
10.【参考答案】B
3 1
1 1 3 1 2 1 2 2
f 0 f 1 f f 0 f f
【解析】对选项 A， 2 ， 2 2 2 8 4 ，
故 A错误；
3 1
1 1 3 1 2 1 2 2
f 1 f f 1 f f
对选项 B， 2， 2 2 2 8 4 ，
故 B正确.
log2 3 1
1 log2 1
f log2 3 2 3
对选项 C，因为 log2 3 1，所以 2 3，
4
1 4 1 3 2
f f log2 3 f f
3 3 2 2 ，故 C错误；
x
1 1 1
f x 0, 0,
x 1 f x

对选项 D，当 时， 2 2 ，函数 的值域为 2 ，
x 1
1
f x f x 1
当0 x 1时，1 x 1 2， 2 ，
1 1
,
f x f x f x 1函数 的值域为 4 2 ，又因为 x 1时， ，是周期为1的函数，
1 1 1
, 0,
x 1 f x所以当 时，函数 的值域为 4 2

f x，综上，函数 的值域为 2 ，故 D错误.
11.【参考答案】C
A x , y ,B x , y
【解析】设 1 1 2 2 ，
y k x 2 2 2 2
k x 4k 4 x 4k 2 0
y2 4x ，
4 4k 2
x1 x2 , x1x2 42
由题知， 0，故 k ，
数学（文科）试题参考答案与评分细则 第 3页（共 10页）
8 8k 2
y1y2 k x1 2 k x 2 k
2 x x 2 x x 4 k 22 1 2 1 2 4 4 8
k
2
则 ，
uuur uuur
ADB 90o DA DB 0 x1 2 x2 2 y1y2 0由 ，
x1x2 2 x1 x2 y1y2 4 0即 ，
4
4
3
4 1 k2 x1 x1 2 81
4 2 8 4 0 k 2
2
即 k ，解得 3，则 3 ，
2 2 1AB 1 k x1 x2 1 k
2 x1 x2 4x1x2 1 64 16 8
则 3 ．
12.【参考答案】B
1
f (x) ex (1 x)
【解析】 2 ，当 x (0, )时， f (x) 0，
∴函数 f (x)在 (0， )上单调递增，故①正确，
f (x) x 3 1g(x) e
显然 x 0不是 f (x)零点，令 x x 2 ，
则在 ( ，0) U(0， )上， f (x)与 g(x)有相同零点，故②正确，
x 3g (x) e 0
在 ( ，0) U(0， )
2
上， x ，
∴ g(x)在 ( ，0)上单调递增，在 (0， )上也单调递增，
7
g(1) e 0
g(2) e2而 2 、 2 0，∴存在 x1 (1，2)，使 g(x1) 0，
1 1 1
g( 7) 0 g( 6) 0
e7 14 e6又 、 ，∴存在的 x2 ( 7， 6)，使 g(x2) 0，
∴ g(x)在 ( ，0) U(0， )上只有两个零点x x1、 2，也即 f (x)在 R 上只有两个零点到x1、x2，
且[x1] [x2] 1 ( 7) 6，故③错误、④正确，正确的命题有3个，
二、填空题（本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，把答案填在答题纸中相应的横线上。）
13. 【参考答案】30
o
r r r r
a b 2, 3 a b 22 3 7
【解析】因为 ，所以 ，
r r r r r r r r r r2 2 2 3
a b a b 2a b 3 1 2a b 7 a b
所以 ，即 2 .
r r 3
r r a b 3
cos a,b r r 2
a b 3 2 r r o
所以 ，故a 与b 的夹角为30 .
数学（文科）试题参考答案与评分细则 第 4页（共 10页）
1
14. 【参考答案】 5
【解析】如下图所示，在边长为2 的正六边形 ABCDEF中，
任取两个顶点连成线段，所有的线段有： AB 、 AC 、 AD 、 AE 、 AF 、 BC、 BD、 BE 、
BF 、CD、CE、CF 、 DE 、 DF 、 EF ，共15条，其中长度为 2 的线段有： AD 、 BE 、
3 1
P
CF ，共3条，故所求概率为 15 5 .
15.【参考答案】 3
【解析】设圆锥底面圆心为O，连接OC,OD,OS ，
π
COD BOD
Q C, D为弧 AB 的两个三等分点， 3 ，
π
ODB COD
又OB OD， △OBD为等边三角形， 3 ， OC//BD，
SCO即为异面直线 SC 与 BD所成角，
Q SO 平面 ABCD，OC 平面 ABCD， SO OC，
3
a
SO
2
a 3 tan SCO
2 3
Q SO a2 a 1 a a OC AB
OC
2 2 ， 2 2 ， 2 ，
即 SC 与 BD所成角的正切值为 3 .
, 48
16.【参考答案】
3 1 3 2 1
an Sn S
2
n 1 n n n 1 n 1 3n 2
【解析】当n 2时， 2 2 2 2 ，
数学（文科）试题参考答案与评分细则 第 5页（共 10页）
当n 1时， a1 S1 1满足上式，
所以an 3n 2,n N

.
1 1 1 1 1
bn ( )
所以 anan 1 (3n 2)(3n 1) 3 3n 2 3n 1 ，
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n
Tn (1 ) ( ) L ( ) (1 )
所以 3 4 3 4 7 3 3n 2 3n 1 3 3n 1 3n 1，
n 3(3n 1)
2 1
9n 3 3(9n 6)
由 Tn 9n 3，可得 3n 1 ，即 n n ，
1 1
y 9x ,
因为函数 x在 3 单调递增，
1
9n
所以当n 1时， n 有最小值为 10，
1
3(9n 6) 48
所以 n ，所以 48，
, 48
所以实数 的取值范围为 .
三、解答题（本大题共 6小题，共 70分. 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
17.【解析】 解：（1）①得分小于 80分的学生中，文科生与理科生人数分别为：40和 60，
比例为2 : 3,
所以抽取的 5人中，文科生 2人，理科生 3人． ………………2分
②这 5名学生有 2人是文科生，记这两人为 a,b， 3人是理科生，记这三人为1, 2,3，
随机抽取两名同学 2人包含的基本事件有：
(a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),(1,2), (1,3),(2,3)，共 10个，
其中至少有一名文科生情况有 7种： (a,b),(a,1),(a,2),(a,3),(b,1),(b,2),(b,3),
7
P(A)
因此抽取的 2名学生至少有一名文科生的概率为 10 .…………………6 分
（2）由题中数据可得如下联表：
创文竞赛优秀奖 未获优秀奖 合计
文科生 60 40 100
理科生 40 60 100
合计 100 100 200
2 n(ad bc)
2 200(60 60 40 40)2
K 8 10.828
2
则K 的观测值： (a b)(c d)(a c)(b d) 100 100 100 100 ，
所以没有 99.9％的把握认为获"创文竞赛优秀奖"与文理科类有关．…………………12分
1 2 2
cos A sinA
18.【解析】解：（1）在 ABC中，由 3 ，得 3 .
数学（文科）试题参考答案与评分细则 第 6页（共 10页）
4 3

a b 2 2 sin B 2
sin B
由正弦定理得， sin A sin B ，所以 3 ，故 2 ；

B
又因为 A为钝角，所以 4 ………………6分
（2）在 ABC中， cosC cos(A B) sin Asin B cos Acos B
2 2 2 1 2 4 2

3 2 3 2 6 . ………………8分
2 2 2
由余弦定理得： AB AC BC 2AC BC cosC
2 2 4 2 3 4 2 3 4 9 4 2 (2 2 1)2
6 ………10分
所以 AB 2 2 1 ………12分
19.【解析】（1）如图，设 PN垂直平面 ABC于点 N，过 N作NE AB于 E，NF AC于 F，
连接 PE，PF．
∵PN 垂直平面 ABC， AB 平面 ABC
∴PN AB
又∵NE AB ∴ AB 平面 PNE ∴ AB PE ，
同理 AC PF
在RtVPAE，RtVPAF 中， PAE PAF ，PA PA
∴△PAE≌△PAF ∴ AF AE
在Rt△ANE，Rt△ANF中， AF AE ， AN AN
∴△ANE≌△ANF，∴NE NF ，即 N到 AB，AC的距离相等
同理 N到 BC，AC的距离相等，故 N为VABC的内心，N与 H重合
∴ PH 平面 ABC
又∵PH 平面 APM ∴平面 PAM 平面 ABC ………………6分
（2）由已知可得 AC 5，设VABC的内切圆半径为 r，
1 1
S△ABC 4 3 r 3 4 5
则 2 2 ，故 r 1，………………8分
BM AB 3

因为 H为VABC的内心，所以 AH平分 BAC，所以CM AC 5 ，
5 3
CM BM
BM CM 4，所以 2， 2，
1 15
CM AB
故VAMC的面积为 2 4 ，………………10分
AE AB

因为HE AB， AB BC 所以HE∥BC，所以 HE BM ，得 AE 2，
2 2 2 2
所以 AH r AE 5 ，PH AP AH 2，
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1 1 15 5
VP AMC S△AMC PH 2
故三棱锥M PAC的体积为 3 3 4 2 ．…………12分
20.【解析】
x 1
（1）解：当a e时， f (x) e ln(x 1) 1, f (0) e 1．
f (x) ex 1
1
, f (0) e 1
x 1 ，
故曲线 y f (x)在点 (0, f (0)) 处的切线方程为 y (e 1) (e 1)x，
即 y (e 1)x e 1．
因为该切线在 x，y轴上的截距分别为 1和e 1，
e 1
S
所以该切线与两坐标轴所围成的三角形的面积 2 ．………………4分
x
（2）证明：当a 1时，因为 f (x) ae ln(x 1) 1，
1 aex (x 1) 1
f (x) aex (x 1)
所以 x 1 x 1 ，………………5分
令 g(x) ae
x(x 1) 1(x 1)，则 g (x) ae
x(x 2)，
因为a 1, x 1，所以 g (x) 0，所以 g(x)在 ( 1, )上单调递增，
又 g( 1) 1 0, g(0) a 1 0，
故 g(x)在 ( 1,0)

上有唯一的零点 ，即 g( ) 0，因此有ae ( 1) 1．………7分
当 x ( 1, ) 时， g(x) 0，即 f (x) 0；当 x ( ,0) 时， g(x) 0，即 f (x) 0．
所以 f (x)在 ( 1, )上单调递减，在 ( ,0)上单调递增，故 f ( )为最小值．
由ae
( 1) 1，得 ln( 1) lna ，………………9分
1 2
f ( ) ae ln( 1) 1 1 ln a ln a
所以在 1 0时， 1 1，
2
0
因为a 1，所以 lna 0，又因为当 1 0时， 1 ，所以 f ( ) 0．
所以 f (x) f ( ) 0．………………11分
因此当a 1时， f (x)没有零点．………………12分
x ,y x ,y
21.【解析】解：（1）设点 A的坐标为 1 1 ，点 B的坐标为 2 2 ，
因为 kOD 1，所以 kAB 1，则直线 AB 的方程为 y x 2，………………2分
y x 2

x2 2py
2
联立方程组 ，消去 y，整理得 x 2px 4p 0，
所以有 x1 x2 2p， x1x2 4p，………………3分
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x x y y x x 2 x 2 x 0
又OA OB，得 1 2 1 2 1 2 1 2 ，
x1x2 x1 x2 2 4p 2p 2 0整理得 ，解得 p 1．
2
所以 C的方程为 x 2y．………………5分
1
y x2
（2）由 x
2 2y ，得 2 ，所以 y x，
x2
x0 ,
0

2
设过点 E作抛物线 C的切线的切点为 ，
x2 x2
y 0 x0 x x0 y x0x
0
则相应的切线方程为 2 ，即 2 ，
x2
t 4 x t 0 2
设点E(t,t 4)
0
2 x0 2tx0 2t 8 0，由切线经过点 E，得 ，即 ，
x2 x2
P x ,
3 4
3 Q x4 ,
2 2
设 ， ，则 x
2
3 ， x4是 x 2tx 2t 8 0的两实数根，
可得 x3 x4 2t， x3x4 2t 8．………………8分
x3 xx 4M t
设 M是 PQ的中点，则相应 2 ，
y y 1 x2 2 3 4 3 x4 1 2yM x 3 x4 2x3x42 2 2 2 4 yM t
2 t 4
则 ，即 ，
1 2 1x 23 x4
2 2 x xk 3 4PQ t
又 x3 x4 2 ，………………10分
y t2 t 4 t(x t)
直线 PQ的方程为 ，即 y t(x 1) 4，
所以直线 PQ恒过定点 (1,4)．………………12 分
选考题：共 10分.
x 1 2cos
2 2 2 2
y 1 2sin x 1 y 1 2 cos 2 sin 222.【解析】解：（1）由 可得 ，
即 x
2 y2 2x 2y 0 2 2，故曲线C的普通方程为 x y 2x 2y 0，
因为 x cos ， y sin ，
2
所以曲线C的极坐标方程为 2 cos 2 sin 0，即
2sin 2cos .………………5分
π π
OB 2sin 2cos 2cos 2sin OA 2sinπ 2cosπ 2
（2）由题意知 ， 2 2 ，
1 π
SVAOB OA·OB sin π 2cos 2sin cos 2cos
2 sin2
∴ 2 2
π
sin2 cos2 1 2sin 2 1
4 ，
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π π π 5π
0 2
因为 2 ，则 4 4 4 ，
π
2
所以当 4 2 ，即当 8 时，VAOB的面积最大，且最大值是 2 1.………10分
23.【解析】
解：(1)依题意，a b (c 1) 0，且a,b,(c 1) 均不为零，
1
ab b(c 1) (c 1)a {[a b (c 1)]2 [a2 b2 (c 1)2 ]}
则 2
1
[a2 b2 (c 1)2 ] 0
2 ，所以ab b(c 1) (c 1)a 0 .………………5分
2
（2）因为[(a 2) (b 2)
2 (c 2)2](12 12 12) [(a 2) 1 (b 2) 1 (c 2) 1]2
a 2 b 2 c 2
2 (a b c 2) 9，当且仅当 1 1 1 ，即 a 3,b 1,c 1时取等号，因此
(a 2)2 (b 2)2 (c 2)2 3 2 2 2，所以 (a 2) (b 2) (c 2) 的最小值为 3.
………………10分
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“高考研究831重点课题项日”陕西省联盟学校2023年第三次大联考
而是由多种波叠加而成的复合音如图为某段乐音的图象，则该段乐音对应的函数解析式可以为()
数学（文科)试题
A.y=sinx+isin2x+isin3x B.y=sinx-sin 2x--sin 3x
注意事项：
1.本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.答案均写在答题纸上，满分150分，时间
120分钟。
8.己知1，m表示两条不同的直线，a,B表示两个不同的平面，1⊥a,mB,则有下面四个命题：①若a/B,
2.答卷前将答题卡上的学校、姓名、班级填写清楚，并检查条形码是否完整、信息是否准确。
3.答卷必须使用0.5mm的黑色签字笔书写，字迹工整、笔迹清晰.并且必须在题号所指示的答题区内
则1⊥m:②若a⊥B,则1∥m:③若l∥m,则a⊥B:④若1⊥m,则a/IB.其中所有正确的命题是
作答，超出答题区域的书写无效。
A.①③
B.①④
C.②③
D.①②③④
第1卷（选择题共60分）
选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
9已如双生线C号-若-e>06>0的左、布能点分为为片，一多有延线为，过点5且与1平行的
求的.)
1.已知集合M={x|-3≤x<4;,N={xx2-2x-8≤0，则()
线交双曲线C于点M,若MF=2MF引，则双曲线C的离心率为()
A.MUN=R
B.MUN=(x-35x<4)C.MnN=x-2Sx<4}
D.MnN=x-25x<4)
A.6
B.√5
C.3
D.2
2.已知复数z满足2(z-z)+z·z=2+4i,z在复平面内对应的点在第二象限，则z=()
0已知函数=)(2，则下列正确的是（
A.-1-i
B.1+i
C.-1+i
D.-2+i
f(x+1)(x<1)
3.某乡镇为推动乡村经济发展，优化产业结构，逐步打造高品质的农业生产，在某试验区种植了某农作物.为
了解该品种农作物长势，在实验区随机选取了100株该农作物苗，经测量，
A.f[/o]-克
B.f[=c.fvo训-9
D.f(x)的值域为(0，]
0.20
其高度（单位：cm)均在区间[10,20]内，按照[10,12），[12,14)，14,16)，[16,18)
11.已知定点D(2,0),直线1：y=k(x+2)(k>0)与抛物线y2=4x交于两点A,B,若∠ADB=90°，则
0.14
[18,20]分成5组，制成如图所示的频率分布直方图，记高度不低于16cm的0.10
AB=()
为“优质苗”.则所选取的农作物样本苗中，“优质苗”株数为()
A.4
B.6
C.8
D.10
8:8
A.20
B.40
C.60
D.88
0101214161820cm
12.设通数)=心一子-3的零点为不女…又，因表系不超过的最大整数，有下述西个结论：
4.已知等比数列{an}的前2项和为24，a2-a4=6,则a=()
①函数了W在(0，+四)上单调递增：②函数了)与因有相同零点：③函数f)有且仅有一个零点，且
A.1
B
c.4
[x]=2:④函数f(x)有且仅有两个零点，且[x]+[x]=-6.其中所有正确结论的个数是().
5.已知p:x+y>0,gn(V+1+x-lny2+1-y>0,则p是g的()
A.4
B.3
C.2
D.1
A.充分不必要条件
B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件
第Ⅱ卷（非选择题共90分）
6.将函数f八)=2sin(@x-X@>0)的图象向左平移品个单位得到函数y=8)的图象，若y=8)在
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题纸中相应的横线上.）
【名孕上为期函数，则@最大位为《)
13.已知d=V5,l=1,a+方=(2,5)，则a与5的夹角为
B.2
C.3
14.从边长为1的正六边形的各个顶点中，任取两个顶点连成线段，则该线段长度为2的概率为
I5.如图，圆锥的轴截面SAB是边长为a的正三角形，点C,D是底面弧AB的两个三等分点，则SC与BD所
7.数学与音乐有着紧密的关联，我们平时听到的乐音一般来说并不是纯音，
成角的正切值为
数学（文）试题第1页（共4页）
数学（文）试题第2页（共4页）

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