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专题03 工程问题的解题技巧
工程问题是研究工作效率、工作时间和工作总量之间的关系的问题，它的基本数量关系是：工作效率×工作时间=工作总量、工作总量一工作时间=工作效率、工作总量一工作效率=工作时间。在工程问题中，通常情况下，我们把工作总量看作单位"1"，每天完成总量的几分之几就是工作效率。
一项工程甲乙合作，36天完成，乙丙两人合作，45天完成，甲丙两人合作，60天完成，如果甲、乙、丙单独做，各需多少天？
【分析】根据题意可知：甲乙工作效率的和是1÷36，乙丙工作效率的和是1÷45，甲丙工作效率的和是：1÷60．先求甲乙丙三人工作效率的和：（）÷2，然后用三人工作效率的和减掉甲乙工作效率的和就是丙的工作效率，然后用工作总量除以工作效率就是工作时间，同理求甲、乙所需工作时间即可． 【解答】解：1÷36 1÷45 1÷60 （）÷2 2 丙：1÷（） ＝1 ＝180（天） 甲：1÷（） ＝1 ＝90（天） 乙：1÷（） ＝1 ＝60（天） 答：甲单独做需要90天，乙需要60天，丙需要180天． 【点评】本题主要考查简单的工程问题，关键利用工作总量、工作时间和工作效率之间的关系做题．
技巧1 “转化法”解决工程问题
1．一项工程，甲乙两合作6天完成，甲独做3天完成全部工程的，乙独做几天可以完成全部工程的一半？
【分析】我们把一项工程的工作量看作单位“1”，工作量的一半除以乙的工作效率，乙的工作效率是3，工作量的一半即是，列式解答即可．
【解答】解：（3），
（），
，
＝7.5（天）；
答：乙独做7.5天可以完成全部工程的一半．
【点评】本题运用工作总量、工作效率、工作时间之间的关系进行解答即可．
2．一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成．现在甲先做了3天，余下的工作由甲乙合作完成．余下的工作需要几天可以完成？
【分析】首先根据：工作量＝工作效率×工作时间，用甲的工作效率乘3，求出甲先做了这件工作的几分之几；然后用1减去甲3天完成的工作量，求出剩下这件工作的几分之几，再用它除以甲乙的工作效率之和，求出余下的工作需要几天可以完成即可．
【解答】解：（13）÷（）
＝（1）
＝2（天）
答：余下的工作需要2天可以完成．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率．
技巧2 “假设法”解决工程问题
3．一项工程，甲单独做要30天完成，乙单独做要20天完成．现两人合作，但中途乙休息了几天，结果从开工到结束一共用了18天，请问乙休息了几天？
【分析】甲单独做要30天完成，将总工量当作单位“1”，则甲每天完成全部的，结果从开工到结束一共用了18天，这18天甲完成了全部的18，所以乙完成了全部的118，又乙每天完成全部的，根据分数除法的意义，乙共做了（118）天，然后用总天数减去乙干的天数，即得乙休息了几天．
【解答】解：18﹣（118）
＝18﹣（1）
＝18
＝18﹣8
＝10（天）
答：乙休息了10天．
【点评】首先根据已知条件求出乙完成的工作量是完成本题的关键．
4．一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成．现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天．从开始到完成共用了16天，问乙队休息了多少天？
【分析】甲队休息了3天，说明甲干了13天，然后假设乙没有休息干了16天，这样把甲乙的工作量加在一起，一定会超过单位“1”，超出的工作量就是乙休息的时间内的工作量，除以乙的工作效率就是乙休息的天数．
【解答】解：[（16﹣3）16﹣1]，
＝[1]×30，
＝[1]×30，
30，
＝5.5（天）；
答；乙队休息了5.5天．
【点评】本题运用假设法进行解答，考查了学生思维创新的能力，解决问题的能力．
技巧3 “按比分配法”解决工程问题
5．一项工程，甲、乙合作6天能完成，单独做，甲完成总工程的与乙完成总工程的所需时间相等，甲、乙单独做各需要多少天完成？
【分析】分析题目，用除法先求出甲、乙的工效和；结合“甲完成总工程的与乙完成总工程的所需时间相等”可得甲效乙效；接下来可得甲效：乙效＝2：3，结合比的应用求出甲效，乙效，进而求出甲、乙单独做需要的天数。
【解答】解：甲、乙工效和：6
甲效乙效
所以甲效：乙效＝2：3
甲效：
乙效：
甲队独做：118（天）
乙队独做：112（天）
答：甲单独做需要18天完成，乙单独做需要12天完成。
【点评】本题主要考查了简单的工程问题，用到工作总量、工作效率和工作时间的关系。
1．一项工程每队单独做，甲要15天完成，乙要10天完成．如果两队合做，多少天可以完成？
【分析】把这项工程的量看作单位“1”，先表示出甲和乙每天完成工作量占工作总量分率，求出两人工作效率和，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率即可解答．
【解答】解：1÷（）
＝1
＝6（天）
答：6天可以完成．
【点评】正确运用等量关系式：工作时间＝工作总量÷工作效率解决问题，是本题考查知识点．
2．今有凫（fú）起南海，七日至北海，雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？（选自《九章算术》）（今译：野鸭从南海飞到北海要用7天，雁从北海到南海要用9天．现在它们一起起飞，几天后相遇？）
【分析】把从南海到北海的路程看成单位“1”，野鸭的速度就是，雁的速度就是，用1除以两种鸟的速度和，即可求出相遇的时间．
【解答】解：1÷（）
＝1
（天）
答：天后相遇．
【点评】本题类似于工程问题，先表示出两鸟的速度，再根据相遇时间＝总路程÷速度和求解．
3．服装厂接到一批订单，A车间单独做需要25天完成，B车间单独做需要20天完成．如果两个车间同时做这批订单，多少天可以完成这批订单的一半？
【分析】首先根据工作效率＝工作量÷工作时间，根据工作时间＝工作量÷工作效率，用除以甲、乙的工作效率和，即可求出时间．
【解答】解：（）
＝5（天）
答：5天可以完成这批订单的一半．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率，由此进行解答即可．
4．工程队修一条路，甲队单独修12天能修完，乙队单独修8天能修完，如果两队合作一起修，修了全长的，已经修了多少天？
【分析】首先根据工作效率＝工作量÷工作时间，分别用1除以两队单独修需要的天数，求出两队的工作效率各是多少；然后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用除以两队的工作效率之和，求出如果甲乙两队合作，几天可以修完这条路的即可．
【解答】解：（）
＝3（天）
答：已经修了3天．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率，解答此题的关键是求出两队的工作效率之和是多少．
5．一项工程，甲乙合作需要6小时完成．先由甲独做5小时，又由乙单独做3小时，这是完成了总工作量的，如果由甲全部单独完成需几时完成？
【分析】把这项工程的总量看作单位“1”，把“甲独做5小时，又由乙单独做3小时”看作“甲乙合做3小时，又由甲单独做2小时”，则甲单独做2小时完成了总工作量的（3），用除法求出甲的工作效率，再根据“工作时间＝工作总量÷工作效率”即可求出甲全部单独完成需几时完成．
【解答】解：1÷[（3）÷（5﹣3）]
＝1÷[2]
＝1
＝10（小时）
答：如果由甲全部单独完成需10小时完成．
【点评】此题是较难的工程问题，根据题干得出甲的工作效率是解决本题的关键．
6．一项工程，甲、乙合做要6天完成，如果甲先做3天，再由乙做10天，可以全部完成，乙单独做要多少天完成？（算术方法）
【分析】首先根据题意，可得甲先做3天，再由乙做10天，可以看作甲、乙合做3天，乙再单独做7（10﹣3＝7）天；然后根据工作量＝工作效率×工作时间，用甲、乙的工作效率之和乘3，求出甲、乙合做3天完成了这项工程的几分之几，并求出乙单独做7天完成了这项工程的几分之几，再用它除以7，求出乙的工作效率是多少；最后根据工作时间＝工作量÷工作效率，用1除以乙的工作效率，求出乙单独做要多少天完成即可．
【解答】解：1÷[（13）÷（10﹣3）]
＝1÷[（1）÷7]
＝1
＝14（天）
答：乙单独做要14天完成．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率，解答此题的关键是求出乙的工作效率是多少．
7．甲、乙两人合做一批零件，计划6小时做完，现在由乙先做1.5小时后，甲再加入合做，完成任务比计划多用小时，已知甲每小时做54个零件，这批零件一共有多少个？
【分析】首先根据题意，可得甲1.5小时做的零件的个数等于两人小时做的零件的个数的和，根据工作效率＝工作量÷工作时间，用甲1.5小时做的零件的个数除以，求出两人的工作效率的和是多少，再用它乘两人合作完成需要的时间，求出这批零件一共有多少个即可．
【解答】解：54×1.56
＝816
＝135×6
＝810（个）
答：这批零件一共有810个．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率，解答此题的关键是求出甲、乙每小时一共做多少个零件．
8．一项工程，甲独做要 6 天完成，乙独做要 10 天完成，两队合作 3 天，剩下的由甲队独做，还要多少天可以完成？
【分析】把总工作量看作单位“1”，则甲的工作效率为，乙的工作效率为；先求出甲乙3小时的工作量之和，进而求出余下的工作量用余下的工作量除以甲的工作效率，从而解决问题．
【解答】解：[1﹣（）×3]
＝（13）×6
＝（1）×6
6
＝1.2（天）
答：还要1.2天可以完成．
【点评】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，搞清所求的问题与条件之间的关系，选择正确的数量关系解答．
9．一项工程，甲、乙合作8天完成，如果让甲先独做6天，然后乙再独做9天完成任务．求乙独做这项工程要多少天？
【分析】可以看做甲乙共干了6天，乙独干了（9﹣6）天，求出乙干了3天的工作量，除以3就是乙的工作效率，进一步求出乙独干的天数．
【解答】解：1÷[（1﹣6÷8）÷（9﹣6）]，
＝1÷[3]，
＝1，
＝12（天）；
答：乙独做这项工程要12天．
【点评】本题是一道简单的工效问题，考查了学生的应变能力及转化能力．
10．一项工程，甲单独做要12天完成，乙5天可完成这项工程的，现在由甲乙两人合作，几天完成全工程的？
【分析】首先根据甲单独做要12天完成，乙5天可完成这项工程的，工作效率＝工作量÷工作时间，求出甲乙的工作效率，然后根据工作时间＝工作量÷工作效率求出甲乙两人合作，几天完成全工程的即可．
【解答】解：5
（）
＝5（天）
答：甲乙两人合作，几天完成全工程的．
【点评】此题主要考查了工程问题的应用，对此类问题要注意把握住基本关系，即：工作量＝工作效率×工作时间，工作效率＝工作量÷工作时间，工作时间＝工作量÷工作效率．
11．一项工程，乙单独做20天完成．如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替做也恰好用整数天完成；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替做结果比上次交替做要多半天才能完成．这项工程由甲单独做需要几天可以完成？
【分析】根据两种轮流交替做的情况可得出：当甲先做时，用的时间就少，而乙先做时，用的时间就多．据此可得第一种情况甲乙的工作顺序是：甲，乙，甲，乙…甲（最后一天是甲做的，若是乙做的，则第二种情况不会出现多做半天的时间）；而第二种情况甲乙的工作顺序就是：乙，甲，乙，甲…乙，甲，乙，把两种情况对照可得：甲一天的工作效率＝乙一天的工作效率+甲半天工作效率，即甲半天工作效率＝乙一天工作效率，也就是说甲的工作效率是乙工作效率的2倍，把这项工程的量看作单位“1”，先表示出乙的工作效率，再求出甲的工作效率，最后根据工作时间＝工作总量÷工作效率即可解答．
【解答】解：依据分析可得甲的工作效率是乙工作效率的2倍
1÷（2）
＝1
＝10（天）
答：这项工程由甲单独做需要10天可以完成．
【点评】根据题干表达的意义求出甲与乙工作效率关系，是解答本题的关键．
12．甲、乙、丙三人承包一项工程，发给三人工资共18000元，三人完成这项工程任务的具体情况是：甲、乙合作6天完成了工程的，乙、丙合作2天完成余下工程的，最后三人合作5天完成了这项工作，如果按完成工作量的多少来付酬，每人应得工资多少元？
【分析】根据题意可知，甲、乙两人的工作效率之和为6；乙、丙两人的工作效率之和为（1）2；甲、乙、丙三人的工作效率之和为（1）×（1）÷5．
甲的工作效率为，乙的工作效率为，丙的工作效率为；
则甲完成的工程量为：（6+5），乙完成的工作量为：（6+2+5），丙完成的工作量为：（2+5）；
三人所完成的工作量之比为：：33：91：56；
所以，甲应得180003300元，乙应得180009100元，丙应得180005600元．
【解答】解：甲、乙两人的工作效率之和为6，
乙、丙两人的工作效率之和为（1）2，
甲、乙、丙三人的工作效率之和为（1）×（1）÷5；
则甲的工作效率为：，
乙的工作效率为，
丙的工作效率为；
甲完成的工程量为：（6+5），
乙完成的工作量为：（6+2+5），
丙完成的工作量为：（2+5）；
三人所完成的工作量之比为：：33：91：56；
所以，甲应得180003300元，
乙应得180009100元，
丙应得180005600元．
答：甲应得3300元，乙应得9100元，丙应得5600元．
【点评】此题的解答把工作总量看作单位“1”，分别求出甲、乙、丙的工作效率和各完成工作量的几分之几，再根据一个数乘分数的意义解答即可．
13．单独完成一件工作，甲按规定时间可提前2天完成，乙要超过规定时间4天，如果甲、乙二人合作3天，剩下由乙单独做，那么正好在规定时间完成。问：甲、乙二人合做需多少天完成？
【分析】将工作总量看做单位“1”，设规定日期为x天，分别表示出两人的工作效率；接下来根据“甲、乙合作3天的工作总量+乙工作（x﹣3）天的工作总量＝1”列方程，即可求出甲、乙的工作效率，进而求出合作完成这项工作共需要的天数。
【解答】解：设规定日期为x天，则甲的工作效率为，乙的工作效率为，根据题意可得方程：
（）×3（x﹣3）＝1
1
1
3（x+4）＝4（x﹣2）
3x+12＝4x﹣8
x＝20
所以甲的工作效率为，乙的工作效率为，
所以甲、乙合作完成工作需要的天数为：
1÷（）
＝1
（天）
答：若甲、乙二人合作，需要天完成。
【点评】本题是一道工程问题，关键是掌握工作总量、工作时间、工作效率之间的关系。
14．一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。现先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果三队同时开工修这条路，几天可以完成？
【分析】先根据工作效率＝工作总量÷工作时间，求出甲队的工作效率和乙队的工作效率；再求出甲、乙合作4天完成的工作量；然后求出三队合修每天完成的工作量；最后用工作总量除以三队合修的工作效率和就是完成的工作时间，据此解答即可。
【解答】解：根据题意列式计算可得：
由分析可得：
（天）
答：10天可以完成。
【点评】本题考查了工程问题的计算，理解工作总量、工作效率、工作时间的关系可解答问题。
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