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陕西省西安重点中学高2023届高三第七模拟考试
数学试题(理科)
(时间:120分钟 满分:150分)
一、选择题:本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合，.，则A∩B的子集个数为()
A.2 B.4 C.8 D.16
2.命题“若，，则”的逆否命题是()
A.若，，则 B.若，，则
C.若且，，则 D.若或，，则
3.已知各项均为正数的等比数列中，，，成等差数列，则q=()
A.-1 B.-1或3 C.3 D.1或-3
4.已知向量，，则下列正确的是()
A.若∥，则 B.若与的夹角为钝角，则
C.若，则 D.若⊥，则
5.某沙漠地区经过治理，生态系统得到很大改善，野生动物有所增加，为调查该地区某种野生动物的数量，将其分成面积相近的200个地块，计划从这些地块中抽取20个作为样区，根据现有的统计资料，各地块间植物覆盖面积差异很大，为了让样本具有代表性，以获得该地区这种野生动物数量准确的估计，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是()
A.系统抽样 B.分层抽样 C.简单随机抽样 D.非以上三种抽样方法
6.黎曼函数是一个特殊的函数，由德国著名的数学家黎曼发现并提出，在高等数学中有着广泛应用，其定义为:时，.若数列，则下列结论:①R(x)的函数图像关于直线对称；②；③；④；⑤.其中正确的是()
A.①②③ B.②④⑤ C.①③④ D.①④⑤
7.如图，来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形.此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角△ABC的斜边BC，直角边AB，AC.△ABC的三边所围成的区域记为I，黑色部分记为II，其余部分记为III.在整个图形中随机取一点，此点取自I，II，III的概率分别记为p1，p2，p3，则()
A. B. C. D.
8.已知抛物线的准线是圆与圆的公共弦所在的直线，则抛物线的标准方程为()
A. B. C. D.
9.如图，从气球A上测得正前方的河流的两岸B，C的俯角分别为，，此时气球的高是60m，则河流的宽度BC等于()
A.m B.m C.m D.m
10.在正方体中，M，N分别为AC，A1B的中点，则下列说法中不正确的是()
A.MNH平面 B.MN⊥AB
C.异面直线MN与DD1所成的角为 D.直线MN与平面ABCD所成的角为
11.已知定义在R上的函数是偶函数，当时，，若关于x的方程有且仅有6个不同实数根，则实数a的取值范围是()
A. B. C. D.
12.若双曲线C：，，分别为左、右焦点，设点P是在双曲线上且在第一象限的动点，点I为的内心，A(0，4)，则下列说法正确的是()
A.双曲线C的渐近线方程为
B.点l的运动轨迹为双曲线的一部分
C.若，，则
D.不存在点P，使得取得最小值
二、填空题:本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.已知函数(且)的图象经过定点A，若幂函数的图象也经过该点，则g()=____________.
14.在复平面内，已知复数z满足|z|=1，i为虚数单位，则|z-3-4i|的最大值为____________.
15.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中记载“今有曲池，上中周二丈，外周四丈，广一丈，下中周一丈四尺，外周二丈四尺，广五尺，深一丈。问积几何？”大致是“今有上下底面皆为扇环形的水池，(如图)，上底内弧长2丈，外弧长4丈，宽1丈，下底内弧长1丈4尺，外弧长2丈4尺宽5尺，深1丈.则它的容积为____________立方尺.(1丈=10尺)
16.如图，从点(0，0)作x轴的垂线交于曲线于点(0，1)，曲线在点Q1处的切线与x轴交于点.再从作x轴的垂线交曲线于点，依次重复上述过程得到一系列点:，，，，…，，，记点的坐标为，().依次连接点，，…，，得到折线…，则该折线与直线，，，围成的面积为=___________.
三、解答题:共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题:每个试题考生都必须作答，第22、23题为选考题，考生根据要求作答.
(一)必考题:共60分.
17.(本小题12分)已知函数。
(1)求的单调增区间；
(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且角A为锐角，若，，，求△ABC的面积。
18.(本小题12分)为了切实加强学校体育工作，促进学生积极参加体育锻炼，养成良好的锻炼习惯，某高中学校计划优化课程，增加学生体育锻炼时间，提高体质健康水平，某体质监测中心抽取了该校10名学生进行体质测试，得到如下表格:
序号i 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
成绩xi（分） 38 41 44 51 54 56 58 64 74 80
记这10名学生体质测试成绩的平均分与方差分别为，.经计算.
(1)求，；
(2)规定体质测试成绩低于50分为不合格，从这10名学生中任取3名，记体质测试成绩不合格的人数为X，求X的分布列及数学期望。
19.(本小题12分)如图，已知△AB'C是边长为2的等边三角形，D是AB'的中点，DH⊥B′C，如图，将△B'DH沿边DH翻折至△BDH。
(1)在线段BC上是否存在点F，使得AF∥平面BDH？若存在，求的值；若不存在，请说明理由；
(2)若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，求三棱锥B-DCH的体积.
20.(本小题12分)在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：与椭圆C2：，且椭圆C2过椭圆C1的焦点，过点的直线l与椭圆C1交于A，B两点，与椭圆C2交于C，D两点。
(1)求椭圆C1的标准方程；
(2)若存在直线l，使得，求t的取值范围。
21.(本小题12分)设函数，。
(1)若，当时，单调递增，求a的取值范围；
(2)若是的一个极大值点。
(i)当，求b的取值范围；
(ii)当a是给定的实常数，设，，是的3个极值点，问是否存在实数b，可找到，使得，，，的某种排列，，，(其中{，，，}={1，2，3，4}依次成等差数列？若存在，求所有的b及相应的；若不存在，说明理由。
(二)选考题:共10分.请考生在第22、23题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分。
22.(本小题10分)在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(m为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点M(2，0)，直线l的极坐标方程为。
(1)求曲线C的普通方程以及直线l的直角坐标方程；
(2)已知过点M的直线n，与曲线C交于P，Q两点，且，求直线n的倾斜角。
23.(本小题10分)已知关于x的不等式有解。
(1)求实数t的取值范围；
(2)若a，b，c均为正数，m为t的最大值，且。求证:。
数学试题(理科)参考答案
一、选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B D C D B D A C C D B C
二、填空题
13.4；14.6；15.；16.
三、解答题
17.【答案】(1)；(2).
【详解】(1)
，
令，
的单调增区间是；...........................6分
(2)，
∵A为锐角，
∴，
由余弦定理得:，
又，
面积........................................12分
18.[解析](1)，
...................5分
(2)因为体质测试不合格的学生有3名，所以X的可能取值为0，1，2，3.
，，
，，
所以X的分布列为
Y 0 1 2 3
P
数学期望为.....................12分
19.(1)存在，；(2)。
【详解】(1)存在点F满足题意，且，理由如下:
在图4中，取B′C的中点M，连接AM，则AM∥DH，
在图5中，AM∥DH，AM平面BDH，DH平面BDH，
所以AM∥平面BDH，且；在线段BC上取点F使，
连接MF，FA，则MF∥BH，同理可得MF∥平面BDH，
又因为MFAM=M，MF，AM平面AMF，所以平面AMF//平面BDH，
又因为AF平面AMF，所以AF∥平面BDH.………………………5分
(2)在图中，DH⊥HC，DH⊥HB，HCHB=H，HC，HB平面BHC，HC，HB 平面BHC，所以DH⊥平面BHC，
法一:以H为原点建立如图所示的空间直角坐标系，
则H(0，0，0)，A(，，0)，C(，0，0)，D(0，，0)，
设，则，
，，
设平面BDA的法向量为
则，令，则，，
即，易知平面BHC的一个法向量
若平面BHC与平面BDA所成的二面角的余弦值为，则，
化简整理得:，
所以，，，
所以B(，0，)，
则三棱锥B-DCH的高为，
又因为底面积，
所以三棱锥的体积为.....................12分
法二:延长AD，CH相交于点N，事实上点N即为点B'，
则平面BHC∩平面BDA=BN，
过H作，垂足为T，连接DT，
因为DH⊥平面BHC，BN 平面BHC，所以，
又，HT，平面DTH，
所以BN⊥平面DTH，
DT 平面DTH，则，
所以∠DTH即为平面BHC与平面BDA所成的二面角的平面角，
即，所以，
即，即，
又，所以，
在△BNH中，设点B到NH的距离为h，由等面积法可得，解得，
即三棱锥的高，又△DCH的面积为，
所以三棱锥的体积为。
20【答案】(1)；(2)[1，)。
【详解】(1)因为椭圆过点(±1，0)，所以，
所以，即椭圆的标准方程为............................4分
(2)易知直线l的斜率存在，设l：，A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，D(x4，y4)，
联立直线l与椭圆，，
消去y，整理得，
则，，
，即，
联立直线l与椭圆，，消去y，整理得，
则，，
，即，
所以，
,
因为，所以，
即，平方整理得，
当时，对均成立，当时，
因为，所以，即t的取值范围为。
综上，t的取值范围为(0，)..............................12分
21.解:(1)；(2)(i)。
(1)若，，
，由题意可得，当时，恒成立；
令，
∵，
∴设是h(x)的两个根.，，
若，则，，当时，，符合题意；
若，则有三个根，，，a，
当时，，所以，因为，
，则只需要，解得；
所以..............................................................................3分
(2)(i)时，，
∴，
令，
∴，
∴设，是的两个根，
①当或时，则不是极值点，不合题意；
②当且时，由于是的极大值点，故，
∴，即，
∴.............................................7分
(ii)解:，
令，
则，
于是，假设，是的两个实根，且。
由(i)可知，必有，且、a、是的三个极值点，
则，，
假设存在b及满足题意，
(1)当、a、等差时，即时，
则或，
于是，即.
此时
或；
(2)当时，则或，
①若，则，
于是，
即，
两边平方得，
∵，于是，此时，
此时.
②若，则，
于是，
即，两边平方得，
∵，于是，此时，
此时.
综上所述，存在b满足题意，
当时，，
时，，
时，.................................12分
22.答案(1)解:曲线C的参数方程为(m为参数)，
由，，故，即，
又直线l:，所以，
即，即，
又，所以，即，
所以曲线C:)，
直线l：...........................................4分
(2)解:设直线m的标准参数方程为(t为参数)，将其代入曲线C中，
得，
所以，由题意知，，
故，
所以或.................................10分
23.(1)(-∞，2]；(2)证明见解析.
解:(1)，
∴当时，取得最大值为3，
关于x的不等式有解等价于，
当时，上述不等式转化为，解得，
当时，上述不等式转化为，解得，
综上所述t的取值范围为，
故实数t的取值范(-∞，2]..........................................................................................5分
(2)根据(1)可得a，b，c均为正实数，且满足，所以由柯西不等式可得，
，
当且仅当，，时取等号，
所以.........................................................10分

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