资源简介

2022学年第二学期 9+1高中联盟期中考试
高二年级数学学科 试题
考生须知：
1．本卷满分 150分，考试时间 120分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、姓名、考场、座位号及准考证号并核对条形码信息；
3．所有答案必须写在答题卷上，写在试卷上无效，考试结束后，只需上交答题卷；
4．参加联批学校的学生可关注“启望教育”公众号查询个人成绩分析.
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要
求的）
1．已知 An10 10 9 8 7 6，则 n的值为（ ▲ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
S 31
2．已知等比数列 an 首项为 1，前 n项和为 S 10n ,若 ,则公比 q为（ ▲ ）S5 32
1
A．1 B 1． C． 1 D．
2 2
3．设随机变量 N(3, 4)，若 P( 2a 3) P( a 2)，则 a的值为（ ▲ ）
7 4
A． B． C．3 D．5
3 3
4．已知函数 f x x x c 2 在 x 2处有极大值，则实数 c的值为（ ▲ ）
A． 2 B． 6 C．2或 6 D．8
a 1 5
5．随机变量 X的分布列为 P(X＝n)＝ (n 1,2,3,4) a P X ＝ ，其中 是常数，则 =（ ▲ ）n n 2 2 2
55 55
A 4 5． B． C． D．
68 136 5 6
6．“中国剩余定理”又称“孙子定理”，最早可见于中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二
十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之
剩二，问物几何？现有这样一个相关的问题：被 3除余 2且被 5除余 3的正整数按照从小到大的顺序
a a S 2S 80排成一列，构成数列 n ，记数列 nn 的前 n项和为 n，则 的最小值为（ ▲ ）n
A．20 3 1 B． 40 3 1 C． 71 D 218．
3
x x1 ln x2 x2 ln x7．若任意两个不等正实数 11, x2 m, ，满足 2，则m的最小值为（ ▲ ）x2 x1
1
A 1． 2 B．1 C． e D．e e
8．某校以劳动周的形式开展劳育工作的创新实践.学生可以参加“民俗文化”“茶艺文化”“茶壶制作”
“水果栽培”“蔬菜种植”“3D打印”这六门劳动课中的两门.则甲、乙、丙这 3名学生至少有 2名
学生所选劳动课全不相同的方法种数共有（ ▲ ）
A．2080 B．2520 C．3375 D．3870
高二数学试题 第 1 页（共 4页）
二、选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选
对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分）
9．用 0到 6这 7个数字，可以组成没有重复数字的三位数的个数为（ ▲ ）
A A3 2A2 B A1． 6 6 ． 6A
2 3
6 C． A7 A
2
6 D． A
3
6 A
2
6
10．已知数列 an 的首项为 a1，前n项和为 Sn，下列说法正确的有（ ▲ ）
A．若数列 an 为等差数列，公差 d 0，则数列 an 单调递增
B．若数列 an 为等比数列，公比 q 1，则数列 an 单调递增
C．若 Sn 3 2
n n N ，则数列 an 为公比为 2的等比数列
a a n
D S 1 n．若 n n N ，则数列 an 为等差数列2
11．声音是由物体振动产生的声波，其中包含着正弦函数.纯音的数学模型是函数 y Asin t，我们听到
的声音是由纯音合成的，称之为复合音.若一个复合音的数学模型是函数 f x sin 1 x 1 sin x，则当
2 2
x 0,2 时，函数 f x 一定有（ ▲ ）
A．三个不同零点 B．在 0, 上单调递增
C 3 3．极大值，且极大值为 D．一条切线为 y x
4
12．已知红箱内有 5个红球、3个白球，白箱内有 3个红球、5个白球，所有小球大小、形状完全相同．第
一次从红箱内取出一球后再放回原袋，第二次从与第一次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后
放回原袋，依次类推，第 k 1次从与第 k次取出的球颜色相同的箱子内取出一球，然后放回去.记第
n次取出的球是红球的概率为 Pn，数列 Pn 前n项和记为 Sn，则下列说法正确的是（ ▲ ）
A． P
17
2 B． 4Pn 2 Pn 5P32 n 1
n
C．当n 3
1 1
无限增大，Pn将趋近于 D． Sn 3n 1 5 6

4
三、填空题（本小题共 4小题，每小题 5分，共 20分）
13 (x3 a )6 6． 展开式中 x 的系数为 160，则 a .
x ▲
14．杨辉三角由我国南宋数学家杨辉在其所著的《详解九章算术》
中提出，是二项式系数在三角形中的一种几何排列，图形如图.
记从上往下每一行各数之和为数列 an ，比如 a1 1，a2 2，
第 14题图
a3 4，则数列 an 的前n项之和为 ▲ .
15．某工厂去年 12月试产 1050个高新电子产品，产品合格率为 90%.从今年 1月开始，工厂在接下来的
两年中将生产这款产品.1月按去年 12月的产量和产品合格率生产，以后每月的产量都在前一个月的
基础上提高 5%，产品合格率比前一个月增加 0.4%.设从今年 1月起（作为第一个月），第 ▲ 个
月，月不合格品数量首次控制在 100个以内.（参考数据：1.0510 1.6，1.0511 1.7，1.0512 1.8，
1.0513 1.9）
高二数学试题 第 2 页（共 4页）
16．已知函数 f x a ln x 2x a 0 a 2x 2x，若不等式 x 2e f x e cos f x 对 x 0恒成立，则
实数 a的取值范围为 ▲ .
四、解答题（本题共 6小题，共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17 2．（10分）设正项数列 an 的前n项和为 Sn，且 2Sn an an .
（I）求数列 an 的通项公式；
a
（II）记 nn 的前n项和为T2 n
，求证：Tn 2 .

18．（12分）设函数 f (x) a2x 2a x 2ln x 1 a 0 .
（I）讨论 f x 的单调性；
（II）若 y f x 的图象与 x轴没有公共点，求 a的取值范围.
19．（12分）某学校有 A，B两家餐厅，王同学第 1天午餐时随机的选择一家餐厅用餐.如果第一天去 A餐
厅，那么第 2天去 A餐厅的概率为 0.6，如果第 1 天去 B餐厅，那么第 2天去 A餐厅的概率为 0.8.
（I）计算王同学第 2天去 A餐厅用餐的概率；
（II）王同学某次在 A餐厅就餐，该餐厅提供 5种西式点心，n种中式点心，王同学从这些点心中选择
三种点心，记选择西式点心的种数为 X，求 n的值使得 P X 1 最大.
20．（12分）函数 f x lg 20 10x ，数列 an 满足 a f
1 f 2 f 3 f 2n 1n

.
1 x 2n 2n 2n 2n
（I）求证： f x f 1 x 为定值，并求数列 an 的通项公式；
（II）记数列 a n S n 的前 项和为 Sn，数列 n 的前n项和为Tn，若Ta a n Sn对n N 恒成立， n n 1
求 的取值范围.
高二数学试题 第 3 页（共 4页）
21．（12分）某制药公司研制了一款针对某种病毒的新疫苗.该病毒一般通过病鼠与白鼠之间的接触传染，
1
现有 n只白鼠，每只白鼠在接触病鼠后被感染的概率为 ，被感染的白鼠数用随机变量 X表示，假设
2
每只白鼠是否被感染之间相互独立.
（I）若 P(X＝5)＝P(X＝95)，求数学期望 E(X)；
（II）接种疫苗后的白鼠被病鼠感染的概率为 p，现有两个不同的研究团队理论研究发现概率 p与参
2
数θ(0<θ<1)的取值有关.团队 A提出函数模型为 p ln 1 2，团队 B提出函数模型为
3
p 1 1 e .现将白鼠分成 10组，每组 10只，进行实验，随机变量 Xi(i＝1，2，…，10)表2
示第 i组被感染的白鼠数，现将随机变量 Xi(i＝1，2，…，10)的实验结果 xi(i＝1，2，…，10)
绘制成频数分布图，如图所示.
第 21题图
（i）试写出事件“X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10”发生的概率表达式（用 p表示，组合数不必计算）；
（ii）在统计学中，若参数θ＝θ0时使得概率 P(X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10)最大，称θ0是θ的最大似然
估计.根据这一原理和团队 A，B提出的函数模型，判断哪个团队的函数模型可以求出θ的最大似
3
然估计，并求出最大似然估计.参考数据： ln ≈0.406 5.
2
1
22．（12 x 3 2分）已知函数 f (x) (x 1)e ax ax ,a R .
3
（I）若 x 0不是函数的极值点，求a的值；
1
（II）当 a ，若 f (x) 5 3e有三个极值点 x1 , x2 , x2 3
x1 x2 x3 ,且 x1 x2 x3 [3ln 2 4, ]，e 1
x3 x求 2
2
的取值范围.
x3 x1 2
高二数学试题 第 4 页（共 4页）2022学年第二学期 9+1高中联盟期中考试
高二数学参考答案
一、选择题：本题共 8小题，每小题 5分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C D A B A C D B
二、选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
题号 9 10 11 12
答案 ABC AD BC ABD
三、填空题：本小题共 4小题，每小题 5分，共 20分.
13. 2 14. 2n 1 15. 13 16. 0,2e
四、解答题：本题共 6小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 解：
（1）令 n 1，可求 a1 1，由 2Sn a
2
n a 2S a
2
n得 n 1 n 1 an 1，
可知 an an 1 an an 1 1 0，从而 an an 1 1，
则 an 是首项为 1，公差为 1 的等差数列，
所以 an n ……………5分
1 2 n 1 1 2 n
（2）由错位相减法可知 Sn 2 ，n Sn 2 3 ，2 2 2 2 2 2 2n 1
S n 2可知 n 2 ，从而 Sn 2 …………n 10分2
18. 解：
（1）函数的定义域为 0, a x 2 (a x 1)，又 f (x) ，
x
4 4
当 a 0 时， f x 的减区间为 0, 2 ，增区间为 2 ,+ ； a a
1 1
当 a 0 时， f x 的减区间为 0, 2 ，增区间为 2 ,+ . ……………………6分 a a
（2）由 y f x 的图象与 x轴没有公共点，由（1）中函数的单调性可得，
4a 0
4
当 时， f x f 2 1 2ln 2 0
1
，即 min a a a 2e
4 .
1
当 a 0时， f x f 2 2 2 lna 2 0 1，即 a ，min a e
1 1
综上： a 2e 4 或a . ……………………12分e
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19. 解：
（1）设 Ai “第i天去A餐厅用餐”，Bi “第i天去B餐厅用餐”,其中 i 1,2，
则 A1 B1 ,由题知 P A1 P B1 0.5 ,P A2 | A1 0.6， P A2 | B1 0.8，
由全概率公式可知
P A2 P A2 | A1 P A1 P A2 | B1 P B1 0.7 ……………………5分
C1C 25 n 15n n 1
（2）由超几何分布知 P X 1
C3
，
n 5 n 5 n 4 n 3
15n n 1
令 an ，若 an 1 an，可得 n 1 n 3 n 6 n 1 ，n 5 n 4 n 3
45
即 n 9，所以当 n 9或10时P X 1 最大为 . ……………………12分
91
20. 解：
（1）易知 f x f 1 x 2，故a 2n 1 ……………………5分n
Sn n
2 1 1 1 1
（2）易知 S 2n n ， a a
，
n n 1 2n 1 2n 1 4 8 2n 1 2n 1
n 1 1 n n 1 T 1 n 1 n 1可知 n ，故 ，令 g n ，4 8 2n 1 4n 2 n 4n 2 n 4n 2
1 1 1
则 g n ，易知 g n g 1 ，故 .max …………………12分
4 n 1 2 6 3 3
n 1
21. 解：
n 1，
（1）由题知，随机变量 X服从二项分布，X～B 2 ，
由 P(X＝5)＝P(X＝95)，得 n＝100，E(X)＝50. ……………………4分
（2）①设事件 A为“X1＝x1，X2＝x2，…，X10＝x10”，
P(A)＝[C110p(1－p)9]3·[C120p2(1－p)8]3·[C310p3(1－p)7]2·[C410p4(1－p)6][C160p6(1－p)4]，
P(A)＝(C110)3(C210)3(C310)2(C410)2p25(1－p)75.
②记 g(p)＝ln[(C110)3(C120)3(C310)2(C410)2]＋25ln p＋75ln(1－p)，
g′(p) 25 75 25－100p则 ＝ － ＝ ，
p 1－p p（1－p）
当 00 1，g(p)单调递增；当 4 4
1
当 p＝ 时，g(p)取得最大值，即 P(A)取得最大值.
4
在团队 A提出的函数模型 p＝ln(1 2 2＋θ)－ θ2中，记函数 f1(x)＝ln(1＋x)－ x2，
3 3
第 2 页 共 3 页
1 4x 2x 3 2x 1
所以 f′1(x)＝ ，
x 1 3 3 x 1
00 f (x) 1当 时， 1 ， 1 单调递增；当 2 2
1 3 1 1
所以当 x＝ 时，f1(x)取得最大值 ln ，则θ不可以估计.
2 2 6 4
1 －
在团队 B提出的函数模型 p＝ (1－e θ)中，记函数 f2(x) 1＝ (1－e－x)，f2(x)单调递增，
2 2
1
令 f2(x)＝ ，解得 x＝ln 2，则θ＝ln 2是θ的最大似然估计. ……………………12分
4
22. 解：
（1）易知 f x x ex ax 2a ，则 ex ax 2a 0一个根为 x 0，
1
即 a ，经检验，x 0不是极值点; ……………………4分
2
1 ex 1 1
（2）当 a ，令 g x ，则 g x a有两个非零交点，可知 a ,
2 x 2
，
e 2
且 2 x1 1 x2 0， x3 0
x
，同时满足 e 1 a x1 2 ， ex2 a x2 2 ，
x x x 2 x
即 e 2 1 2 ，令 2
2
t t 1 ，即 x2 x1 t 1 x1 2 ln t，x1 2 x1 2
x ln t从而 1 2 x x
t 1
，
t 1 1 2
t 1 x1 2t 2 ln t 4，t 1
x 5 3e t 1 e 1 由 1 x2 x3 3ln 2 4, 可知， ln t 3ln 2, ， e 1 t 1 e 1
t 1 2ln t
令 h t t 1 1 ln t，可知 h t t ，易知 t 2ln t 0，
t 1 t 1 2 t
即 h t 在 1, 上单调递增，且h 2 3ln 2， h e e 1 ，
e 1
故 t 2,e . …………………………12分
第 3 页 共 3 页

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