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2023年广东省东莞市8校中考数学二模试卷
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共10小题，共30.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 的倒数是( )
A. B. C. D.
2. 中国空间站俯瞰地球的高度约为米，将用科学记数法表示应为( )
A. B. C. D.
3. 下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
4. 下列计算正确的是( )
A. B. C. D.
5. 在，，，，这五个数中，无理数的个数为( )
A. B. C. D.
6. 已知方程的两个根分别为、，则的值为( )
A. B. C. D.
7. 使有意义的的取值范围在数轴上表示为( )
A. B.
C. D.
8. 年北京冬奥会女子冰壶比赛有若干支队伍参加了单循环比赛，单循环比赛共进行了场，共有多少支队伍参加比赛？( )
A. B. C. D.
9. 如图，的中线、交于点，连接，则的值为( )
A.
B.
C.
D.
10. 如图是小亮绘制的潜望镜原理示意图，两个平面镜的镜面与平行，入射光线与出射光线平行．若入射光线与镜面的夹角，则的度数为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共5小题，共15.0分）
11. 分解因式： ．
12. 关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是______．
13. 如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，以点为圆心，长为半径作弧，交轴正半轴于点，则点的坐标为______．
14. 如图所示，矩形纸片中，，把它分割成正方形纸片和矩形纸片后，分别裁出扇形和半径最大的圆，恰好能作一个圆锥的侧面和底面，则的长为______．
15. 我们根据指数运算，得出了一种新的运算，如表是两种运算对应关系的一组实例：
指数运算
新运算
根据上表规律，某同学写出了三个式子：，，．
其中正确的是______ ．
三、解答题（本大题共8小题，共75.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16. 本小题分
先化简，再求值，其中．
17. 本小题分
如图，中，．
尺规作图：作边的垂直平分线，与边，分别交于点和点；保留作图痕迹，不要求写作法
若点是边的中点，，求证：是等边三角形．
18. 本小题分
为落实中小学课后服务工作的要求，某校开设了四门校本课程供学生选择：合唱社团、陶艺社团、数独社团、硬笔书法，七年级共有名学生选择了课程为了解选择课程学生的学习情况，张老师从这名学生中随机抽取了名学生进行测试，将他们的成绩百分制，单位：分分成六组，绘制成频数分布直方图．
分这组的数据为：、、、、、、、、，则这组数据的中位数是 分、众数是 分；
根据题中信息，可以估算七年级选择课程的学生成绩在分的人数是 人；
七年级每名学生必须选两门不同的课程，小明和小华在选课程的过程中，第一门都选了课程他俩决定随机选择第二门课程，请用列表法或树状图的方法求他俩同时选到课程或课程的概率．
19. 本小题分
如图，已如平行四边形中，点为坐标顶点，点，，函数的图象经过点．
求的值及直线的函数表达式；
求四边形的周长．
20. 本小题分
金师傅近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车．
燃油车
油箱容积：升
油价：元升
续航里程：千米
每千米行驶费用：元 新能源车
电池电量：千瓦时
电价：元千瓦时
续航里程：千米
每千米行驶费用：_____元
用含的代数式表示新能源车的每千米行驶费用．
若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元．
分别求出这两款车的每千米行驶费用．
若燃油车和新能源车每年的其它费用分别为元和元．问：每年行驶里程为多少千米时，买新能源车的年费用更低？年费用年行驶费用年其它费用
21. 本小题分
如图，在菱形中，对角线，相交于点，是中点，连接过点作交的延长线于点，连接．
求证：≌；
四边形是矩形．
22. 本小题分
如图是直径，是上异于，的一点，点是延长线上一点，连、、，且．
求证：直线是的切线；
若，求的值；
在的条件下，作的平分线交于，交于，连接、，若，求的值．
23. 本小题分
如图，抛物线与轴交于点，点，与轴交于点．
求抛物线的表达式；
在对称轴上找一点，使的周长最小，求点的坐标；
点是抛物线对称轴上的一点，点是对称轴右侧抛物线上的一点，当是以为腰的等腰直角三角形时，请直接写出所有点的坐标．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：的倒数是，
故选：．
根据倒数的定义即可求解．相乘等于的两个数互为倒数．
本题考查了倒数的定义，熟练掌握倒数的定义是解题的关键．
2.【答案】
【解析】解：．
故选：．
用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少，据此判断即可．
此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键．
3.【答案】
【解析】解：不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意；
B.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
C.是中心对称图形，但不是轴对称图形，故此选项符合题意；
D.既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项不合题意；
故选：．
根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可．
本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后与自身重合．
4.【答案】
【解析】解：因为，所以，因此选项A符合题意；
B.，因此选项B不符合题意；
C.，因此选项C 不符合题意；
D.，因此选项D 不符合题意；
故选：．
根据零次幂，特殊锐角三角函数值，平方根以及同底数幂乘法逐项进行计算即可．
本题考查零次幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根以及同底数幂乘法，掌握零次幂，特殊锐角三角函数值，算术平方根以及同底数幂乘法的计算方法是正确判断的前提．
5.【答案】
【解析】解：在，，，，中，
，，是有理数，，，是无理数，共个，
故选：．
根据无理数的定义，“无限不循环的小数是无理数”逐个分析判断即可．
本题考查了无理数，求一个数的立方根，解答本题的关键掌握无理数的三种形式：开方开不尽的数，无限不循环小数，含有的数．
6.【答案】
【解析】解：方程的两个根分别为、，
，，
，
故选：．
根据一元二次方程根与系数的关系得出，，进而即可求解．
本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
7.【答案】
【解析】解：有意义，
，
，
故选：．
根据二次根式有意义的条件，得出关于的不等式，解不等式，即可得出答案．
本题考查了二次根式有意义的条件及在数轴上表示不等式的解集，掌握二次根式有意义的条件是被开方数为非负数是解决问题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设共有支队人伍参加比赛，
根据题意，可得，
解得或舍，
共有支队伍参加比寒，
故选：．
设共有支队伍参加比赛，根据“单循环比赛共进行了场”列一元二次方程，求解即可．
本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并根据题意建立等量关系是解题的关键．
9.【答案】
【解析】解：中线、交于点，
为的中位线，
，，
∽，
，
．
故选：．
先根据三角形中位线的性质得到，，则可判断∽，利用相似比得到，然后根据比例的性质得到的值．
本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为：也考查了相似三角形的判定与性质．
10.【答案】
【解析】
【分析】
先根据反射规律求出的度数，再根据平角的定义求出的度数，最后根据平行线的性质得出即可．
【解答】
解：，
，
，
，
入射光线与出射光线平行，
．
故选：．
11.【答案】
【解析】解：．
故答案为：．
先提取公因式，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解即可求得答案．
本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解的知识．注意一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止．
12.【答案】
【解析】解：根据题意得：，
解得：，
故答案为：．
先计算“”的值．再根据根的判别式列不等式求解．
本题考查了根的判别式，正确计算是解题的关键．
13.【答案】
【解析】解：由图象可得与直径重合，
，
，
，
，
故答案为：．
由图象可得与圆的直径重合，由及垂径定理求解．
本题考查与圆的有关计算，解题关键是掌握垂径定理及其推论．
14.【答案】
【解析】解：设，则，
根据题意，得，
解得．
故答案为：．
设，则，根据扇形的弧长等于圆锥底面圆的周长列出方程，求解即可．
本题考查了圆锥的计算，矩形的性质，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
15.【答案】
【解析】解：根据题意得：，原计算正确，
，原计算错误，
2，原计算正确．
故答案为：．
根据题中的新定义法则判断即可．
本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
16.【答案】解：
，
当时，原式．
【解析】先算括号内的加法，再算括号外的除法，然后将的值代入化简后的式子计算即可．
本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式加法和除法的运算法则．
17.【答案】解：如图所示，直线即为所求；
证明：，点是边的中点，
，
，
，
是等边三角形．
【解析】根据题意作出线段的垂直平分线即可；
根据直角三角形的性质和等边三角形的判定定理即可得到结论．
本题考查了作图基本作图，等边三角形的判定，熟练掌握等边三角形的判定定理是解题的关键．
18.【答案】解：，；
；
根据题意列树状图如下：
共有种等可能的结果数，其中他俩同时选到课程或课程的概率有种，
则他俩同时选到课程或课程的概率是．
【解析】
【分析】
本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率．
根据中位数和众数的定义分别进行求解即可；
用总人数乘以分的人数所占的百分比即可；
画树状图展示所有种等可能的结果数，找出他俩同时选到课程或课程的结果数，然后根据概率公式计算．
【解答】
解：把这些数从小到大排列为：、、、、、、、、，
则这组数据的中位数是分，
出现了次，出现的次数最多，
众数是分；
故答案为：，；
根据题意得：
人，
答：估算七年级选择课程的学生成绩在分的人数是人；
故答案为：；
见答案．
19.【答案】解：依题意有：点在反比例函数的图象上，
，
，
又轴，
，
设直线的函数表达式为，
，
，
直线的函数表达式为；
作于点，
，
，
在平行四边形中，
，，
四边形的周长为：，
即四边形的周长为．
【解析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，反比例函数图象上点的坐标特征、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
根据函数的图象经过点，可以求得的值，再根据平行四边形的性质即可求得点的坐标，从而可以求得直线的函数解析式；
根据题目中各点的坐标，可以求得平行四边形各边的长，从而可以求得平行四边形的周长．
20.【答案】解：由表格可得，
新能源车的每千米行驶费用为：元，
即新能源车的每千米行驶费用为元；
燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，
，
解得，
经检验，是原分式方程的解，
，，
答：燃油车的每千米行驶费用为元，新能源车的每千米行驶费用为元；
设每年行驶里程为，
由题意得：，
解得，
答：当每年行驶里程大于时，买新能源车的年费用更低．
【解析】根据表中的信息，可以计算出新能源车的每千米行驶费用；
根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元和表中的信息，可以列出相应的分式方程，然后求解即可，注意分式方程要检验；
根据题意，可以列出相应的不等式，然后求解即可．
本题考查分式方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式．
21.【答案】证明：，
，
是中点，
，
在和中，
，
≌．
≌，
，
，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
四边形是矩形．
【解析】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，矩形的判定，熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
根据两直线平行，内错角相等可得，根据线段中点的定义可得，然后利用“角边角”证明和全等；
根据全等三角形对应边相等可得，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形是平行四边形，根据菱形的对角线互相垂直得出，即可得出结论．
22.【答案】证明：连接，
是的直径，
，
，
又，
，
又，
，
即，
，
又为半径，
直线是的切线；
解：，，
∽，
，
设半径，
，
，，
在中，
，
在中，
，
；
解：在的条件下，，
，
，
在中，
，，
解得，，
平分，
，
又，
∽，
，
．
【解析】连接，先得出，再得出，进而得出，最后根据切线的判定得出结论；
先得出∽，进而得出，设半径，根据勾股定理得出，最后根据三角函数得出结果；
由的结论，得出，结合直角三角形的性质得出，，然后得出∽，最后根据得出结论．
本题考查了切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定与性质及勾股定理，灵活运用性质解决实际问题是解题的关键．
23.【答案】解：将点，点代入，
，
解得，
；
连接交对称轴于点，
，
抛物线的对称轴为直线，
、关于对称轴对称，
，
当、、三点共线时，的周长最小，
，，
设直线的解析式为，
，
解得，
，
；
当时，，过点作对称轴于，如图，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
设，则，
，
解得或，
或，
点在对称轴的右侧，
点坐标为；
当时，，
如图，当点在点上方时，过点作轴的垂线，过点作于，
，
，
，
，
，，
≌，
，，
设，则，
，
解得或，
或，
点在对称轴的右侧，
点坐标为；
如图，当点在点下方时，
同理可得，
，
解得舍或，
；
综上所述：点的坐标为或或．
【解析】用待定系数法求函数的解析式即可；
连接交对称轴于点，当、、三点共线时，的周长最小，求出直线的解析式，再求点坐标即可；
分两种情况讨论：当时，，过点作对称轴于，可证明≌，设，则，求出点坐标为；当时，，当点在点上方时，过点作轴的垂线，过点作于，可证明≌，设，则，求出点坐标为；当点在点下方时，同理，可求点坐标为．
本题属于二次函数综合题，主要考查二次函数的图象及性质，等腰直角三角形的性质，轴对称求最短距离，分类讨论，数形结合是解题的关键．
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