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第4章 因式分解
一、单选题
1．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）下列因式分解正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022春·浙江宁波·七年级校考期末）若关于x的多项式有一个因式是，则实数的值为（ ）
A．－5 B．2 C．－1 D．1
4．（2022春·浙江丽水·七年级统考期末）下列多项式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
5．（2022春·浙江衢州·七年级统考期末）下列分解因式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
6．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）不论x为何值，等式都成立，则代数式的值为（ ）
A．-9 B．-3 C．3 D．9
二、填空题
7．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）已知二次三项式分解后有一个因式为，则______．
8．（2022春·浙江丽水·七年级统考期末）因式分解：________．
9．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）阅读材料：若为常数有一个因式为，则如何因式分解？
解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解
若为常数有一个因式为，则因式分解______．
10．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）因式分解：_________．
11．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）分解因式：_____．
12．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）因式分解：________．
13．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）因式分解______．
14．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）分解因式：＝___________．
15．（2022春·浙江温州·七年级统考期末）如图，某环形绿化带的外圆半径为6.5m，内圆半径为3.5m，现有一块宽为6m的长方形绿化带面积与该圆环绿化带面积相同，则长方形绿化带的长为________m．（结果保留）
16．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）已知是方程组的解，则的值是______．
三、解答题
17．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）将下列各式因式分解：
(1)；
(2)．
18．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）分解因式：
(1)；
(2)；
(3)．
19．（2022春·浙江杭州·七年级统考期末）在①，②这两个代数式中选择其中一个，补充在下面问题横线上，并完成问题的解答．
问题：分解因式：________
20．（2022春·浙江绍兴·七年级统考期末）将下列每个多项式与因式分解适用的方法连线：
21．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）因式分解：
(1)；
(2)．
22．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）因式分解：
(1)
(2)
23．（2022春·浙江舟山·七年级统考期末）已知，．
(1)求的值；
(2)求的值；
(3)求的值；
24．（2022春·浙江宁波·七年级统考期末）数学活动：认识算两次
把同一个量用两种不同的方法计算两次，进而建立等量关系解决问题，这种方法在数学上称为算两次．例如：在学习整式乘法过程中，我们用两种不同的方法计算如图1中最大的正方形面积验证了完全平方公式：．
(1)如图2，将长为m，宽为n的四个大小、形状完全相同的小长方形按如图所示拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积可以得出等式______________．
(2)如图3，棱长为x的实心大正方体切除一个棱长为y的小正方体．
①剩余部分按如图所示继续切割为甲、乙、丙三个长方体，它们的体积可以用含x、y的整式分别表示为______________、______________、______________；
②利用①中的结果以及算两次的方法，因式分解：
③若，求的值．
25．（2022春·浙江湖州·七年级统考期末）小伟同学的错题本上有一题练习题，这道题被除式的第二项和商的第一项不小心被墨水污染了（污染处用字母和表示），污染后的习题如下：．
(1)请你帮小伟复原被污染的和处的代数式，并写出练习题的正确答案；
(2)爱动脑的小芳同学把练习题的正确答案与代数式相加，请帮小芳求出这两个代数式的和，并判断所求的和能否进行因式分解？若能，请分解因式；若不能，请说明理由．
26．（2022春·浙江金华·七年级统考期末）教材中的探究：通过用不同的方法计算同一图形面积，得到相应的等式，从而探求出多项式乘法或分解因式的新途径．例如，选取图①中的正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，计算它的面积写出相应的等式：或．
(1)请根据图③写出代数恒等式，并根据所写恒等式计算；
(2)若，，求x＋y＋z的值．
(3)试借助图①的硬纸片，利用拼图的方法把二次三项式分解因式，并把所拼的图形画在虚线方框内．
参考答案：
1．C
【分析】利用因式分解的定义，把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，进而判断得出即可．
【详解】A、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
B、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
C、，是因式分解，故此选项符合题意；
D、右边不是整式的积的形式，不是因式分解，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】此题主要考查了因式分解的定义，解题的关键是正确掌握因式分解的定义．
2．B
【分析】通过查看等式左右两边是否相等，即可判断因式分解正确与否．
【详解】A项：右边= 左边，错误；
B项：左边等于右边，正确，故为本题答案；
C项：右边= 左边，错误；
D项：右边= 左边，错误；
故本题答案为：B．
【点睛】本题考查因式分解，关键要牢记其运算方法并灵活运用．
3．D
【分析】设，然后利用多项式乘多项式法则计算，合并后根据多项式相等的条件即可求出p的值．
【详解】解：根据题意设，
∴，，
解得：，．
故选：D．
【点睛】此题考查了因式分解的意义，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．
4．C
【分析】根据完全平方公式的结构特征逐项进行判断即可．
【详解】解：A． ，可以利用平方差公式进行因式分解，因此选项A不符合题意；
B．，可以利用提公因式法进行因式分解，因此选项B不符合题意；
C．，可以利用完全平方公式进行因式分解，因此选项C符合题意；
D．，不能利用完全平方公式进行因式分解，因此选项D不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查提公因式法、公式法分解因式，掌握完全平方公式的结构特征是正确判断的前提．
5．D
【分析】分解因式是将一个多项式分解为几个整式的乘积形式，根据定义先从形式上分析，再结合因式分解的常用方法：提公因式法及公式法去逐项验证即可得到答案．
【详解】解：A、根据提公因式法分解因式得，该选项不符合题意；
B、根据平方差公式因式分解得，该选项不符合题意；
C、根据分解因式定义知没有化成几个整式乘积的形式，该选项不符合题意；
D、综合利用提公因式法及公式法分解因式得，该选项符合题意；
故选：D．
【点睛】本题考查分解因式，熟悉分解因式的定义，掌握分解因式的方法是解决问题的关键．
6．D
【分析】已知等式右边利用多项式乘多项式法则计算，再利用多项式相等的条件求出p与q的值，即可求出答案．
【详解】解：由题意可得，
=，
∴p=2，q=-3，
则=9．
故选D．
【点睛】本题考查了因式分解法-十字相乘法，解决本题的关键是熟练的掌握十字相乘法．
7．6
【分析】设另一个因式为（x+n），根据多项式乘多项式运算法则可得二元一次方程组，求解即可．
【详解】解：设另一个因式为（x+n），
得x2-5x+m=（x-2）（x+n），
则x2-5x+m=x2+（n-2）x-2n．
∴，
解得．
∴m的值为6．
故答案为：6．
【点睛】本题考查了因式分解，多项式乘多项式，解二元一次方程组等知识点，能得出关于m、n的方程组是解此题的关键．
8．
【分析】利用提取公因式法进行因式分解即可．
【详解】解：．
故答案为：．
【点睛】此题考查了提取公因式法分解因式．熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．
9．
【分析】根据题意，因为有一个因式为，仿照例题通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式．
【详解】解：因为有一个因式为，所以当时，，于是把代入得，解得，原代数式变为，接着可以通过列竖式做多项式除法的方式求出其它因式，如图所示，则因式分解
因式分解，
故答案为：．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握列竖式做多项式除法是解题的关键．
10．
【详解】根据分解因式提取公因式法，将方程a2+2a提取公因式为a（a+2）．故a2+2a=a（a+2）．
故答案是a（a+2）．
11．
【分析】直接根据平方差公式进行因式分解即可.
【详解】，
故填
【点睛】本题考查利用平方差公式进行因式分解，解题关键在于熟练掌握平方差公式.
12．
【分析】此多项式可直接采用平方差公式进行分解．
【详解】解：
＝．
故答案为：．
【点睛】本题考查了公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
13．
【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．
【详解】解：（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2．
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．
14．
【分析】直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
【详解】解：=，
故答案为：.
【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用完全平方公式是解题关键．
15．
【分析】先求出圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积，因为长方形绿化带面积与该圆环绿化带面积相同，即可求出长方形绿化带的长．
【详解】解：圆环的面积=外圆的面积-内圆的面积，
，
，
，
长方形绿化带的长为：，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查平方差公式，解题关键是发现应用平方差公式的条件，使计算简便．
16．6
【分析】将方程组的解代入方程组中得到关于a、b的方程组，再利用平方差公式运算，整体代值求解即可．
【详解】解：∵是方程组的解，
∴即，
∴==2×3=6，
故答案为：6．
【点睛】本题考查二元一次方程组的解、平方差公式，灵活选用平方差公式的逆运算求代数式的值是解答的关键．
17．(1)
(2)
【分析】（1）根据平方差公式因式分解即可．
（2）先提公因式2x，然后根据完全平方公式因式分解即可．
【详解】（1）原式
（2）原式
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
18．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）利用提公因式法分解因式；
（2）将作为整体，利用完全平方公式进行因式分解；
（3）先去括号，再利用完全平方公式和平方差公式进行因式分解．
（1）
解：原式；
（2）
解：原式；
（3）
原式
．
【点睛】本题主要考查了因式分解的知识，熟练掌握常用因式分解的方法是解题关键．
19．或
【分析】选择一个以后根据完全平方公式进行因式分解即可．
【详解】选择①补充在下面问题横线上
分解因式：
选择②补充在下面问题横线上
分解因式：
【点睛】本题考查完全平方公式法进行因式分解，熟记完全平方公式是解题的关键．
20．见解析
【分析】①原式提公因式可分解因式；
②原式利用完全平方公式分解即可；
③原式利用平方差公式分解即可；
④原式利用完全平方公式分解即可；
⑤原式提公因式可分解因式．
【详解】解：①，提公因式法；
②，运用完全平方公式；
③，运用平方差公式；
④，运用完全平方公式；
⑤，提公因式法；
【点睛】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法．
21．(1)
(2)
【分析】（1）先提公因式，然后根据平方差公式因式分解即可求解；
（2）根据平方差公式与完全平方公式因式分解即可求解．
【详解】（1）解：原式
；
（2）原式
．
【点睛】本题考查了因式分解，掌握因式分解的方法是解题的关键．
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用提公因式法直接提出公因式即可求解；
（2）先将y-x转变为-（x-y），再用提公因式法因式分解，最后用平方差公式因式分解即可得出答案．
【详解】（1）解：；
（2）解：
【点睛】本题主要考查了因式分解，熟练掌握提公因式法和公式法因式分解是解题的关键．
23．(1)42
(2)22
(3)
【分析】（1）将因式分解，再把已知整体代入计算即可；
（2）将等式两边平方，得，然后运用完全平方公式再展开，最后把已知代入即可求解；
（3）由变形为，再代入计算即可求解．
（1）
解：∵，，
∴=ab(a-b)=(-7)×6=-42；
（2）
解：∵，
∴,
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）
解：∵，
∴,
∴，
∴，
∵，
，
∴a+b=．
【点睛】本题考查完全平方公式，代数式求值，熟练掌握完全平方公式及其变形是解题的关键．
24．(1)
(2)①，，；②；③36．
【分析】（1）根据阴影部分的面积可由正方形公式计算，也可由大正方形的面积-四个长方形的面积计算，从而可得出等式；
（2）①根据长方体的体积公式计算即可；②由该几何体的体积等于，又等于大正方体的体积-挖去的小正方体的体积，列出等式，再提取公因式即可；③由等式的基本性质可将变形为和．再由②结论可知，最后整体代入求值即可．
【详解】（1）由图可知大正方形的边长为(m+n)．阴影部分为一个小正方形，且边长为(m-n)．
方法一：直接利用正方形面积公式计算：，
方法二：利用大正方形的面积-四个长方形的面积：．
∴得出的等式为．
故答案为：；
（2）①由图可知，甲的体积为：，
乙的体积为：，
丙的体积为：．
故答案为：，，；
②由①可知该几何体的体积为：．
∵该几何体的体积还可用大正方体的体积-挖去的小正方体的体积计算，即，
∴．
③，且．
由②可得：．
∵，且，
∴等号两边可同时除x，即得出，
整理，得．
将，等号两边平方，得：，
整理，得：，即．
将，代入，得：．
故．
【点睛】本题考查因式分解的应用．正确利用两种不同方法计算所求面积和体积，列出等式是解题关键．
25．(1)；；
(2)能，
【分析】（1）根据多项式与单项式的除法法则计算即可
（2）先求正确答案与的和，再因式分解即可．
【详解】（1），
，
∴原题为.
则答案为：
（2），
能因式分解：
【点睛】本题考查多项式除以单项式及因式分解，掌握相应法则时解题关键．
26．(1)；
(2)
(3)，图见解析
【分析】（1） 根据选取图①中的正方形、长方形硬纸片共6块，拼出一个如图②的长方形，利用面积相等即可求得等式；
（2）将代数式展开，将，代入，计算可得结果．
（3）根据进行分解，再画出图形即可．
（1）
由图形可知：；
∴；
（2）
由可得：
，
∵，，
∴，
∴；
∴x＋y＋z的值为：；
（3）
，如下图：
【点睛】本题考查了通过图形拼凑进行代数式的运算或因式分解，正确拼出图形，采用数形结合理解几何图形面积的意义是解题关键．

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