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2023年中考复习存在性问题系列
二次函数中线段和面积的最值存在性问题专题探究
二次函数是中考的热门考点，也是压轴考点。同学们在平时做题时涉及到二次函数产生的线段和面积最值问题往往无从下手，那么本专题将着重解决以二次函数为背景的线段和面积最值问题，希望学习完本专题后，同学们能精准解题，掌握这类问题的解题方法.
解题攻略
1.我们给出如下定义
铅锤高：平行y轴的线段长我们定义为铅锤高；
水平宽：平行x轴的线段长我们定义为水平宽。
如图，结合上述定义可知：铅锤高等于两点的纵坐标之差(大-小)；水平宽等于两点的横坐标之差(大-小)。 即：
2.平面直角坐标系中三角形的面积公式：
采用割补法可以求出平面直角坐标系中三角形的面积公式为：
推导如下
其中AD是铅锤高，h1+h2是水平宽，且h1+h2很好算，为C点横坐标减B点横坐标(xc-xb)。
关键是求出AD的长。
发现AD=ya-yd，所以将问题转化为求D点的纵坐标，
又D点在BC上，且BC的解析式可以求出来，且A点和D点的横坐标相同，
故求出BC解析式后将A点横坐标带入该解析式中即可得到D点的纵坐标。
这样，△ABC的面积就求出来了。
方法总结
从上述过程中我们总结出求直角坐标系下三角形面积更加一般性的解题步骤：
（1）过动点(如上图2中A点)作y轴的平行线交定直线(如上图2中BC)，得到铅锤高(如上图2中AD)；
（2）：求定直线的解析式；
（3）：设动点坐标(一般在二次函数上动，设横坐标，根据解析式纵坐标用横坐标的代数式表示)；
（4）：用动点坐标的代数式表示铅锤高(如上图中的AD=ya-yd，这步是核心)；
（5）：；
（6）：计算求解。
典例剖析
一、线段最值问题
1.如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM⊥BC于点M，求线段PM的最大值．
【变式训练】
2.（2023秋·安徽合肥·九年级校考期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线BC于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段的最大值；
(3)当时，求点的坐标．
3.如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．
4.已知：如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．
（1）求此函数的关系式；
（2）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标；
（3）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？
面积的最值问题
5.（2022·山东济南·校考一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线过点A．
(1)求出抛物线解析式的一般式；
(2)抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点D的坐标；
(3)若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．
6.（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，抛物线与轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
7.如图，二次函数y=x +bx+c的图像与x轴交于A，B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)，点P是直线BC下方的抛物线上一个动点。
求这个二次函数的解析式；
是否存在一点P，当P点运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？若存在，求出点P坐标和最大面积；若不存在，请说明理由。
8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
2023年中考复习存在性问题系列
二次函数中线段和面积的最值存在性问题专题探究（解析版）
一、线段最值问题
1.如图，已知抛物线y＝﹣x2+2x+3与x轴交于A，B两点（点A在点B左侧），与y轴交于点C，连接BC，点P是线段BC上方抛物线上一点，过点P作PM⊥BC于点M，求线段PM的最大值．
解：过P点作PQ∥y轴交BC于Q，如图，
当y＝0时，﹣x2+2x+3＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝3，则B（3，0），A（﹣1，0），
当x＝0时，y＝﹣x2+2x+3＝3，则C（0，3），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
把B（3，0），C（0，3）代入得，，
解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+3，
∵OB＝OC＝3，
∴△OBC为等腰直角三角形，
∴∠OCB＝45°，
∵PQ∥y轴，
∴∠PQM＝45°，
∵PM⊥BC，
∴△PMQ为等腰直角三角形，
∴PM＝PQ，
设P（t，﹣t2+2t+3）（0＜t＜3），则Q（t，﹣t+3），
∴PQ＝﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）＝﹣t2+3t，
∴PM＝（﹣t2+3t）＝﹣（t﹣）2+，
当t＝时，PM的最大值为．
【变式训练】
（2023秋·安徽合肥·九年级校考期末）如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点C．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，过点P作直线轴于点D，交直线BC于点E．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求线段的最大值；
(3)当时，求点的坐标．
【答案】(1)
(2)最大值为
(3)
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）先求出，利用待定系数法求出的解析式为：，根据直线轴，可知点P、E的横坐标相等，设为m，且，可得，，即可得，问题得解；
（3）过C点作于点F，先证明四边形是矩形，即有，在等腰中，有，根据点P、E的横坐标相等，设为m，且，即有，，可得，再根据，，可得，解方程即可求解．
【详解】（1）将、代入中，
可得：，
解得：，
即抛物线解析式为：；
（2）当时，，
∴，
设的解析式为：，
又∵，
∴，
解得：，
即的解析式为：，
∵直线轴，
∴点P、E的横坐标相等，
设为m，且，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴当时，有最大值，最大值为，
即最大值为；
（3）过C点作于点F，如图，
∵，
∴，
∵，直线轴，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴在等腰中，有，
∵直线轴，
∴点P、E的横坐标相等，
设为m，且，
∴，，
∴，
∵，，
∴，且，
解得，或者（舍去），
当时，，
∴，
即点坐标为：．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求解抛物线解析式，等腰三角形的性质，二次函数的图象与性质以及解一元二次方程等知识，掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键．
3.如图，抛物线y＝+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D，已知A（﹣1，0），C（0，2）．
（1）求抛物线的表达式；
（2）线段BC上有一动点P，过点P作y轴的平行线，交抛物线于点Q，求线段PQ的最大值．
解：（1）抛物线y＝﹣+mx+n与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，A（﹣1，0），C（0，2）．
∴，
解得：，
故抛物线解析式为：y＝﹣x2+x+2；
（2）令y＝0，则﹣x2+x+2＝0，解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴B（4，0），
设直线BC的解析式为y＝kx+b，
∴，解得，
∴直线BC的解析式为y＝﹣x+2，
设P（m，﹣m+2）；则Q（m，﹣m2+m+2），
则PQ＝（﹣m2+m+2）﹣（﹣m+2）＝﹣m2+2m＝﹣（m﹣2） 2+2，
此时PQ的最大值为2．
4.已知：如图，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OA＝OC＝3，顶点为D．
（1）求此函数的关系式；
（2）在对称轴上找一点P，使△BCP的周长最小，求出P点坐标；
（3）在AC下方的抛物线上有一点N，过点N作直线l∥y轴，交AC与点M，当点N坐标为多少时，线段MN的长度最大？最大是多少？
解：（1）如图1，∵OA＝OC＝3，
∴A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∵抛物线y＝x2+bx+c经过点A（﹣3，0），C（0，﹣3），
∴将A（﹣3，0），C（0，﹣3），分别代入抛物线y＝x2+bx+c，
得，
解得．
故此抛物线的函数关系式为：y＝x2+2x﹣3；
（2）如图，连接AP，BP，BC，AC，AC与抛物线对称轴交于点P′，
∵抛物线的解析式为：y＝x2+2x﹣3，
∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣1，
∵B是抛物线与x轴的另一个交点，A（﹣3，0），
∴B（1，0），
∴BC＝＝＝，
∵点A，B关于抛物线对称轴对称，
∴AP＝BP，
∴PB+PC的最小值即为PA+PC的最小值，此时PA+PC+BC最小，即△BCP的周长最小，
∴当P、A、C三点共线时，△BCP的周长最小，即P在P′所在的位置，
设直线AC的解析式为y＝kx+b1，
∴，
解得：，
∴直线AC的解析式为：y＝﹣x﹣3，
∴当x＝﹣1时，y＝﹣2，
∴点P的坐标为（﹣1，﹣2）；
（3）如图3，设N（t，t2+2t﹣3），则M（t，﹣t﹣3），
∴MN＝﹣t﹣3﹣（t2+2t﹣3）＝﹣t2﹣3t＝﹣（t+）2+，
∵﹣1＜0，
∴当t＝﹣，即点N的坐标为（﹣，）时，线段MN的长度最大，最大值为．
二、面积的最值问题
5.（2022·山东济南·校考一模）如图，直线与x轴交于点A，与y轴交于点C，抛物线过点A．
(1)求出抛物线解析式的一般式；
(2)抛物线上的动点D在一次函数的图象下方，求面积的最大值，并求出此时点D的坐标；
(3)若点P为x轴上任意一点，在（2）的结论下，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)，；
(3)3．
【分析】（1）利用函数求解的坐标，再把的坐标代入二次函数解析式可得答案，
（2）过点作轴交于，得到，利用二次函数的性质可得答案，
（3）作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点，证明，从而得到，从而可得答案．
【详解】（1）解：令，解得：，
∴点，∴，
∴，∴，
即．
（2）解：令，化简可得：
解得或，
如图，过点作轴交于，
设，，则，
∴，
所以：①当时，
；
②当时，
；
∴，
∴当时，的面积有最大值，最大值是，
此时点坐标为．
（3）解：作点关于轴的对称点，连接交轴于点，过点作于点，交轴于点．
∵，，
∴，，
∴，
设 则
∴ ，
∴，
∵、关于轴对称，∴，
∴，此时最小．
∵，
∴，
∴，
∴的最小值是3．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最大值，同时考查利用轴对称求线段和的最小值，同时考查锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．
6.（2022秋·山东菏泽·九年级校考期末）如图，抛物线与轴交于，两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)设（1）中的抛物线交轴于点，在该抛物线的对称轴上是否存在点，使得的周长最小？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
(3)在（1）中的抛物线上的第二象限上是否存在一点，使的面积最大？若存在，求出面积的最大值．若没有，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的解析式为：
(2)存在，点的坐标为
(3)存在，最大值为
【分析】（1）根据题意可知，将点、的坐标代入函数解析式，列出方程组即可求得、的值，求得函数解析式；
（2）根据题意可知，边的长是定值，要想的周长最小，即是最小，所以此题的关键是确定点的位置，找到点的对称点，求得直线的解析式，求得与对称轴的交点即是所求；
（3）设，过点作轴交于点，连接、、，根据，将表示成二次函数，再根据二次函数的性质，即可求得的最大值．
【详解】（1）解：将，代入中，
可得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：存在，理由如下：
如图，
∵、两点关于抛物线的对称轴对称，
∴直线与的交点即为点，此时周长最小，连接、，
∵点是抛物线与轴的交点，
∴的坐标为，
又∵，
∴直线解析式为：，
∴点坐标即为，
解得：，
∴；
（3）解：存在，理由如下：
如图，设，过点作轴交于点，连接、、，
∵，
若有最大值，则就最大，
∴，
∵，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴当时，最大值为．
【点睛】本题考查了二次函数的综合应用，要注意距离最短问题的求解关键是点的确定，还要注意面积的求解可以借助于图形的分割与拼凑，特别是要注意数形结合思想的应用．
7.如图，二次函数y=x +bx+c的图像与x轴交于A，B两点，A点在原点左侧，B点的坐标为(3,0)，与y轴交于点C(0,-3)，点P是直线BC下方的抛物线上一个动点。
求这个二次函数的解析式；
是否存在一点P，当P点运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大？若存在，求出点P坐标和最大面积；若不存在，请说明理由。
解：(1)把B(3,0)，C(0,-3)代入二次函数解析式中：
∴ 解得
∴二次函数的解析式为：y=x -2x=3.
(2)四边形ABPC的面积存在最大值，点P坐标为为。
S四边形ABPC=S△ABC+S△BCP，由于S△ABC=是定值，所以只需要S△BCP面积取得最大值即可。
过P点作PH∥y轴交BC于H点，
设BC的解析式为：y=kx+b，代入B(3,0)，C(0,3)后,解得k=1，b=-3.
∴BC的解析式为：y=x-3.
设P点坐标为(m，m -2m-3)，又H点在BC上，且H横坐标与P相同为m，
∴H(m，m-3).
∴PH= yH-yP =(m-3) -(m -2m-3) = -m + 3m , 其中 0∴S△PBC=S△PCH+S△PBH=
∴当m=时，△PBC的面积有最大值为：
∴S四边形ABPC=S△ABC+S△BCP=，此时P坐标为为。
8.如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，连接，，对称轴为直线．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点D是第三象限内抛物线上的动点，连接和，求面积的最大值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）由得，结合对称轴建立方程组求解即可；
（2）如图，由（1）求出即，即设是第三象限内抛物线上的动点，根据，用坐标表示三角形面积即可求解．
【详解】（1）解：，
，
对称轴为，
，
解得：，
抛物线解析式为：；
（2）如图，抛物线与x轴交于点，
对称轴为，
即，
抛物线解析式为：，
,即，
设是第三象限内抛物线上的动点，
则且，
，
开口向下，
当时有最大值，
面积的最大值为．
【点睛】本题考查了代入法求二次函数解析式、二次函数的图像和性质求三角形最大面积；解题的关键是熟练掌握二次函数的图像和性质．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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