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勃利县中2022-2023学年度第二学期期中考试
高一数学
(时间：120分钟　满分：150分 )
选择题：（本大题共8小题，每题5分，共计40分，在每题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1、已知点是角终边上一点，则（ ）
A． B． C． D．
2、在中，，分别在线段，上，且，，点是线段的中点，则（ ）
A. B.
C. D.
3、已知，，则（ ）
A． B． C． D．
4、，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
5、的内角的对边分别为已知，，若该三角形有两个解，则的取值范围是（ ）
A． B．（，） C．（） D．
6、已知的三边分别是，设向量，，且，则B的大小是（ ）
A． B． C． D．
7、已知等边的边长为为它所在平面内一点，且，则的最大值为（ ）
A． B．7 C．5 D．
8、已知函数的部分图象如图所示，且经过点，则（ ）
A．关于点对称 B．关于直线对称
C．为奇函数 D．为偶函数
选择题：（本题共4小题，每题5分，共计20分。在每小题给出的四个选项中，有多个选项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错不得分，部分选对得3分）
9、已知向量，，则（ ）
A．当时， B．的最小值为
C．当时， D．当时，
10、设复数，为虚数单位，，则下列结论正确的为（ ）
A．当时，则复数在复平面上对应的点位于第四象限
B．若复数在复平面上对应的点位于直线上，则
C．若复数是纯虚数，则
D．在复平面上，复数对应的点为，为原点，若，则
11、在中，内角所对的边分别为若，，则下列选项正确的是（ ）
A． B．
C． D．为钝角三角形
12、设O为所在平面上一点，内角所对的边分别为则正确的（ ）
A．O为的外心
B．O为的重心
C．O为的垂心
D．O为的内心
第Ⅱ卷（共90分）
填空题：(本大题共4小题，每题5分，共计20分)
13、已知，则的值为________．
14、设复数，满足，，则________．
15、函数在上的单调递增区间是______．
16、设的内角所对的边分别为，，，则面积的最大值是____.
四、解答题：（本大题共6小题，共计70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17、在中，AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直线为轴，三角形面旋转一周形成一旋转体，求此旋转体的表面积和体积．
18、已知向量设，.
（1）求的值；
（2）求夹角的大小.
19、在中，分别为内角的对边， ．
（1）求；
（2）若是线段的中点，且，，求的面积．
20、在锐角中，角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）若，求的周长的取值范围.
21、已知
（1）求的单调区间
（2）已知，对总存在，使得成立，求的取值范围
22、为响应国家号召，大力发展三农产业，某农户将自己的一块直角三角形地按如图规划成3个功能区：区域规划建设果园和养殖土鸡土鸭等，区域规划建设小型鱼塘养鱼供休闲垂钓.区域规划为农家乐区域，规划建餐厅、儿童小型乐园以及住宿农舍.为安全起见，在农家乐区域周围筑起护栏.已知，，，.
（1）若时，求护栏的长度（的周长）；
（2）为了更大区域的进行养殖和发展三农产业，规划使得农家乐区域占地面积最小，怎样设计的大小，使的面积最小，并求出最小面积是多少？勃利县中2022-2023学年度第二学期期中考试
高一数学答案
一、单项选择
1、【答案】B
【解析】
因为点是角终边上一点，
所以，
所以.
故选：B
2、【答案】A
【解析】.如图，因为，.因为点是线段的中点，所以，因为，则.
3、【答案】A
【解析】，，
两边平方后得：，即，，，
，，
则.
故选：A.
4、【答案】D
【解析】分析：根据对数函数的单调性得到，根据指数函数的单调性得到，根据正弦函数的单调性得到.
详解：易知，，
因为，函数在区间内单调递增，所以，
所以.
故选：D.
5、【答案】D
【解析】
解：∵在△ABC中, ，
∴由正弦定理得，
∵，
∴，
要使三角形有两解，得到：，且，即
∴
解得：，
故选：D．
6、【答案】B
【解析】
因为∥，
所以(a＋b)(sinB－sinA)＝sinC(a＋c).
由正弦定理得，(a＋b)(b－a)＝c(a＋c)，
整理得：a2＋c2－b2＝－ac，
由余弦定理得cosB＝＝＝－.
又0故选：B
7、【答案】B
【解析】分析：取的中点，连接，并延长到，则有，从而将转化为，而，所以结合图形可得答案
详解：解：取的中点，连接，并延长到，使，
因为为等边三角形，所以，
所以,
因为，
所以,
因为等边的边长为，
所以，
要使取得最大值，则与共线且同向，
所以的最大值为，
故选：B
8、【答案】D
【解析】分析：根据图象求得函数的解析式，结合三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解.
详解：由题意，可得，
根据图形走势，可得，解得，
令，可得，所以，
由，所以A不正确；
由，可得不是函数的对称轴，所以B不正确；
由，此时函数为非奇非偶函数，所以C不正确；
由为偶函数，所以D正确.
故选：D .
二、多项选择题
9、【答案】AC
【解析】易知，当时，同向，所以正确．
因为，所以错误．
当时．．则，所以正确．
当时，．则．所以错误．
10、【答案】AC
【解析】分析：由，得，然后逐个分析判断即可
详解：由，得，
对于A，当时，，，所以复数在复平面上对应的点位于第四象限，所以A正确，
对于B，若复数在复平面上对应的点位于直线上，则，解得，所以B错误，
对于C，若复数是纯虚数，则且，解得，所以C正确，
对于D，由，得，则，由，得，，得或，所以D错误，
故选：AC
11、【答案】ACD
【解析】分析：先利用正弦定理得到之间的关系；然后根据角对应的余弦定理求解出的值；先求解出的值，然后结合正弦定理可求的值；根据为负值，可判断出三角形的形状.
详解：因为，所以，所以，故A正确；
因为，且，
所以，所以，故B错误；
因为，所以，所以，
又因为，所以，所以，故C正确；
由可知，所以为钝角三角形，故D正确；
故选：ACD.
12、【答案】BCD
【解析】分析：由三角形四心的定义，利用正弦定理，向量共线定理和平面几何的知识，即可得出结果.
详解：A.当O为三角形的外心，由正弦定理可得：，故A错误；
B.当O为三角形的重心，O为中线的交点，延长AO交BC于点M，可得，所以.
反之，取BC中点M，若，则，则可得A,O,M三点共线且，即A为三角形的重心.故B正确；
C.当O为三角形的垂心，，同理可证，即，反之也成立，故C正确；
D. 当O为三角形的内心，O为三角形的角平分线，则，如图过A作CF的平行线交BE的延长线于点N，过A作BE的平行线交CF于点M，则四边形AMON为平行四边形
所以，反之也成立，故D正确；
故选：BCD
【点睛】
关键点点睛：平面向量结合平面几何的知识进行推理是解题的关键.本题考查了理解辨析能力、逻辑推理能力和解决问题能力，属于难题.
三、填空题
13、【答案】
【解析】因为，故，
故（否则，矛盾），所以，
又，
故答案为：.
14、【答案】
【解析】分析：设，，，依题意可得，，，再根据复数模的计算公式计算可得；
详解：解：设，，，由已知得：，，，则，
，
则
故答案为：
法二：几何定义更简单
15、【答案】，
【解析】，
令，解得，.
又，或，
当时，；当时，，
故答案为：，.
16、【答案】
【解析】
，
由正弦定理得：，
，
，，，又，；
由余弦定理可得：，即（当且仅当时取等号），
，，即面积的最大值为.
故答案为：.
四、解答题
17、【答案】表面积为π，体积为π.
试题分析：由已知三角形ABC为直角三角形，斜边AB为轴旋转一周，所得旋转体是AB边的高CO为底面半径的两个圆锥组成的组合体，计算出底面半径及两个圆锥高的和，代入圆锥体积公式，即可求出旋转体的体积；又由该几何体的表面积是两个圆锥的侧面积之和，分别计算出两个圆锥的母线长，代入圆锥侧面积公式，即可得到答案．
详解：过C点作CD⊥AB，垂足为D．△ABC以AB所在直线为轴旋转一周，所得到的旋转体是两个底面重合的圆锥，如图所示，
这两个圆锥高的和为AB＝5，
底面半径DC＝＝，
故S表＝π·DC·(BC＋AC)＝π.
V＝π·DC2·AD＋π·DC2·BD＝π·DC2(AD＋BD)＝π.
即所得旋转体的表面积为π，体积为π.
【点睛】
本题考查圆锥的体积和表面积，其中根据已知判断出旋转所得旋转体的形状及底面半径，高，母线长等关键几何量，是解答本题的关键．
【解析】
18、【答案】（1）；（2）.
【解析】（1），
；
（2）由题意得：，，，
，
，
，
，又，.
19、【答案】（1）；（2）
【解析】
解：（1）因为，
所以根据正弦定理边角互化得，
整理得，即，
因为，
所以，
所以；
（2）如图，取中点，连接，
因为是线段的中点，
所以，
因为，，，，
所以在中，，
所以，设，
代入数据整理得，解得，
所以，
所以的面积为
法二：可用向量
20、【答案】（1）；（2）.
【解析】
解：（1），由正弦定理：，
又，，，
即：，.
，，即
（2），，由正弦定理有：，
，，.
，，
为锐角三角形，，，
，，，
，
即的周长的取值范围是
21、【答案】（1）单调递减区间为，，单调递增区间为，，（2）
【解析】分析：（1）首先利用诱导公式将函数变形为，再根据正弦函数的性质求单调区间．
（2）先得到值域为值域的子集，再分别求出的值域和的值域即可．
详解：解：（1），
令，，
，，
的单调递减区间为，，
令，，
，，
的单调递增区间为，，
（2）由题意得，对总存在，使得成立
所以值域为值域的子集，
，，，，，，，，
，，，
①当时，，，
，，
②当时，，，
，，
③当时，，，
，不等式组无解，
综上，的取值范围为．
22、【答案】（1）；（2）时，的面积取最小值为.
【解析】
（1），，，所以，可得，所以，由直角三角形可得，
在中，由余弦定理可得
，
则，所以，所以，
因为，所以，所以，
所以护栏的长度（的周长）为；
（2）设，则，
在中，由正弦定理，可得，
又在中，由，得，
所以
，
，则，
所以当且仅当，即时，的面积取最小值为.

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