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2.8 二次函数与幂函数
【考试要求】1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
【再现型题组】 基础知识回顾练
判断下列结论是否正确（ ）
A 二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)
B二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ>0
C若 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，则x1，x2为f(x)的零点
D 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是非奇非偶函数
【答案】C
下列关于幂函数函数y＝xα的判断正确的是（ ）
A 幂函数函数y＝xα的图象都过点(1,1)和(0,0)
B 当α<0时，幂函数函数y＝xα在其定义域上单调递减
C 当α为偶数时，幂函数函数y＝xα为偶函数
D 若幂函数y＝xα的图象经过点，则一定过原点
【答案】C
3、已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，2] C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)
【答案】　A
【解析】　f(x)＝－x2－4x＋5＝－(x＋2)2＋9，故函数f(x)的对称轴为x＝－2，
又函数f(x)的图象开口向下，故函数的单调递增区间为(－∞，－2]．
4、函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为(　　)
A．[－6,2] B．[－6,1] C．[0,2] D．[0,1]
【答案】　A
【解析】　函数f(x)＝－2x2＋4x的对称轴为x＝1，
则f(x)在[－1,1]上单调递增，在[1,2]上单调递减，
∴f(x)max＝f(1)＝2，f(x)min＝f(－1)＝－2－4＝－6，
即f(x)的值域为[－6,2].
5、函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是(　　)
A．－1 B．2　　　　　C．3　　　　　D．－1或2
【答案】B
【巩固型题组】 核心考点重点练
1、若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则(　　)
A．－11 D．n<－1，m>1
【答案】　B
【变式】已知幂函数(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　)
A．p为奇数，且p>0 B．p为奇数，且p<0
C．p为偶数，且p>0 D．p为偶数，且p<0
【答案】　D
2、已知幂函数的图像不过原点，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．－2 D．1或2
【答案】A
【详解】函数是幂函数，
，解得或．
当时，，图像不过原点，符合题意；
当时，，图像过原点，不符合题意．
故选：A．
3、当时，函数的图象恒过定点，则点的坐标为________．
【答案】
【详解】由于对任意的，恒经过点，所以函数的图象恒过定点,
故答案为：
【变式1】函数恒过定点______．
【答案】
【详解】当，即时，，函数恒过定点.
故答案为：.
4、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．2a﹣b＝0 B．a+b+c＜0 C．a﹣b+c＜0 D．abc＞0
【变式】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：
①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
【答案】B
【解答过程】解：y＝ax2+bx+c有2个零点，
故Δ＝b2﹣4ac＞0，故①正确，
结合图象f（﹣1）＜0，故a﹣b+c＜0，
故②错误，
函数对称轴是x1，（a＜0），
故2a+b＞0，故③正确，
故选：B．
5、已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【答案】C
【详解】函数的对称轴为.
若函数在区间上单调递减，则应有，所以；
若函数在区间上单调递增，则应有，所以.
综上所述，实数k的取值范围是或.
故选：C.
【变式1】（多选）函数在上不单调，则实数的取值可能是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【答案】BC
【详解】因为函数在上不单调，
所以，
所以，
所以，
故选：BC.
【变式2】若二次函数在区间上为严格减函数，则实数的取值范围是________．
【答案】
【详解】解：因为二次函数在区间上为严格减函数，
所以，即，解得,
所以，实数的取值范围是
故答案为：
6、已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
解　(1)当a>0时，
f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向上，对称轴方程为x＝，
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足≥2，a>0，
解得0当a<0时，f(x)＝ax2－x＋2a－1的图象开口向下，对称轴方程为x＝<0，
所以f(x)在区间[1,2]上单调递减需满足a<0，
综上，a的取值范围是(－∞，0)∪
(2)①当0<<1，即a>时，
f(x)在区间[1,2]上单调递增，
此时g(a)＝f(1)＝3a－2.
②当1≤≤2，即≤a≤时，
f(x)在区间上单调递减，在区间上单调递增，
此时g(a)＝f ＝2a－－1.
③当>2，即0f(x)在区间[1,2]上单调递减，
此时g(a)＝f(2)＝6a－3，
综上所述，g(a)＝
【变式1】已知函数f（x）＝x2﹣4x在区间[﹣1，m]上的最大值为5，则实数m的取值范围是（　　）
A．（2，5] B．（﹣1，5] C．[2，5] D．（1，5]
【答案】B
【解答过程】解：根据题意，f（x）＝x2﹣4x＝（x﹣2）2﹣4的对称轴为x＝2，且当x＝2时，函数有最小值f（2）＝﹣4，
令f（x）＝5，得x2﹣4x﹣5＝0，解得x＝﹣1或x＝5，
∵函数f（x）＝x2﹣4x在区间[﹣1，m]上的最大值为5，
∴﹣1＜m≤5，即m的取值范围是（﹣1，5]．
【变式2】二次函数f（x）满足f（2+x）＝f（2﹣x），且f（x）在[0，2]上是减函数，若f（a）≤f（0），则实数a的取值范围为（　　）
A．[0，4] B．（﹣∞，0] C．[0，+∞） D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）
【答案】A
【解答过程】解：函数f（x）满足f （2+x）＝f （2﹣x），则f（x）的对称轴为x＝2；
又f（x）在[0，2]上是减函数，则f（x）在[2，4]上是增函数；
如图所示，
若f（a）≤f （0），则有|a﹣2|≤2，
解得：0≤a≤4，
即a的取值范围是[0，4]．
【变式3】已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+5，若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，3] B．[1，2] C．[﹣1，3] D．[2，+∞）
【答案】A
【解答过程】解：函数f（x）＝x2﹣2ax+5的对称轴是x＝a，则其单调减区间为（﹣∞，a]，
因为f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，所以2≤a，即a≥2．
则|a﹣1|≥|（a+1）﹣a|＝1，
因此任意的x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，只需|f（a）﹣f（1）|≤4即可，
即|（a2﹣2a2+5）﹣（1﹣2a+5）|＝|a2﹣2a+1|＝（a﹣1）2≤4，亦即﹣2≤a﹣1≤2，
解得﹣1≤a≤3，又a≥2，
因此a∈[2，3]．
【变式4】函数在上的值域为，求的值.
【解答】因为在上的值域为，所以，即，
因为图象的对称轴方程为，所以在上单调递减，
则，
解得，即.
【提高型题组】 能力提升拓展练
1、函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么________.
【答案】
【详解】，点，，
所以，，
将两点坐标分别代入，，
得，，
，
故答案为：.
【变式】已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0答案　1
解析　由题意，|AB|＝|(m2)a－(m2)b|，|CD|＝|ma－mb|，根据图象可知b>1>a>0，当0(m2)b，ma>mb，因为|AB|＝|CD|，所以m2a－m2b＝(ma＋mb)(ma－mb)＝ma－mb，因为ma－mb>0，所以ma＋mb＝1.
【反馈型题组】 课堂内容验收练
1、下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）．
A． B． C．D．
【答案】D
【详解】A：一次函数的性质知在上是减函数，不合题意．
B：定义域为R且，为非奇非偶且是减函数，不合题意；
C：定义域为R且，为偶函数且在R上不单调，不合题意．
D：定义域为R且，为奇函数且在上是增函数，符合题意.
故选：D．
2、已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．b【答案】　A
【解析】　由题意得b＝＝a，
a＝＝<4<5＝＝c，
所以b3、函数的定义域和值域都是，则（ ）
A．1 B．3 C． D．1或3
【答案】B
【详解】因为函数在上为增函数，且定义域和值域都是，
所以，，解得或（舍），
故选：B
4．(多选)幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是(　　)
A．m＝3 B．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增
C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的图象关于原点对称
【答案】　ABD
【解析】　因为幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，
所以解得m＝3，
所以f(x)＝x3，
所以f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，
故f(x)＝x3为奇函数，函数图象关于原点对称，
所以f(x)在(－∞，0)上单调递增．
5、已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________．
【答案】　f(x)＝x2－4x＋3
【解析】　∵f(2＋x)＝f(2－x)对任意x∈R恒成立，
∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，
又∵f(x)的图象被x轴截得的线段长为2，
∴f(x)＝0的两根为1和3，
设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，
∵f(x)的图象过点(4,3)，
∴3a＝3，
∴a＝1，
∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，
即f(x)＝x2－4x＋3.
6、已知幂函数是偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【详解】（1）已知幂函数，则，解得或，
所以或，又函数为偶函数，所以；
（2）由于幂函数在上单调递增，又函数为偶函数，所以在单调递减，
若，则，平方后解得，
所以x的取值范围是.2.8 二次函数与幂函数
【考试要求】1.通过具体实例，了解幂函数及其图象的变化规律.2.掌握二次函数的图象与性质(单调性、对称性、顶点、最值等)．
【再现型题组】 基础知识回顾练
判断下列结论是否正确（ ）
A 二次函数y＝a(x－1)2＋2的单调递增区间是[1，＋∞)
B二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象恒在x轴下方，则a<0且Δ>0
C若 f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，则x1，x2为f(x)的零点
D 二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)是非奇非偶函数
下列关于幂函数函数y＝xα的判断正确的是（ ）
A 幂函数函数y＝xα的图象都过点(1,1)和(0,0)
B 当α<0时，幂函数函数y＝xα在其定义域上单调递减
C 当α为偶数时，幂函数函数y＝xα为偶函数
D 若幂函数y＝xα的图象经过点，则一定过原点
3、已知函数f(x)＝－x2－4x＋5，则函数y＝f(x)的单调递增区间为(　　)
A．(－∞，－2] B．(－∞，2] C．[－2，＋∞) D．[2，＋∞)
4、函数f(x)＝－2x2＋4x，x∈[－1,2]的值域为(　　)
A．[－6,2] B．[－6,1] C．[0,2] D．[0,1]
5、函数f(x)＝(m2－m－1)xm是幂函数，且在x∈(0，＋∞)上为增函数，则实数m的值是(　　)
A．－1 B．2　　　　　C．3　　　　　D．－1或2
【巩固型题组】 核心考点重点练
1、若幂函数y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则(　　)
A．－11 D．n<－1，m>1
【变式】已知幂函数(p∈Z)的图象关于y轴对称，如图所示，则(　　)
A．p为奇数，且p>0 B．p为奇数，且p<0
C．p为偶数，且p>0 D．p为偶数，且p<0
2、已知幂函数的图像不过原点，则实数的值为（ ）
A．1 B．2 C．－2 D．1或2
3、当时，函数的图象恒过定点，则点的坐标为________．
【变式1】函数恒过定点______．
4、二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正确的是（　　）
A．2a﹣b＝0 B．a+b+c＜0 C．a﹣b+c＜0 D．abc＞0
【变式】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：
①4ac＜b2；②a+c＞b；③2a+b＞0．
其中正确的是（　　）
A．①② B．①③ C．①②③ D．②③
5、已知函数在区间上是单调函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B．C． D．
【变式1】（多选）函数在上不单调，则实数的取值可能是（ ）
A．－1 B．0 C．1 D．2
【变式2】若二次函数在区间上为严格减函数，则实数的取值范围是________．
6、已知二次函数f(x)＝ax2－x＋2a－1.
(1)若f(x)在区间[1,2]上单调递减，求a的取值范围；
(2)若a>0，设函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为g(a)，求g(a)的表达式．
【变式1】已知函数f（x）＝x2﹣4x在区间[﹣1，m]上的最大值为5，则实数m的取值范围是（　　）
A．（2，5] B．（﹣1，5] C．[2，5] D．（1，5]
【变式2】二次函数f（x）满足f（2+x）＝f（2﹣x），且f（x）在[0，2]上是减函数，若f（a）≤f（0），则实数a的取值范围为（　　）
A．[0，4] B．（﹣∞，0] C．[0，+∞） D．（﹣∞，0]∪[4，+∞）
【变式3】已知二次函数f（x）＝x2﹣2ax+5，若f（x）在区间（﹣∞，2]上是减函数，且对任意x1，x2∈[1，a+1]，总有|f（x1）﹣f（x2）|≤4，则实数a的取值范围是（　　）
A．[2，3] B．[1，2] C．[﹣1，3] D．[2，+∞）
【变式4】函数在上的值域为，求的值.
【提高型题组】 能力提升拓展练
1、函数，当取不同的正数时，在区间上它们的图像是一组美丽的曲线（如图），设点，，连接，线段恰好被其中的两个幂函数，的图像三等分，即有，那么________.
【变式】已知幂函数y＝xa与y＝xb的部分图象如图所示，直线x＝m2，x＝m(0【反馈型题组】 课堂内容验收练
1、下列函数中，既是奇函数又在定义域上是增函数的为（ ）．
A． B． C．D．
2、已知a＝，b＝，c＝，则(　　)
A．b3、函数的定义域和值域都是，则（ ）
A．1 B．3 C． D．1或3
4．(多选)幂函数f(x)＝在(0，＋∞)上单调递增，则以下说法正确的是(　　)
A．m＝3 B．函数f(x)在(－∞，0)上单调递增
C．函数f(x)是偶函数 D．函数f(x)的图象关于原点对称
5、已知二次函数f(x)的图象经过点(4,3)，且图象被x轴截得的线段长为2，并且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________．
6、已知幂函数是偶函数．
(1)求函数的解析式；
(2)若，求x的取值范围．

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