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数列
4.4数学归纳法
1.数学归纳法步骤：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”.
2.用数学归纳法证明：如果是一个公差为的等差数列，那么①对任何都成立.
证明：（1）当时，左边，①式成立.（2）假设当时，①式成立，即，根据等差数列的定义，有，于是
，当时，①式也成立.由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
用数学归纳法证明：（为正整数）．
【答案】证明见解析
【详解】证明：①当时，左边，右边，等式成立．
②假设当时，等式成立，
即，
那么当时，
．
故当时，等式也成立．
综上可知等式对任意正整数n都成立．
已知数列满足
(1)求出项，并由此猜想的通项公式
(2)用数学归纳法证明的通项公式
【答案】(1)见解析
(2)见解析
【详解】（1）依题意，
所以，
由此猜想.
（2）当时，，成立.
假设当时成立，即成立.
则当时，，成立.
综上所述，对任意正整数都成立.
已知数列满足：，点在直线上．
（1）求的值，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．
【答案】（1），，；；（2）证明见解析.
【详解】(1)点在直线上可知，数列满足： ，
，．可猜得．
(2)当时，成立，
假设当时，成立，
则当时，成立，
就是说，猜想正确；
综上，．
设正项数列的首项为4，满足．
(1)求，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】(1)，；
(2)见解析
【详解】(1)
由可得，又，则，，
则，猜想；
(2)
由（1）得，当时，，
①当时，猜想显然成立；
②假设当时成立，即；
当时，，猜想成立，
由①②知猜想恒成立，即.
已知数列的前项和，满足，且．
（1）求；
（2）猜思的通项公式，并用数学归纳法证明．
【答案】（1），，；（2）猜想，，证
明见解析．
【详解】（1）对任意的，，且．
当时，，整理得，且，所以；
当时，，整理得，且，所以；
当时，，整理得，且，所以；
（2）由（1）猜想，，
下面用数学归纳法加以证明：
①当时，由（1）知成立；
②假设当时，成立．
当时，，
所以，且，
所以，即当时猜想也成立．
综上可知，猜想对一切都成立．
已知数列的前项和为，其中且.
（1）求；
（2）猜想数列的通项公式，并证明．
【答案】（1），，；（2）猜想，证明见解析.
【详解】（1）由题意，数列满足，且，
可得， 即，
又由，可得，可得.
（2）由，，，
猜想：，
证明：当时，由（1）可知等式成立；
假设时，猜想成立，即，
当时，由题设可得，
所以，
，
又由，所以，
所以，
即当时，命题也成立，
综上可得，命题对任意都成立.
设数列满足．
(1)求的值并猜测通项公式；
(2)证明上述猜想的通项公式．
【答案】(1)， ，猜测
(2)见解析
【详解】(1)
解：由题意得，时，，得，
时，，得，
故，
猜测；
(2)
证明：当时，，即猜测成立；
假设时，猜测成立，即，
则时，由，
得，
所以时也成立，
综上可得，成立．
设数列的前项和为，且.
(1)计算，并猜想；
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
【答案】(1)，，，，猜想；(2)证明见解析.
【详解】(1)当时，，；
时，，；
时，，；
时，，.
猜想.
(2)下面用数学归纳法证明猜想：
①当时，，猜想成立；
②假设时猜想成立，即成立；
那么，当时，，
，
所以，即时，猜想成立，
由①②可知，对猜想均成立.
已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
【答案】，证明见解析
【详解】由，可得．
由，可得．
同理可得，，．
归纳上述结果，猜想
下面用数学归纳法证明这个猜想．
（1）当时，③式左边，右边，猜想成立．
（2）假设当时，③式成立，即，
那么，即当时，猜想也成立．
由（1）（2）可知，猜想对任何都成立．
已知数列满足，且.
(1)求出的值，猜想数列的通项公式，并给出证明；
(2)设数列的前项和为，且，求数列的前项和.
【答案】(1)，，证明见解析
(2)
【详解】(1)
，
猜想.
下用数学归纳法证明
当时，成立
假设当时，成立，
当时，
所以当时成立.
由，得对任意成立.
(2)
由（1）知，
所以数列是以，公差为的等差数列，则
，
，则
，
所以
所以数列的前n项和为.
在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）．求及，由此猜测的通项公式，并证明你的结论．
【答案】，证明见解析
【详解】由条件得 ， ，
令 ，可得 ，
猜测 ，
用数学归纳法证明：
①当 时，由已知,可得结论成立．
②假设当 且)时，结论成立，即 ，
那么当 时， ，
,
所以当 时，结论成立．
由①②可知，对一切都成立．
数列中，表示前项和，且成等差数列．
（1）计算的值；
（2）根据以上计算结果猜测的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．
【答案】（1），，；（2），证明见解析.
【详解】解：（1），由已知有，得，
又，得；
（2）由以上结果猜测：
用数学归纳法证明如下：
（Ⅰ）当时，，猜想成立
（Ⅱ）假设当时猜想成立，则有，
当时，，

时猜想成立
由（Ⅰ）、（Ⅱ）可知，对任意正整数n，猜想都成立．
已知数列满足.
(1)写出，并推测的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
【答案】(1);
(2)证明见解析.
【详解】（(1)
时，，则，
时，，则，
时，，则，
猜想.
(2)
由（1）得：时，成立．
假设时，成立，
那么当时，，而，
所以，即，
故时，也成立．
综上，对一切n∈N*，都成立，得证．
已知数列满足，前项和．
(1)求的值并猜想的表达式；
(2)用数学归纳法证明（1）的猜想．
【答案】(1)，，，；
(2)证明见解析.
【详解】(1)
∵，前n项和，
∴令，得，
∴，
令，得，
∴．
令，得，
∴．
猜想．
(2)
用数学归纳法给出证明如下
①当时，结论成立；
②假设当(，)时，结论成立，
即，
则当时，，
，
即，
∴，
∴，
∴当时结论成立．由①②可知，
对一切都有成立．
已知数列的前项和为，其中
且.
(1)试求：的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.
【答案】(1)，，；
(2)证明见解析.
【详解】(1)
因为且.
所以，解得，
因为，
所以，解得.
由，猜想：.
(2)
①当时，等式成立；
②假设当时猜想成立，即
那么，当时，由题设，得，，
所以，，
则.
因此，，
所以.
这就证明了当时命题成立.
由①②可知：命题对任何都成立.
请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：
①
②
已知数列的前项和为，且，_______.
(1)求；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.
【答案】(1)
(2)猜想，证明见解析
【详解】(1)
解：选择条件①，
当 时，，即，
当 时，，所以，即，
当 时，，即，
故分别为3，5，7.
选择条件②，
当 时，，
当 时，.
当 时，
故分别为3，5，7.
(2)
解：猜想，理由如下：
选择条件①
时，由题知，，猜想成立，
假设时，，
则，所以
两式相减得：
即
所以，时成立，
综上所述，任意，有．
选择条件②
时，由题知，，猜想成立，
假设时，
则
所以，时成立，
综上所述，任意，有．数列
4.4数学归纳法
1.数学归纳法步骤：①证明当时命题成立；②以“当时命题成立”为条件，推出“当时命题也成立”.
2.用数学归纳法证明：如果是一个公差为的等差数列，那么①对任何都成立.
证明：（1）当时，左边，①式成立.（2）假设当时，①式成立，即，根据等差数列的定义，有，于是
，当时，①式也成立.由（1）（2）可知，①式对任何都成立.
用数学归纳法证明：（为正整数）．
已知数列满足
(1)求出项，并由此猜想的通项公式
(2)用数学归纳法证明的通项公式
已知数列满足：，点在直线上．
（1）求的值，并猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明（1）中你的猜想．
设正项数列的首项为4，满足．
(1)求，并根据前3项的规律猜想该数列的通项公式；
(2)用数学归纳法证明你的猜想．
已知数列的前项和，满足，且．
（1）求；
（2）猜思的通项公式，并用数学归纳法证明．
已知数列的前项和为，其中且.
（1）求；
（2）猜想数列的通项公式，并证明．
设数列满足．
(1)求的值并猜测通项公式；
(2)证明上述猜想的通项公式．
设数列的前项和为，且.
(1)计算，并猜想；
(2)用数学归纳法证明你的猜想.
已知数列满足，，试猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明．
已知数列满足，且.
(1)求出的值，猜想数列的通项公式，并给出证明；
(2)设数列的前项和为，且，求数列的前项和.
在数列中，，且，成等差数列，成等比数列（）．求及，由此猜测的通项公式，并证明你的结论．
数列中，表示前项和，且成等差数列．
（1）计算的值；
（2）根据以上计算结果猜测的表达式，并用数学归纳法证明你的猜想．
已知数列满足.
(1)写出，并推测的表达式；
(2)用数学归纳法证明所得的结论．
已知数列满足，前项和．
(1)求的值并猜想的表达式；
(2)用数学归纳法证明（1）的猜想．
已知数列的前项和为，其中
且.
(1)试求：的值，并猜想数列的通项公式；
(2)用数学归纳法加以证明.
请你从下列两个递推公式中，任意选择一个填入题中横线上，并解答题后的两个问题：
①
②
已知数列的前项和为，且，_______.
(1)求；
(2)猜想数列的通项公式，并用数学归纳法证明.

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