资源简介

高中数学 人教A版高一上学期 必修二 直线，平面平行与垂直的判定定理及性质定理
【问题查找】
问题一：证明直线与平面平行
【例1】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
问题二：证明平面与平面的的平行
【例2】如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1，证明：平面A1BD∥平面CD1B1.
问题三：证明直线平面的垂直
【例3】.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，.求证：BD⊥平面PAC.
证明：又∵∠ACB∠ACD，∴BD⊥AC.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥BD.又PA
AC=A,∴BD⊥平面PAC.
问题四：证明平面与平面的垂直
【例4】、如图所示，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC. 求证：平面PAC⊥平面ABC；
问题五：线面平行与垂直的综合应用
【例5】、已知：正三棱柱中，，，为棱的中点．
（）求证：平面．
（）求证：平面平面．
（）求四棱锥的体积．
【要点精讲】
【精准突破1】
学习目标：理解线面平行的判定定理及性质定理
目标分解：
理解线面平行的判定定理
理解线面平行的性质定理
教学过程
目标（1）：准确记忆并理解线面平行的判定定理
【教师】还记得线面平行的判定定理吗？
【知识点】 线面平行的判定定理
【例1】判断下列命题是否正确：
(1)一条直线平行于一个平面，这条直线就平行于平面内的任何直线；
(2)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；
(3)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行；
(4)与两条异面直线都平行的平面有无穷多个．
【解答】解：A、不是任何直线，故A错；
B、有无数条，故B错误；
C、仅有一个，故C正确；
D、只有一个，故D错误；
故选：C．
【例2】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
解析：利用中位线在已知平面中找到与所求直线平行的直线即可证明
目标（2）：能准确记忆并理解线面平行的性质定理
【教师】在前面我们知道线线平行可以推导出线面平行，那么线面平行是否也能推导出线线平行呢
【知识点】线面平行的性质定理
【例3】求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．
【解答】解：过这条直线做两个平面分别于这两相交平面相交，由线面平行的性质定理知直线分别与彼此的交线平行，又平行具有传递性，所以得到直线垂直与两平面的交线。
【例4】如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，P为平面ABC外一点，E，F分别是PA，PC的中点．记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明．
【精准突破2】
学习目标：记忆并理解平面与平面的判定定理与性质定理
教学过程
目标（1）：记住并理解平面与平面平行的判定定理
【教师】还记得面面平行的判定定理吗？
【知识点】面面平行的判定定理
【例5】下列命题正确的是( )
①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．
A．①③　　　　　B．②④ C．②③④ D．③④
解析：注意相交直线或任意一条，由定理易知③④正确。
【例6】如图所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，点D，E分别是BC与B1C1的中点．求证：平面A1EB∥平面ADC1.
目标（2）：记住并理解平面与平面平行的性质定理
【教师】还记得面面平行的性质定理吗？
【知识点】面面平行的性质定理
【例7】(1)平面α∥平面β，直线a α，直线b β，下面四种情形：
①a∥b；②a⊥b；③a与b异面；④a与b相交，其中可能出现的情形有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
(2)给出四种说法：
①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；
②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；
③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ α；
④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.
其中正确说法的序号是________．
【精准突破3】
学习目标：记忆并理解直线与平面垂直的判定定理与性质定理
教学过程
目标（1）：记住并理解直线与平面垂直的判定定理
【教师】还记得线面垂直的判定定理吗？
【知识点】线面垂直的判定定理
【例8】如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF
目标（2）：记忆并理解直线与平面垂直的性质定理
【教师】还记得直线与平面垂直的性质定理
【知识点】直线与平面垂直的性质定理
【例9】如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：MN∥AD1.
【精准突破4】
学习目标：记忆并理解平面与平面垂直的判定定理与性质定理
教学过程
目标（1）：记住并理解平面与平面垂直的判定定理
【教师】还记得面面垂直的判定定理吗？
【知识点】面面垂直的判定定理
【例10】如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中点．
证明：平面ABM⊥平面A1B1M.
目标（2）：记住并理解平面与平面垂直的性质定理
【教师】还记得面面垂直的性质定理吗？
【知识点】面面垂直的性质定理
【查漏补缺】
1、如图是正方体的平面展开图。关于这个正方体，有以下判断：
①与所成的角为②∥平面
③ ④平面∥平面
其中正确判断的序号是（ ）．
A．①③ B．②③ C．①②④ D．②③④
【解析】
把正方体的平面展开图还原成正方体 ，得：①与所成的角为正确； ② 不包含于平面 平面 平面 ，故②正确； ③ 与 是异面直线，故③不正确； ④ 平面 ，所以平面 平面 ，故④正确，正确判断的序号是① ② ④，故选C.
2、如图所示，在正方体中，、、、分别为棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及内部运动，则满足__________时，有平面．
【解析】∵，,∴面平面．
∵点在四边形上及其内部运动，要使平面，则，故答案为．
3.已知：正三棱柱中，，，为棱的中点．
（）求证：平面．
（）求证：平面平面．
【解析】试题分析：
（1）要证线面平行，就是要证线线平行，考虑过直线的平面与平面的交线（其中是与的交点），而由中位线定理易得，从而得线面平行；
（2）由于是正三角形，因此有，从而只要再证与平面内另一条直线垂直即可，这可由正棱柱的侧棱与底面垂直得到，从而得线面垂直，于是有面面垂直；
（）证明：连接，交于点，连接，∵在中，，分别是，中点，
∴，∵平面，平面，∴平面，
（）证明：∵在等边中，是棱中点，∴，又∵在正三棱柱中，平面，
平面，∴，∵点，，平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
4如图，在三棱锥中，，，为的中点，为上一点，且平面．
求证：（1）直线平面；（2）平面 平面．
试题解析：（1）因为平面，平面，
平面 平面，所以．
因为平面，平面，
所以平面．
（2）因为为的中点，，所以为的中点．
又因为，所以，又，，
所以． 平面，，
所以平面． 因为平面，
所以平面 平面．
5.如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是矩形，，点在线段上，且．
（1）求证：平面；
试题解析：（1）证明：在梯形中，
∵，，，
∴四边形是等腰梯形，且，，
∴，∴，
又∵，∴.
设与交于点，，
由角平分线定理知：，连接，
则且，
∴四边形是平行四边形，∴，
又平面，∴平面.
6.三棱柱，侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点．
（）求证：平面．
（）求证：平面平面．
证明：（）连接，．在中，∵，是，的中点，∴，
又∵平面，∴平面．
（）∵三棱柱中，侧棱与底面垂直，∴四边形是正方形，∴，∴，
连接，，则≌，∴，∵是的中点，∴，
∵，∴平面，∵平面，∴平面平面．
【梳理优化】
巩固练习完成不好就回归到精准突破重新学习，然后进入【查漏补缺】；
巩固练习完成挺好就直接进入【举一反三】进行拓展学习。
【查漏补缺】
1.在棱锥中，底面ABCD为菱形，
(1)若E为SD的中点，求证：直线 (2)求证：直线
试题解析：证明：（1）设AC与BD交于点O，连接OE，
由题知，O为BD的中点，E为SD的中点，∴OE∥SB
又∵，，∴．
（2）∵ABCD为菱形，∴AC⊥BD，
∵SD⊥面ABCD，，∴AC⊥SD，而，∴AC⊥面SBD．
2.如图，四棱柱中，底面是正方形，侧棱底面，为的中点．
（）求证：平面．（）求证：．
试题解析：（）
证明：连接交于点，∵在中，、分别是，中点，∴，∴平面，平面，∴平面．
（）∵在正方形中，，在四棱柱中，平面，
平面，∴，∵点，，平面，∴平面，∵平面，∴．
3.如图，四棱锥的底面是边长为的正方形，侧棱底面，且，是侧棱上的动点.
（1）如果是的中点，求证平面.
（2）是否不论点在侧棱的任何位置，都有？证明你的结论.
试题解析：
（）证明：连接交于，连接，∵四边形是正方形，∴是的中点，
又∵是的中点，∴，∵平面，平面，∴平面.
（）不论点在何位置，都有，证明如下：∵四边形是正方形，
∴，∵底面，且平面，∴，
又∵，∴平面，∵不论点在何位置，都有平面，
∴不论点在何位置，都有.
4.如图，在梯形中，，，，平面，.
（1）证明：平面；
（2）若为的中点，求证：平面.
试题解析：（1）证明：∵平面，平面，∴又∵，而，所以面
（2）∵，，∴，∴，又由（1）面∴，∴为等腰直角三角形，又为中点，∴，又∵，∴，所以，，而面，面，所以面.
5,如图，在矩形中，，，分别为线段，的中点，平面．
（I）求证：平面．
（II）求证：平面平面．
试题解析：（I）证明：∵四边形是矩形，∴且，
∵，分别是线段，的中点，∴，且，
∴四边形为平行四边形，∴，∵平面，平面，
∴平面．
（）证明：连接，，
∵，为中点，∴，∴四边形为正方形，∴，
又∵平面，平面，∴，∵，
∴平面，∵平面，∴平面平面．
6.如图，矩形与梯形所在的平面互相垂直，，∥，，，，为的中点，为中点．

（1）求证：平面∥平面；
（2）求证：平面平面．
试题解析：
（1）证明：在△中，分别为的中点，所以，又平面，且平面，所以∥平面．;
因为为中点，∥，，
所以四边形为平行四边形，所以
又平面，且平面，
所以∥平面
面
平面∥平面
（2）证明：在矩形中，．又因为平面 平面，且平面平面，所以平面．所以．
在直角梯形中，，，可得．
在△中，，因为，所以．
因为,所以平面．
面，平面平面
【举一反三】
1.如图，在四棱锥中，侧面底面,四边形是边长为的正方形，，点在线段上（不含端点），且平面
（1）求证：面；
（2）求证：平面
试题解析：
（1）取的中点连接,
又侧面平面平面
又面.
（2）平面,
侧面底面，又,
侧面,
而与是平面内两相交直线，
平面
2.三棱柱，侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点．
（）求证：平面．
（）求证：平面平面．
证明：（）连接，．在中，∵，是，的中点，∴，又∵平面，
∴平面．
（）∵三棱柱中，侧棱与底面垂直，∴四边形是正方形，∴，∴，
连接，，则≌，∴，
∵是的中点，∴，
∵，∴平面，
∵平面，∴平面平面．
3.如图，在直三棱柱中，，，为中点，与交于点．
（Ⅰ）求证：平面．
（Ⅱ）求证：平面．
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得？请说明理由．
试题解析：
（Ⅰ）连接，∴，∴四边形为正方形．∴为中点，又为中点，∴为的中位线，∴．∵平面，面，
∴面．
（Ⅱ）由题知，，又，∴面，
∴．在正方形中，，，∴面．
（Ⅲ）存在，取中点，连接，．∴，∴．
∵，为中点，∴．∵，∴面，
∴，∴当为中点时，．
4.如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，平面， 是的中点，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面平面．
试题解析：（1）取中点，连，，中，且．
又，，，
得，，四边形是平行四边形．
得，平面，平面，
平面．
（2）因为平面，所以,又因为，是平面内两条相交直线，所以平面，而在平面平面内，所以平面平面．
【优化】
【方法技巧】： 1.应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．
【方法技巧】平面与平面平行的判定方法：
(1)定义法：两个平面没有公共点；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
【强化巩固】
1．已知平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是(　　)
A．c与a，b都是异面 B．c与a，b都相交
C．c至少与a，b中的一条相交 D．c与a，b都平行
解析：由线面平行的性质定理可知a,b,c分别平行，故选D
2.如果平面α平行于平面β，那么(　　)
A．平面α内任意直线都平行于平面β B．平面α内仅有两条相交直线平行于平面β
C．平面α内任意直线都平行于平面β内的任意直线 D．平面α内的直线A与平面β内的直线不能垂直
解析：由面面平行的性质定理易知A正确。
3.如图，正方体ABCD－A′B′C′D′中，点E在AB′上，点F在BD上，且B′E＝BF.
求证：EF∥平面BB′C′C.
4.如图所示，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上任意一点，过点A作AE⊥PC于点E.求证：AE⊥平面PBC.
5.如图，已知AB⊥平面ACD，DE⊥平面ACD，△ACD为等边三角形，AD＝DE＝2AB，F为CD的中点．
求证：平面BCE⊥平面CDE.
6.如右图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，AB⊥AD，CD⊥AD.求证：平面PDC⊥平面PAD.
7.如图所示，在正方体ABC－A1B1C1D1中，M是AB上一点，N是A1C的中点，MN⊥平面A1DC.
求证：MN∥AD1.
【课后练习】
1.如图，在三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)
A．EF与BC相交
B．EF∥BC
C．EF与BC异面
D．以上均有可能
答案：易知EF∥BC.
2．如图是四棱锥的平面展开图，其中四边形ABCD为正方形，E，F，G，H分别为PA，PD，PC，PB的中点，在此几何体中，给出下面四个结论：
①平面EFGH∥平面ABCD；
②平面PAD∥BC；
③平面PCD∥AB；
④平面PAD∥平面PAB.
其中正确的有________．(填序号)
答案：易知①②③
3.如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′A′CC′.
4.如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，．
（I）求证：平面．
（II）求证：平面．
证明：（）因为平面平面，，
即，所以平面，
因为平面，所以，
因为是正方形，所以，，所以平面．
（）设，取中点，连接、，如下图：
所以平行且等于，
因为，，
所以平行且等于，从而四边形是平行四边形，
，因为平面，平面，所以平面，
即平面．直线，平面平行与垂直的判定定理及性质定理
【问题查找】
问题一：证明直线与平面平行
【例1】如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，D是AB的中点．证明：BC1∥平面A1CD.
问题二：证明平面与平面的的平行
【例2】如图，已知四棱柱ABCD－A1B1C1D1，证明：平面A1BD∥平面CD1B1.
问题三：证明直线平面的垂直
【例3】.如图，四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，BC＝CD，∠ACB＝∠ACD，
.求证：BD⊥平面PAC.
问题四：证明平面与平面的垂直
【例4】、如图所示，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC. 求证：平面PAC⊥平面ABC；
问题五：线面平行与垂直的综合应用
【例5】、已知：正三棱柱中，，，为棱的中点．
（）求证：平面．
（）求证：平面平面．
（）求四棱锥的体积．
【要点精讲】
【精准突破1】
学习目标：理解线面平行的判定定理及性质定理
目标分解：
理解线面平行的判定定理
理解线面平行的性质定理
教学过程
目标（1）：准确记忆并理解线面平行的判定定理
【知识点】 线面平行的判定定理
【例1】判断下列命题是否正确：
(1)一条直线平行于一个平面，这条直线就平行于平面内的任何直线；
(2)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面平行；
(3)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线平行；
(4)与两条异面直线都平行的平面有无穷多个．
目标（2）：能准确记忆并理解线面平行的性质定理
【知识点】线面平行的性质定理
【精准突破2】
学习目标：记忆并理解平面与平面的判定定理与性质定理
目标分解：
（1）记住并理解平面与平面平行的判定定理
（2）记住并理解平面与平面平行的性质
教学过程
目标（1）：记住并理解平面与平面平行的判定定理
【知识点】面面平行的判定定理
【例2】下列命题正确的是( )
①一个平面内有两条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
②一个平面内有无数条直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
③一个平面内任何直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行；
④一个平面内有两条相交直线都与另外一个平面平行，则这两个平面平行．
A．①③　　　　　B．②④ C．②③④ D．③④
目标（2）：记住并理解平面与平面平行的性质定理
【知识点】面面平行的性质定理
【例3】(1)平面α∥平面β，直线a α，直线b β，下面四种情形：
①a∥b；②a⊥b；③a与b异面；④a与b相交，其中可能出现的情形有( )
A．1种 B．2种 C．3种 D．4种
(2)给出四种说法：
①若平面α∥平面β，平面β∥平面γ，则平面α∥平面γ；
②若平面α∥平面β，直线a与α相交，则a与β相交；
③若平面α∥平面β，P∈α，PQ∥β，则PQ α；
④若直线a∥平面β，直线b∥平面α，且α∥β，则a∥b.
其中正确说法的序号是________．
【精准突破3】
学习目标：记忆并理解直线与平面垂直的判定定理与性质定理
目标分解：
记住并理解直线与平面垂直的判定定理
记住并理解直线与平面垂直的性质
教学过程
目标（1）：记住并理解直线与平面垂直的判定定理
【知识点】线面垂直的判定定理
【例4】如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC＝90°，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F.求证：(1)BC⊥平面PAB；(2)AE⊥平面PBC；(3)PC⊥平面AEF
目标（2）：记忆并理解直线与平面垂直的性质定理
【知识点】直线与平面垂直的性质定理
【精准突破4】
学习目标：记忆并理解平面与平面垂直的判定定理与性质定理
教学过程
目标（1）：记住并理解平面与平面垂直的判定定理
【知识点】面面垂直的判定定理
目标（2）：记住并理解平面与平面垂直的性质定理
【知识点】面面垂直的性质定理
【查漏补缺】
1、如图是正方体的平面展开图。关于这个正方体，有以下判断：
①与所成的角为②∥平面
③ ④平面∥平面
其中正确判断的序号是（ ）．
A．①③ B．②③ C．①②④ D．②③④
2、如图所示，在正方体中，、、、分别为棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及内部运动，则满足__________时，有平面．
3.已知：正三棱柱中，，，为棱的中点．
（）求证：平面．
（）求证：平面平面．
4如图，在三棱锥中，，，为的中点，为上一点，且平面．求证：（1）直线平面；（2）平面 平面．
5.如图，在梯形中，，，，平面平面，四边形是矩形，，点在线段上，且．
求证：平面；
6.三棱柱，侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点．
（）求证：平面．
（）求证：平面平面．
【梳理优化】
【查漏补缺】
1.在棱锥中，底面ABCD为菱形，
(1)若E为SD的中点，求证：直线 (2)求证：直线
2、.如图，在梯形中，，，，平面，.
（1）证明：平面；
（2）若为的中点，求证：平面.
如图，在矩形中，，，分别为线段，的中点，平面．
（I）求证：平面．
（II）求证：平面平面．
【举一反三】
1.如图，在直三棱柱中，，，为中点，与交于点．
（Ⅰ）求证：平面．
（Ⅱ）求证：平面．
（Ⅲ）在线段上是否存在点，使得？请说明理由．
2.如图，已知四棱锥的底面是平行四边形，平面， 是的中点，是的中点．
（1）求证：平面；
（2）若，求证：平面平面
【优化】
【方法技巧】： 1.应用判定定理证明线面平行的步骤
上面的第一步“找”是证题的关键，其常用方法有：利用三角形、梯形中位线的性质；利用平行四边形的性质；利用平行线分线段成比例定理．
【方法技巧】平面与平面平行的判定方法：
(1)定义法：两个平面没有公共点；
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面；
(3)转化为线线平行：平面α内的两条相交直线与平面β内的两条相交直线分别平行，则α∥β；
(4)利用平行平面的传递性：若α∥β，β∥γ，则α∥γ.
空间中各种平行关系相互转化关系的示意图
在关于垂直问题的论证中要注意线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化．每一种垂直的判定都是从某一垂直开始转向另一垂直，最终达到目的，其转化关系如下：
【强化巩固】
1．已知平面α∩平面β＝a，平面β∩平面γ＝b，平面γ∩平面α＝c，若a∥b，则c与a，b的位置关系是(　　)
A．c与a，b都是异面 B．c与a，b都相交
C．c至少与a，b中的一条相交 D．c与a，b都平行
2.如果平面α平行于平面β，那么(　　)
A．平面α内任意直线都平行于平面β
B．平面α内仅有两条相交直线平行于平面β
C．平面α内任意直线都平行于平面β内的任意直线
D．平面α内的直线A与平面β内的直线不能垂直
3.如图，在四棱锥中，侧面底面,四边形是边长为的正方形，，点在线段上（不含端点），且平面
（1）求证：面；
（2）求证：平面
三棱柱，侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点．
（）求证：平面．
（）求证：平面平面
【课后练习】
1.如图，在三棱锥S－ABC中，E、F分别是SB、SC上的点，且EF∥平面ABC，则(　　)
A．EF与BC相交 B．EF∥BC
C．EF与BC异面 D．以上均有可能
2.如图，直三棱柱ABC－A′B′C′，点M，N分别为A′B和B′C′的中点．证明：MN∥平面A′A′CC′.
3.如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，．
（I）求证：平面．
（II）求证：平面．
4.如图所示，已知三棱锥P－ABC，∠ACB＝90°，CB＝4，AB＝20，D为AB的中点，且△PDB是正三角形，PA⊥PC。求证：平面PAC⊥平面ABC；；
．

展开更多......

收起↑