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直线、平面平行的判定与性质讲义
知识点梳理
1、线性平行的证明方法
①空间直线平行关系的传递性法；②三角形中位线法；③平行四边形法；
④线段成比例法；⑤线面平行的性质定理；⑥线面垂直的性质定理；
⑦面与面平行的性质定理。
线面平行的证明方法
线面平行的判定定理
符号语言：
面与面平行的定义
符号语言：
面面平行的证明方法
面面平行的判定定理
符号语言：
经典例题讲解
知识点一：理解直线、平面平行的判定定理及性质定理
例1.平面外的两条直线、，且，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式题训练：
1.已知a，b，c为三条不重合的直线，，，为三个不重合的平面其中正确的命题（ ）
①，； ②，；
③，； ④，；
⑤，，．
A．①⑤ B．①② C．②④ D．③⑤
2.，是两个平面，，是两条直线，下列四个命题中正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，则
C．若，，则 D．若，，，则
3.【多选题】下列命题中，正确的是（ ）
A．平行于同一条直线的两个平面平行
B．平行于同一平面的两个平面平行
C．平行于同一平面的两直线关系不确定
D．两平面平行，一平面内的直线必平行于另一平面
知识点二：应用“中位线”证明线面平行
例1.如图， 棱长为 2 的正方体 中，是的中点.
(1)证明: 平面;
(2)求三棱锥 的体积.
变式训练：
1.如图，长方体中，，，点为的中点.
(1)求证：直线平面PAC；
(2)求异面直线与AP所成角的大小.
2.如图，在直三棱柱中，，，为的中点.
(1)证明：平面；
3.如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB⊥AC，AB＝1，AC＝，AA1＝4，点D、E、F分别是棱BC、CC1、AA1的中点．求证：FB∥平面ADE；
知识点三：应用“平行四边形”证明线面平行
例1.如图所示，已知四边形ABCD是正方形，四边形ACEF是矩形，AB＝2，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE．
变式训练：1、如图，四棱锥的底面是正方形，PA⊥平面ABCD，E，F分别为AB，PD的中点，且PA＝AD＝2．
(1)求证：平面PEC；
(2)求三棱锥的体积．
2.在三棱柱中，，平面，、分别是棱、的中点，求证：平面；
3.如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，平面，且，，M、N分别为PD、BC的中点．
(1)求证：平面；
(2)求：异面直线与所成的角．
知识点四：应用“比例线段”证明线面平行
例1.已知正方体中，P、Q分别为对角线BD、上的点，且.作出平面PQC和平面的交线（保留作图痕迹），并求证：平面；
变式训练：1.在空间四边形ABCD中，E，F分别为边AB，AD上的点，且AE：EB＝AF：FD＝1：4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（　　）
A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是矩形
B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形
C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是菱形
D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是平行四边形
2.如图所示的四棱锥中，底面是梯形，，，，，平面，.证明：平面；
3.如图，在三棱锥中，M，N分别为和的重心．求证：平面ABC．
知识点五：应用“面面平行”证明线面平行
例1.如图，在直四棱柱（侧棱垂直底面的棱柱称为直棱柱）ABCD﹣A1B1C1D1中，底面是边长为2的菱形，且∠DAB＝60°，AA1＝AB，点E，F分别为DD1，CC1的中点，点G在D1F上．
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥B﹣ACE的体积．
变式训练：1.如图，在长方体中，，分别是线段，的中点，证明：平面
2.如图1，在直角梯形中，，，点为的中点，点在，将四边形沿边折起，如图2.
(1)证明：图2中的平面；
(2)在图2中，若，求该几何体的体积.
知识点六：线面平行的性质
例1.如图，已知E，F分别是菱形ABCD的边BC，CD的中点，EF与AC交于点O，点P在平面ABCD外，M是线段PA上一动点，若PC∥平面MEF，试确定点M的位置．
变式训练：1.如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是平行四边形，M是PC的中点，连接BD，MD，MB，在DM上取一点G，过G和AP作平面，交平面BDM于GH．求证：AP∥GH．
2.如图所示，在四棱锥中，平面，E是的中点.
(1)求证：//平面
(2)求证：//平面.
3.空间四边形被一平面所截，、、、分别在、、、上，截面是矩形．
(1)求证：平面；
(2)求异面直线、所成的角．
4.在三棱锥A-BCD中，E，F分别是棱BC，CD上的点，且平面ABD.
(1)求证：平面AEF；
(2)若平面BCD，，，记三棱锥F-ACE与三棱锥F-ADE的体积分别为，，且，求三棱锥B-ADF的体积.
知识点七：面面平行的证明
例1.如图（甲），在直角梯形ABED中，AB∥DE，AB⊥BE，AB⊥CD，F，H，G分别为AC，AD，DE的中点，现将△ACD沿CD折起，如图（乙）．求证：平面FHG∥平面ABE．
变式训练1：由四棱柱截去三棱锥后得到的几何体如图所示，四边形为平行四边形，O为与的交点．
(1)求证：∥平面；
(2)求证：平面∥平面；
(3)设平面与底面的交线为l，求证：．
2.如图，在正方体中，分别为所在棱的中点，分别为正方形和正方形的中心，连接，.
(1)证明：平面平面；
(2)问在线段上是否存在一点，使得平面？若存在，写出点的位置并给出证明；若不存在，请说明理由.
巩固练习
1.已知，，为三条不同的直线为三个不同的平面，则下列说法正确的是（ ）
A．若，，则 B．若，，，则
C．若，，则 D．若，，，，则
2．在正方体中，P是平面内的一动点，M为线段的中点，则下列说法错误的是（ ）
A．平面内任意一条直线都不与平行
B．平面和平面的交线不与平面平行
C．平面内存在无数条直线与平面平行
D．平面和平面的交线不与平面平行
3.（多选）已知，是两个平面，则下列条件可以得到的是（ ）
A．平面内的任何一条直线，都有
B．平面内有无数条直线与平面平行
C．平面内任意一条直线与平面内的任意一条直线都没有公共点
D．平面内有两条相交直线都在平面外
4.如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，E为棱的中点，平面与棱交于点F．
(1)求证：平面；
(2)求证：F为的中点；
(3)在棱上是否存在点N，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
5.如图，四棱锥中，底面是平行四边形，E为中点.
（1）求证：平面；
（2）若M，N分别是线段的中点，F是直线上的动点，则线段上是否存在点G，使得平面？若存在，请求出的比值：若不存在，请说明理由．
6.如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点.
(1)当为的中点时，求证：平面.
(2)当平面，求出点的位置，说明理由.

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