资源简介

空间直线、平面的垂直
知识点梳理
线线垂直的证明方法
（1）共面直线垂直：
①等腰三角形（等边三角形）的“三线合一” ；②勾股定理的逆定理(已知线段数据较多)
③矩形邻边垂直，正方形、菱形的对角线互相垂直；④直径所对的圆周角是。
（2）异面直线垂直：
①通过证线面垂直定义证线线垂直
②平移法：通过三角形的中位线或者构造平行四边形进行平移
线面垂直的证明方法：直线与平面垂直的判定定理
一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直，
即
面面垂直的证明方法：平面与平面垂直的判定定理
一个平面过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直，即
4、平面与平面垂直的性质定理
两个平面互相垂直，则一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面
即，
经典例题讲解
知识点一：直线、面垂直的判定定理及性质定理的理解
例1.、表示不同的直线，是平面内的一条直线，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
变式训练：1.已知直线和平面，且在上，不在上，则下列判断错误的是（ ）
A．若∥，则存在无数条直线，使得∥
B．若，则存在无数条直线，使得
C．若存在无数条直线，使得∥，则∥
D．若存在无数条直线，使得，则
2.已知，是两个不同的平面，l，m，n是三条不同的直线，下列条件中，可以得到的是（ ）
A．，，， B．，
C．， D．，
3．已知直线和平面，则“垂直于内任意直线”是“”的（ ）.
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．非充分非必要条件
4．设是两条不同的直线，是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中，一定能推出的是（ ）
A．，且 B．，且
C．，且 D．，且
5．已知是三个不同的平面，是三条不同的直线，且.在下列条件中，能推出的是（ ）
A． B．
C． D．
知识点二：直线、面垂直的判定
例1.如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面，，为中点．
(1)证明：平面．
(2)证明：平面．
变式训练：1.如图，圆柱中，是侧面的母线，AB是底面的直径，C是底面圆上一点，则（ ）
A．平面 B．平面
C．平面 D．平面
2.在四棱锥中，底面为正方形，平面底面，，点M，N分别是的中点.
(1)求证：平面；
(2)求证：平面；
3.如图甲，在四边形PBCD中，PD//BC，．现将△ABP沿AB折起得图乙，点M是PD的中点．证明：
(1)；
(2)PC⊥平面ABM．
4.在平行四边形中，，，，过点作的垂线交的延长线于点，连接交于点，如图①；将沿折起，使得点到达点的位置，如图②．
(1)证明：直线平面；
5.如图，在四棱锥中，底面为正方形，点在底面内的投影恰为中点，且．
(1)若，求证：面；
6.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，，且．
(1)求证：AC⊥平面BDEF：
知识点三：直线、面垂直的性质
例1.如图，三棱柱中，，，，点M，F分别为BC，的中点，点E为AM的中点．
(1)证明：；
(2)证明：平面；
变式训练：1.（多选）如图，在正方体中，O为底面的中心，P为所在棱的中点，M，N为正方体的顶点．则满足的是（ ）
A． B．
C． D．
2.如图1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图2.
(1)求证：DE∥平面A1CB；
(2)求证：A1F⊥BE；
3.如图，在直三棱柱中，，是棱上的一点．
(1)求证：；
(2)若分别是的中点，求证：平面．
4.如图，在四棱锥中，为正三角形，，且，M为PC的中点，
(1)平面平面，求证：.
(2)求证：平面PAD．
知识点四：面、面垂直的判定定理
例1.在三棱锥中，平面，，，F为棱PC上一点，满足于F．求证：平面平面；
变式训练：1.如图，四棱锥中，平面，，．过点作直线的平行线交于为线段上一点．
求证：平面平面；
2.如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，，分别为棱，的中点，为棱上的动点.求证：
(1)平面；
(2)平面平面.
3.如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是PB的中点.求证：
(1)平面PAB；
(2)平面平面PBC.
4.如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，底面ABCD，，点E是PB的中点.求证：
(1)平面PAB；
(2)平面平面PBC.
5.如图，四棱锥的底面是矩形，底面，M为的中点，且．
（1）证明：平面平面；
（2）若，求四棱锥的体积．
知识点五：面、面垂直的性质
例1.如图，已知平行四边形与直角梯形所在的平面互相垂直，且，为的中点．
(1)证明：平面；
(2)证明：平面．
变式训练：1.如图所示，平面四边形ABCD中，AB＝AD，AB⊥AD，BD⊥CD，将其沿对角线BD折成四面体A－BCD，使平面ABD⊥平面BCD，则下列说法中正确的是( )
①平面ACD⊥平面ABD；②AB⊥AC；③平面ABC⊥平面ACD.
A．①② B．②③
C．①③ D．①②③
2.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，侧面平面．
(1)求证：；
(2)设平面与平面的交线为l，的中点分别为，证明：平面．
3.如图所示，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2.将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D－ABC.求证：BC⊥平面ACD.
4.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，四边形ABCD是等腰梯形，∠ABC＝60°，AB∥CD，CB＝CD＝1．点E为棱PC的中点，点F为棱AB上的一点，且AB＝4AF，平面PBC⊥平面ABCD．
(1)证明：AC⊥PB；
(2)证明：EF∥平面PAD．
5.如图，平面平面，，，直线AM与直线PC所成的角为，又，，．
(1)求证：；
(2)求多面体的体积．
巩固练习
1.已知三个互不重合的平面，，，且，，，给出下列命题：
①若，，则；
②若，则；
③若，，则；
④若，则．
其中正确命题个数为（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2.设m，n是不同的直线，α、β、γ是不同的平面，有以下四个命题：①；② ；③ ；④ .其中正确的命题是（　　）
A．①④ B．②③
C．①③ D．②④
3.如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，分别是、的中点.
(1)证明：平面；
(2)证明：平面；
(3)若平面，求四棱锥的体积.
4.如图，多面体中，四边形为正方形，四边形为等腰梯形，，，，．
(1)求证：平面；
(2)线段AC上是否存在点M，使得∥平面？证明你的结论；
(3)求多面体EFABCD的体积．
5.如图，四棱锥中，四边形为梯形，其中，平面平面.证明：；
6.如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，，点是的中点，点在边上移动.
(1)证明：平面；
(2)求三棱锥的体积.

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