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底面转换法求三棱锥的体积
求三棱锥的体积解题思路：先换顶点，再换底面。
通过转换顶点（等体积法），可以找到一条合适的高（垂直于底面的线段），再利用公式。
也可以从共4个底面中寻找可以转换的底面（特征为：可以找到底面三角形所在平面的某个更大的平面），并扩大为一个更大的图形（或者也可以变为面积相等（或者更小）的另一个三角形），并找出面积扩大的比例。原理：在高不变的情况下，底面之比等于体积之比。再去换顶点，直到可以找到一条已知的三棱锥的高，再利用三棱锥的体积公式。
例如：已知的值
解法：无论，，，都找不到合适的高，所以我们需要通过扩大某个底面的方法，转换到一个更大的三棱锥。观察，，，，其中可以扩大成，且画出平面PBC的展开图如下：
=
所以====***PA=
求四棱锥的体积思路：
方法一：直接利用公式。
方法二：把底面的四边形转化为三角形，并找出缩小或者扩大的比例，则体积也同比例 变化。然后转化为三棱锥的体积问题。
棱锥体积的应用--利用等体积法求点到面的距离。
利用等体积法求三棱锥的高，也就是点到面的距离。
例1．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，其中，，点M在线段PC上，且，N为AD的中点．
若平面平面ABCD，求三棱锥PNBM的体积．
例2．如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点．
若平面平面，求点到平面的距离．
变式1. 在四棱锥P-ABCD中，PA平面ABCD，PA=2AB=2，∠ABC=∠ACD=90°，∠BAC=∠CAD=60°，E为PD的中点，在平面PCD内作EF⊥PC于点F.
（2）求三棱锥的体积.
变式2. 如图，在三棱柱中，是的中点，且平面，，，.（2）求三棱锥的体积.
例3：底面不变，高之比等于体积之比：
如图，三棱锥的三条棱两两垂直且，为等边三角形，为内部一点，点在的延长线上，且.
证明：；
求三棱锥的体积
在平行六面体中，分别是的中点，平面，，，，。
求证：；
求三棱锥的体积；
立体几何求体积练习
1．如图，直四棱柱的底面是菱形，E，F分别是上的点，且．
(1)证明：点F在平面内；
(2)若，求三棱锥的体积．
2．如图，在棱长为2的正方体中，E，F，G，H分别是所在棱的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)求三棱锥的体积．
3．如图所示，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，分别是，的中点.
(1)求证：平面平面.
(2)若，求三棱锥的体积.
4．直三棱柱中，为正方形，，，M为棱上任意一点，点D、E分别为AC、CM的中点．
(1)求证：平面；
(2)当点M为中点时，求三棱锥的体积．
5．如图，在四棱锥中，底面ABCD是正方形，AC、BD相交于点O，侧棱底面，，E是PC的中点，过E作交PB于点F，连FB接DF，BE．
(1)求证：平面；
(2)设正方形边长为2，求四面体的体积．
6．如图，在正三棱柱（底面是正三角形的直三棱柱）中，，D，E分别是的中点．
(1)求证：平面；
(2)求三棱锥的体积．
7．如图，四棱锥中，，，，平面CDP，E为PC中点.
(1)证明：平面PAD；
(2)若平面PAD，，求三棱锥的体积.
8．如图，在中，AB⊥BC，AB＝3，BC＝4，D，E分别为BC，AC的中点．将沿DE折起到的位置，连接PA，PB，得到四棱锥P-ABDE．
(1)证明：平面PAB⊥平面PBD；
(2)若PD⊥BD，F为PB的一个靠近点B的三等分点，求三棱锥P-AEF的体积．
9．在四棱锥中，平面平面，，，，.
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离.
10．如图，四棱锥的底面为直角梯形，，，是边长为的等边三角形，.
(1)证明：平面平面；
(2)若，，求点到平面的距离.参考答案
例1．（2）
∵，∴，
∵平面平面ABCD，平面平面，，
∴平面ABCD，平面ABCD，∴，
∴，
∵平面PNB，，∴平面PNB，
∵，∴．
例2．（2）.
∵四边形是菱形，且，∴为正三角形，取中点的，连接，，则，∵平面平面，平面平面，∴平面，
∵均是正三角形，AB=2，易得， ，
∴．
易得，由，∴，
取的中点，连接，因为，∴，
∴，可得，
设点到平面的距离为，∴，
解得，即点到平面的距离为．
变式1．（2）
连接，在中，，.
∴.
在中，，
∴，
由（1）知，且为的中点，
所以是的中点，
∴，
∵
∴平面
∴，
∴.
变式2．（2）.
因为，，所以，
所以.
例3.
例4
立体几何求体积答案
1．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
(1)连接，证明EF∥∥即可；
(2)取的中点，连接、，证明BH⊥平面，则.
(1)
如图，连接，
在直四棱柱中，，且，
∴四边形是平行四边形，∴.
∵，即，
∴，∴，
∴，∴四点共面，
∴点在平面内；
(2)
取的中点，连接、.
∵四边形是菱形，，∴为等边三角形，∴.
又则有．
又平面ABCD，则，，∴平面．
∵∥平面，∴点到平面的距离即为点到平面的距离，即为，∴．
2．(1)证明见解析
(2)1
【解析】
【分析】
（1）证明：连接HE，，GF，证明出，即可证明E，F，G．H四点共面；
（2）利用三棱锥等体积法即可证明.
(1)
（1）证明：连接HE，，GF
∵在正方体中，GF分别是棱、BC的中点
∴且
∴四边形是平行四边形
∴
又在中，H，E分别是，AB的中点
∴，∴
∴E，F，G．H四点共面
(2)
在底面ABCD中，
.
又由点G到平面DEF的距离为2，所以.
所以.
3．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即可得证；
（2）利用等体积法，计算体积即可.
(1)
证明：几何体是直棱柱，底面，
又底面，，
直三棱柱的底面是正三角形，是的中点，.
又，平面，平面，
平面，平面平面；
(2)
为，在直角中，可得，
等边三角形的边长为2，，，
利用等体积法知.
4．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取BC中点为，连接，，由面面平行的判断定理证明平面平面，从而即可证明平面；
（2）证明平面，即平面，从而有，根据三棱锥的体积公式即可求解.
(1)
证明：取BC中点为，连接，，
因为点、分别为，的中点，所以，，
因为平面，平面，所以平面，
同理可得平面，又，平面，
所以平面平面，
因为平面，
所以平面；
(2)
因为三棱柱为直三棱柱，所以平面，
所以，
又为正方形，，，
所以，且，，，又，
所以平面，即平面，
所以当点为中点时，三棱锥的体积.
5．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）利用线面平行的判定定理证明；（2）由线面垂直的判定定理证明底面，根据计算，再利用等体积法计算四面体的体积.
(1)
连接，且分别为CA、CP的中点，
所以，平面BDE，平面，
平面
(2)
底面，底面是正方形，∴，，且，∴底面，即.
又，，，，
∵，∴．
∴四面体的体积
（或者）
6．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据正棱柱的性质，结合线面垂直的判定定理、等腰三角形的性质进行证明即可；
（2）根据三棱锥的等积性进行求解即可.
(1)
在正三棱柱中，平面，
又平面，∴．
∵D是的中点，为正三角形，
∴．
又，，平面，
∴平面．
(2)
在正三棱柱中，平面，
又平面，，
∴点D到直线的距离为．
∴．
由（1）知点B到平面的距离为，
∴．
7．(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）取PD中点F，连接EF，AF，然后可证明四边形ABEF是平行四边形，得到即可；
（2）首先可得，算出，然后利用可算出答案.
(1)
取PD中点F，连接EF，AF
则且
又∵且
∴且
∴四边形ABEF是平行四边形∴
∵平面PAD,平面PAD
∴平面PAD
(2)
∵平面PAD, 平面，∴
又∵，，∴
因为平面CDP，
所以
8．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）根据给定条件证明AB⊥平面PBD，再利用面面垂直的判定推理作答.
（2）求出三棱锥P-ABE的体积，再借助等体积法及同高的两个三棱锥体积关系计算作答.
(1)
在中，D，E分别为BC，AC的中点，有，又，则，
在四棱锥P-ABDE中，，于是得，而，，平面PBD，
因此，AB⊥平面PBD，又平面PAB，
所以面PAB⊥平面PBD.
(2)
连接BE，如图，
因，，平面ABDE，，则有PD⊥平面ABDE，即P到平面ABDE的距离，
显然，则，
依题意，，则，于是得
所以，三棱锥P-AEF的体积为.
9．(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）由面面垂直的性质可得，取的中点，连接，，，由矩形的性质、线面垂直的判定及性质可得，最后根据线面垂直的判定即可证结论.
（2）由，结合棱锥的体积公式即可求到平面的距离.
(1)
面面，面面，且，面，
面，而面，
.
取的中点，连接，，.
且，，
∴四边形为矩形，则，又，
，又，面，，
面，面，
.
、面，，
面.
(2)
设点到平面的距离为，
，即，
又，，
在中，，，，
，则，，
综上，可得，即点到平面的距离为.
10．(1)证明见解析；
(2)
【解析】
【分析】
（1）由题意可证平面，再由面面垂直的判定定理求证即可；
（2）先证明平面，再利用三棱锥的等体积法求点到面的距离即可.
(1)
，
,
又,
平面,
平面,
平面平面
(2)
在中，,,
可得,
在中, ,可得,
因为，，
所以，又,,
所以平面,
所以平面,
所以,
是平面与平面的交线，
所以平面，即是棱锥的高，
因为直角三角形中，,
所以,
设点到平面的距离为h,
则
,
,
解得：.
即点到平面的距离为.

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