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排列与排列数
Part1 知识点整理
分类加法计数原理与分步乘法计数原理
分类加法计数原理：完成一件事有2种不同方案，在第一类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种方法。
分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有 种方法。
排列的概念
排列的概念：一般的，从n个不同元素中取出m（ ）个元素，并按照 ，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。
【请根据排列的概念，判断下列问题中是排列问题的有哪些（多项选择）？】
从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组。
从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动。
从a、b、c、d四个字母中取出2个字母。
从1、2、3、4四个数字中选出2个数字组成一个两位数。
排列数：
排列数的定义：我们把从n个不同元素中取出m（ ）个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示。
排列数公式： 。
当排列数公式中，m=n时，，等于正整数到1的连乘积，叫做n的 ，用n！表示。所以，n个元素的全排列公式可以写成： 。
排列数公式还可以写成： 。
【典例】
下列选项中正确的是（ ）
B. C. D.
Part2 课后检测
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．四张卡片上分别标有数字“2”“0”“1”“1”，则由这四张卡片可组成不同的四位数的个数为（ ）
A．6 B．9 C．12 D．24
2．下列问题是排列问题的是（ ）
A．10个朋友聚会，每两人握手一次，一共握手多少次？
B．平面上有2022个不同的点，且任意三点不共线，连接任意两点可以构成多少条线段？
C．集合的含有三个元素的子集有多少个？
D．从高三（19）班的54名学生中选出2名学生分别参加校庆晚会的独唱、独舞节目，有多少种选法？
3．“仁 义，礼﹑智﹑信”为儒家“五常”，由孔子提出。现将“仁 义 礼 智 信”五个字排成一排﹐则“礼 义“相邻﹐且“智﹑信“相邻的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
4．五名学生站成一排，其中甲必须站在乙的左边（可以不相邻）的站法种数为（ ）
A． B． C． D．
5．某地区为发展A、B、C、D、E五个村的经济，引入了“林果、茶园、养殖、旅游、农业特色深加工”五个项目，不同的村安排不同的项目，且每个村只安排一个项目．由于条件限制，村无法实施“农业特色深加工“项目，村无法实施“养殖“项目，，，三个村可以实施任何项目，则符合条件的不同安排方式共有（ ）
A．60种 B．72种 C．78种 D．120种
6．某动点在平面直角坐标系第一象限的整点上运动（含正半轴上的整点），其运动规律为或．若该动点从原点出发，经过6步运动到点，则有种不同的运动轨迹．
A．15 B．14 C．9 D．10
7．志愿服务是办好2022年北京冬奥运的重要基础和保障，现有一冬奥服务站点需要连续六天有志愿者参加志愿服务，每天只需要一名志愿者，现有6名志愿者计划依次安排到该服务站点参加服务，要求志愿者甲不安排第一天，志愿者乙和丙不在相邻两天参加服务，则不同的安排方案共有（ ）
A．240种 B．408种 C．1092种 D．1120种
8．若矩阵满足下列条件：①每行中的四个数均为集合{1，2，3，4}中不同元素；②四列中有且只有两列的上下两数是相同的，则满足①②条件的矩阵的个数为
A．48 B．72 C．144 D．264
二、多选题
9．下列问题中，属于排列问题的有（ ）
A．从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别担任正、副班长，共有多少种不同的选取方法
B．从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加志愿者活动，共有多少种不同的选取方法
C．平面上有五个点，任意三点不共线，这五个点最多可确定多少条直线
D．从1，2，3，4四个数字中任选两个组成一个两位数，共有多少个不同的两位数
10．甲，乙，丙，丁，戊五人并排站成一排，下列说法正确的是（ ）
A．如果甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种
B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有42种
C．甲乙不相邻的排法种数为72种
D．甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有6种
11．在某班进行的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生，2位男生．如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，求出场顺序的排法种数，下列列式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
三、填空题
12．由1，2，3，4这四个数组成的没有重复数字的四位数中，能被2整除的个数是_______.（用数字作答）
13．在3个不同的红球中任取2个，在3个不同的白球中任取1个，把所取出的3个球排成一列，要求2个红球必须相邻，则不同的排列个数为________个（用数字作答）
14．某个密室逃脱游戏的一个环节是要打开一个密码箱，已知该密码箱的密码由四个数字组成（每格都可以出现0~9十个数字），且从之前的游戏环节得知，该密码的四个数字互不相同，且前两个数字均大于6，最后两个数字均小于5.该密码的可能的情况数为______（请用数字作答）.
四、解答题
15．（1）星期一上午某教师要上3个班级的课，每班1节．若上午规定限排4节课，且要求3节课不能连排，则这天上午该教师的课程表有几种不同的排法？
（2）某天的课程表要排入政治、语文、数学、外语、劳技、体育6门课，每门课排1节．若第1节不能排体育课，第6节不能排数学课，则共有几种不同排法？
16．有3名男生、4名女生，求满足下列不同条件的排队方法的种数.
(1)选其中5人排成一排；
(2)排成前后两排，前排3人，后排4人；
(3)全体排一排，甲不站排头也不站排尾；
(4)全体排一排，女生必须站在一起；
(5)全体排一排，男生互不相邻；
(6)全体排一排，甲、乙两人中间恰好有3人；
(7)全体排一排，甲必须排在乙的前面；
(8)全体排一排，甲不排在最左端，乙不排在最右端.
17．从1到9这9个数字中取3个偶数和4个奇数，组成没有重复数字的七位数，试问：
（1）能组成多少个这样的七位数？
（2）3个偶数排在一起的七位数有多少个？
（3）任意2个偶数都不相邻的七位数有多少个？
18．用1，2，3，4，5，6，7排出无重复数字的七位数，按下述要求各有多少个？
（1）偶数不相邻；
（2）偶数一定在奇数位上；
（3）1和2之间恰夹有一个奇数，没有偶数．答案解析
Part1 知识点整理
0、1. m+n 2. m×n
一定的顺序排成一列
【请根据排列的概念，判断下列问题中是排列问题的有哪些（多项选择）？】
AD
【解析】对于A，从甲、乙、丙三名同学中选出两名分别参加数学和物理学习小组，可分两步，第一步是从甲，乙，丙三名同学中选出两名，是组合问题，然后安排参加数学和物理学习小组，与顺序有关，属于排列问题，
对于B，从甲、乙、丙三名同学中选出两名同学参加一项活动，与顺序无关，属于组合问题，
对于C，从a，b，c，d四个字母中取出2个字母，与顺序无关，属于组合问题，
对于D，从1，2，3，4四个数字中取出2个数字组成一个两位数，需要先选出再排序，属于排列问题.
故选：AD。
排列数
m≤n
阶乘
【典例】
A 【解析请看下图】
AB 【解析请看下图】
Part2 课后检测
1．B
【分析】应用分类计数，讨论最高位为1、2两种情况下四位数的个数，结合排列数求四位数的个数.
【详解】最高位为1时，共有个四位数；最高位为2时，根据0的位置不同，共有3个四位数，
所以组成不同的四位数的个数为个.
故选：B
2．D
【分析】根据排列的定义逐个选项辨析即可.
【详解】A中握手次数的计算与次序无关，不是排列问题；
B中线段的条数计算与点的次序无关，不是排列问题；
C中子集的个数与该集合中元素的次序无关，不是排列问题；
D中，选出的2名学生，如甲、乙，其中“甲参加独唱、乙参加独舞”与“乙参加独唱、甲参加独舞”是2种不同的选法，因此是排列问题．
故选：D
3．A
【分析】先分别将将“礼 义”捆绑一起，“智﹑信”捆绑一起，然后与“仁”一起全排，最后结合分步计数原理即可求出结果.
【详解】先将“礼 义”捆绑一起全排有种，再将“智﹑信”捆绑一起全排有种，然后与“仁”一起全排有种，结合分步计数原理可得共有种.
故选：A.
4．D
【分析】根据题意，首先计算五人并排站成一排的情况数目，进而分析可得，甲站在乙的左边与甲站在乙的右边的数目是相等的，计算可得答案.
【详解】解：根据题意，五人并排站成一排，有种情况，
而其中甲站在乙的左边与甲站在乙的右边是等可能的，则其情况数目是相等的，
则甲站在乙的左边的情况数目为；
故选：D.
5．C
【分析】分村实施“农业特色深加工”项目与村不实施“农业特色深加工”项目两种情况讨论，按照分类、分步计数原理计算可得.
【详解】解：依题意，①若村实施“农业特色深加工”项目，则其余个村庄无限制，则有种安排方法；
②若村不实施“农业特色深加工”项目，则从剩下的个村庄选一个实施“农业特色深加工”项目，有种方法，
再从除村以外的个村庄选择一个实施“养殖”项目，有种方法，
剩下个村庄与项目全排列即可，有种方法，
按照分步计数原理可得有种方法，
综上可得一共有种方法；
故选：C
6．C
【详解】
试题分析：如上图，该动点从原点出发，按规律运动到B或或或或各有一种，运动到有两种，到各三种，……，由此可知它符合二项式系数规律，如此下去可得经过6步运动到点，有种不同的运动轨迹．
考点：排列组合．
7．B
【分析】首先安排除甲乙丙外的3名志愿者，再分两类：乙丙中间不恰好为甲、乙丙中间恰好为甲分别求安排方案数，最后加总即可.
【详解】1、将安排除甲、乙、丙外其它3名志愿者，有种，再分两类讨论：
第一类：
2、安排不相邻的乙丙，相当于将2个球在3个球所形成的4个空中任选2个插入有种，
3、安排不在第一天的甲，相当于5个球所成的后5个空中任选一个插入，有种，
第二类：
2、将甲安排在乙丙中间有种，
3、把甲乙丙作为整体安排，相当于将1个球插入3个球所形成的4个空中有种，
所以不同的方案有(种.
故选：B
8．C
【分析】先排列第一行，有种排列方法；再根据有且只有两列的上下两数是相同的，第二行有种排法，利用分步计数原理可得结果..
【详解】第一步，排列第一行，有种排列方法；
第二步，由题意知有且只有两列的上下两数是相同的，选择中的两个数作为与上列相同的数字，有种取法，而对于剩余两数，为使不与上列数字相同，有且只有一种排法，因此，满足题中条件的矩阵的个数共有个.
故选C.
【点睛】有关排列组合的综合问题，往往是两个原理及排列组合问题交叉应用才能解决问题，解答这类问题理解题意很关键，一定多读题才能挖掘出隐含条件.解题过程中要首先分清“是分类还是分步”、“是排列还是组合”，在应用分类计数加法原理讨论时，既不能重复交叉讨论又不能遗漏，这样才能提高准确率.
9．AD
【分析】根据排列的定义即可得到结果
【详解】对于A，因为两名同学担任的是正、副班长，所以是排列问题，A正确；
对于B，因为两名同学参加的志愿者活动与顺序无关，所以不是排列问题，B错误；
对于C，五个点中任取两个点，不涉及顺序问题，因此不是排列问题，C错误；
对于D，四个数字中任取两个组成两位数，与顺序有关，是排列问题，D正确．
故选：AD
10．ABC
【分析】根据捆绑法求解即可判断A；根据插空法求解即可判断B、C；根据定位问题优先法求解即可D.
【详解】A：甲，乙必须相邻且乙在甲的右边，可将甲乙捆绑看成一个元素，则不同的排法有种，故A正确.
B：最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有种，故B正确.
C：甲乙不相邻的排法种数为种，故C正确.
D：甲乙丙按从左到右的顺序排列的排法有种，故D不正确.
故选：ABC.
11．ABD
【分析】根据不同的方法确定方法数，判断各选项即可：一种方法按第一个出场是男生还是女生分类，第二个方法用排除法，女生全排列，2上男生插入进去，减去其中女生甲在第一个位置，第三个方法也是排除法，用5人的全排列减去女生甲第一个出场，再减两个男生一起出场的次数，必须加上多减去的女生甲第一个出场而同时两个男生一起出场的次数，再从计算出的结果判断另外的选项．
【详解】第一种方法分类：第一类第一个出场为男生，第二个为女生，第三到五顺序随便，第二类第一个出场的是除女甲外的一个女生，然后两个女生全排列，再把两个男生插进去，方法数为，A正确；
第二种方法：女生全排列，2上男生插入进去，减去其中女生甲在第一个位置，方法数为，B正确；
用5人的全排列减去女生甲第一个出场，再减两个男生一起出场的次数，必须加上多减去的女生甲第一个出场而同时两个男生一起出场的次数，方法数为，D正确．
ABD计算结果都是60，而C计算结果是108，C错误．
故选：ABD．
12．
【分析】先从和中任意一个排在个位数上，剩余的3个数字，结合分步计数原理，即可求解.
【详解】由题意，1，2，3，4这四个数组成的没有重复数字的四位数，其中能被2整除，
先排个位数字，从和中任意一个排在个位数上，共有种排法，
剩余的3个数字，进行全排列，共有中排法，
由分步计数原理可得，共有种不同的排法，
即四个数组成的没有重复数字的四位数中，能被2整除的个数是个.
故答案为：.
13．36
【分析】根据题意，分3步进行分析：①在3个不同的红球中任取2个，将其看成一个整体，②在3个不同的白球中任取1个，③将选出的2个红球与白球全排列，有分步计数原理计算可得答案．
【详解】解：根据题意，分3步进行分析：
①在3个不同的红球中任取2个，将其看成一个整体，有种情况，
②在3个不同的白球中任取1个，有种选法，
③将选出的2个红球与白球全排列，有种情况，
则有种不同的排列，
故答案为：36．
14．120
【分析】根据给定条件求出密码的前两个与后两个的排法数，再利用分步计数乘法原理计算作答.
【详解】依题意，从7，8，9中任取2两个不同数字排前两位有种，从0，1，2，3，4中任取2两个不同数字排后两位有，
由分步计数乘法原理得：，
所以该密码的可能的情况数为120.
故答案为：120
15．（1）；（2）504
【分析】（1）直接排列解决减去联排情况.
（2）6节随机排列减去第1节不能排体育课的方法数为和第1节不能排体育课的方法数为再加上体育在第1节，数学在第6节的方法数.
【详解】根据题意为排列所以，三节课联排的方法数为：
所以该教师的课程表有
（2）把政治、语文、数学、外语、劳技、体育6门课随意排到节课的方法数为
第1节排体育课的方法数为，其中包括体育在第1节，数学在第6节的情况
第6节排数学课的方法数为，其中包括体育在第1节，数学在第6节的情况
又因为体育在第1节，数学在第6节的方法数为，所以第1节不能排体育课，第6节不能排数学课的方法数为
16．(1)2520
(2)5040
(3)3600
(4)576
(5)1440
(6)720
(7)2520
(8)3720
【分析】(1)简单的排列问题；
(2)个人全排列问题；
(3)甲作为特殊元素，先排甲；
(4)将所有女生看作一个整体，与三名男生进行全排列，再将四个女生进行全排列；
(5)男生互不相邻，则采用插空法，先排女生，再在空位中插入男生；
(6)把甲、乙及中间三人看作一个整体，先排甲乙两人，再排剩下的五人中挑选人，最后与最终的两个人排列即可；
(7)算出所有的可能，排除掉乙在甲前面的情况即可；
(8)当甲、乙不在两端时，可优先排好甲、乙，然后排其他人.
【详解】（1）从人中选人排列，有
（种）方法.
（2）分两步完成，先选人站前排，
有种方法，余下人站后排，有种方法，
则共有（种）方法.
（3）先排甲，有种方法，其余六人有种，
则共有（种）方法.
（4）（捆绑法）：将女生看作一个整体与名男生全排列，
有种方法，再将女生全排列，有种方法，
则共有（种）方法.
（5）（插空法）：先排女生，有种方法，
再在女生之间及首尾个空位中任选个空位安排男生，
有种方法，则共有（种）方法.
（6）把甲乙及中间三人看作一个整体，
第一步先排甲乙两人有种方法，
再从剩下的人中选人排到中间，有种方法，
最后把甲乙及中间三人看作一个整体，与剩下两人排列，
有种，共有（种）方法.
（7）（消序法）：（种）方法.
（8）（间接法）：无限制排法有种，
其中甲或乙在最左端或在最右端有种，
是甲在最左端且乙在最右端的排法，
共有（种）方法.
17．（1）；（2）；（3）.
【分析】（1）先选出符合要求的数，再全排列即可；
（2）利用捆绑法计算可得；
（2）先将4个奇数排好，再3个偶数插空，按照分步乘法计数原理计算可得；
【详解】解：（1）分步完成：第一步，从4个偶数中取3个，有种情况；
第二步，从5个奇数中取4个，有种情况；
第三步，将取出的3个偶数和4个奇数进行全排列，有种情况.
所以符合题意的七位数的个数为.
（2）由题意，3个偶数排在一起的七位数的个数为
（3）由题意，可先把4个奇数排好，再将3个偶数分别插入5个空隙中，则符合题意的七位数的个数为.
18．（1）1440个；（2）576个；（3）720个.
【分析】（1）利用插空法可得结果；
（2）先把偶数排在奇数位上，再排奇数，利用分步计数可得结果；
（3）先在1和2之间放一个奇数，再把1，2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列即可.
【详解】（1）用插空法，共有个．
（2）先把偶数排在奇数位上有种排法，再排奇数有种排法，所以共有个．
（3）在1和2之间放一个奇数有种方法，把1，2和相应的奇数看成整体和其他4个数进行排列有种排法，所以共有个．
【点睛】本题主要考查排列的应用，属于中档题.常见排列数的求法为：（1）相邻问题采取“捆绑法”；（2）不相邻问题采取“插空法”；（3）有限制元素采取“优先法”；（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.

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