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南通市2023届高三第三次调研测试
数 学
注意事项：
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（A）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
作答选择题时，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；不准使用铅笔和涂改液。
考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
本试卷共6页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的．
若“”为假命题，则k的取值范围为( ).
A. B. C. D.
复数的虚部为( ).
A. B. C. 1011 D. 2022
平面向量，满足，，，则最大值是( ).
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量X的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数．切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式．由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种．请你根据所学相关知识，确定该形式是( ).
A. B. C. D.
已知三棱锥，Q为BC中点，，侧面底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为( ).
A. B. C. D.
抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于两点，以为直径的圆交轴于两点，为坐标原点，则的内切圆直径最小值为( ).
A. B. C. D.
已知宽为a的走廊与另外一条走廊垂直相连，若长为8a的细杆能水平地通过拐角，则另外一条走廊的宽度至少是( ).
A. B. C. D.
函数，若方程只有三个根，且，则的取值范围是( ).
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
直线与圆交于两点，为圆上任意一点，则( ).
A. 线段最短长度为 B. 的面积最大值为
C. 无论为何值，与圆相交 D. 不存在，使取得最大值
正方体的边长为2，Q为棱的中点，点分别为线段上两动点(含端点)，记直线与面所成角分别为，且，则( ).
存在点使得 B. 为定值
C. 存在点使得 D. 存在点使得
椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象.则关于椭圆曲线，下列结论正确的有( ).
A. W关于直线对称
B. W关于直线对称
C. W上的点的横坐标的取值范围为
D. W上的点的横坐标的取值范围为
1979年，李政道博土给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“5只猴子分一堆桃子.怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉.准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃1个桃子.然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后.也将桃子分成5等份，藏起自己的一份睡觉去了：以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子 最后至少剩下多少个桃子 ”.下列说法正确的是( ).
A. 若第n只猴子分得个桃子不含吃的，则
B. 若第n只猴子连吃带分共得到个桃子，则为等比数列
C. 若最初有3121个桃子，则第5只猴子分得256个桃子不含吃的
D. 若最初有k个桃子，则必为的倍数
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
随机变量，则__________.
函数在R上是增函数，则的最大值为__________.
已知，则__________.
将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，且在区间上单调递增，则__________,实数m的取值范围是__________. （本小题答对一空得2分，答对两空得5分）
四、解答题：本题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程 或演算步骤，只有答案没有过程的不能得分.
（10分）
最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束;若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为元.
（1）①写出X的分布列;
②证明：
（2）某公司意向投资该产品.若，且试验成功则获利5a元，请说明该公司如何决策投资.
（12分）
如图，在三棱柱中，，，，，
（1）证明：平面；
（2）设点D为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
（12分）
设是各项均为正数的等差数列，，且是和的等比中项；记的前n项和为，
（1）求和的通项公式;
（2）设数列的通项公式
①求数列的前项和；
②求.
（12分）
已知，D为边AC上一点，，
（1）若，，求的面积；
（2）若直线BD平分，求与内切圆半径之比的取值范围.
（12分）
双曲线C：，点是C上位于第一象限的一点，点A、B关于原点O对称，点A、D关于y轴对称．延长AD至E使得，且直线BE和C的另一个交点F位于第二象限中．
（1）求的取值范围；
（2）证明：AE不可能是的三等分线．
（12分）
已知函数.
（1）求曲线在处的切线方程；
（2）若，证明：.
答案解析
1. 若“，”为假命题，则k的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题主要考查命题的真假，函数的恒成立问题，求函数的最值，属于中档题．
由题意可得对任意，，即，求得的范围，可得k的取值范围．
【解答】
解：“，”为假命题，
对任意，，即
对任意，，，
，
故选：

2. 已知为虚数单位，则复数的虚部为
A. B. C. 1011 D. 2022
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查复数的四则运算，考查错位相减法求和，属于中档题.
利用错位相减法求和求出复数z求解即可.
【解答】
解：，
所以，
所以
所以
所以复数z的虚部为为
故选A

3. 平面向量，满足，，，则最大值是( )
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】
B
【解析】
【分析】
本题主要考查了平面向量数量积的定义及性质的简单应用，属于中档题．
先设向量，的夹角为，由已知结合向量数量积的定义可得，结合向量夹角的范围可求.
【解答】
解：设向量，的夹角为，
，，
，
，且，
，
，
则，
即，
解可得，，即最大值是
故选：

4. 某同学在课外阅读时了解到概率统计中的切比雪夫不等式，该不等式可以使人们在随机变量X的期望和方差存在但其分布未知的情况下，对事件“”的概率作出上限估计，其中为任意正实数．切比雪夫不等式的形式为：，其中是关于和的表达式．由于记忆模糊，该同学只能确定的具体形式是下列四个选项中的某一种．请你根据所学相关知识，确定该形式是
A. B. C. D.
【答案】
D
【解析】
【分析】
本题主要考查了切比雪夫不等式，属于中档题.
利用期望和方差的关系可得答案.
【解答】
解：因为，
所以
则
所以的具体形式是
故选：

5. 已知三棱锥，Q为BC中点，，侧面底面ABC，则过点Q的平面截该三棱锥外接球所得截面面积的取值范围为( )
A. B. C. D.
【答案】
A
【解析】
【分析】
本题考查空间几何体的外接球问题和截面问题，考查空间想象能力，难度较大.
【解答】
解：连接PQ，QA，由，可知：和是等边三角形，
设三棱锥外接球的球心为O，
所以球心O到平面ABC和平面PBC的射影是和的中心F，E，
是等边三角形，Q为BC中点，
所以，又因为侧面底面ABC，侧面底面，
所以底面ABC，而底面ABC，因此，所以OFQE是矩形.
和是边长为2的等边三角形，所以两个三角形的高，
在矩形OFQE中，，连接OA，
所以，
设过点Q的平面为，当时，
此时所得截面的面积最小，该截面为圆形，
，
因此圆Q的半径为：，所以此时面积为
当点Q在以O为圆心的大圆上时，此时截面的面积最大，面积为：
所以截面的面积范围为：，故选

6. B 【分析】根据抛物线、圆以及导数相关知识求解即可.
7. D 【分析】根据解三角以及导数相关知识求解即可.
8. D 【分析】根据观察法以及函数奇偶性得到带入即可.
9. CD 【分析】斜率一定存在，所以AB错误，D正确，直线所过定点在圆内故C正确。
10. 已知正方体的边长为2，Q为棱的中点，点分别为线段上两动点包括端点，记直线与平面所成角分别为，且，则( )
A. 存在点使得 B. 为定值
C. 存在点使得 D. 存在点使得
【答案】
ABD
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面所成角，利用空间向量求向量的数量积以及证明线线垂直，考查逻辑推理能力和空间想象能力，属于较难题.
根据题意，作出图形，利用空间向量结合选项逐一判断即可.
【解答】
解：如图所示，在正方体中，以D为原点建立空间直角坐标系，
则，，
设，，其中，
作，，
可知平面，平面，
则，，，，
所以，，，
则，，
由知，，，
则，即，从而，
对于A，，即，解得，满足题意，故A正确；
对于B，，为定值，故B正确；
对于C，若，则，故C错误；
对于D，，，若，
则，解得，，故D正确；
故选：

11. 椭圆曲线是代数几何中一类重要的研究对象.关于椭圆曲线，下列结论正确的有( )
A. 曲线W关于直线对称
B. 曲线W关于直线对称
C. 曲线W上的点的横坐标的取值范围为
D. 曲线W上的点的横坐标的取值范围为
【答案】
BD
【解析】
【分析】
本题考查椭圆曲线的性质，属较难题.
【解答】
解：由，得
因为，所以曲线W不关于直线对称，A不正确.
因为，所以曲线W关于直线对称，B正确.
由，得，解得或，C不正确，D正确.
12. 1979年，李政道博土给中国科技大学少年班出过一道智趣题：“5只猴子分一堆桃子.怎么也不能分成5等份，只好先去睡觉.准备第二天再分.夜里1只猴子偷偷爬起来，先吃1个桃子.然后将其分成5等份，藏起自己的一份就去睡觉了;第2只猴子又爬起来，吃掉1个桃子后.也将桃子分成5等份，藏起自己的一份睡觉去了：以后的3只猴子都先后照此办理.问最初至少有多少个桃子 最后至少剩下多少个桃子 ”.下列说法正确的是( )
A. 若第n只猴子分得个桃子不含吃的，则
B. 若第n只猴子连吃带分共得到个桃子，则为等比数列
C. 若最初有3121个桃子，则第5只猴子分得256个桃子不含吃的
D. 若最初有k个桃子，则必为的倍数
【答案】
ABD
【解析】
【分析】
本题主要考查数列的递推关系，等比数列的通项公式，属于中档题.
由递推关系依此判断各选项即可.
【解答】
解：对于A，第二只猴子分的桃子为：
第三只猴子分得的桃子为数为：
第四只猴子分得的桃子为数为：
第五只猴子分得的桃子为数为：
可得，即，故A正确；
对于B，由A得，又，
故，
则为等比数列，故B正确；
对于C，由B得，则，
则，
若不含吃的，故第5只猴子分得255个桃子，故C错误；
对于D，设最初的桃子数为k，且，五只猴子分剩的桃子数依次为，，，，，
由题意，得，，
设，即，
对照式，得，解得，
即，
所以数列为等比数列，首项为，公比为，
所以，
因此
由题意知，为整数，故必是的倍数，故D正确.
故选


13. 随机变量，则__________.
【答案】

【解析】
【分析】
本题考查离散型随机变量的标准差，考查二项分布的性质，考查运算求解能力，是基础题．
由题可得，再由，进而求标准差即可．
【解答】
解：随机变量，
，
标准差
故答案为：

14. 已知函数在R上是增函数，则的最大值为__________.
【答案】

【解析】
【分析】
本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查不等式的基本性质以及最值的求法，属于中档题．
对求导，由为R上的增函数可知恒成立，由二次函数的性质可得，，从而可得，两边同乘可得，利用换元法及二次函数的性质即可求得的最大值．
【解答】
解：因为函数在R上是增函数，
所以恒成立，
所以，，
又，所以，
则由，可得，两边同时乘以，
可得，
令，，则，
当时，取得最大值，
所以，当且仅当时取等号，
所以的最大值为
故答案为：

15. 二项式定理是产生组合恒等式的一个重要源泉．由二项式定理得，可推导得__________.
【答案】

【解析】
【分析】
本小题主要考查二项式定理的运用，组合与组合数公式，考查组合数的有关公式，属于难题．
先证得，然后利用赋值法求得所求表达式的值．
【解答】
解：，
即，
对上式分别令，然后相加得
①
依题意，
则，
令，得，
所以，
所以①可化为
故答案为：

16. 将函数的图象向右平移个单位长度，得到的函数的图象关于点对称，若在区间上单调递增，则__________，实数m的取值范围是__________.
【答案】


【解析】
【分析】
由题意利用函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，得出结论．
本题主要考查函数的图象变换规律，正弦函数的图象和性质，属于较难题．
【解答】
解：将函数的图象向右平移个单位长度，
得到的函数的图象关于点对称，
，，即，则
若，则，
在区间上单调递增，
当，，
，且，
即，且，
若，则
在区间上单调递增，
当，，
，且，
即且，故
综上可得，，
故答案为：；

17. 最新研发的某产品每次试验结果为成功或不成功，且试验成功的概率为现对该产品进行独立重复试验，若试验成功，试验结束;若试验不成功，则继续试验，且最多试验10次.记X为试验结束时所进行的试验次数，且每次试验的成本为元.
①写出X的分布列;②证明：
某公司意向投资该产品.若，且试验成功则获利5a元，则该公司如何决策投资，并说明理由.
【答案】
解：①，，2，，
故X的分布列为：
x 1 2 3 4 … 10
P p
②，
记，
，
作差可得，，
则，即证.
当时，，
则试验成本的期望小于4a，又获利5a大于成本的期望，则应该投资.
【解析】本题考查独立重复试验、二项分布的期望和数列的错位相减求和，属于中档题.
①根据题意求解，即可求解分布列；
②利于错位相减求解，然后可证明；
由成本期望小于5a，即可求解.
18. 如图，在三棱柱中，，，，，
（1）证明：平面；
（2）设点D为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】
解：（1）证明：因为，，
所以为等边三角形，
故，
又因为，，
所以，
所以，
又，，AC，平面，
所以平面
（2）如图，
设E为的中点，连结，DE，作于
因为平面，， 所以平面，
又，平面，所以，，
因为，所以三角形ABC为直角三角形，
又因为，，所以，
在中，，D为的中点，所以，
又，平面，平面，
所以平面
因 ，所以平面，
因为平面，所以，
又因为，，，平面，
所以平面，所以直线与平面所成角为
在中，，，，
所以，所以
因此，直线与平面所成角的正弦值为

【解析】本题考查线面垂直的性质及判定，考查直线与平面所成角，属于中档题.
（1）由，得，已知，根据线面垂直的判定定理可证得平面；
（2）根据直线与平面所成角的概念可得，直线与平面所成角为，在中计算直线与平面所成角的正弦值.
19. 设是各项均为正数的等差数列，，是和的等比中项，的前n项和为，
求和的通项公式;
设数列的通项公式
① 求数列的前项和；
②求
【答案】
解：（1）设等差数列的公差为d，
，是和的等比中项，
，
即，
解得，
是各项均为正数的等差数列，
，
，
两式相减得：
，
当时，，，
是以2为首项，2为公比的等比数列．
（2）①解：因为，
所以
所以……
②解：当i为奇数时，设
当i为偶数时，设，
，
，
故，

【解析】本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式和前n项和公式，以及分组求和的方法，属于中档题．
（1）根据等差数列和等比数列的通项公式和与的关系列式子求解即可；
（2）1.根据中和的通项公式，列出数列的通项公式，分奇数组和偶数组求解数列的前项和；
2.将i分为奇数和偶数两种情况：
当i为奇数时，设，
当i为偶数时，设，分别求解后，相加求得的值即可．
20. 已知，D为边AC上一点，，
若，，求；
若直线BD平分，求与内切圆半径之比的取值范围.
【答案】
解：如图1，，，
所以，
因为，，
所以，
故，则，即，
又，则，故，
不妨记，，则，
因为，
所以，解得，则，
因为，所以，
所以；
.
如图2，不妨设与内切圆的半径分别为r与R，
因为BD平分，
所以由角平分线性质定理得，记，则，
记，则，
因为，
所以，
所以，即，
因为，即，解得
设顶点B到AC的距离为h，
则，
又，，
所以，则，
令，则，，
所以，
因为，所以，则，故，
所以，即，
所以，故，
所以与内切圆半径之比的取值范围为
.

【解析】本题考查向量在平面几何中的应用，利用余弦定理解三角形，向量的数量积运算，属于困难题.
先利用平面向量的加减运算得到，再利用平面向量的数量积运算法则求得，又利用余弦定理与数量积运算求得，由此利用三角形面积公式即可得解；
先由角平分线性质定理得到，再利用余弦定理与数量积运算求得，从而利用三角形面积公式与内切圆的性质得到，进而利用换元法与不等式的性质求得的范围，由此得解.
21. 双曲线C：点是C上位于第一象限的一点，点A、B关于原点O对称，点A、D关于y轴对称．延长AD至E使得，且直线BE和C的另一个交点F位于第二象限中．
（1）求的取值范围；
（2）证明：AE不可能是的三等分线．
【答案】
（1）由题设得、，设点，由题意可得，
即，即，得，则，
直线BE的斜率为，
所以直线BF的方程是，即，
联立，消去y可得，
直线BF与双曲线C有2个交点，则，
因为满足方程，由韦达定理得，
解得，所以，得已经成立，
因此只需，因为，可得，
所以，
因为，所以，所以，可得，
所以的取值范围是；
（2），证明如下：由（1）可知，
，
所以，即，
因为，则，则，
所以，因此AE不可能是的三等分线.
【解析】本题考查了双曲线的标准方程、直线与双曲线的位置关系以及圆锥曲线中的综合问题，属于难题.
求得点，求出直线BE的方程，将该直线的方程与双曲线C的方程联立，求出点F的坐标，由可得出，进而可得出关于的不等式，结合可求得的取值范围；
（2）计算得出，可得出，计算出，可得出，由此可证得结论成立.
22. 【解析】略

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